О константах в неравенствах для средних значений некоторых периодических арифметических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

44

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

Эта правильная эволюция соответствует некоторому слову Штурма V. Значит, существует взаимно однозначное соответствие между к-словами слова Ш и п-словами слова Штурма V, при этом соответствие продолжается на (к + 1)-слова Ш и (п + 1)-слова V и т.д.

Разберем сначала случай, когда к = 1. Символам алфавита А взаимно однозначно соответствуют п-слова некоторого слова Штурма V. По теореме эквивалентности слово V порождается сдвигом окружности Та. Как было показано выше, п-словам в динамике соответствуют интервалы разбиения: слову ш = С1С2 ...Сп (Ог е {а, Ь}) — интервал 1Ш = Т-п+1(/С1) П Т-п+2(/С2) П ... П /сп, где — характеристический интервал для Сг. В динамике, порождающей слова Штурма, интервалы /ш, соответствующие п-словам, будут иметь вид /ш = (пга,пг+\а), где пг — некоторые целые числа. Тогда характеристическим множеством для каждого символа аг е А будет являться интервал /ш, такой, что слово ш соответствует данному символу. Ясно тогда, что слово Ш будет порождаться тем же сдвигом Та и характеристическими множествами /ш.

Теперь разберем общий случай. Пусть к-словам слова Ш соответствуют п-слова слова Штурма V. Точно так же мы можем построить соответствие между интервалами разбиения для п-слов слова Штурма /ш и к-словами слова V. Построим характеристическое множество для каждого символа аг е А. А именно символу аг поставим в соответствие все интервалы, которые соответствуют словам, начинающимся на аг. В этом случае характеристическое множество для произвольного символа может быть несвязным и представлять собой объединение нескольких интервалов. Покажем, что при таком выборе характеристических множеств найдется точка, эволюция которой будет совпадать с Ш.

Действительно, пусть слово Ш начинается с некоторого к-слова ш = С\С2 . ..Сь. Ему мы поставим в соответствие интервал Рассмотрим следующий (к + 1)-й символ Сь+1, этому (к + 1)-слову мы поставим в соответствие интервал , где ш' = С1С2 ... Сь+1, и т.д.

Получаем бесконечное множество вложенных интервалов /1 Э /2 Э ..., которые в силу равномерности сдвига окружности могут иметь только одну предельную точку. Эволюция этой точки и будет совпадать со словом Ш.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Morse M., Hedlund G. Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories // Amer. J. Math. 1940. 62. 1-42.

2. Белов А.Я., Кондаков Г.В. Обратные задачи символической динамики // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 1. 71-79.

3. Rauzy G. Mots infinis en arithmétique // Automata on Infinite Words: Ecole de Printemps d'Informatique Theorique, Le Mont Dore, May 1984/ Ed. by M. Nivat, D. Perrin, Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 192. 1985. Berlin etc.: SpringerVerlag, 165-171.

Поступила в редакцию 04.07.2007

УДК 511

О КОНСТАНТАХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А. Х. Гияси

В 1918 г. для первообразного характера Дирихле % по простому модулю ц И. М. Виноградов [1-3] и Г. Пойа [4] независимо доказали, что

\T (N )| =

n<N

X(n)

< л/9 log ç.

Положим S(X) = max\T(N)\.

Э. Ландау рассмотрел задачу оценки постоянной Ь в следующем неравенстве:

ад ^«4/91о6<7(1+ о(1)).

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

45

Э.Ландау [5] доказал, что

Г1/(2тгУ2), если *(-1) = 1; \1/(2п), если х(—1) = -1.

Используя оценки Д. Берджесса [6-9] и аргументы Х. Л. Монтгомери и Р. К. Вона [10], в 1988 г. А. Хильдебранд [11, 12] получил следующие значения постоянных b:

= ( 2/(3п2), если х( — 1) = 1; \1/(3п), если х( —1) = —1.

При условии справедливости обобщенной гипотезы Римана Х. Л. Монтгомери [13] и Р. К. Вон [10, теорема 2] уточнили неравенство Виноградова-Пойа:

S(x) < ci^/qloglogq, а > 0.

Как показал Пэли [14], последняя оценка неулучшаема, поскольку для бесконечной последовательности фундаментальных дискриминантов D = 1 (mod 4) имеет место оценка

max

x

^ (, п

n<x 4

Q (\/Z> log log D

В настоящей работе доказана оценка суммы произведений символов Лежандра по различным простым числам со "сдвинутыми переменными". Рассмотрим сумму вида

Т = Т (ах ,...,аи) = тах |5(Ж)|,

где

5(ЛГ) = £

РХ ' \

причем а\, ...,а^ — некоторые целые числа, а Рх,...,Рк — различные нечетные простые числа. Используя соотношения

, . _ Y^1 2тгщ _ (1, если п = 0 (mod Q); W-Q^e \ 0, если (mod Q),

преобразуем сумму S (N). Имеем

Я / . х / . х N Я-х Я-х ( N N

где А(а), как и прежде, обозначает сумму

лг \ ^ (п + аЛ (П + аЛ 27Г г^ А/ 2ТГ (-аСЦ8\ \

причем

Х(а) = П (е^ ) , |х(а)| < 1, г = гР1 ... гр., |г| = у/Щ.

Таким образом, сумма 5(Ж) примет вид

N -2жг^ 1

«<"> = 5 У *<«> = £ ^ х«5—^

^ 0<\а\<Я/2 а=Х ^ 0<\а\<Я/2 1 е 4

Пользуясь асимптотическим разложением при 0 < |а| <Q/2 (^ ^ ж) для дроби вида

1 =-А+т,

получим

Отсюда имеем

\sт\ <

1 _ e2lTiq 2-кга

VQ

2п

Е x(a)

0<\a\<Q/2

е Q — 1

+ o(VQ)-

л/п ч . Isinvr^l _

п *—' a

0<a<Q/2

Воспользуемся неравенством Юнга [15, отдел VI, § 4, задача 38]:

aN I

— Е я + < -у 1о6 (¿г/2>(1+0(1».

п *—' а п2

0<а<д/2

Итак, доказана следующая

Теорема 1. Пусть N — натуральное число, Т = Т(а1,..., аь) = ^тах N)1, где

S (N) = Е

m<N

m + a A (m + ak

Pi

Pk

причем а1,...,аь — некоторые целые числа, а р1,...,рь — различные нечетные простые числа, Q Р1.. .рь. Тогда имеет место следующее неравенство:

Т < —^-у- logQ(1 + о(1)).

п2

a

Теперь перейдем к оценкам неполных сумм Гаусса по методу И. М. Виноградова. Обозначим неполную гауссову сумму символом С(х), где

ОД = ОД АО = V е2^,

m<x

N > 2 — натуральное число, х — вещественное число, х < N. Как известно, величина полной суммы Гаусса С = С(N; N) равна (см., например, [15, теорема 4, с. 444])

1 + г-1

При натуральном числе х с условием 1 < х < N и нечетном числе N к сумме С(х) применим метод И.М.Виноградова оценки неполных сумм для периодических арифметических функций с периодом N. Имеем

2 N-1 2 1 , 1 /М~1 2 4 7 4

m^x m=0 n^x \a\^(N-i)/2 \a\<(N-i)/2 \m=0 ) \n^x

Далее, для нечетного N существует единственный вычет ai по модулю N, такой, что a = 2ai (mod N). Тогда сумма

N-1 2

I \ \ ^ 2 7T-m +ат

GN(a) = е jv

m=0

преобразуется к виду

N-Х 2 2 2

/ \ \ ^ 2 , (т + ах) _27Г?' —

См(а)=Уег7гг N -е = Се

т=0

Таким образом, справедливо равенство

Н<^-Х)/2 е Х<Н<^-Х)/2 е

Заметим, что числам а и —а отвечают соответственно вычеты аХ и -аХ по модулю N. Воспользуемся теперь при 1 < |а| < N/2 N ^ ж) асимптотическим равенством

1 N

1 _ е2ттг 2ттга

Получим

е в—

N , ,, 21Ш

Х<\a\<(N-Х)/2

Собирая вместе слагаемые, отвечающие значениям переменной суммирования а и —а, найдем

ггГ а? р-^ж

-Х)/2

Отсюда при 1 < х < N имеем неравенство

|ОД| < Уж

Е

е-2тггж

2 _2тг?— 2тг? —

<»16 лг _е лг

211а

-Х)/2

< — У --^ + О Уж < 1оё Ж/2 + ОУж .

1 ^ а 12

Х^^.^-Х)/2

Константу 2/12 в последнем неравенстве можно уменьшить в два раза следующим приемом. Представим выражение для О(х) в виде

тп ,_

ОД = — -Н1{х)~ Н2{х) + О(Уж),

где

2 _2тг?— 2тг? —

Н1(х)=С > е -,

е-2тггдг

2 _2тг?— 2тг? — а| е N _ е ЛГ

£ -

N1 <a^.(N-Х)/2

причем параметр т = УЖ1оёЖ.

Аналогично предыдущему имеем

\Н1 (х)| < ^1оё(Ж1/2) + 0(Уж) < 1оёЖ + 0(Уж).

12 12

Оценим сумму Н2(х). При 1 < х < N справедливо неравенство

е^Чт"1

a<x

< Уж 1о§ Ж.

Положим

№ = ± са = е2^(е2^-е"2^), ОД =

a<x

Воспользовавшись формулой суммирования Абеля в интегральной форме [16] следующего вида:

[N/2]

Е Сп/(п) = / ([N/2])С([N/2]) - [ С(х)/'(х) йх, N1 <п<М/2 N1

получим

тт , , „ V- -2„ie-2"f-e2"f л/NlogN ^N\ogN 1

— 1)/2

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Пусть N — нечетное число, х — целое число, 1 < х < N и пусть

ОД = Е

ш^х

неполная сумма Гаусса. Тогда справедливо неравенство

|ОД| < -\VNlogN. п2

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чу-барикову.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Sur la distribution des residues et des nonresidues des puissances // Журн. физ.-матем. о-ва Перм. гос. ун-та. 1918. 1. 94-98.

2. Виноградов И.М. О распределении квадратичных вычетов и невычетов // Журн. физ.-матем. о-ва Перм. гос. ун-та. 1919. 2. 1-16.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 9-е изд. М.: Наука, 1981.

4. Polya G. Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste // Nachr. Königl. Ges. Wiss. Gottingen. 1918. 21-29.

5. Landau E. Abschötzungen von Charactersummen, Einheiten und Klassenzahlen // Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen. 1918. 79-97.

6. Burgess D.A. The distribution of quadratic residues and nonresidues // Mathematika. 1957. 4, N 8. 106-112.

7. Burgess D.A. On character sums and L-series // Proc. London Math. Soc. (3). 1962. 12. 193-206.

8. Burgess D.A. On character sums and L-series, II // Proc. London Math. Soc. (3). 1963. 13. 524-536.

9. Burgess D.A. The character sum estimate with r = 3 //J. London Math. Soc. 1986. 33. 219-226.

10. Montgomery H.L., Vaughan R.C. Exponential sums with multiplicative coefficients // Invent. math. 1977. 43. 69-82.

11. Hildebrand A. On the constant in the Polya-Vinogradov inequality // Can. Math. Bull. 1988. 3. 347-352.

12. Hildebrand A. Large values of character sums //J. Number Theory. 1988. 29. 271-296.

13. Монтгомери Х.Л. Мультипликативная теория чисел. М.: Мир, 1974.

14. Paley R.E.A.C. A theorem on characters // J. London Math. Soc. 1932. 7. 28-32.

15. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. I, II. М.: Наука, 1978.

16. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов. 5-е изд., испр. М.: Дрофа, 2005.

Поступила в редакцию 28.09.2007