О конгруэнциях частичных арных группоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Дуплий С. А., Котульская О. И. Квазидетерминанты, некоммутативные детерминанты и необратимые суперматричные структуры || Вестн. Харьков. национального ун-та. 2003. Т. 585, вып. 1, 21. С. 19-28.

2. Dieudonne' J. Les determinants sur un corps noncommutatiff || Bul. Soc. Math. France. 1943. Vol. 71. P. 27-45.

3. Артин Э. Геометрическая алгебра. M.: Наука, 1969. 284 с.

4. Понизовский И. С. Об определителе матриц с элементами из некоторого кольца || Мат. сборник. 1958. Т. 45 (87), № 1. C. 3-16.

5. Кирчей И. И. Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений || Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 4. С. 67-94.

6. Соколов О. Б. Применение булевых определителей к анализу логических многополюсников || Ученые записки Казанск. госун-та. 1963. Т. 123, № 6. С. 155-164.

7. Chesley D.S., Bevis J. H. Determinants for matrices over lattices || Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1969. A. 68, № 2. P. 138-144.

8. Reutenauer C., Straubing H. Inversion of matrices over УДК 512.548+ 512.571

О КОНГРУЭНЦИЯХ

ЧАСТИЧНЫХ n-АРНЫХ ГРУППОИДОВ

А.В. Решетников

Московский институт электронной техники, кафедра высшей математики -1 E-mail: [email protected]

Введено понятие Ri-конгруэнции частичного n-арного группоида как обобщение понятия правой или левой конгруэнции обычного группоида. Доказано, что при фиксированном i Ri -конгруэнции частичного n-арного группоида G образуют решётку, в которой решётка конгруэнций на G не обязатльно является подрешёткой. Построен пример, когда решётка конгруэнций частичного n-арного группоида G не является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на G. Даётся характеристика частичных n-арных группоидов, на которых при некотором i каждое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией.

Ключевые слова: частичный группоид, n-арный группоид, решётка конгруэнций, решётка односторонних конгруэнций, решётка отношений эквивалентности.

a commutative semiring // J. of Algebra. 1984. Vol. 88. P. 350-360.

9. Kuntzmann J. Theorie des reseaux (graphes). Paris: Dunod, 1972.

10. Poplin P. L, Hartwig R. E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. Vol. 387. P. 99-132.

11. Поплавский В. Б. О рангах, классах Грина и теории определителей булевых матриц // Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 4. С. 42-60.

12. Поплавский В. Б. О разложении определителей булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 4. С. 199-223.

13. Поплавский В. Б. Обратимые и присоединенные булевы матрицы // Чебышевский сб. 2005. Т. 6, вып. 1. С. 174-181.

14. Rutherford D. E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6, № 1. P. 49-53.

15. Скорняков Л. А. Обратимые матрицы над дистрибутивными структурами // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 2. С. 182-185.

On Congruences of Partial n-ary Groupoids A.V. Reshetnikov

Moscow Institute of Electronic Technology, Chair of Higher Mathematics -1 E-mail: [email protected]

Ri -congruence is defined for partial n-ary groupoids as a generalization of right congruence of a full binary groupoid. It is proved that for any i the Ri -congruences of a partial n-ary groupoid G form a lattice, where the congruence lattice of G is not necessary a sublattice. An example is given, demonstrating that the congruence lattice of a partial n-ary groupoid is not always a sublattice of the equivalence relations lattice of G. The partial n-ary groupoids G are characterized such that for some i, all the equivalence relations on G are its Ri -congruences.

Key words: partial groupoid, n-ary groupoid, congruence lattice, one-sided congruence lattice, equivalence relation lattice.

Свойства конгруэнций универсальных алгебр активно изучаются многими авторами, и в этом направлении имеется немало интересных результатов; их обзор пердставлен, например, в [1]. Хорошо известно, что конгруэнции произвольной универсальной алгебры А образуют решётку по включению, и эта решётка является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на множестве А. В работе [2] изучались алгебры, у которых конгруэнцией является любое отношение эквивалентности. Для таких алгебр была получена простая характеризация. К тому же она была уточнена для частных случаев универсальных алгебр — группоидов и полугрупп [2].

Представляет интерес обобщить результаты работы [2] на случай частичных универсальных алгебр, которые изучены в гораздо меньшей степени, чем обычные (полные) универсальные алгебры. Многие понятия (например, ассоциативность) обобщаются на случай частичных универсальных алгебр различными неэквивалентными способами. Основы теории частичных универсальных алгебр изложены в монографии [3]. Свойства алгебраических объектов далеко не всегда сохраняются при обобщениях такого рода. Не всегда сохраняется, как будет доказано в данной работе, упомянутое свойство решётки конгруэнций быть подрешёткой решётки отношений эквивалентности. Мы определим квазиконгруэнцию и покажем, что для полных универсальных алгебр понятия квазиконгруэнции и конгруэнции совпадают, а для частичных алгебр решётка конгруэнций не обязана быть даже под-решёткой решётки квазиконгруэнций.

Некоторое обобщение результатов работы [2] даётся во второй части данной работы. В конце рассмотрен пример, показывающий, что частичные универсальные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является квазиконгруэнцией, устроены гораздо сложнее полных универсальных алгебр, обладающих таким же свойством.

1. О КОНГРУЭНЦИЯХ ЧАСТИЧНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Напомним некоторые определения (подробнее см. в [3]). Пусть A — произвольное множество, A' — какое-либо подмножество множества An, f : A' ^ A — отображение. Тогда говорят, что на множестве A задана частичная n-арная операция f. Пусть Е = {fa|a G I} — множество (конечное или бесконечное) частичных операций, заданных на A. Тогда A называется частичной универсальной алгеброй. При этом множество Е называется сигнатурой частичной универсальной алгебры A. Если в сигнатуру частичной универсальной алгебры A входит только одна операция, являющаяся частичной n-арной, то будем говорить, что A — частичный n-арный группоид.

Отношение эквивалентности ~ на частичной универсальной алгебре A называется конгруэнцией, если для любой операции f G Е и любых элементов ai,...,an, bi,...,bn G A таких, что ai ~ bi5...,an ~ bn, выполняется следующее условие: если f(ai5...,an) и f(b1,...,bn) определены, то f (ai,..., an) ~ f (bi,..., bn). Отношение эквивалентности ~ на частичном n-арном группоиде A назовём R¿-конгруэнцией, или конгруэнцией на i-й позиции, если для любой операции f G Е и любых ai, ...,ai-i, ai+i,...,an, b, c G A таких, что b ~ c, выполняется условие: либо f (ai5..., ai-i, b, ai+i,..., an) не определено, либо f (ai5..., ai-i, c, ai+i,..., an) не определено, либо f (ai5..., ai-i, b, ai+i,..., an) ~ f (ai,..., ai-i, c, ai+i,..., an). Если A является бинарным (т. е. обычным) группоидом, то Ri-конгруэнция на A — это то же самое, что правая конгруэнция на A, а R2-конгруэнция на A — это левая конгруэнция на A.

Множество всех отношений эквивалентности на множестве A обозначим через Eq A, множество всех конгруэнций — Con A, множество всех R¿-конгруэнций — R¿ Con A. Введём также следующие отношения эквивалентности на множестве A: А = {(a, a)|a G A}, ра,ъ = A U{(a, b), (b, a)} (при a = b).

Следующее утверждение непосредственно следует из определений.

Предложение 1.1. Пусть A — частичный n-арный группоид. Каким бы ни было натуральное число i < n, любая конгруэнция на A является на нём R-конгруэнцией.

Другими словами, Con A С Ri Con A П ... П Rn Con A. Но, как показывает следующий пример, в общем случае Con A = Ri Con A П ... П Rn Con A.

Пример 1.1. Пусть A = {a, b, c} и каждый из элементов a,c совпадает с каким-нибудь из произведений aa, ab, ba, bb (при этом некоторые из этих четырёх произведений могут быть не определены). Тогда отношение эквивалентности ра,ъ не является конгруэнцией. Если не определены произведения aa и bb или ab и ba, то отношение ра,ъ может оказаться одновременно правой и левой конгруэнцией — например, в случае частичного группоида, заданного следующей таблицей Кэли:

a Ь с

a a — —

Ь — с —

с — — —

Другими словами, класс частичных (n-арных) группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является одновременно Ri-, ..Rn-конгруэнцией, шире, чем класс частичных (n-арных) группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Введём обозначение: Ri Con A П ... П Rn Con A = QCon A. Элемент множества QCon A назовём квазиконгруэнцией.

Пусть и е QCon A. Получим достаточное условие того, что и е Con A. Множество всех тех наборов (ai5..., an), для которых определено произведение f (ai5..., an), обозначим через V; таким образом, V С An. Являясь отношением эквивалентности, и разбивает группоид на классы эквивалентности. Для каждого набора классов (Ki, ...,Kn) введём бинарное отношение Ек1,...,кп С С (VП (Ki х ... х Kn))2, в котором пусть находятся наборы, отличающиеся ровно одной компонентой, и только они. Тогда будет иметь место следующее утверждение.

Предложение 1.2. Если для данной квазиконгруэнции все графы (V, EKl>...>Kn) являются связными, то эта квазиконгруэнция является конгруэнцией.

Доказательство. Пусть произведения f (ai5...,an) и f (bi,...,bn) определены для некоторых ai ~ bi е Ki,...,an ~ bn е Kn. Класс эквивалентности, в котором находится элемент f (ai,..., an), обозначим через K. Имеем (ai5..., an), (bi,...,bn) е V П Ki х ... х Kn. Тогда, поскольку граф (V,Ек1 ,...,кп) является связным, можно построить путь (ei,...,e¿) из (ai,...,an) в (bi,...,bn). Следующим образом получаем, что f (6i,...,bn) е K: f (ai5...,an) е K, а если (ci,..., cn) е V П Ki х ... х Kn, f (ci5..., cn) е K и из вершины (ci5..., cn) какое-то ребро графа (V, EKl)...)Kn) ведёт в вершину (di,..., dn), то наборы (ci5..., cn) и (di,..., dn) отличаются ровно одной компонентой, и потому по определению квазиконгруэнции f (di,..., dn) е K.

Из предложения следует, что если A является полным (n-арным) группоидом, то каждая квазиконгруэнция на A является конгруэнцией на A, т. е. для полного группоида выполняется равенство Con A = QCon A.

В произвольной решётке L операции инфимума и супремума будем обозначать соответственно AL и VL. При этом, если понятно, о какой решётке идёт речь, будем писать просто A и V.

Напомним следующий известный факт из теории решёток.

Предложение 1.3. Полная по инфимумам полурешётка с наибольшим элементом является полной решёткой.

Пользуясь им, докажем следующее утверждение.

Предложение 1.4. Пусть A — частичный n-арный группоид. Тогда каждое из множеств Ri Con A, ..., Rn Con A, QCon A, Con A является решёткой, причём в любой из этих решёток и A т = и П т.

Доказательство. Легко видеть, что пересечение [R¿-] конгруэнций частичного группоида является его [R¿-] конгруэнцией. Так как

A2

является наибольшим элементом в любом из множеств Ri Con A, . .., Rn Con A, QCon A, Con A, то из предложения 1.3 следует, что каждое из этих множеств является полной решёткой.

Хорошо известно, что если a, b, c, d — различные элементы полного n-арного группоида A, то справедливы следующие утверждения:

(i) Pa,b, Pc,d е Ri Con A ^ pa>b U pC)d = pa,b V pC)d е R¿ Con A;

(ii) pa,6,pc>d е Con A ^ Pa,6 и pC)d = Pa,b V pC)d е Con A;

(iii) pa,6,pb,c е Ri Con A ^ A U {a, b, c}2 = pa,b V pb)C е Ri Con A;

(iv) pa,b, pb,c е Con A ^ A U{a, b, c}2 = pa,b V pb)C е Con A.

Из них следует, что если A — полный n-арный группоид, то каждое из множеств Ri Con A является подрешёткой решётки Eq A, а множество Con A = QCon A является подрешёткой каждой из решёток Ri Con A. Для частичного же n-арного группоида, как мы сейчас докажем, остаётся в силе только утверждение (i). Более того, если A — частичный n-арный группоид, то мы покажем, что из pa>b, pb)C е Con A не следует, что A U {a, b, c}2 е Ri Con A.

Пример 1.2. Пусть произведение элементов частичного группоида А определено следующей таблицей Кэли (х, у — произвольные элементы):

a Ь с d

a a — d X

Ь — — d X

с d d d X

d X X X У

Нетрудно видеть, что отношения ра,ь и рь,с являются конгруэнциями, в то время как отношение А и (а, Ь, с}2 не является ни правой, ни левой конгруэнцией этого частичного группоида. Этим опровергаются импликации (Ш) и (Гу).

Пример 1.3. Рассмотрим частичный группоид со следующей таблицей умножения:

a b с d

a a a a —

b a b — d

с a — с d

d — d d d

Легко показать, что каждое отношение эквивалентности вида px,y является конгруэнцией данного группоида. В то же время отношение и = A U (a, b}2 U {c, d}2 не является конгруэнцией, так как (a, b), (c, d) е и, но (ac, bd) = (a, d) / и. Этим опровергается импликация (ii).

Предложение 1.5. Пусть a, b, c, d — различные элементы частичного n-арного группоида A. Тогда ра,ъ, Pc,d е Ri Con A ^ pa,b U pC)d = Ра,ъ Vr, Con a Pc,d е Ri Con A.

Доказательство. Легко видеть, что ра,ъ U pc,d е Ri Con A. Но так как в решётке Eq A выполняется ра,Ъ U pc,d = ра,ъ V pc,d, то в решётке Ri Con A отношение ра,ъ U pc,d является супремумом отношений

Ра,Ъ и Pc,d.

Таким образом, оказывается, что решётки конгруэнций частичных n-арных группоидов устроены сложенее, чем решётки конгруэнций полных n-арных группоидов. Из предложения 1.1, из определений квазиконгруэнции и Ri-конгруэнции следует, что для любого частичного n-арного группоида

Con A С QCon A С Ri Con A С Eq A.

Покажем, что ни одно из этих четырёх множеств не является в общем случае подрешёткой какого-либо другого множества из этих четырёх.

Из примера 1.2 следует, что в решётке Eq A ни одно из подмножеств Con A, Ri Con A, QCon A не является в общем случае подрешёткой. Действительно, A U{a,b, c}2 = ра,ъ VEqA pb,c, но ра,Ъ VL p^c = A2 при L = Con A, Ri Con A, QCon A.

Пример 1.3 показывает, что в решётках QCon A и Ri Con A подмножество Con A не обязательно является подрешёткой. Действительно, из предложения 1.5 следует, что A U (a, b}2 U (c, d}2 = Ра,ъ V QCon A Pc,d = Ра,ъ VRi Con A Pc,d, но A U (a, b}2 U (c, d}2 = Ра,ъ V Con A Pc,d. Пример 1.4. В частичном бинарном группоиде следующей таблицей Кэли:

a b с d

a a a a a

b — — — —

с d d d d

d — — — —

выполняется следующее соотношение: ра,ъ VR2 Con A pЪ)C = A U (a, b, c}2 / Ri Con A. Из него следует, что в решётке Ri Con A подмножество QCon A не является в общем случае подрешёткой.

2. О ЧАСТИЧНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ, У КОТОРЫХ КАЖДОЕ ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ КОНГРУЭНЦИЕЙ

В работе [2] была доказана теорема, характеризующая алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Чтобы её сформулировать, нам понадобятся следующие определения. Операция / (на универсальной алгебре А) называется константой, если существует такое с е А, что / (а1 ,...,ап) = с при всех а!,..., ап е А. Операция / — проекция, если существует такое г, что /(а1?..., ап) = а^ при всех а1?..., ап е А.

Теорема 2.1 [2, теорема 3.3]. Пусть А — универсальная алгебра с сигнатурой £. Все отношения эквивалентности на алгебре А являются её конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (О |А| < 2;

(и) каждая операция / е £ является константой или проекцией.

Нам также понадобятся следующие определения, первое из которых обобщает понятие области определения из [3]. Областью определения частичной п-арной операции / на частичной универсальной алгебре А называется множество ёош/ = {(а1,..., ап) е Ап : существует / (а1 ,...,ап)}. Областью значений для / называется множество т/ = {/(а1,..., ап)|(а1,..., ап) е ёош/}.

Лемма 2.2. Пусть на множестве А определена частичная унарная операция у. Любое отношение эквивалентности на А является конгруэнцией тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(I) |ёошу| =2 и ёошу = ту;

(II) у(х) = х для любого х е ёошу;

(Ш) при некотором с е А выполняется у(х) = с для всех х е ёошу.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Рассмотрим 3 случая.

1-й случай: |ёошу| = 2. Пусть ёошу = {а,Ь}. Если у(а) = у(Ь), то выполняется (Ш). Если у (а) = а и у(Ь) = Ь, то выполняется (и). Если у (а) = Ь и у(Ь) = а, то выполняется 0). Иначе отношение эквивалентности ра,ь не является конгруэнцией.

2-й случай: ту С ёошу. В этом случае подмножество йоту является полной подалгеброй. Применяя теорему 2.1 к множеству йоту и используя определение подалгебры, получим, что выполняется хотя бы одно из условий 0) — (Ш).

3-й случай: |ёошу| > 3, ту\ёошу = 0. Тогда найдётся такой элемент х е ёошу, что у(х) / ёошу. Условия 0) и (и) не выполнены. Если условие (Ш) также не выполнено, то найдётся такой элемент у е ёошу, что у(х) = у(у). Поскольку при этом {у(х),у(у)} = {х, у}, то отношение не является конгруэнцией в противоречие с условием леммы. Таким образом, в данном случае выполняется условие (Ш).

Если ни один из рассмотренных случаев не имеет места, то |ёошу| < 1, и выполняется условие (Ш).

Набор (а1?..., а^, а^+1,..., ап) элементов частичного п-арного группоида А назовём Л-единицей, или единицей на г-й позиции, если для любого элемента Ь е А произведение /(а1,...,аг-1, Ь, аг+1,..., ап) либо равно Ь, либо не определено. Набор (а1,..., а^-1, а^+1,..., ап) элементнов из А назовём обобщённым Л-нулём, или обобщённым нулём на г-й позиции, если для любых элементов Ь, с е А из того что произведения /(а1?..., а^-1, Ь, а^+1,..., ап) и /(а1?..., а^-1, с, а^+1,..., ап) существуют, следует, что они равны. ^-единицу частичного бинарного группоида назовём просто правой единицей, а обобщённый -нуль частичного бинарного группоида — просто обобщённым правым нулём.

Для произвольного а е Ап-1 определим частичную п-арную операцию /а(х) следующим образом: /(а1 ) (х) = / (а1,...,аг-1, х, ат,..., ап). Будем говорить, что частичная унарная операция у, заданная на некотором множестве, является ограничением транспозиции, если для некоторых элементов х, у выполняются условия у(х) = у и у(у) = х, а для других аргументов значение частичной операции у не определено.

Теорема 2.3. Все отношения эквивалентности частичного n-арного группоида A являются его Ri-конгруэнциями в том и только том случае, если для каждого элемента а е An-1 выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(i) а является единицей на i-й позиции;

(ii) а является обобщённым нулём на i-й позиции;

(iii) fa является ограничением транспозиции.

Доказательство. Все отношения эквивалентности на A являются Ri-конгруэнциями тогда и только тогда, когда все они являются конгруэнциями каждой из частиных алгебр (A, fa). Из леммы 2.2 следует, что для этого необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из условий (i)-(iii) теоремы.

При n = 2 получаем описание частичных бинарных группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является правой конгруэнцией:

Теорема 2.4. Все отношения эквивалентности частичного бинарного группоида A являются его R1 -конгруэнциями (т.е. правыми конгруэнциями) в том и только том случае, если для каждого элемента a е A выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(i) a является правой единицей;

(ii) a является обобщённым правым нулём;

(iii) частичная унарная операция fa(x) = xa является ограничением транспозиции.

Теорема 2.1 описывает полные универсальные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является квазиконгруэнцией. Ключевую роль в этой теореме играют понятия константы и проекции. В случае частичных универсальных алгебр можно также определить константу как операцию f : An ^ A, для которой |f (A, A, ...,A)| < 1, и проекцию, как операцию f (xl5...,xn) такую, что f (x1,... ,xi,... ,xn) либо не определено, либо равно xi. Однако теорема, аналогичная теореме 2.1, для частичных универсальных алгебр неверна, как показывает следующий пример.

Пример 2.1. Пусть на множестве A = {a1 ,...,an} (n > 4) частичное умножение задано следующим образом: aiaj- = ai, если оба индекса i, j являются чётными; aiaj- = aj, если оба индекса i, j являются нечётными; иначе aiaj не определено. Тогда эта частичная операция не является ни константой (a1 a1 = a1 = a2 = a2a2), ни проекцией на первый аргумент (a1 a3 = a3 = a1), ни проекцией на второй аргумент (a2a4 = a2 = a4). В то же время легко видеть, что каждое отношение эквивалентности является квазиконгруэнцией на A, а значит, Con A = Eq A.

Отметим следующее следствие из теоремы 2.3.

Предложение 2.5. Пусть частичный n-арный группоид A удовлетворяет условию: |f (a1?..., ai-1, A, ai+1,..., an)| > 3 при всех a1,..., ai-1, ai+1,..., an е A.

Тогда любое отношение эквивалентности на A является его Ri -конгруэнцией в том и только том случае, если A можно дополнить до полного n-арного группоида, у которого любое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией на A.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Рассмотрим произвольный элемент а е An-1. Ввиду условия данной теоремы случай (iii) теоремы 2.3 невозможен, поэтому а является единицей на i-й позиции или обобщённым нулём на i-й позиции. Ясно, что в первом случае fa дополняется до проекции на i-ю компоненту, а во втором случае — до константы. Тогда A будет дополнен до полного группоида, в котором каждый элемент а е An-1 является единицей на i-й позиции или обобщённым нулём на i-й позиции. По теореме 2.3 это будет полный группоид, у которого каждое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией.

Выражаю благодарность И. Б. Кожухову за постановку некоторых вопросов, ответы на которые получены в данной статье.

Библиографический список

1. Общая алгебра: в 2 т. Т. 2 / В. А. Артамонов, В. Н. рых все отношения эквивалентности являются конгру-Салий, Л. А. Скорняков и др.; под общ. ред. Л. А. Скор- энциями // Фундаментальная и прикладная математи-някова. М.: Наука, Физматлит, 1991, (гл. Универсаль- ка. 2010. Т. 16, № 3. С. 161-192.

ные алгебры. С. 295-367). 3. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические

2. Кожухов И. Б., Решетников А. В. Алгебры, у кото- действия. СПб.: Образование, 1991. 163 с.