Научная статья на тему 'О комбинированной оценке вероятности безотказной работы по полной выборке'

О комбинированной оценке вероятности безотказной работы по полной выборке Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
214
68
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СЛУЧАЙНАЯ НАРАБОТКА / ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ / НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА / КОМБИНИРОВАННАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ / АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ / THE PROBABILITY OF FAILURE-FREE OPERATION / NONPARAMETRIC ESTIMATION / THE COMBINED ESTIMATE OF THE PROBABILITY / THE ASYMPTOTIC DISTRIBUTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дмитриев Юрий Глебович, Скрипин Сергей Викторович

Строятся статистические оценки для вероятности безотказной работы объекта в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Находятся асимптотические распределения предлагаемых оценок. Проводится сравнение точности оценок при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дмитриев Юрий Глебович, Скрипин Сергей Викторович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On a combined estimating of the probability of failure-free operation for the full sample

There is constructed statistical estimates for the probability of failure-free operation of the system as a weighted sum of nonparametric and parametric estimates of the probability. Asymptotic distributions of combined estimates are found. The accuracy of estimates with finite volume of observations is studied by simulation.

Текст научной работы на тему «О комбинированной оценке вероятности безотказной работы по полной выборке»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(21)

УДК 519.2

Ю.Г. Дмитриев, С.В. Скрипин

О КОМБИНИРОВАННОЙ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ПО ПОЛНОЙ ВЫБОРКЕ

Строятся статистические оценки для вероятности безотказной работы объекта в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Находятся асимптотические распределения предлагаемых оценок. Проводится сравнение точности оценок при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования.

Ключевые слова: случайная наработка, вероятность безотказной работы, непараметрическая оценка, комбинированная оценка вероятности, асимптотическое распределение.

В теории надежности при анализе и статистическом оценивании вероятности безотказной работы (ВБР) объекта используются те или иные вероятностностатистические модели случайной наработки элемента Х до первого отказа [1]. Выбор модели обусловлен наличием априорной информации о виде функции распределения Е случайной наработки Х Функция распределения может принадлежать как непараметрическому семейству Ж, так и параметрическому семейству

О = {О(/;0),9с©} распределений наработки. Для новых объектов эта функция распределения, как правило, полностью неизвестна и поэтому для ее статистической оценки применяют непараметрическую оценку, построенную по результатам испытаний. Однако опыт исследователя позволяет ему выдвинуть некоторые априорные догадки о принадлежности Е некоторому параметрическому семейству. Эта догадка может быть как верной, так и неверной. Возникает желание использовать имеющиеся знания о возможной параметризации распределения в непараметрических оценках с целью улучшения их свойств. В данной работе предлагается подход к построению комбинированных оценок в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Обсуждаются проблемы, возникающие при реализации таких оценок на практике, анализируются асимптотические свойства, а также свойства при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования.

1. Постановка задачи

Пусть Е(/) = Р{Х < ,}, , > 0, - функция распределения случайной наработки X. Запишем ВБР объекта, достигшего возраста t, в виде

J (х; t, Е) = 1 - Е ( + х) = Ре (Л+х), (1)

1 - Е (,) Ре (Л)

где событие Л,+х = {Х>+х}, Л, = Х>,.

Имеется полная простая выборка Хь..., Хп объема п случайной наработки Х с Ее Ж. Непараметрическую оценку ВБР (1) возьмем в виде

- 1 - Еп (х + О Р(В)

./(х;,) =----^, (2)

1 - Еп (,) Р(Л)

где Еп(0 = п -1 X с (, - Х), с(,) = {0: ,<0, 1: ,>0} - эмпирическая функция распреде-

1 =1

ления, Р ( ) - эмпирические вероятности, В = Лш, Л = ЛI .

Пусть имеется предположение, что Ее О . В этом случае ВБР запишется в виде

J(х;,, О) = 1 - О(t + x, 9) = Р0 (Л+х) = Т(х;,, 0), 0 е ©. (3)

V ' 1 - 0(,, 9) Р9 (Л) ^

Назовем величину ¥(х;,,0) априорной догадкой. Задача состоит в построении оценки ВБР, учитывающей непараметрическую оценку (2) и априорную догадку (3) совместно.

Рассмотрим разложение непараметрической оценки в окрестности истинных вероятностей Р(В) и Р(А) по формуле Тейлора с остаточным членом Кп(,, х) в форме Лагранжа для произвольных, но фиксированных t, х:

,( х; t) = РЕ(Л^+х) +(Р( В) - Р( В)) - (Р(Л) - Р( Л))+^ (t, х). (4)

Ре (Л) Р( Л) Р 2( Л)

Обозначим главную часть в (4) через

(х; t) = J (х; t, Е) + -1- (Р( В) - Р( В)) - (Р(Л) - Р( Л)). (5)

я Р( Л) Р 2( Л)

Из (5) следует, что математическое ожидание и дисперсия главной части равны соответственно

Ме, (х;t) = J(х;t, Е), Ое, (х;t) = п-1стЕ,

е _2 _2(... Р( В)( Р( Л) - Р( В)) [1 - Е ^ + х)][ Е ^ + х) - Е ^)] (6)

где СТ Е = СТ Е (х; 0 =-------------------------------------------------------------------3-=-3-. (6)

Р3(Л) (1 - Е ^ ))3

Кроме того, из (5) вытекает, что при увеличении объема наблюдений п в силу центральной предельной теоремы последовательность

(х; t) - ,(х; t, Е)) ~ N (0, ст2е ),

т.е. имеет асимптотически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, определяемой формулой (6). Поскольку вторые производные в остаточном члене Япу, х) являются непрерывными функциями относительно Р(В) и Р(А), то в силу теоремы непрерывности (см. [2], глава 6) последовательность -1п Япу, х) слабо сходится к нулю. Отсюда следует, что и непараметрическая оценка (2) также имеет асимптотически нормальное распределение, т.е. л/й (Д(х; 0-/(х; ,,Е))~МР,с2е).

2. Комбинированная оценка

Совместное использование непараметрической оценки (2) и априорной догадки (3) осуществим с помощью комбинированной оценки следующего вида:

(х; t) = (1 - X)./(х, t) + Х¥(х; t, 9)) =,(х, t) - X(./(х; t) - ¥(х; ^ 9)), (7)

где X - коэффициент взвешивания, выбираемый из заданного критерия качества, х, t, 0 произвольные, но фиксированы. Поскольку определяющим элементом в асимптотическом поведении оценки (2) является ее главная часть, то выберем ко-

эффициент X из условия минимума среднеквадратической ошибки (СКО) главной части

Минимизация выражения (8) по X приводит к оптимальному значению коэффициента

(отклонения) априорной догадки от истинного значения ВБР. Минимум СКО главной части удовлетворяет соотношению

Как показывают выражения (9) и (10), оптимальное значение Х0 изменятся в пределах 0 < Х0 < 1, а выигрыш в точности оценивания комбинированной оценки по сравнению с непараметрической оценкой характеризуется отношением

Формула (11) показывает, что чем V ближе к нулю, тем сильнее влияние априорной догадки на точность оценивания ВБР, и чем ближе V к единице, тем слабее это влияние. При ДЕ = 0 имеем Х0 = 1, V = 0, и в качестве оценки ВБР следует взять априорную догадку ¥(х;,,0). При ДЕ Ф 0, что обычно и бывает на практике, Х0 < 1 и с ростом объема наблюдений (п^-да) Х0^0, влияние априорной догадки уменьшается, выигрыш в точности оценивания убывает, V-^•1.

Оптимальное значение Х0 зависит от функции распределения Е случайной наработки и, как правило, неизвестно. Это обстоятельство затрудняет применение комбинированной оценки (7) на практике и приводит к поиску тех или иных оценок Х0 для Х0, при которых выигрыш в точности еще сохраняется. Комбинированные оценки (7) с Х0 назовем адаптивными. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из возможных оценок для Х0 и приведем свойства получающихся при этом адаптивных оценок

1. Первая оценка Х0. Подставим в формулу (9) вместо неизвестной Е эмпирическую функцию распределения Еп (или вместо неизвестных вероятностей Р - их эмпирические оценки Р ). Получим оценку

БЕ (х; t, X) = МЕ [(х; t) - Х((х; t) - Т(х; ^ 9)]2.

(8)

где с2е определяется формулой (6), а ДЕ = ,(х;,,Е) - ¥(х;,,0) - величина смещения

(9)

(10)

БЕ( х; t, Х0)

V = Е\’ ’ = (1 -Хп)

^ (х; t)

(П)

3. Адаптивные оценки

./(х; t, Х0) = ./(х; t) - Х0 (./(х; t) - Т(х, t, 9)).

(12)

где

Д = Д(х;t) = х;t) - Т(х;t, 9) = - Т(х;t,9),

Р( Л)

ст2 = Р( В)( Р(Л) - Р( В))/Р3 (Л).

д2 = (Р( В) -ТР( Л))2 Р( Л) (14)

ст2 Р(в)(Р(Л) - Р(В)) .

Пусть ДЕ Ф 0. Рассмотрим разность

у/п (,(х; t, Х01) - ,(х; t)) — 4п (,(х; t) - ,(х; ^) —ч/п"Х01;Д . (15)

Поскольку (13) и отношение (14) являются непрерывными функциями от Р(Л), Р(В), то в силу состоятельности эмпирических вероятностей, по теореме

непрерывности (см. [2], глава 6) следует, что для каждых фиксированных х, t при

п—ж

д2 р д7 р 1—" " р —2———2~, Х01 — 0, •\/пХ^01'Д — 0.

СТ СТе

Отсюда из (15) вытекает, что при ДЕ Ф 0 асимптотические распределения адаптивной оценки Д(х;,, Х01) и непараметрической Д(х;,) одинаковы и совпадают, как установлено выше, с нормальным законом МР,с2е).

Пусть ДЕ = 0. Тогда при п—ж в силу центральной предельной теоремы и теоремы непрерывности ([2], глава 6) случайная последовательность цп = л/иД/СТ стремится по распределению к стандартной нормальной случайной величине пеМР,1), а оценка Х01 сходится по распределению к случайной величине 1/(1+п2). Отсюда следует, что закон распределения случайной последовательности

л/л (,(х; t, Х01) - ,(х; t)) л/п (,(х; t) - , (х; 0) Х0^ л/пД

сходится к распределению случайной величины

I — П-----= “^“7,П е N(0,1),

1 + п2 1 + п2

с математическим ожиданием М^ = 0 и дисперсией Б = с2^ .

2. Вторая оценка Х0. Желание обеспечить сходимость оценки коэффициента Х0 к единице при ДЕ = 0 приводит ко второй оценке

Х 1 1 7

Х02 — — , а > 2.

1 + п |Д/СТГ 1 + п^^Д/а!

Если Де ф 0, то при п—ж

|Л 1а Р I / |а Р Г”л Л Р

Д/СТ —— Де/сте , Х02 ——0, ■^п/^02Д ——0.

Отсюда следует, что асимптотические распределения оценок Д(х;,, Х0г) и Д(х;,) одинаковы и совпадают с нормальным законом М^0,с2е).

Если ДЕ = 0, то при п——ж имеют место следующие сходимости по распределению

случайных последовательностей: ^/пД/ст| сходится к случайной величине |п|а, оценка Х02 - к единице, а у/п (,(х; t, Х02) - ,(х; t))/СТ = 4пД{1 - СТ - к нулю.

Возможны и другие виды Х0 в адаптивных оценках (12), приводящих к новым свойствам.

4. Имитационное моделирование

С целью выяснения качества предложенных в работе адаптивных оценок ВБР при конечных объемах выборок было проведено имитационное компьютерное моделирование при следующих условиях:

1. Выборки генерировались из экспоненциального закона распределения Е(х) = 1 - ехр(-0х) с параметром 0 = 1,0. Объемы п выборок изменялись в диапазоне от 5 до 125 с интервалом (шагом) равным 5.

2. Генерирование событий Л( и Л,+х проводилось при t = 0,10536, х = 0,5. При этом для каждой сформированной выборки соблюдалось условие: имеется хотя бы одно наблюдение с событием Лг , иначе выборка исключается из рассмотрения.

3. Сравнение СКО оценок с разной величиной смещения Д проводилось при изменении значений параметра 0 в диапазоне от 0,4 до 1,8 с интервалом (шагом), равным 0,2 и фиксированным объёмом выборки п = 15;

4. Для каждого значения п из заданного диапазона числовые результаты эксперимента рассчитывались по серии выборок объема К = 1000000 (с одинаковым объемом наблюдений п в каждой выборке);

5. Квадрат отклонения (ошибки) оценок от истинного значения

Б,2 — (/п] - /)2, , — 13,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где - параметрическая оценка ¥(х;,,0), /п2 - непараметрическая оценка .(х;,), ./„з - комбинированная оценка .(х;,, Х 01), / - истинное значение /(х,,,Е).

6. Критерии оценки СКО, вычисленные по серии К выборок,

е,—Кг £ 1 ,—13,

где 0 - оценка СКО для ¥(х;,,0), 02 - оценка СКО для .(х;,), 03 - оценка СКО для .(х;,, Х 01).

5. Результаты моделирования

Результаты моделирования экспериментов представлены на рис. 1 и 2. Дадим краткий комментарий результатов.

Эксперимент 1. Цель эксперимента - оценка и анализ изменения СКО комбинированной оценки .(х;,, Хм) по сравнению с непараметрической в условиях конечных объёмов выборки п. Параметрической оценкой была взята величина ¥(х;,,0) с СКО равной нулю. Выигрыш СКО определялся только свойствами комбинированной оценки.

На рис. 1 по горизонтальной оси указан объём выборок п, а по вертикальной оси - величина 0 оценок СКО непараметрической и комбинированной оценок. Из рисунка виден почти двукратный выигрыш СКО комбинированной оценки по сравнению с непараметрической уже при п > 5. Этот выигрыш сохраняется и при увеличении объёмов выборок за пределы диапазона условий моделирования, что подтверждает теоретические результаты.

Эксперимент 2. Цель эксперимента - оценить изменение выигрыша СКО комбинированной оценки .(х;,, Х01) по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки при изменении величины 9 . Эксперимент проведён при фиксированном объёме выборок п = 15.

Q

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0

Рис. 1. Зависимости оценок СКО непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих-пунктирная линия) оценок от объёма выборок n

Q

0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01

0,005 0

Рис. 2. Зависимости оценок СКО параметрической (сплошная линия), комбинированной (штрих-пунктирная линия) и непараметрической (пунктирная линия) оценок от смещения параметра 0 (истинное значение 0 = 1) при объёме выборки n = 15

На рис. 2 по горизонтальной оси указана величина параметра 0. По вертикальной оси указана величина Q оценок СКО параметрической (сплошная линия), непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих - пунктирная линия) оценок. Все кривые статистически значимо различаются на уровне значимости < 0,05, за исключением областей пересечения кривых. Рисунок демонстрирует, что при 0 = 1 СКО параметрической оценки равно нулю, а оценки СКО непараметрической и комбинированной оценок соответствуют величинам, представленным на рис. 1 при n = 15. При смещении параметра 0 в меньшую или большую сторону от 0 = 1 выигрыш СКО комбинированной оценки плавно

\

1

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 n

уменьшается по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки. При значениях 0 < 0,5 и 0 > 1,7 выигрыш отсутствует. Однако уменьшение оценки СКО и выигрыша происходит значительно медленнее, чем у параметрической. Поэтому при значениях 0,5 < 0 < 0,7 и 1,4 < 0 < 1,7 выигрыш СКО комбинированной оценки имеет место и по сравнению с оценкой СКО параметрической оценки, что подтверждает преимущества комбинированных оценок. Преимущества комбинированных оценок подтверждаются и для J(x;t, Х02) и в других экспериментах, не представленных в данном пункте.

Заключение

В работе предложены статистические комбинированные оценки для ВБР объекта, в которых используется знание исследователя о возможных параметрических моделях функций распределения наработки до отказа или самой ВБР. Оценки являются взвешенными суммами непараметрических и параметрических оценок ВБР. Найден оптимальный коэффициент взвешивания и показано, что при любом конечном объеме выборки комбинированные оценки являются более точными по критерию СКО главных частей оценок. Однако применение таких оценок на практике затруднено незнанием оптимального коэффициента взвешивания. В работе приведены две оценки таких коэффициентов и построены адаптивные комбинированные оценки ВБР. Результаты имитационного моделирования показали, что при конечных объемах выборок адаптивные оценки имеют меньшее СКО по сравнению с непараметрической оценкой.

Результаты моделирования, представленные на рисунках, получены с помощью кластера Межрегионального вычислительного центра ТГУ СКИФ Cyberia (skif.tsu.ru). Авторы выражают благодарность сотрудникам Центра за оказанную помощь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

2. БоровковA.A. Математическая статистика. М.: Наука, 2007. 704 с.

Дмитриев Юрий Глебович

Скрипин Сергей Викторович

Томский государственный университет

E-mail: dmit@mail.tsu.ru, skripinsv@mail.ru Поступила в редакцию 2 августа 2012 г.

Dmitriev Yury G., Skripin Sergey V. (Tomsk State University). On a combined estimating of the probability of failure-free operation for the full sample.

Keywords: the probability of failure-free operation, nonparametric estimation, the combined estimate of the probability, the asymptotic distribution.

There is constructed statistical estimates for the probability of failure-free operation of the system as a weighted sum of nonparametric and parametric estimates of the probability. Asymptotic distributions of combined estimates are found. The accuracy of estimates with finite volume of observations is studied by simulation.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.