CC BY
15
ИЗВѢСТІЯ
Томснаго Технологическаго Института
Императора Николая II. т. 8. 1907. N9 5.
А. М. Крыловъ,
О КОЭФФИЦІЕНТѢ КРѢПОСТИ ДЕРЕВА ПРИ СЖАТІИ И ИЗГИБѢ.
1—35.
О коэффиціентѣ крѣпости дерева при сжатіи и
изгибѣ.
Къ концу моей заграничной командировки (зимній и часть лѣтняго семестра 1903 г.) я пріѣхалъ въ Штуттгартъ. Продолжая здѣсь, на расположенныхъ пъ окреетностяхгь города заводахъ, практическое ознакомленіе съ машиностроеніемъ вообще и паровыхъ котловъ въ частности, я, благодаря любезному содѣйствію проф. Баха, имѣлъ возможность часть времени посвятить чисто лабораторнымъ работамъ. Матеріаломъ для нихъ было избрано дерево, цѣлью же было изслѣдованіе вліянія высоты образца на крѣпость сжатія и, если будетъ возможно, теоретически обоснованное объясненіе наблюдаемаго при атомъ скалыванія или сдвига волоконъ матеріала почти всегда подъ однимъ и тѣмъ же угломъ въ 45°. Съ этой цѣлью мною было произведено около 280 испытаніи образцовъ дуба, бука, ели, пихты и сосны, имѣвшихъ въ основаніи квадратъ со стороною въ 7 cm. и различную высоту отъ 7 cm. до 35 cm. Знакомясь съ литературой вопроса, я невольно натолкнулся на два новыхъ, которые могли послужить темою для ряда самостоятельныхъ изслѣдованій. По одному изъ нихъ былъ мною собранъ небольшой матеріалъ, который нуждался въ дальнѣйшей обработкѣ и, главное, опытной провѣркѣ,—это вопросъ о соотношеніи крѣпости сжатія и изгиба. По другому вопросу я имѣлъ возможность тамъ же произвести отдѣльно небольшую серію опытовъ, которые дали вполнѣ удовлетворительный результатъ. Ого вопросъ о полной характеристикѣ физическихъ и механическихъ свойствъ дерева его удѣльнымъ вѣсомъ въ абсолютно сухомъ состояніи. Ближайшимъ поводомъ для мысли объ этомъ послужило знакомство съ небольшой брошюркой нроф. R. Hurtig’а „Holzunfcersuclmngen, Albes üud Neues“, въ которой собраны его наблюденія о вліяніи различныхъ факторовъ на ростъ и приростъ деревьевъ различныхъ породъ. Разсматривая дерево какъ живой организмъ, я пришелъ къ выводу, что въ удѣльномъ вѣсѣ его въ абсолютно-сухомъ состояніи, какъ въ зеркалѣ должны отразиться всѣ тѣ многообразныя условія, въ какихъ ему приходится расти. Въ этомъ случаѣ на свойствахъ дерева должно отразиться относительное тхоложѳ-
ніе его къ солнцу. Мною били заказаны образцы, вырѣзанные изъ одной и той же шайбы ствола, ели, пихты и сосны крестообразно, какъ указано на фиг. 1. При испытаніи ихъ получились результаты, указанные въ таб. I.
Таблица .
Положеніе образца въ сѣченіи. 1 -я серія. 2-я серія. 1 5? ’о, Ф О W * 4-я серія. б-я серія, j Среднія -данныя ; серій 3, 4 и 5. і
і I , 1 ' 1 Удѣльн. вѣсъ 0.58 0,50 0,53 0,54 0,53 0,53 І
Крѣпость сжатія 250 203 287 294 302 0,294 !
О Уд. вѣсь 0,72 0,07 0.51 0,53 0,54 0,51 '
Кр. сжатія 1 332 421 302 350 308 300
Уд. вѣсъ ' ОДП 0,50 0,40 0,45 0,40 0,46
• Кр. сжатія 876 837 314 297 308 1 306
•і 1 Уд. вѣсъ 0,05 0,04 0,46 0,40 0,40 0,46 і
1 Кр. сжатія 385 389 308 311 305 308
о. 1 j Уд. вѣсъ 0,65 0,64 0,52 0.50 0,52 0,51
Кр. сжатія Іі 300 374 352 1 339 і 355 348
Эти данныя относятся къ образцамъ ели, которые дали наиболѣе наглядное подтвержденіе указанной зависимости. Разность между наибольшимъ ѵд. вѣсомъ (0,5-4 для образца съ отмѣткой 2) и наименьшимъ (0,-46 съ отм. 3) составляетъ 15%; разность коафф. крѣпости тѣхъ же образцовъ также даетъ 15%. Что касается образцовъ изъ сосны и пихты, то они также указали различные удѣльные вѣса и коафф. крѣпости (у сосны 9, 25%, у пихты около 9%) въ зависимости отъ положенія въ стволѣ дерева, но такой правильности въ распредѣленіи ихъ по сѣченію, какъ у ели, мною замѣчено не было. Предполагая но пріѣздѣ въ Томскъ посвятить изслѣдованію отмѣченныхъ двухъ вопросовъ часть времени, я прекратилъ дальнѣйшіе опыты въ отомъ
••направленіи *). Къ сожалѣнію, при отвѣтственной работѣ въ совершенно другой отрасли прикладныхъ наукъ, я не могъ пока привести своего намѣренія въ исполненіе, и въ настоящей статьѣ рѣшаюсь дать • систематически изложеніе того, что было мною приготовлено еще въ 1903 г. съ самымъ небольшимъ дополненіемъ матеріала данными новыхъ изслѣдованій Gr. Janka.
При изученіи механическихъ свойствъ дерева и опредѣленіи крѣпо-пости его при дѣйствіи той или иной нагрузки, главное вниманіе должно быть обращено на опредѣленіе крѣпости его при сжатіи, изгибѣ п скалываніи; именно эти три вида нагрузки чаще всего встрѣчаются въ строительной практикѣ для деревянныхъ частей сооруженій. Сравнительно рѣже встрѣчается нагрузка на крученіе (у валовъ большихъ водяныхъ колесъ) и еще рѣже на растяженіе. Но помимо этихъ, практикой указываемыхъ соображеній, отъ испытанія дерева на растяженіе приходится отказаться еще по слѣдующимъ причинамъ. Такъ какъ крѣпость дерева на растяженіе очень велика, срѣзыванію же оно сопротивляется весьма слабо, то веденіе такого опыта сопряжено съ значительными затрудненіями. Образецъ, въ предупрежденіе преждевременнаго скалыванія матеріала въ головкѣ для зажима, долженъ имѣть значптельные’размѣры, а это затрудняетъ правильную установку его на машинѣ; иногда, для увеличенія силою тренія волоконъ другъ о друга сопротивленія скалыванію, примѣняютъ особыя нажимныя головки, но этимъ дѣло упрощается мало. Самый образецъ д. б. особенно тщательно выбранъ изъ ствола или отруба л также хорошо обработанъ; направленіе волоконъ д. б. точно параллельно линіи дѣйствія силъ; на длинѣ образца, на которой должны производиться наблюденія деформацій, не должно быть перерѣзанныхъ волоконъ, иначе будетъ имѣть мѣсто не чистое напряженіе растяженія, а въ соединеніи со скалывающими силами. Единственно чѣмъ интересны и важны опыты на растяженіе—это опредѣленіе модуля упругости и предѣла упругости матеріала, но къ сожалѣнію, доведеніе такого опыта и измѣреній до конца съ надежными результатами почти невозможно. Еіце Chevau-(Ііег и Wertheim **) замѣтили, что въ хорошо высушенномъ деревѣ предѣлъ упругости очень близокъ пли почти совпадаетъ съ разрушающимъ напряженіемъ; то же самое въ большинствѣ случаевъ наблюдалъ позже и BauscJlinger, особенно при испытаніи хвойныхъ породъ.
*) Я не прмножу здѣсь данныхъ, относящихся тсъ вопросу о вліяніи высоты образца на крѣпость сжатія, не считая ихъ достаточными для рѣшенія этого вопроса. Укажу лишь, что только дубъ далъ довольно равномѣрное уменьшеніе крѣпости въ среднемъ на 11% при увеличеніи высоты образца каждый разъ на 7 сш.
**) По крѣпости, если брать ее относительно уд. вѣса, дерево ничѣмъ не уступаетъ желѣзу; наир., для сосны при степени надежности 10, безопасное напряже-
ніе на разрывъ дается 1,2 %'тпб; т. к. уд. вѣсъ ея около 0,G, то ^ = 2; у желѣза такое отношеніе нрн гораздо меньшей степени надежности равно или нѣсколько болѣе 1.
Въ виду этого произвести надежныя наблюденія до предѣла упругости' невозможно; къ тому же незадолго до разрыва, который у дерева не сопровождается характернымъ для желѣза періодомъ „теченія“ матеріала, а появляется внезапно, когда нагрузка достигнетъ возможной наибольшей величины, начинается расщепленіе, образца; разрывающіяся волокна нарушаютъ правильность положенія измѣрительныхъ приборовъ и производимый при такихъ условіяхъ отчетъ показаній ихъ приводитъ кт> неточнымъ выводамъ. Общій характеръ описанныхъ явленій былъ таковъ же и при испытаніяхъ Nördlinger’a, Tet-mayer’a и другихъ; въ виду этого, предѣломъ упругости при растяженіи у дерева вполнѣ допустимо будетъ принять напряженіе его при разрывѣ. Въ силу указаннаго, также неточны и опредѣленія модуля упругости, который, согласно практики Bau.schinger’a, принято поэтому опредѣлять наблюденіемъ деформацій до нѣкотораго произвольно выбраннаго предѣла (б. ч. до нагрузки=73 разрушающей). Собравшаяся въ 1884 г. въ Мюнхенѣ международная комиссія для выработки единообразныхъ методовъ испытанія матеріаловъ пришла къ заключенію, что для характеристики механическихъ свойства, дерева вполнѣ достаточно испытанія его на сжатіе и изгибъ.
Помимо указанныхъ выше причин'ь, основаніемъ для такого рѣшенія нужно также считать и то обстоятельство, что проба на разрывъ можетъ быть произведена съ образцомъ небольшого поперечнаго сѣченія, а такъ какъ качества дерева значительно измѣняются въ зависимости отъ положенія образца въ стволѣ, крѣпость растяженія подвержена значительно большимъ колебаніямъ, чѣмъ крѣпость его сжатію или изгибу. Мѣриломъ работоспособности дерева, его механическихъ свойствъ, коммнесія признала работу изгиба бруса, вычисляемую па діаграммѣ изгиба вплоть до излома образца. При дальнѣйшихъ своихъ изслѣдованіяхъ объ упругости и крѣпости пихты и сосны Bauscliiuger пришелъ къ выводу, что эта работа, принятая за мѣру механическихъ качествъ дерева, менѣе характеризуетъ ихъ, чѣмъ самая крѣпость изгиба; наконецъ, еще позже, тотъ же изслѣдователь пришелъ къ заключенію, что только крѣпость сжатія является дѣйствительнымъ и вѣрнымъ признакомъ при сужденіи о прочности дерева, какъ строительнаго матеріала. Въ противоположность сказанному относительно испытанія на разрывъ, проба на сжатіе параллельно волокнамъ является болѣе простой, надежной и легче выполнимой. Какъ обнаружено параллельными опытами сгь образцами различной обработки, неточность обработки зажимаемыхъ поверхностей оказываетъ на конечный результатъ опытовъ весьма незначительное вліяніе; изъ данныхъ опытовъ Jolinson’a .можно заключить, что для конечнаго результата остается безразличнымъ, строганы ли эти поверхности или оставлены въ томъ видѣ, въ какомъ онѣ получаются при хорошемъ разрѣзѣ пилой. Опыты Wijkander’a показали, что, пока высота образца не превосходитъ 3Д стороны основанія,.
•остаются безъ вліянія и имѣющіеся въ образцѣ сучки; послѣдніе, одна-ко, не должны быть очень большими, должны быть хорошо связаны съ •облегающими ихъ волокнами іг распредѣлены болѣе или менѣе равномѣрно на образцѣ. Какъ въ первомъ случаѣ, здѣсь также важно вести измѣреніе деформаціи образца; образцы, предназначаемые для наблюденія деформаціи, въ противоположность сказанному, должны быть тщатоль-* но обработаны, а особенно на поверхностяхъ зажима. Но и въ этомъ случаѣ опредѣленіе модуля упругости и предѣла ея затруднительно, такъ какъ высота образца не можетъ быть велика, пначе она обусловить иной коэффшціентъ крѣпости, чѣмъ онъ получается на общепринятомъ образцѣ кубической формы или призмы съ высотой 1 Ѵ2—2 стороны -основанія. Испытываемый на сжатіе образецъ дерева не даетъ такой рѣзкой картины разрушенія матеріала, какъ при разрывѣ или изгибѣ. Когда нагрузка достигнетъ наибольшей величины, образецъ, такъ сказать, „сдаетъ“; при испытаніи на прессѣ Амслеръ-Лаффюна, у котораго величина. нагрузки дается ртутнымъ столбомъ, тотъ моментъ, когда сопротивленіе образца достигло maximum’a, отмѣчается небольшимъ замедленіемъ въ подъемѣ столба ртути, кратковременной остановкой ея на одномъ уровнѣ и начинающимся затѣмъ паденіемъ его. Образецъ въ этотъ моментъ не имѣетъ еще никакихъ слѣдовъ разрушенія на поверхностяхъ; если прекратить опытъ вч> этотъ моментъ и повторить его вновь, то ртутный манометра-, опять покажетъ почти ту же нагрузку у предѣла разрушающаго напряженія; продолжая сжатіе далѣе, на сторонах'ь образца замѣтимъ появленіе линій излома, которыя образуются волокнами, .надвинутыми друга, на друга. Манометръ при этомъ показываетъ меньшую нагрузку; опустившись до нѣкоторой высоты, ртутный столбъ остается затѣма, почти на одномъ уровнѣ; это указываетъ на то, что уже сильно деформированный образецъ съ разрушенными уже частью .волокнами, можетъ выдерживать достаточно еще большую нагрузку, примѣрно процентовъ на 18- 22 меньшую, чѣмъ крѣпость сжатія. Продолжая опыта,, замѣчаема,, что послѣ довольно продолжительнаго (времени стоянія уровня ртутнаго столба на неизмѣнной высотѣ, онъ -снова начинаетъ подниматься, т. е. сопротивленіе образца возрастаетъ. Уд. вѣса, дерева при отома, увеличивается. Наблюденія надъ деформаціями даютъ такой результатъ: пропорціональность между напряже-
ніями и укороченіями образца сохраняется примѣрно до 50% нагрузки, отвѣчающей крѣпости матеріала; остающіяся послѣ большихъ нагрузокъ деформаціи весьма малы по сравненію съ упругими исчезающими; предѣлъ же послѣднихъ нужно считать очень близкимъ или совпадающими, съкоэффиціентомъ крѣпости матеріала. Это будетъ соотвѣтствовать сказанному выше относительно явленій, какъ они наблюдаются при сжатіи, а именно, по достиженіи наибольшей высоты, уровень ртутнаго -столба сначала въ теченіе короткаго момента п< дннмается весьма медленно и затѣмъ удерживается нѣкоторое время на постоянной высотѣ; въ этотъ .моментъ деформаціи бруска увеличиваются значительно быстрѣе наиря-
женій, пред. упругости превзойденъ; періодъ же незначительнаго подъема столба долженъ соотвѣтствовать тому состоянію напряженія, когда деформаціи, оставаясь еще упругими въ значительной мѣрѣ, все же идутъ на убыль по сравненію съ сильно увеличивающимися остающимися измѣненіями высоты бруска. Къ сожалѣнію, какъ при растяженіи, здѣсь также точное и вѣрное опредѣленіе предѣла упругости и модуля ея сопряжено съ большими затрудненіями. Данныя опытовъ Bauschinger’a и Tetmayer’a даютъ основаніе полагать, что модуль упругости имѣетъ одну и ту же величину какъ при растяженіи, такъ н при сжатіи; если это не будетъ справедливо для всѣхъ породъ, то, по крайней мѣрѣ, для наиболѣе употребительныхъ такое предположеніе будетъ очень близко къ дѣйствительности *).
Выше было уже указано, что послѣ цѣлаго ряда изслѣдованій по вопросу о сопротивленіи дерева дѣйствующимъ на него усиліямъ, Bauschingor пришелъ къ выводу, что лучшимъ и очень вѣрнымъ признакомъ качествъ его можетъ служить крѣпость дерева сжатію. Это отпасти понятно; у всѣхъ породъ крѣпость дерева на растяженіе превосходитъ таковую же при сжатіи круглымъ числомъ въ 2 раза: крѣпость дерева при изгибѣ также для всѣхъ породъ больше крѣпости сжатія, примѣрно раза въ 11,2. Очевидно, что для одной и той же породы въ одинаковыхъ условіяхъ испытаніи качества матеріала должны быть лучше у той партіи лѣса, у которой крѣпость сжатія больше. Крѣпость сжатія, растяженія и изгиба находятся какъ будто бы въ какой то зависимости одна отъ другой**). Это указываютъ н приводимыя въ тб. II цифровыя величины коэфиціентовъ крѣпости для различныхъ породъ.
Таблица II.
1 Породы дерева. Крѣпость при сжатіи у волокнамъ. Крѣпость при изгибѣ (три рода брусьевъ).
Сосна. 1 (Föhre) . 1 24(jfcf?/4V [ 4094W
Пихта. (Rothtanue) 276 „ 435 „
Ель. і (Weisstanne) 283 „ 439 „
I Лиственница. (Lärche) 321 543 „
Дубъ. ГЕісІіе) 343 „ 601 „ ;
Бука». (Buche) 820 „ 669 „
*) Для цѣлей настоящей статьи это важнаго значенія не имѣетъ; вмѣсто предположеннаго далѣе распредѣленія напряженій въ сѣченіи изогнутаго бруса, пришлось бы считать его слѣдующимъ закону Е=аош? рекомендуемому Бахомъ для матеріаловъ съ различными модулями упругости.
**) Въ 1860 г. Nördlinger указывалъ, что крѣпость растяженія и изгиба находятся въ закономѣрной зависимости; съ увеличеніемъ первой, увеличивается и вторая. Ниже мы увидимъ, что крѣпость растяженія играетъ рѣшающую роль при опредѣ леніи крѣпости изгиба. Но т. к. всѣ испытанія дерева ведутся съ восьмидесятыхъ годовъ главнымъ образомъ для опредѣленія крѣпости сжатія, то мы и будемъ разсматривать вопроса» о соотношеніи между нею именно и крѣпостью изгиба.
Тб. II содержитъ среднія величины крѣпости сжатія и изгиба, какъ онѣ были получены ТеЬтауег’омъ при изслѣдованіи механическихъ свойствъ строительнаго лѣса Швейцаріи. Располагая поводы въ порядкѣ увеличенія крѣпости сжатію, мы видимъ, что въ томъ же 'порядкѣ идутъ онѣ и относительно крѣпости изгиба. Мы видимь, что отклоненіе имѣется только для бука, который ггрн меньшей крѣпости сжатія, чѣмъ у дуба, даетъ большую крѣпость изгиба; но при послѣднемъ крѣпость растяженію играетъ почти всецѣло рѣшающую роль; а тогда нѣтъ въ этомъ случаѣ исключенія, т. к. крѣпость растяженія бука значительно выше таковой для дуба (1340 %/ега2 противъ 9(>*4 %/сш2) Но данныя Тетмайора не составляютъ исключенія; въ то. Ill ^ь томъ же
Таблица III.
Породы дерева. Крѣпость I сжатія || волокнамъ. | Крѣпость при изгибѣ.
Пихта (Fichte) 369%, cm2 I 004%/с»,2
Ольха (Еі'іе) 378 „ 843 „
Сосна (Kiefer) 414 „ GG4 “ 1
Дѵбт» (Eiche) 419 „ 751 „ •
Ясень (Esche) ““ 428 „ 753 „
; Вязь (U lino) 4Ш „ 314 (?) !
Береза (Birke) 431 „ 702 „
Грабь ('Hainbuche) 457 „ ОС ОС СЛ
Кр. букъ (Kothbuche) 482 „ 929 „
Таблица IV.
J Мѣсто происхожденія. Крѣпость сжатія. Крѣпость изгиба. 1
Nordtirol 304%/«n2 573%/«»’ ,
оЗ Wienerwald 342 „ 550 „
X НН Erzgebierge 313 п 512 „ j
Südtirol 277 „ 470 „ (
порядкѣ дани среднія значенія, полученныя при испытанія шведскихъ строительныхъ породъ (AVijkander), а В'ь тб. IV—такія же данныя для пихты различныхъ мѣстностей Австріи (Gr. Janka)*). Единственное исключеніе въ ]>яду В'ь тб. III составляетъ вязъ (Ulme). Наконецъ, въ тб. Л* даны козфф. крѣпости сжатія и изгиба по опытамъ Johnson’а.
Таблица V.
! Крѣпость дерева ежа-
і Порода дерева. Крѣпость при изгибѣ.
тію (I волокнамъ.
1 Wliite pine (pimis strobus) •3811 U д- 48(50 _ѢУ!1ТЪ. □ д.
1 Short—leaf pine (pin. echinata) i 4280 „ (57(50 „
i 1 Long—leaf pine (pin. palustris) 4(572 „ 7590 „
Относительно послѣднихъ замѣтимъ, что влажность образцовъ колебалась в'ь значительныхъ предѣлахъ; напр., у White Pine оп» 87,2*/о до 10,2%, и не смотря на это сохранилась ясно та же зависимость. Влажность дерева, какъ извѣстно, является однимъ изъ факторовч», наиболѣе сильно вліяющимъ на крѣпость его. Съ уменьшеніемъ ея крѣпость дерева сжатію возрастаетъ; одной изъ реальныхъ причинъ этого должно быть хороіпо извѣстное свойство дерева разбухать и усыхать. Образецъ испытываемый сь большимъ процентнымъ еодержаніем'ь влаги, долженч» выдерживать въ сущности ту же нагрузку, что и вч> случаѣ меньшей степени влажности; но такъ какъ всѣ размѣры его при этомъ увеличены, то относя ее къ этой измѣненной площади, мы и получаемъ меньшую крѣпость.
Таблица VI.
Влажность въ %• Крѣпость сжатія || волокнамъ. Крѣпость при изгибѣ. ;
27 267 kg;em* 308
16 291 „ 400 „
12.5 362 „ 437 „
10 360 „ 455 „ і
*)„г1ѣмъ большую крѣпость сжатія давалъ стволъ, тѣмъ больше била и крѣпость его при изгибѣ, хотя отношеніе между коэффиціентами ихъ и не постоянно“.
JІо мѣрѣ увеличенія крѣпости сжатія съ уменьшеніемъ влажности его, увеличивается и крѣпость изгиба; въ то. VI показаны результаты опытовъ Bansohiuger'a съ сосной. Но зависимость между кр [-.постями сжатіи и изгиба можетъ быть иллюстрирована не только цифровымъ матеріаломъ таблицъ ихъ коэффиціентовъ крѣпости, но почти полнымъ совпаденіемъ модулей упругости при томъ и другомъ способѣ нагруженія. На фпг. 2 нанесены линіи, показывающія измѣненіи модуля упругости при сжатіи и изгибѣ для отдѣльныхъ стволовъ, испытанныхъ (:5. Janka. Цифры горизонтальнаго ряда даютъ номера стволовъ, а на вертикаляхъ отложены соотвѣтствующіе имъ модули. Мы видимъ, что обѣ линіи на большей части длины ндутд. параллельно одна другой; если вспомнимъ, что модуль упругости при изгибѣ всегда получается нѣсколько меньшимъ, то близость одной линіи къ другой пли совпаденіе ихъ будутъ очень вѣроятными.
Все вышесказанное приводитъ невольно къ заключенію, что между крѣпостью сжатія и изгиба есть какая то зависимость. Понятно, что если бы удалось болѣе или менѣе прослѣдить и выяснить ее, задача испытанія механическихъ свойствъ дерева значительно бы упростилась; вмѣстѣ съ тѣмъ, это дало бы возможность практику руководиться при своихъ расчетахъ болѣе достовѣрнымп и надежными данными, чѣлгь теперь, т. к. самое испытаніе партіи поставляемаго лѣса значительно удешевилось бы и безъ сомнѣніи окупилось тѣмъ технически-окоиомочнымъ расчетомъ, который занялъ бы мѣсто широко практикуемыхъ теперь эмпирическихъ данныхъ.
Обращаясь теперь къ разсмотрѣнію явленій при изгибѣ и выясненію указанной зависимости, слѣдуете указать, что въ данномъ случаѣ имѣемъ дѣло съ аналогичнымъ явленіемъ, наблюдаемымъ у чугуна. Крѣпость послѣдняго при изгибѣ превосходитъ таковую же при растяженіи до 2 разъ; это противорѣчіе даннымъ теоріи изгиба, какъ извѣстно, послужило поводомъ къ постановкѣ ряда интересныхъ опытовъ Баха относительно выясненія зависимости первой крѣпости отъ второй. Но между этими двумя матеріалами есть существенное различіе; въ то время какъ у чугуна модуль упругости есть величина перемѣнная, измѣняющаяся въ зависимости отъ напряженій, которыя вызваны у тѣхъ пли другихъ Подоконъ, и отличная при напряженіяхъ растяженія и сжатія, у дерева разность ихъ настолько мала, что модуль Е можно считать совершенно одинаковымъ для обоихъ видовъ нагрузки; кромѣ того, у чугуна нѣтъ предѣла пропорціональности между напряженіями и деформаціями, у дерева же онъ ясно выраженъ и простирается до очень большихъ нагрузокъ. Въ то время кикъ у чугуна указанная зависимость между растяженіемъ и изгибомъ можетъ быть вполнѣ удовлетворительно объяснена установленіемъ закона Е=аат=- -, для дерева является возможнымъ объяснить ее, пользуясь лишь закономъ Hooke о пропорціональности деформацій напряженіямъ.
Теорія изгиба даетъ формулы на основаніи разсмотрѣнія деформацій и напряженій въ балкѣ, опирающейся двумя концами и нагруженной но срединѣ длины вертикально направленной силой, при чемъ напряженія волоконъ предполагаются въ предѣлахъ упругости матеріала. ІІри этомъ дѣлаются слѣдующія четыре предположенія: 1) система внѣшнихъ силъ дѣйствуетъ въ одной плоскости, проходящей черезъ одну изъ главныхъ осей бруска, и даетъ для каждаго сѣченія только одну пару силъ; 2) плоскія и перпендикулярныя къ оси бруска сѣченія остаются таковыми же и послѣ изгиба; 3) модуль упругости для всѣхъ волоконъ, независимо отъ напряженія вь нихъ, одинаковъ и равновеликъ какъ при сжатіи, такъ и при растяженіи: -і) волокна не оказываютъ другъ на друга вліянія н какъ бы независимы одно отъ другого.
Опытъ указываетъ, что подъ вліяніемъ силъ брусъ прогибается, одна сторона его дѣлается: выпуклой, другая вогнутой; крайнія волокна первой оказываются наиболѣе длинными, и такія же второй наиболѣе короткими
Первыя удлиняются и поэтому нхъ нужно считать напряженными отъ растягивающихъ силъ; вторыя находятся йодъ дѣйствіемъ силъ сжимающихъ; такъ какъ мы имѣемъ дѣло съ цѣлымъ брусомъ, то необходимо вытекаетъ, какъ слѣдствіе екзаннаго, что есть волокна, напряженіе въ которыхъ нуль и длина которыхъ не измѣняется. Ось бруса, совпадающая съ такими волокнами, носить названіе нейтральной оси. Теорія изгиба, на основаніи сдѣланныхъ предположеній, изъ чисто геометрическихъ соотношеній указываетъ намъ, что напряженіе волоконъ пропорціонально разстоянію ихъ отъ нейтральной оси и что послѣдняя проходитъ черезъ центръ тяжести сѣченія. До тѣхъ поръ, пока напряженія остаются въ предѣлахъ упругости, выводы математическіе довольно хорошо согласуются с'ь явленіями дѣйствительности; но лишь только послѣдній будетъ перейденъ, получается не соотвѣтствіе однихъ другимъ. Больше всего противорѣчія находимъ у тѣхъ матеріаловъ, у которыхъ или совсѣмъ нѣть предѣла пропорціональности. или не равны между собою модули упругости при сжатіи и растяженіи. Такой результатъ есть слѣдствіе указанныхъ выше предположеній; вгь дѣйствительности, помимо момента пары сидъ, всегда на лицо срѣзающая сила и обусловленныя ею напряженія скалыванія; всегда есть взаимное вліяніе волоконъ другъ на друга, увеливатощее крѣпость нхъ и силою тренія и сцѣпленія между собою, и тѣмъ препятствіемъ къ свободнымъ деформаціямъ, какое они оказываютъ другъ на друга. Одно только можетъ быть считаемо допустимымъ и за предѣломъ упругости, это—, что первоначально плоскія сѣченія бруса остаются таковыми вплоть до излома и перпендикулярны къ нейтральной оси бруса. Примиряясь съ такимъ положеніемъ вещей, практика лабораторная приняла за правило опредѣлять крѣпость матеріала при изгибѣ непосредственнымъ опытомъ на изгибъ, и особенно для тѣхъ матеріаловъ, крѣ-
пость при изгибѣ у которыхъ наиболѣе сильно разнится отъ опредѣляемой непосредственнымъ опытомь крѣпости растяженія или сжатія. Но этимъ не исключается возможность упрощенія вопроса объ испытаніи матеріаловъ, если бы удалось для того или другого изъ ни \ найти простую и несложную зависимость между крѣпостью изгиба и крѣпостью сжатія или растяженія.
Оставляя безъ разсмотрѣнія вліяніе срѣзающей силы, теорія изгиба пользуется при рѣшеніи подлежащихъ ей вопросовъ двумя условіями равновѣсія: 1) сумма напряженій сжатія д. б. равна суммѣ напряженій растяженія въ каждомъ сѣченіи бруса; 2) сумма моментовъ внутреннихъ сидъ сжатія и растяженія относительно какой-либо точки сѣч< чя должна быть равна суммѣ моментовъ внѣшних'ь силъ относительно топ же точки. Напряженіе произвольно взятаго волокна, находящагося на разстояніи Kj отъ нейтральной оси, можетъ быть выражено такъ:
гдѣ Е— модуль упругости и р — радіусъ кривизны изогнутаго нейтральнаго слоя; знакъ -|- или — въ зависнтостн отъ того, гдѣ находится взятое волокно, на сторонѣ растянутыхъ или сжатыхъ волоконъ. Первое условіе равновѣсія приводитъ къ заключенію, что нейтральная ось проходитъ чрезъ центръ тяжести сѣченія бруса. Второе условіе связываетъ между7 собою моментъ внѣшнихъ силъ и внутреннія напряженія въ видѣ зависимости
М = -0'-,
Р
гдѣ J—моментъ инерціи сѣченія относительно нейтральной оси. Кока внутреннія напряженія вплоть до крайняго волокна находятся въ предѣлахъ упругости, распредѣленіе напряженій, слѣдуя закону измѣненія по прямой, можетъ быть представлено какъ на фиг. 3. Мы принимаемъ, что модуль упругости при растяженіи и сжатіи одинъ и тотъ же; волокна, равноотстоящія отъ нейтральной оси, будутъ одинаково напряжены на сжатіе и растяженіе. Допустимъ, что иоказанноо распредѣленіе внутреннихъ силъ но сѣченію соотвѣтствуетъ такой нагрузкѣ, что дальнѣйшее увеличеніе ея влечетъ уже за собою появленіе остающихся прогибовъ, т. е. брусъ уже доведенъ до предѣла упругости. Мы говорили выше, что предѣлъ упругости и при сжатіи, и при растяженіи лежитъ вблизи коэффиціента крѣпости, и указывали, что крѣпость сжатія значительно менѣе у дерева, чѣмъ крѣпость растяженія. Естественно предположить, что предѣлъ упругости при изгибѣ будетъ достигнутъ какъ разъ въ тотъ моментъ, когда напряженіе крайняго сжатаго волокна будетъ равно напряженію простого сжатія при разрушеніи. Фиг. 2 указывала намъ измѣненіе модулей упругости сжатія и
изгиба для разныхъ стволовъ, и мы видѣли, что обѣ линіи идутъ на большей части длины параллельно одна другой, но не совпадаютъ. Но послѣднее обстоятельство можетъ быть легко объяснено тѣмъ, что при вычисленіи модуля упругости не были приняты во вниманіе слѣдующія два обстоятельства.
Во первыхъ, но было принято во вниманіе дѣйствіе скалывающихъ силъ. Прогибъ бруса, лежащаго двумя концами на опорахъ и нагруженнаго по срединѣ длины, дается формулой:
_ Р1*
‘ ~ HI ’
гдѣ Р—нагрузка и 1—длина между опорами. Скалывающія силы даютъ дополнительный прогибъ, величина коего можетъ быть выражена формулой
гдѣ Е,—модуль упругости при скалывающемъ напряженіи и F—площадь поперечнаго сѣченія бруса; наблюденный прогибъ f представлялъ собою сумму отпх’ь двухъ, независимыхъ другъ отъ друга, и былъ равенъ
f ---
Р13
48~ЕІ
-{- 0,3
Р1
E.F ‘
.Ясно, что если бы Е вычислялось по формулѣ
PF
Е =
,, , Л. 0,3 Р1 \ 4Ъ V Е,Р )
то для него получились бы величины большія, извѣстно, что при неправильно выбранныхъ соотношеніяхъ высоты бруса и длины его, ошибка въ вычисленіи модуля может'ь доходить до ЗОи/0, если оставить безъ вниманія прогибъ огь скалывающихъ силъ. Въ опытахъ Ст. Лапка длина 1 была равна 150 ст., а брусъ имѣлъ форму квадрата въ сѣченіи
со стороною около 10 ст. Изъ отношенія— = 15 видно, что брусъ
имѣлъ его вполнѣ достаточнымъ для того, чтобы изломъ не произошелъ именно отъ этихъ силъ; но принимая во вниманіе незначительное сопротивленіе дерева скалывающимъ силамъ, и потому небольшую величину модуля Еі, размѣры бруса были таковы, что принять во вниманіе при вычисленіи Е и прогибъ І2 было необходимо.
Судя по даннымъСІгеѵапсІіег’а и ЛѴегЫіеіт’а Еі = Е, что легко
О
можетъ быть объяснено слоистымъ строеніемъ дерева. Вставляя въ /предыдущую формулу эту величину Еі, мы получимъ
.. Р1 г V . ,
* E.F Li'h* 1,0J‘ . 1
Отношеніе fä : f, составляетъ:
f2__0,8 PI.4 Ebli3_ /Ъ у
1\~ PPE.bh Ь \ 1 / ‘
Брусокъ 10b имѣлъ, нанр., высоту 10,885 c/„,; стрѣлы прогиба относились другъ къ другу, і.акъ 0,03150: 1; ошибка въ вычисленіи модуля Е была, слѣд., около 3“/„.
Во вторыхъ, изгибающій моментъ, благодаря тренію бруса и опоры, которое значительно при большихъ нагрузкахъ (она у и род. упругости составляла 50°/0 ломающаго груза (1400 kgr.), въ дѣйствительности меньше вводимаго въ расчетъ.
Величина исправленнаго момента будетъ:
P1
4
(1—2jx
h, PI /
^)=t- (
p—коэффиціентъ тренія. Треніе дерева о чугунъ и безъ того значительно, но здѣсь, благодаря положенію бруса, по линіи опоры, въ зависимости отъ небольшой твердости пихты, должно было образоваться углубленіе, которое еще болѣе усиливало вліяніе этого обстоятельства. Считая р, какъ для дуба по чугуну на сухо, равными* 0, 5, найдемъ,
что для того же бруса значеніе достигаетъ величины 0,0363, т. е.
ошибка будетъ еще около 3,6ü/o. Въ общемъ, и при такомъ неточномъ подсчетѣ, благодаря отсутствію данныхъ о коэфф. тренія пихты, мы видимъ, что модуль Е вычнслился на 6,78% меньше дѣйствительнаго. Модуль упругости для ствола 10 былъ опредѣленъ:
Е при сжатіи=111 тоннъ на □ cm.,
Е при изгибѣ=102, 4 тонны на Q cm.,
т. е. Е при изгибѣ опредѣленъ на 100=7,8°/о меньше, чѣмъ
при сжатіи. Вводя же указанную поправку, мы получимъ для Е при изгибѣ значеніе
Е=1,0678.102,4=109,34 tn/Cm2,
а принимая во вниманіе сказанное относительно коэффиціента р, мо-жемч, полагать, что оба модуля совпадаютъ. Такой результата, имѣетъ для насъ значеніе въ томъ отношеніи, что діаграмма распредѣленія напряженій въ сѣченіи выстроена нами вѣрно.
Можно считать установленнымъ правиломъ, что напряженіе изгибаемой балки не должно превосходить предѣла упругости того же матеріала при простомъ растяженіи или сжатіи. Опытъ, дѣйствительно, указываетъ, что для многихъ матеріаловъ начало замѣтныхъ остающихся прогибовъ совпадаетъ съ тѣмъ моментомъ, когда крайнія волокна получаютъ напряженія до предѣла упругости. Допустимъ, что имѣется
матеріалъ, точно п строго упругій до опредѣленнаго предѣла, и что предѣлъ упругости его при сжатіи и растяженіи одинъ и тотъ же; допустимъ далѣе, что за предѣломъ упругости матеріалъ настолько пластиченъ, что самое небольшое увеличеніе нагрузки влечетъ уже за собою появленіе значительныхъ остающихся деформацій. Хорошее мягкое желѣзо отчасти будетъ походить на такой матеріалъ. Мы знаемъ, что за предѣломъ упругости какъ при сжатіи, такъ и при растяженіи деформаціи у желѣза возрастаютъ значительно быстрѣе, и при томъ настолько быстро въ первый моментъ, что на діаграммѣ, выражающей зависимость между ними, мы получаем'ь почти горизонтальную линію, (фиг. 4). Брусокъ такого матеріала мы нагружаемъ на изгибъ; прослѣдимъ примѣрно, что должно происходить съ волокнами такого матеріала, каково должно быть распредѣленіе напряженій по сѣченію. Предѣлъ упругости; крайнія растянутыя и сжатыя волокна деформированы на всю величину возможныхъ для нихъ упругихъ деформацій. Нагрузка нѣсколько увеличилась. Крайнія волокна должны дать теперь болѣе, значительную вытяжку или укороченіе, чѣмъ было до сихъ поръ; упругое сопротивленіе ихъ превзойдено. Въ случаѣ простого растяженія, когда всѣ волокна одновременно получаютъ такую вытяжку въ направленіи дѣйствующей силы, чрезъ нѣкоторое время между нею и внутренними напряженіями устанавливается равновѣсіе; тоже при сжатіи. ІІри-пзгпбѣ же, благодаря вліянію сосѣднихъ волоконъ, свободное принятіе крайними волокнами соотвѣтствующей напряженію деформаціи невозможно; их'ь деформація, какъ части изгибаемаго бруса, можетъ быть лишь такова, какою ее опредѣляютъ геометрическія соотношенія, т. е. соотвѣтствовать небольшому увеличенію въ связи съ уменьшеніемъ ра-
у
діѵса кривизны, согласно выраженія і=-* . Вліяніе смежныхъ волоконъ
скажется, слѣд., въ томъ, что крайнія не уравновѣсятъ всей силы растяженія, которая приходится на ихъ долю; часть ея будетъ воспринята ближайшими къ нимъ ниже; съ послѣдними, въ зависимости отъ величины нагрузки, произойдетъ либо то же самое, что съ крайними, либо они будутъ теперь напряжены до продѣла упругости. Представимъ себѣ явленіе такъ; имѣется брусъ, соединенный шарнирно съ опорой (движется безъ тренія) (фнг. о); онъ находится подъ дѣйствіемъ силы 1* и въ указанномъ положеніи удерживается рядомъ проволокъ, закрѣпленныхъ въ неподвижномъ предметѣ. Проволки сдѣланы изъ предположеннаго нами упругаго и очень пластичнаго за продѣломъ упругости матеріала. Легко видѣть, что напряженія въ проволкахъ убываютъ пропорціонально уменьшенію разстоянія ихъ отъ горизонтальной оси, проходящей чрезъ центръ шарнира; самая близкая къ ней будетъ напряжена слабѣе всѣхъ. Сила Рі<Р вызвала у верхней проволки напряженіе предѣльно—упругое; приложена сила Р; верхняя проволка должна получить болѣе сильную вытяжку, чѣмъ она можетъ быть въ
дѣйствительности, соотвѣтственно отклоненію бруса въ положеніе, указанное пунктиромъ. Пусть на долю верхней проводки приходится сила ql\ гдѣ q коэффиціентъ, зависящій отъ yj разстоянія ц. проволки отъ оси. Благодаря несвободѣ деформаціи, эту силу она уравновѣсить не можетъ: она уравновѣситъ лишь часть ея, по величинѣ близкую къ той силѣ, которая вызываетъ предѣльно—упругое напряженіе; избытокъ воспринимается второй проводкой; положимъ, что съ этою и еще третьей происходитъ то же самое, и что сила Р придетъ въ равновѣсіе съ внутренними напряженіями тогда, когда четвертая сверху проволка будетъ нагружена до предѣла упругости. Пусть г—деформація, соотвѣтствующая разстоянію 1 отъ оси. На растоянін У] нагружаемой вч, пред. упругости проволки она будетъ гг)=г; напряженіе въ ней будетъ o=Es. Сумма внутреннихъ силъ всѣхъ проволокъ, напряженія которыхъ находятся въ предѣлахъ упругости, будетъ £a=£Es. Она будетъ меньше Р, в'ь чемъ не трудно убѣдиться, если мы построимъ діаграмму измѣненія напряженія по закону прямой вч» этихъ двухъ положеніяхъ стержня (фиг. 6). Разность Р—£Ег будетъ уравновѣшена тремя верхними прополками, причемъ напряженія вч» нихъ будутъ отличаться другъ отъ друга настолько мало, что можно будетъ принять ихъ равными между собою, что и указано прямой, параллельной вертикальной плоскости. То же самое будетъ происходить въ изогнутомъ брусѣ на сторонѣ сжатыхъ волоконъ. Согласно этого, распредѣленіе.' напряженій въ изогнутомъ брусѣ можетъ быть представлено нами, какъ указано на фиг. 7. Волокна, ближе лежащія къ оси, проходящей чрезъ ц. тяжести сѣченія, будутъ напряжены въ продѣлахч» упругости, крайнія и нѣкоторая часть смежныхъ сь ними будутъ напряжены нѣсколько выше. По мѣрѣ того, какъ нагрузка будетъ увеличиваться, число волоконъ, напряженныхъ въ иредѣлахч» упругости, будетъ уменьшаться. Если такой брусъ разгрузить, то въ немъ останутся внутреннія напряженія; законъ распредѣленія ихъ м. б. указанъ, какъ на фиг. 7 пунктиромъ. Упруго напряженныя волокна, стремясь придать брусу первоначальную форму, будутъ увеличивать упругіе прогибы, вызывая на сторонѣ растянутыхъ ранѣе волоконъ напряженія сжатія и наоборотъ. Сумма этихъ оставшихся внутроннихч» напряженій д. б. равна нулю и это единственное условіе равновѣсія.
Если матеріала» бѵдетч» обладать различными крѣпостями сжатія и растяженія (при одномъ и томъ же модулѣ упругости), то распредѣленіе напряженій вч» сѣченіи будетъ нѣсколько иное. Предѣлъ упругости при изгибѣ будетъ достигнута» вч» тотъ моментъ, когда крайнія растянутыя или сжатыя волокна, смотря по тому, какая именно крѣпость меньше, будутч» напряжены до соотвѣтствующаго этому виду нагрузки продѣла упругости. Мы знаемч», напр., что чугунъ вдвое, примѣрно, крѣпче при сжатіи, чѣмч» при растяженіи; крайнія волокна выпуклой стороны такого бруса скорѣе достигнутъ предѣльно-упругаго напряже-
нія, чѣмъ сжатыя. Допуская, что модуль упругости одинъ и тотъ же,, распредѣленіе напряженій въ сѣченіи можетъ быть представлено, какъ на фиг. 8. Заключаемъ при отомъ, что напряженіе крайняго волокна сжатой стороны уже не равно напряженію такого же растянутой, какъ было до предѣла упругости, но больше его.
Такъ каки» условіе равновѣсія требуетъ равенства силъ сжатія и растяженія, то изъ него можетъ быть выведено заключеніе, что нейтральная ось должна отойти къ сторонѣ сжатыхъ волоконъ; она займетъ то положеніе, когда площадь тр-ка, изображающаго законъ распредѣленія напряженій сжатой стороны, будетъ равна таковой для фигуры, представляющей измѣненіе напряженій растяженія. Въ такомъ матеріалѣ, какъ, дерево, остающіяся деформаціи должны начаться прежде всего на сторонѣ сжатыхъ волокон'ь; за предѣломъ упругости нейтральная ось должна будетъ отойти къ сторонѣ, растянутыхъ волоконъ. Мы видимъ уже, какое практическое значеніе можетъ имѣть подтвержденіе соотвѣтствующими опытами послѣдующихъ выводовъ. Всякая часть сооруженія, правильно расчитаннал и конструированная, не должна нести напряженія большаго, чѣмъ то, которое соотвѣтствуетъ предѣлу упругости матеріала. При нзгибЬ деревянныхъ брусьевъ упругіе прогибы должны находиться въ связи съ крѣпостью дерева сжатію. Слѣдовательно, какова бы ни была разрушающая нагрузка при изгибѣ, напряженіе для такого бруса д. б. взято въ предѣлахъ упругаго сопротивленія дерева сжатію. Но этому напряженію должны выбрать мы Допускаемое, руководись той или другой степенью надежности или прочности въ зависимости отъ характера сооруженія и отвѣтственности расчитываемой части въ немъ.
Изломъ изгибаемаго деревяннаго бруса, какъ извѣстно, происходитъ въ громадномч. большинствѣ случаевч. отъ разрыва нижнихъ волоконъ балки, волоконъ растянутыхъ. Только въ рѣдкихъ случаяхъ, когда на сторонѣ сжатыхъ волоконъ вблизи опаснаго сѣченія балки приходится какое-либо порочное мѣсто (нездоровое мѣсто, плохо вросшій сучекъ, перерѣзанныя волокна и пр.) изломъ носитъ такой характерч., что сильнѣе сказывается рѣшающая роль этихъ волоконъ. Какъ при растяженіи, такъ и при изгибѣ изломъ наступаетъ болѣе или менѣе внезапно, сопровождаясь иногда небольшимъ потрескивніемъ волоконъ незадолго до разрушенія, происходящимъ отъ расщепленія волоконгь и разрыва части ихъ; на сторонѣ; сжатыхч. волоконч., лишь только перейденъ предѣлъ упругости, становится замѣтнымъ то же характерное явленіе сдвига волоконъ, которое имѣетъ мѣсто при испытаніи образца на сжатіе. Выше мы указывали уже, что такой образецъ, ясно имѣющій слѣды разрушенія волоконч., вч, состояніи выдерживать еще значительную нагрузку, примѣрно 0,75-0,8 огь наибольшей, продолжая деформироваться вч. направленіи дѣйствую щи хч. силъ. Если бы мы имѣли подъ рукой діаграммы, хорошо и точно соотвѣтствующія закону измѣненія дефор-
мацій отъ напряженій ггрн сжатіи и растяженіи, намъ не трудно было бы прослѣдить ходъ распредѣленія напряженій лъ сѣченіи при изгибѣ, когда предѣлъ упругости матеріала перейденъ. Стоитъ обратиться къ желѣзу и намъ тотчасъ станетъ понятнымъ, о чемъ идетъ рѣчь. На фиг. 9 показаны такія діаграммы при сжатіи и растяженіи, выстроенныя при прямоугольныхъ осяхъ координатъ такъ, что напряженія растяженій и удлиненія направлены въ сторону положительныхъ, а напряженія сжатія и укороченія въ сторону отрнцательных'ь величинъ. По такой соединенной діаграммѣ можно прослѣдить, какъ должны распредѣляться напряженія въ сѣченіи изгибаемаго бруса. До предѣла упругости они будутъ слѣдоватъ закону пропорціональности Гука; далѣе, при увеличивающейся нагрузкѣ, а слѣд. напряженіи крайнихъ волоконъ, у послѣднихъ деформаціи д. возрастать быстрѣе напряженій, и еще далѣе должно начаться теченіе матеріала, когда онъ станетъ совсѣмъ пластичнымъ. Расположимъ эти отдѣльныя діаграммы для растяженія и сжатія такъ, какъ обычно выстраиваемъ діаграмму распредѣленія напряженій въ сѣченіи изогнутаго бруса; на вертикальной оси д. быть отложенны деформаціи, на горизонтальной соотвѣтствующія имъ напряженія. Мы получимъ діаграмму фиг. 10; такая діаграмма будетъ соотвѣтствовать нѣкоторому состоянію изогнутаго бруса за предѣломъ его упругости.
Небольшая часть центральныхъ волоконъ, напряженныхъ въ предѣлахъ упругости, будетъ слѣдовать закону Гука; въ остальныхъ зависимость деформацій отъ напряженій будетъ выражена кривыми, подобными тѣм’ь, которыя получаются при простомъ растяженіи и сжатіи, когда иред. упругости перейденъ.
Начертимъ, примѣрно, діаграммы, выражающія зависимость деформацій и напряженій при сжатіи и растяженіи дерева, принимая во вниманіе сказанное вначалѣ объ общемъ характерѣ наблюдаемыхъ при этомъ явленій. Діаграмма при сжатіи должна имѣть видъ фиг. 11, а при растяженіи фиг. 12; выстроимъ теперь діаграмму, какъ въ предыдущемъ случаѣ, по этимъ двумъ для изгиба, располагая діаграмму для растяженій внизу _ (фиг. 13.). Оиа укажетъ намъ примѣрно то распредѣленіе напряженій въ сѣченіи изогнутаго бруса, которое должно имѣть мѣсто при какомъ-либо состояніи равновѣсія его за предѣломъ упругости. Допустимъ, что имѣемъ дѣло съ матеріаломъ, коэффиціенты крѣпости котораго при сжатіи и растяженіи вполнѣ соотвѣтствуютъ таковымъ же для дерева, но обладающимъ еще тѣмъ свойствомъ, что но достиженіи предѣла упругости при растяженіи матеріалъ становится очень пластичнымъ; небольшое увеличеніе напряженія растянутыхъ волоконъ д. дать эа предѣломъ упругости большую вытяжку.
До предѣла упругости распредѣленіе напряженій въ сѣченіи должно слѣдовать закону пропорціональности Гука (при Е—модулѣ упругости •площ. треугольниковъ равновелики). Обозначимъ чрезъ Li предѣлъ уп-
ругости при сжатіи и чрезъ L2—при растяженіи. До тѣхъ поръ, пока напряженіе крайнихъ волоконъ сжатой стороны будетъ ниже Li, брусъ будетч. получать только упругіе прогибы. Начало остающихся прогибовъ должно соотвѣтствовать тому грузу Р,, который вычисляется изъ формулы
Р,1 ЪІР 4 — 7; L>
ы 2 bh% или Р,=— Lj.
(1—длина бруса между опорами, b ширина въ сѣченіи и Ь высота). При всѣхъ нагрузкахъ большихъ Р, должны имѣть мѣсто остающіеся прогибы; но они будутъ очень малы; т. к. на другой сторонѣ бруса, на сторонѣ растянутыхъ волоконъ, имѣютъ мѣсто только упругія деформаціи, то по прекращеніи дѣйствія силы, подъ вліяніемъ соотвѣтственныхъ имъ упругихъ внутреннихъ силъ, брусъ будетъ стремиться принять первоначальное положеніе; въ полномъ видѣ, однако, для него это будетъ невозможно, т. к. на сторонѣ сжатыхъ волоконъ, есть уже утратившія упругость свою въ полной начальной мѣрѣ; въ такихъ волокнахъ будетъ вызвано теперь небольшое напряженіе растяженія (фиг.14). Величина остающагося прогиба, соотвѣтствующая этимъ напряженіямъ, возникающимъ послѣ разгруженія бруса, будетъ исчезать, увеличивая упругій прогибъ. Увеличиваемъ нагрузку и доводимъ ее до величины Р2. Число волоконъ сжатой стороны, напряженныхъ нѣсколько выше предѣла упругости, будетъ увеличиваться, нейтральная ось будетъ все далѣе перемѣщаться книзу, напряженіе крайняго растянутаію волокна все будетъ расти. Пусть Р2 та нагрузка, при которой получается значительный неупругій прогибъ. Посмотримъ, въ какомъ соотношеніи она должна быть еъ Р,. Этотъ мометггь начала болѣе замѣтныхъ неупругнхч. прогибовъ долженъ совпадать съ тѣмъ, когда напряженіе крайняго растянутаго волокна достигаетъ величины L2. Распредѣніо напряженій въ сѣченіи, показанное на фиг. 14, пусть такому именно моменту отвѣчаетъ.
Назовемъ отношеніе^ =т>1; очевидно, въ извѣстномъ масштабѣ
Ijj
ay=L2, су1—L,; обозначимъ оу=і2, оѵ1=і, и ob!=d'; из’ь подобія треугольниковъ оЪЪ1 и оау имѣемъ: L2:L,—і2:і', или і2=ті'.
Первое условіе равновѣсія бруса даетъ намъ:
сумма напряженній сжатія д. б. равна суммѣ напряженіи растяженія
Ь(і,—і'^н-ъіу-ь^А
L,i'=2Lji,—L2is.
Такъ какъ Ls=mLj и і2=ті', то L, i'=2Lai1—m2i'L,;
2і, . _2mi,
1+щ2 11 T+mP
отсюда
Видимъ, что неравенство напряженій у пред. упругости при растяженіи п сжатіи влечетъ за собой перемѣщеніе нейтральной оси къ сто-ронѣ болѣе упругихъ волоконъ, т. к. при. иг>1, і2 составляетъ часть іг Второе условіе: сумма моментовъ внутреннихъ силъ сжатія и растяженія относительно какой либо точки сѣченія д. б. равна моменту внѣшнихъ силъ относительно той же точки.
Центръ моментовъ точка о.
Имѣемъ равенство
ЪВ,і, 2 2 3
ЬЬ і' 2., ЪЬ.і'і.-М')
2 з ^ 2
18 о. -і')=м.
Замѣняя Lj равной величиной mL, н і2 равной mi', находимъ:
2т3і/ 2—(—Зі,2—і' 2— :
Ш
ЬЬ,
2і
Такъ какъ і'= —.—, то
1+т2
4(2т>-1)+8( l+my^+yLl,
(m-j-1) (3m3-|-3m2-}-m2-f-m -)-т2—l)=eoclem (т-|-і)2 (2т2~р2т-рт2—1 )=eoclem (m-j-l )3 (Зт—1 )=еосІет
у г • 2ті, • і • і • (1+т2)К
Кромѣ того, имѣемъ і9= ——4-п отсюда -------
1 1-і-т- (1-1-т)2
Производя подстановку, получаемъ
,, Зт—1 bh2L. М=
1-j-m ’ 6
„ лг Ва] 2 ЬЪ2
Но ДІ——, а— -. Ь,—1 j; слѣдовательно,
*х О 1
_ 3m 1
а— 1+т г
Это и есть искомое соотношеніе между нагрузками Р, и Р2. Въ предѣлахъ нагрузокъ Р, и Р, предположенный нами матеріалъ будетъ имѣть небольшіе остающіеся прогибы; до Р,—они будутъ вполнѣ упругими, послѣ Р2 они начнутъ значительно увеличиваться, при чемъ прогибы упругіе сильно уменьшатся, и, наоборотъ, значительно увеличатся остающіеся. Обращаясь къ дереву, мы должны сдѣлать такой выводъ. Такъ какъ предѣлъ упругости его лежитъ весьма близко къ предѣлу крѣпости при растяженіи, то нагрузка Р2, о которой говорилось выше, должна быть или разрушающей изгибаемый брусъ, или очень къ ней близкой; развивающееся вч> крайнихъ растянутыхъ волокнахъ напря-
женіе подъ вліяніемъ ея должно быть равно коэфф. крѣпости дерева при растяженіи, или быть больше, но отличаться отъ него весьма мало. Что касается напряженія Li на сторонѣ сжатыхъ волоконъ въ тотъ моментъ, когда изгибаемый брусъ начинаетъ получать остающіеся прогибы, то оно, очевидно, должно быть у дерева весьма близкимъ къ ко-эфиціенту крѣпости его при сжатіи. Посмотримъ теперь, что даетъ намъ опытъ. Приводимыя ниже данныя относятся къ пихтѣ SiultiroPn, механическія свойства который были обстоятельно изслѣдованы Gr. Janka и А. Hadek. Замѣтимъ здѣсь, что еще Totmayer при испытаніи швейцарскаго лѣса вполнѣ опредѣленно вывел'ь заключеніе, что при изгибѣ брусьевъ одного и того же дерева получается значительно разняйіціеся иногда коэфф. крѣпости въ зависимости отъ того, гдѣ, внизу или вверху, находится сердцевина. Сосна, пихта, ель, лиственица и дубъ, всѣ дали большій коэфф. крѣпости при изгибѣ для тѣхъ балокъ, у которыхъ сердцевина была расположена на сторонѣ сжатыхъ волоконъ; извѣстно, что серединная часть ствола обладаетъ меньшимъ коэффиціентомъ крѣпости и на сжатіе, и на растяженіе. Согласно сдѣланнаго выше разсмотрѣнія о зависимости между нагрузками бруса Рі и Р2 слѣдуетъ считать, что рѣшающим'ь факторомъ въ изломѣ сгибаемаго бруса д. б. крѣпость дерева растяженію; это, дѣйствительно, и подтверждаютъ данныя относительно всѣхъ пяти породъ (смотр. тб. VII).
Таблица VII.
Породы дерева. 4 I № Л 5* hS *2 Крѣпость при иагибѣ. 1
Крѣиост 1 сжатія II 1 волокна: Ігрѣпост растяжеѣ цщ ■ jlj
Сосна 1 246 720 385 384 458
1 Пихта 276 602 432 426 447
Ель 283 533 414 442 462
! Лиственница 321 710 460 543 600 :
1 Дубъ 343 964 580 605 616
Въ тб. VIII даны результаты опытовъ надъ пихтой Юж. Тироля. Напряженія вычислены въ kg/cm2; въ одномъ столбцѣ выписаны тѣ напряженія, наблюденныя при испытаніи на сжатіе, при которыхъ отмѣчено было значительно увелипившееся уменьшеніе длины образца;
онѣ названы Fliessgrenze; ото, стало быть, тѣ напряженія, при которыхъ деформаціи начинаютъ расти быстрѣе соотвѣтствующихъ имъ напряженіи. Въ другомъ—ыапраженія при изгибѣ, соотвѣтствующія предѣлу упругости.
Таблица VIII.
1 Среднія данныя, ■ относящіяся къ I стволу гѴІ Напряженіе у предѣла упругости (сжатіе). Напряженіе при предѣлѣ упругости (изгибѣ).
1 208 к*/еи* 243 к*/си2
2 275 „ 261 „
3 254 „ 263 „
• * |! 233 „ 263 я
& і 274 „ 295 „
6 і 258 „ 298 „
7 1 267 „ 302 „
:: 8 264 „ 254 „
! 0 У‘*9 п 263 „
10 284 „ 293 „
11 230 „ 226 „
12 256 „ 250 „
Среднее 258,5 к*/,.т2 268 k*/em2
Среднее ариѳметическое первыхъ для всѣхъ 12 испытанныхъ стволовъ 258,5 kg;'cm2,—вторыхъ 268 к*/ега2; разность между ними составляетъ 3,54°/о.
Крѣпость сжатія і Напряженіе у предѣла упругости при нагибѣ.
i
ш ü
1 о , ouufcir; 2 —*}’j i.m •203*'еШ2
7) с 223 212
2 а 313 j 313
77 Ь 267 196
3 a 253 260
4 а 23!) 283
77 Ь 271 209
}} с 245 253 j
77 а ! 242 308 j
5 а i 287 270 і
77 а 1 293 318 j
6 а ; 234 342
r> Л j 278 307 j
7 а ! 265 309
n Ь i 282 275 j
n Л 368 360
8 а 1 325 296
77 Ь 277 239 j t
77 с j 265 240 !
9 а j 307 < 311 1
n <1 i 297 1 236 )
10 а ! 338 301
77 с ; 326 313 L|
77 d |l 301 299
11 Ь 1 259 258 )
77 с i 236 1 247
12 | 258 232
Среднее |i 278* /cm2 274*/сиа J
Въ то. IX. собраны результаты, относящіеся къ балкамъ, у которыхъ сердцевина была расположена па сторонѣ сжатыхъ волоконъ; въ одномъ столбцѣ даны коэффиціенты крѣпости при сжатіи, въ другомъ предѣлы упругости при изгибѣ; разность между ними составляетъ 1,46°/'о. Въ таблицѣ X находятся данныя, относящіеся къ балкамъ, имѣвшимъ сердцевину на сторонѣ растянутыхъ волоконъ. Въ одномъ столбцѣ даны напряженія, граничащія еъ началомъ возрастающихъ деформацій при сжатіи, в'ь другомъ пред. упругости при изгибѣ. Разноетъ между ними составляетъ 3,08%.
Таблица X.
1 Ь
3 h
Напряженія сжатія у предѣла упругости.
250
107
Напряженія у предѣла упругости при изгибѣ.
259 k«f/c.ua
271
2G1
298
267
215
318
297
236
259
5 h
279
297
237
321
я С 267 1 270
6 Ь 309 J 253
• я с 288 290
7 с 250 266
8 а 276 239
9 Ь 294 266
я с 315 241
1 10 h 287 260
і 11 а 295 191
1 я <t 204 208
12 а 268 203
я Ь 251 321
7) С 271 244
Среднее 268 ke/t.ra2 260 k<%m2
Въ тб. XI даны среднія значенія, указанныя яыше, іі выписаны еще данныя, относящіяся къ пихтѣ Nordtirol, "Wien- crwald н Erzgebierge? которая была испытана Ст. Janka (Результаты послѣднихъ опытовъ напечатаны въ 1904 г.)
Таблица XI.
Мѣсто происхожденія. Напряженія у пред. упр. при сжатіи. Разрушающія напряженія при сжатіи. Напряженія у пред. унр. при изгибѣ.
Südtirol 258,5 п 268
Erzgebibierge 292 п 295
Nordtirol 7) 817 330
AVienerwald 7) 326 323
Изъ отой тб. видимъ, что предѣлъ упругости при изгибѣ брусьевъ пихты Südtirol и Erzgebierge лежитъ очень близко къ пред. „теченія“ (Fliessgrenze), у пихты двухъ двугихъ мѣстностей къ коэфф. крѣпости при сжатіи. Разность ьъ первомъ случаѣ 2,48°/0, во второмч. 1,53°/^; она какъ въ томъ, такъ и вч> другом'ь случаѣ настолько мала, что можно практически считать напряженія у предѣла упругости при изгибѣ совпадающими съ тѣми, съ которыми мы ихъ только что сравнивали. Здѣсь кстати будетъ напомнить, насколько трудно бываетъ при испытаніи на сжатіе точно отмѣтить тотъ или другой моментъ въ измѣненіи деформаціи въ зависимости отъ напряженій. Результаты опытныхъ данныхъ, такимъ образомъ, мы находимъ дѣйствительно, довольно хорошо соотвѣтствующими выводами, сдѣланнымъ выше.
Но опытамъ Тетмайера пихта имѣетъ коэфф. крѣпости 602кв/СпЛ ,г тоже для сжатія 276k&;'ст2. Отношеніе составляетъ 2,18. Грузъ Р*, который долженъ произвести изломъ изгибаемаго бруса д. б.
8. 2,18—1 1-{-2,18
.Рі=1,74Рі.
Мы говорили уже выше, что грузъ Р4 соотвѣтствуетъ той нагрузкѣ бруса, при которой на сторонѣ сжатыхъ волоконъ крайнія напряжены до предѣла упругости, и указывали, что напряженіе въ нихъ должно быть близко къ коэфф. крѣпости при сжатіи или совпадать съ нимъ. Вычисляя напряженія по обычной формулѣ изгиба, выведенной въ предположеніи, что нейтральная ось въ моментъ излома проходить черезъ
ц. тяжести сѣченія, мы получимчэ для нихъ при нагрузкахъ Рг и Рі тоже отношеніе, въ какомъ находятся сами Рі и Рз. Подведя общій, итогъ результатамъ своихъ опытовъ съ пихтой южн. Тироля, (т. Janka нашелъ, что крѣпость при изгибѣ равна 1,72 таковой при сжатіи. Этотъ множитель менѣе вычисленнаго нами по даннымъ Tetmayer’a всего на 0,02. Мы видимъ, какъ ничтожна эта разность, и въ тоже время должны отмѣтить нѣкоторую общность сдѣланныхъ нами выводовъ: коэфф. m взятъ нами поданнымъ для пихты Швейцаріи, а вычисленія показали полную пригодность его и для пихты Юж. Тироля.
Итакъ, сдѣланное выше изслѣдованіе о томъ, каково д. б. распредѣленіе напряженій въ сѣченіи изогнутаго бруса и какова д. б. зависимость между коэфф. крѣпости сжатія и изгиба, находитъ себѣ вполнѣ удовлетворительное подтвержденіе и данными опыта. Но при сдѣланномъ выше разсмотрѣніи, вычерчивая діаграмму распредѣленія напряженій въ сѣченіи, мы принимали таковыя ме;кду собою равными для всѣхъ тѣхъ волоконъ, которыя напряясены за предѣломъ упругости. Въ дѣйствительности, онн должны между собою нѣсколько различаться; законъ измѣненія ихъ долженъ быть выраженъ нѣкоторою кривой, какъ видно по соединенной діаграммѣ для растяженія и сжатія желѣза въ примѣненіи ея къ изгибу. Общій видъ ур-ія такой кривой былъ предложенъ вперные Нобкіпзоп’омъ; болѣе же удобную структуру такого ур-ія предложилъ Saint-Venant; мы и примѣнимъ его въ такомъ видѣ къ частному разсматриваемому нами случаю. Прежде чѣмъ перейти дальше къ выводамъ, намъ необходимо будетъ условиться относительно того, какой законъ измѣненія напряженій волоконъ положимъ мы въ основу наіного разсмотрѣнія. Опытъ указываетъ, что не будетъ большимъ и произвольнымъ допущеніем'ь, что за предѣломъ упругости плоскія сѣченія бруса остаются плоскими и. перпендикулярными къ кривой изгиба. Если ото такъ, то напряженія волоконъ будутъ измѣняться пропорціонально разстоянію ихъ отъ нейтральной оси. Это вытекаетъ непосредственно изъ геометрическихъ соотношеній (фиг. 15). Мы имѣем'ь:
ef р+т] ef— 00] г; Y ,
— и отсюда — л-----=—= і=относит. вытяжкѣ волокна еі.
UJ1 р СЮі р
г 1
Напряженіе этого волокна будетъ а=Еі=Е —-или замѣняя--равной ве-
Р Р
М
Ѵ, т~> получимъ
EJ
(Мы считаемъ, какъ и прежде,‘что модуль упругости Е одинаковъ при растяженіи и сжатіи и не зависитъ отъ напряженій.)
Пусть имѣется брусъ прямоугольнаго сѣченія съ высотою h и шириной Ь (фиг. 16); разстояніе между опорами 1; положеніе нейтральной • оси въ моментъ излома опредѣляется линіей 00*; еі и С2—разстоянія
отъ нейтральной оси крайнихъ растянутыхъ и сжатыхъ волоконъ. Мы принимаемъ далѣе, что напряженія растянутыхъ волоконъ вплоть до разрыва измѣняются пропорціонально разстоянію ихъ отъ нейтральной оси. Пусть Z — наибольшее напряженіе крайняго растянутаго волокна въ моментъ излома.
Напряженіе любого промежуточнаго волокна, отстоящаго на растоя-ніи Yj, отъ оси, будетъ з,
у Ті>
і\=А —.
е,
При 7^=6,, a,=Z; при Ttl=o. з=о.
Напряженія сжатія измѣняются по нѣкоторой кривой (фг. 17). Пусть I)—напряженіе крайняго сжатаго волокна; напряженіе з._>—произвольно взятаго волокна между осью п крайнимъ сжатымъ д. б. представлено въ вид ѣ функціи I) и 7]2; вполнѣ удовлетворяетъ обстоятельствомъ явленія такая зависимость между этпмп тремя величинами
а
2
При т)2=ег, аа = І); при yj =о, з2=0; при всѣхь промежуточныхъ значеніяхъ т)і оно будетъ меньше D, приближаясь постепенно кч> нулю.
Для кривой, данной этимъ уравненіемъ, ставимъ слѣдующее условіе: въ точкѣ сѣченія, чрезъ которую проходить нейтральная ось, эта кривая должна имѣть касательную, совпадающую съ прямой, выражающей зависимость напряженій растяженія отъ разстоянія г(1. Для этого необходимо равенство tg угловъ ихъ, т. е.
а, ^(1зА
Tj, ib]2 при і\г=о.
Имѣемъ
Z
НІ) / ГД и-1 __nD
е, \ е3/гфн ті7=°~~^
•(1)
Составляем'ь два уравненія, пользуясь двумя условіями равновѣсія бруса; масштабъ, въ которомъ вычерчена фг. 17, извѣстенъ.
Сумма напряженій растяженія 1)Хо1=-^^1 Ъ
Сумма
b
сжатія Ь,
Za-=bf о
з2г1т]2
н
. сЬ)г=ЬБе2—
ЬПе,
n-1-l-
bnDe2 и—I— 1 '
Первое условіе равновѣсія даетъ намъ:
Ze,__nDe2
~2~~ п+І
n De,
•**■* •* 7 .......... ’ - 62
е,2 р22 2 и -рі (3>>
рѣшая (3) совмѣстно съ чтимъ, найдемъ
1іу"2 (4)
1 V 2-f-v ч-fl
by u-f Г Ч- i'2+v 1 (5)
равновѣсія требуемъ равенства- момента внѣшнихъ
силъ ]\I суммѣ моментовъ m и шг внутренннхь силъ въ сученіи относительно какой-либо точки его. Центръ моментоіп.— точка встрѣчи плоскости сѣченія и нейтральной оси.
^І=ш,4-та.
mt=MOM. внутр. силъ растяженіи =1)‘ з, yj, сіт],.
Г°і
„ сжятія=Ь I з2 rti гітг]г
UZ Ге, bZe 2
‘.= — “о ■
га.
е / 11 Ч
еі</ і °
га,
га =1 2 ■/> 1- - \) “1
Лѳ. / ѣ. \п
=bD J / rA-bDj . I1- 1 t е2 ) ѵ1'+
ЬПе.
Первый интегралъ для ігц даеть——(:зыакгь-(-).
Приравнивая yjs=u іі ^ 1—■ Г,і ^ П(ІГ|2=с1ѵ, интегрируемъ далѣе
по
формулѣ J liclv=uv— 1 vdu.
bD А е/ 0 ( ь- іг)'1 drj2=bl> I е2 |о п+1 ' /
- bD J Гбі_—1 (1— 5*. \ п+1 СІ Гі .
0 11+1 V е-2 /
Ъ \п+1
Вставка предѣловъ обращаетъ первый членъ правой части въ нуль; отбрасывая его, интегрируемъ второй членъ,
2 / \ п+2 ЪПе22
-Ы)
О (п+1) (--+2)
(n-j-1) (п+2).
bZe,2 Ы)е22 bDe.2
M=mi-|-m2 == ------1--------
' , .. . ..> О'ікѵда
(ii+l) (n+2)
bZe,2 n(n+3)b.Dea2 M= — t
3 2(n + l)(n+2)
Изъ (4) и (5) вставляемъ e,2 и e22
bZ 2h2 n(n
M=
(ll—I—1 1112
3 (V^‘2+V' i+l)a 2(n-{-l)(n-J-2) ()/-•’rN^u-t-l)2
e_
Изъ (1) замѣняемч. Z и одновременно изъ (4) и (5)—:
bn И 2ЬѴ2 • buDli* (n-f-3)
М=
3 ѵ^п-ндѵ+^^п+і)2 2(11+2) (хЛнѵѴ+і)8
bnDh2
М=
(1/^+\^«+і)">
■ 2Ѵ"2 п+3_
Зу'' ll—[- L 2( п—(—2)
Ыі2
м= —-
пі)
6 (\ЛнѴи+і)г
4 1 /4 "+8 !^±-3
|/ п_|_і 11—|—2
bh2 _ М= -• D.
11
а ,,+3+4 ,/А.
п+2 Г іі+1 (X^V u-r ij-
(7)
Правая масть равенства (7) состоитъ изъ трехъ множителей; первый изъ нихъ есть модуль сопротивленія для балки прямоугольнаго сѣченія; второй—коофф. крѣпости сжатія. Если бы обычныя формулы изгиба были примѣнимы и за предѣломъ упругости, то произведеніе отих'ь двухъ множителей и было бы равно ломающему моменту; но въ силу указанныхъ выше соотношеній послѣ предѣла упругости, между возникающими внутренними силами и моментомъ внѣшнихъ силъ устанавливается зависимость но равенству (7). Здѣсь весь множитель, содержащій показателя и, есть тотъ коэффиціентъ, на который надо умножить расчетный опасный моментъ, чтобы получить дѣйствительный ломающій моментъ. При іі=8,57 ототъ множитель будетъ равенъ 1,74.
При такомъ значеніи и, изъ (4) и (5) опредѣляюстя
е, = 0,41і и e2=0,bh.
Мы видимъ, что при предположенномъ измѣненіи напряженій сжатія по кривой, выражаемой ур-іемъ для з-г, положеніе нейтральной оси въ моментъ излома значительно отклоняется отъ оси, проходящей чрезъ центръ тяжести сѣченія. Площадь, на которой развиваются силы сжатія, въ полтора раза больше той, на которой распредѣлены силы растяженія. 41 тотчасъ же бросается вч> глаза та расточительность въ употребленіи этого матеріала, которая такъ» широко практикуется при из-
готовленіп половыхъ потолочныхъ деревяныхъ балокъ съ прямоугольнымъ сѣченіемъ, ибо и здѣсь, какъ у чугуна и какъ ото показали опыты Баха, матеріалъ, расположенный вблизи ц. тяжести сѣченія, используется гораздо лучше, чѣмъ то слѣдуетъ непосредственно изъ теоріи изгиба.
Лз'ь (1) находилъ, что въ моментъ излома, напряженіе крайнихъ растянутыхъ волоконъ должно быть
Z=e’ пі)=4з,57і)=2,38і). е-> о
Показатель п долженъ имѣть значенія различныя для отдѣльныхъ породъ; указанное значеніе его 3,57 годно для пихты. Сравнимъ нѣкоторыя данныя опыта съ предыдущими выводами.
Пихта Швейцаріи (Тетмайеръ) П=276; Z=2,38.D=G56.
„ Швеціи (Wijkander) D=3GJ); Z=2,38.D=878.
Среднія значенія для Z по Теймайеру....б02, Wijkander’y...814;
в'ь первомъ случаѣ вычисленная нами величина больше полученной опытомъ на 6°/о, во второмъ на 7,8°/0. Обѣ цифры ниже 1О°/0, т. е. не выходятъ изъ предѣловъ, которые для хвойныхъ породъ признаны вполнѣ допустимыми, въ зависимости отъ большой измѣнчивости крѣпости дерева, американскими изслѣдователями (Johnson).
Выше мы разсмотрѣли два возможныхъ случая измѣненія напряженій въ сѣченіи изогнутаго бруса; вгь первомъ напряженія сжатія измѣняются по закону прямой только у волоконъ, близко лежащихъ къ нейтральной оси, для всѣхъ же остальныхъ, лежащихъ выше напряженнаго до предѣла упругости волокна, они равны между собою; во второмъ— они измѣняются по нѣкоторой кривой для всѣхъ волоконъ сжатой стороны. Первый болѣе простъ и, пожалуй, скорѣе соотвѣтствуете, дѣйствительными, соотношенія мл,, если принятъ во вниманіе, что у изломаннаго при изгибѣ бруса всегда замѣтна болѣе или менѣе глубоко распространяющаяся но высотѣ его линія надвинутыхъ другъ на друга волоконъ. Положеніе нейтральной оси въ этотъ случаѣ опредѣляется значеніями еі=3/7Іі или ег—-'/'h. Общій видъ діаграммъ распредѣленія напряженій въ сѣченіи указанъ на фиг. 18; но какъ тотъ, такъ и другой выводъ можно считать вполнѣ удовлетворительно разрѣшающимъ поставленьи! вопросъ о зависимости крѣпости изгиба отъ крѣпости сжатія. Рядъ опытовъ, которые дали бы возможность установить болѣе опредѣленно значенія m и п, былъ бы и необходимъ, и желателенъ для того, чтобы провѣрить н правильность сдѣланныхъ предположеній при разсмотрѣніи вопроса, и правильность указанныхъ выводовъ. Что они близки къ дѣйствительности, м. б., впрочемъ, подтверждено слѣдующими свѣдѣніями, найденными мною въ литературѣ. Еще въ 1887 году проф. Barlow на основаніи своихъ опытовъ съ деревомъ указывалъ положеніе нейтральной оси изогнутаго бруса въ моментъ излома на разстоиніи 5/8 высоты отъ крайняго сжатаго волокна;
затѣмъ въ 1898 г. проф. Neely (Сѣв. Америка), изъ со поста к.тенія многочисленныхъ данныхъ, полученныхъ при испытаніи механическихъ свойствъ строительныхъ породъ, вывелъ такую формулу для зависимости изгибающаго момента отъ крѣпости сжатія:
М = І)а(г,— г2)І>;
Da—сумма напряженій сжатія, г, и г2 — разстоянія ц. тяжести площадей, на которыхъ дѣйствуютъ сиды растяженія и сжатія, отъ нейтральной оси, и Ь--ширина бруса. Сумма г, и г2 найдена достаточно постоянной и равной Ѵ.іі. г
Не трудно убѣдиться, что къ тому же почти значенію суммы rt—|—і*а приводятъ насъ и найденныя выше значенія для е2 и е2.
Разстояніе ц. тяжести нлощ. силъ растяженіи т1=2/„.0,41і
н(п-)-3)ЬНе2 ЪпІ)е2
” » ” сжатш г2(н—|-1)(іТ+2) :
_e2(n-f3) 0u-f3,
— '2{и+2~ ’^n-f-2
гі=0,2661і и rs=0,353h
г,-(-г2=0,6РИіоо3/5]і.
Крѣпость дерена сжатію молено, таким ь образомъ, считать достаточной для того, чтобы характеризовать намъ его качества для двухъ изъ наиболѣе раепроетраненныхч. случаевъ нагрузки для него; что касается прочности дерева срѣзыванію вдоль и поперекъ волоконъ, то опытовъ относительно отого рода сопротивленія вч. послѣднее время почти не было, и потому остается открытымч» вопросъ о возможности существованія извѣстнаго соотношенія между нею и кр. сжатія, а также между модулями упругости при этихъ двух'ь видахъ напряженія. Если бы удалось установить значеніе тѣхъ множителей для различныхъ породъ по умноженіи на который мы получали бы но кр. сжатія и крѣпость дерена при изгибѣ, то этпм'ь самымъ было бы значительно облегчено дѣло испытанія отого матеріала относительно ого механпч. свойствъ. Но, извѣстно, коофф. прочности дерева при сжатіи находится въ зависимости отъ степени влажности образца іѵь моментъ испытанія и отъ удѣльнаго вѣса даннаго образца вч» абсолютно-сухомъ состояніи. Онъ даже для одного и того же. ствола не представляетъ постоянной величины; опытъ указываетъ, что образецъ, взятый изъ верхней части ствола, сопротивляется дѣйствію сжимаюіцихч» сшгь слабѣе, чѣмч» образцы изъ нижерасположеннныхч» частей ствола; точно также, образцы, взятые на различныхъ сторонахъ одного и того же ствола, имѣютч» различные коэффиціенты крѣпости.
Технически-механическія свойства дерева, выросшаго въ одной мѣстности, не сходны сч» таковыми для дерева той же породы, но выросшаго вч» другой мѣстности и при другихъ условіяхъ. Вч» виду этого, лабораторная практика послѣднихъ лѣтъ выработала систему подробныхъ таблицъ, которыя д. б. заполнены данными, относящимися къ исгшты-
ваемой породѣ. Въ нихъ должны быть указаны почва пронзроетанія, географическое положеніе мѣстности, возрастъ дерена, положеніе его нъ лѣсу (указаніе ближайшаго края или опушки лѣса относнт. странъ спѣта), ширина годичныхъ колецъ и отношеніе между весенней и лѣтней частями ихъ и удѣльный вѣсъ дерева и влажность его. Но изъ всѣхъ этихъ факторовъ, вліяніе квторыхъ имѣется нъ иду установить, лишь два послѣдніе оказываются всегда и болѣе всего рельефно выдѣляющимися изъ ряда остальныхъ. Всѣ изслѣдованія приводятъ къ одному и тому же заключенію, что крѣпость дерева сжатію увеличивается съ увеличеніемъ уд. вѣса его въ абсолютно сухомъ состояніи, при чемъ зависимость между ними въ этомъ состояніи выражается прямой линіей; точно также, увеличивающаяся влажность дерева влечетъ за собою уменыпе-шеніе прочности дерева; измѣненіе прочности при этомъ происходить различно, смотря по тому, въ какомъ состояніи насыщенія водой находится образецъ. Вліяніе влажности замѣтно, вообще, болѣе рѣзко, чѣмъ вліяніе уд. вѣса дерева. Что касается остальныхч» факторовъ, то никакой болѣе или менѣе закономѣрной зависимости отъ нихъ зрѣлости дерева сжатію не замѣчено; въ одномъ и томъ же лѣсу встрѣчаются деревья съ большимъ к малымъ уд. вѣсомъ, съ большей и меньшей крѣпостью сжатіи. При этомъ, какъ для деревьевъ одного лѣса, такъ и для деревьевъ одной и той же породы различныхъ мѣстностей остается въ силѣ, невидимому, одинъ и тотъ же законъ измѣненія крѣпости сжатія отъ удѣлі.н. вѣса по прямой линіи, ур-іе которой можетъ быть написано въ видѣ І)=аос —р: испытаніе должно производиться
при одной и той же степени влажности, или данныя д. б. приведены къ таковой; безъ указанія "/о содержанія влаги результаты опытовъ не имѣютъ никакого значенія. Въ ур-іи прямой D — крѣпость сжатія, я irß постоянныя о0 —уд. вѣсь при опредѣленной влажности с (обычно, согласно предложенія Ваушнтера, с==15л/о). Данныя опыта дѣйствительно указываютъ существованіе такой непосредственной зависимости; въ таблицѣ XII выписаны значенія для I) и о, какъ они опредѣлены для пихты 10 различныхъ мѣстностей Schwappacli’oM'b и Janka.
Таблица XII.
! Мѣсто п ро и схожде н і я. Удѣльный вѣсъ. Крѣпость сжатія въ кк/сш.2 Наблюдатель.
Südtirol 0,404 336 Q. Ставка
. Erzgebicrge 0,413 ЗЫ
ЛѴіепег\ѵак1 0,415 343 л „
• 1 Nordtirol 0,428 370. n
і Ostprenssen 0,444 381 Schwappach
Sudeten 0,457 412 n
Harz 0,401 441 n
Thüringen 0,470 455 Л i
Schlesische Ebene 0,484 457 i ?>
Vorharz 0,515 i 504
Состояніе своихъ образцовъ Schwappach характеризуетъ указаніемъ, что онн были воздушно-сухими, т. .е. съ тѣмъ % влажности, какой возможенъ ддя дерева при храненіе его въ закрытомъ сухомъ помѣщеніи; данныя Janka отнесены къ 15°, о содержанію влаги. Изъ тб. видно, что по мѣрѣ увеличенія уд. вѣса увеличивается и крѣпость дерева сжатію, хотя не одинаково во всѣхъ интервалахъ. Если оти данныя нанести въ прямоугольныхъ координатахъ, откладывая на одной оси уд. вѣса, а на другой—коэффиціенты крѣпости сжатію, то получимъ рядъ точекъ, которыя вполнѣ симметрично располагаются около прямой линіи, частью проходящей чрезъ нѣкоторыя изъ нихъ (фнг. 19). Очевидно, эта прямая и будетъ выражать среднее и болѣе общее измѣненіе крѣпости дерева данной породы отъ ѵдѣльн. вѣса при опредѣленномъ процентномъ содержаніи влаги. На той же фигурѣ выстроены линіи, выражающія законъ измѣненія крѣпости сжатія отъ уд. вѣса при нормальномъ—воздушно сухомъ состояніи образцовъ (14—16°/о) для пихты Norditirol, Wienerwald и Erzgebierge. Каждая изъ линій очень близка къ прямой; однако постоянныя а и 3 въ этомъ случаѣ д. б. иными, чѣмъ выще. Прямая, непосредственная зависимость крѣпости дерева отъ егоуд. вѣса была замѣчена еще въ XVIII в. ВпЙоп’омъ, именно для дуба, крѣпость котораго была найдена прямо пропорціональной его уд. вѣсу. Такая зависимость не кажется странной, и наоборотъ, является необходимой и естественной для такого матеріала, слоистаго и пористаго, какъ дерево. Масса его состоитъ изъ ряда волоконъ, между которыми расположены волосные пути и сосуды; по нимъ при жизни дерева движутся питательные соки. Анатомическая структура его для лиственныхъ и хвойныхъ породъ различна и этимъ объ ясняется прежде всего различная твердость, крѣпость, колкость, вѣсъ этихъ породъ и т. д. Чѣмъ бы нибыли заполнены эти питательные пути, сосуды и пустоты самихъ клѣтокъ, изъ которыхъ составляются волокна, соками, водой пли возду-
хомъ, сопротивляться внѣшнимъ силамъ будутъ только стѣнки такихъ сосудовъ, волокна, изъ которыхъ состоитъ древесная масса. Чѣмъ больше на единипу площади приходится ихъ, тѣмъ больше будетъ сопротивленіе ихъ; отсюда слѣдуетъ прямая зависимость крѣпости дерева отъ его уд. вѣса; и, дѣйствительно, въ абсолютно сухомъ состояніи эта крѣпость имѣетъ наибольшое значеніе и растетъ непрерывно и равномѣрно съ увеличеніемъ уд. вѣса въ этомъ состояніи (фиг. 19). Опытъ указываетъ однако, что и въ этомъ состояніи для одной и той же породы, выросшей въ различныхъ мѣстахъ, получаются прямыя, располагающіеся очень близко одна къ другой и почти параллельныя другъ другу. Остается невыясненнымъ, зависитъ ли это отъ особенностей той мѣстности, гдѣ дерево выросло, или отъ другихъ причинъ. При своихъ опытахъ Sehild послѣ нагрѣванія дерева въ струѣ горячаго въ 100°Ц. воздуха наблюдалъ нѣкоторое увеличеніе уд. вѣса. По его мнѣнію, это происходитъ отъ начинающагося окисленія въ составныхъ частяхъ образца, отъ образованія уксусной и муравьиной кислотъ; онъ считаетъ возможнымъ, что такое окисленіе начинается съ момента просушки дерева; наконецъ, онъ замѣтилъ, что при 100°Д. не вся вода бываетъ удалена изъ образна. При наличности такихъ явленій, замѣчаемое несовпаденіе крѣпости дер. въ абсолютно-сухомъ состояніи при опредѣленномъ уд. вѣсѣ его для одной мѣстности сь таковою же при томъ же вѣсѣ для другой мѣстности можетъ быть обусловлено какъ разъ различной способностью дерева къ указннымъ выше процессамъ. Это тѣмъ болѣе вѣроятно, что при всѣхъ своихъ изслѣдованіяхъ деревѣ Hartig находилъ, что уд. вѣсъ является лучшимъ показателемъ качества его, и что при всѣхъ попыткахъ многихъ другихъ изслѣдователей не удалось подмѣтить и слѣдовъ такой непосредственной зависимости между крѣпостью дерева сжатію и указанными выше фактами, какъ почва, климатъ и пр. Если же принять во вниманіе то обстоятельство, что именно уд. вѣсъ дерева почти всегда является характеристикой наиболѣе благопріятныхъ и благодарныхъ условій для произростанія данной породы вт> извѣстной мѣстности, то станетъ очевиднымъ, что такой прямой зависимости между ними и не найти, ибо вліяніе всѣхъ этихъ условій въ общей совокупности ихъ нашло уже себѣ отраженіе въ удѣльномъ вѣсѣ. На немъ отражается качество почвы, обиліе или недостатокъ тепла и свѣта солнца, влаги, строеніе древесины, количество и составъ веществъ, наполняющихъ ходы и поры дерева, тѣ или иныя климатическія условія, при которыхъ протекала жизнь дерева, механическое воздѣйствіе на дерево случайныхъ силъ (продолжительные односторонніе вѣтры и пр. Въ силу этого, является какъ будто бы совершенно нелишнимъ продолжать при испытаніи дерева попытки установить зависимость между крѣпостью сжатія и тѣми факторами, вліяніе которыхъ на удѣльный вѣсъ дерева можно считать вполнѣ доказаннымъ. Наоборотъ, кажется необходимымъ и цѣлесообразнымъ въ работы по испы-
танію дерева внести изслѣдованія о вліяніи анатомической структуры волоконъ на крѣпость дерева, равно какъ болѣе точно изучить вліяніе влажности на нее. Выше было уже указано, что съ увеличеніемъ влажности уменьшается крѣпость дерева. Это происходитъ по двумъ причинамъ: волокна влажныя менѣе способны сопротивляться дѣйствующимъ силамъ, чѣмъ сухія; во-вторыхъ, при увеличивающейся влажности образца происходитъ измѣненіе его размѣровъ, связанное со свойствомъ дерева разбухать при пропитываніи его водой. Въ небольшихъ предѣлахъ измѣненія влажности это измѣненіе размѣровъ площади образца не велико; но характерна именно общность хода измѣненій размѣровъ и крѣпости дерева сжатію. Послѣдняя, имѣя наибольшую величину въ абс. сухомъ состояніи, при смачиваніи образца начинаетъ убывать; наиболѣе быстрое уменьшеніе крѣпости замѣтно между предѣлами содѳр-женія влаги отъ 7% до 15%; болѣе медленно оно происходитъ отъ 0°/о до 7°,'о и отъ 15°/Одо 25°/о;въ предѣлахъ 25%-50°/о и чаще всего при 33% -40%. замѣчается почти внезапное уменьшеніе крѣпости образца, которая при дальнѣйшемъ увеличенія влажности убываетъ настолько медленно, что еѳ можно считать постоянной. Размѣры площади сѣченія образца имѣютъ въ абсолютно-сухомъ состояніи наименьшую величину; при увеличеніи влажности до 25% идетъ быстрое и почти пропорціональное количеству принятой воды увеличеніе размѣровъ площади сѣченія; между 25% и40°/о оно происходитъ медленнѣе, а за пт имя, предѣломъ до наиболына-
ф насыщенія столь медленно и равномѣрно, что ее можно ститать постоянной. Въ объясненіе этого можно сказать, что замѣтнымъ уменьшеніе площади сѣченія образца, когда мы его просушиваема», становится съ тѣхъ пора», какъ только начинаютъ просыхать стѣнки волоконъ и клѣтокъ; иотеря же воды, содержащейся въ сосудахъ и путяхъ древесины, на это явленіе не имѣетъ большого вліянія. Вмѣстѣ съ тѣмя», измѣненія размѣровъ площади, зависитъ, какъ и крѣпость, одновременно и отъ уд. вѣса дерева; у болѣе тяжелаго дерева больше и измѣненіе размѣровъ (фиг. 19). Таки мт» образомъ, измѣненіе крѣпости дерева сжатію и измѣненіе размѣровъ площади сѣченія образца являются слѣдствіемъ, повидимому, одной и той же причины, и таковою надо признать различіе въ анатомическомъ строеніи древесины. Для того и другого можетъ быть найдена соотвѣтствующая одному проценту влажности величина измѣненія; это особенно важно для измѣненія крѣпости дерева сжатію, ибо этимъ путемъ легко можно было бы пересчитать крѣпость въ абс. сухомъ состояніи въ ту, которая должна соотвѣтствовать данному % влажности. Прямая зависимость крѣпости сжатія отя» уд. вѣса въ абс. сухомъ состояніи, съ другой стороны, даетъ возможность для каждой породы найти то число, произведеніе изя. котораго на уд. вѣсъ давало бы крѣпость сжатія, а по ней мы тотчасъ же нашли бы и крѣпость при изгибѣ.
Томскъ, Сентябрь, 1906 г.
А. Крыловъ.
Списокъ литературныхъ источниковъ.
1) Dr. Н. Nordlinger.
я я я
3) Dr. А. Schwappach.
4) Dr. R. Hartig.
5) J. Bauschinger.
6) L. Tetmayer.
7) Wijkander.
8) M. Rudeloff.
9) A. Hadek ung janka.
10) Timber Pliysics,
я л
Die technische Eingeschaften der Hölzer. Stuttgart 1860.
Die gewerblichen Eingeschaften der Hölzer. Stuttgart 1890.
Untersuchungen über Raumgewicht und Druckfestigkeit des Holzes wichtigen Waldbäume. I. Die Kiefer, Berlin 1897; II Pichte, Weisstanne, Weymouthskiefer und Rothbuche. Berlin, 1898. Holzuntersuchungen. Altes und Neues. Berlin 1901. Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Königl. techn. Hochschule in München; Heft IX, 1888; H. XIV, 1886; H. XVI1887. Methoden und Resultate der Prüfung der Schweizerischen Bauhölzer. 1884.
Untersuchung der Festigkeitseingeschaften Schwedischer Holzarten. Göteborg, 1897.
Mitteilungen a. d. Kgl-techn. Versu'chungsanstal-ten zu Berlin, 1886, 1889, 1895.
Untersuchungen über Elasticität und Festigkeit-der Oesterreichischen Bauhölzer. I. Fichte Südtirols, Wien, 1900; II. Fichte von Nordtirol, vom Wienerwaldo und Erzgebierge. Wien, 1904.
P. I, II, Washington., 1892.
Bulletin 22, The white Pine. Washington 1899.
но i 6 8
£Г Ъ
ъѵ
I 9 Г *г
1 > \ ; / 'v 4 X
Vs 7 \ / ; s. \
* 7 \ / / / / \ N \ > / >
/ ♦« 1 / / ■•»■»I • * * / l \ \ / T~
4 / / у 1,4’s». ( V~ % \ <
V 1 ^ / / / / / t 1 i ~7\ 4 /
\ \ / / 1 \ / 4 t
— < ч. / » / \ /
—=- - Ч /
О?
0- г 0$ «6
001-
Ohp
оги
0£^
у ~£ -**$
runouts* Ж* M++oSL+<*+* Л /öo)
