CC BY
8УДК 519.4
О КЛАССИФИКАЦИИ ПАРЫ (/-КОММУТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ЛИНЕЙНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ © Ахрамович М.В., Муратов М.А.
Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского
факультет математики и информатики
пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: mustafa_muratovQmail.ru fromenQbk.ru
Abstract. We prove that the problem of classification (up to a similarity transformation) the pair of nilpotent operators (А, В), A3 = В3 = 0 with condition of g-commutation BA = qAB, where q € C, q ф 0, is "wild".
Введение
В работах И, М, Гельфанда, В. Ф. Пономарева [1] и С. А. Кругляка [2] (см. также [3]) было показано, что задача о каноническом виде пары коммутирующих линейных операторов А и В в конечномерном комплексном линейном пространстве V относительно преобразования подобия содержит задачу о классификации любого конечного числа произвольных некоммутирующих линейных операторов . 1|..-1-_>......1/,..
Поэтому попытка непосредственного нахождения канонического вида пары коммутирующих операторов (А, В), с точностью до преобразования подобия, не имеет смысла, т.е. является «дикой» (см. [4],[5])). В данной заметке мы показываем, что «дикой» является и задача классификации, с точностью до преобразования подобия, пары нильпотентных операторов (А, В), АА = ВА = 0, связанных соотношением q-коммутации: В А = qAB, где g G С, q Ф 0.
1. Предварительные сведения
Рассмотрим конечное семейство (Ai, А2,..., Ат) операторов из B(V), Такое семейство при т ^ 1 будем называть также т-кой или набором операторов в V.
Определение 1. m-ка (Ai, А2,..., Ат) операторов из B(V) называется неразложимой, если векторное пространство V нельзя представить в виде прямой суммы нетривиальных подпространств
V = M + N,
инвариантных относительно каждого оператора . 1/,.. к = 1,2,... ,т.
Имеет место следующий критерий неразложимости.
Предложение 1. m-ка (Ai, А2,..., Ат) операторов из B(V) является неразложимой тогда и только тогда, когда из условия:
RAk = AkR, к = 1.2.....///. R2 = R
следует, что R = 0 или R = I.
Определение 2. Пусть Уи¥ два векторных пространства. Наборы операторов
(. 11. Ло.....Л,„} в V и (В 1, Н-2.....Вт) в называются подобными, если существует
обратимый оператор 5 : V —W такой, что
>'.!/,>' 1 = Вк, /,• = 1.2.....ш.
Подобие наборов операторов (Ах, А2,..., Ат) и (Вь В2,..., Вт) будем обозначать
(А1,А2,...,Ат) ~ (Въ В2,..., Вт)
или
2, ^-коммутирующие пары операторов
Пусть (А, В) — произвольная пара операторов из В(У), Рассмотрим линейное пространство
4
V = УЙ = У, А = 1,2,3,4,
Й=1
и пару операторов А, В е В(^):
/ 0 д/ о о \
о о о в
О О О А
\ о о о о /
Непосредственно проверяется следующее утверждение.
Предложение 2. Операторы удовлетворяют соотношениям:
1)ВА = дАВ;
2)А3 = В3 = 0.
Допустим, что имеется две пары операторов (А, В) в пространстве V и (А, В) в пространстве V, Построим, как и выше, операторы (А, В) в пространстве
4 _ _
V = ф Ук, У к = V, А; = 1,2,3,4 и операторы (А, В) в пространстве к=1
V=e¿Vfe, УЙ = У, к = 1,2,3,4. Й = 1
(0 0 I 0 ^
0 0 0 А
0 0 0 I
0 0 0)
где о £ С, ч ф 0.
Лемма 1. Пусть У : V —ь V — такой оператор, что
у А = АУ, УВ = ВУ.
Тогда, оператор У имеет вид:
У
Доказательство. Пусть оператор У имеет вид:
/ 5-
(5 £>12 ¿>13 ¿>14 \
0 Б 0 ¿>24
0 0 ¿>34
V 0 0 0 5 /
У
и ¿>21 ¿?31 \ ¿>41
¿>12 £>22 £>32
£42
£п £23
£зз £43
£и \
£24 £34
£44 }
Тогда
УА
АУ
( ¿>11 ¿>12 ¿>13 ¿>14 ^ /00 I 0 \
¿>21 ¿>22 ¿>23 ¿>24 0 0 0 А
¿>31 ¿>32 ¿>33 ¿>34 0 0 0 I
\ ¿>41 ¿>42 ¿>43 ¿>44 / \0 0 0 0/
/00 ¿>11 ¿>12-4 + 513 ^
0 0 ¿>21 ¿>22-4 + Б2з
0 0 ¿>31 ¿>32-4 + 5зз
\0 0 ¿>41 542-4 + Б43 у
/ 0 0 I 0 \ / ¿?11 ¿>12 ¿> 13 ¿>14 ^
0 0 0 А ¿>21 ¿>22 ¿> 23 ¿>24
0 0 0 I ¿>31 ¿>32 ¿> 33 ¿>34
V о 0 0 0 / \ ¿>41 ¿>42 ¿> 43 ¿>44 /
/ ¿>31 ¿>32 ¿>33 5*34 \
АБ/^х 42 -4^43 АБ44
¿>41 ¿>42 ¿>43 ¿>44 1
V 0 0 0 0 /
УВ
( £хх £21 £зх
\ ¿>41
¿>12 £22 £32 £42
£13 ¿>14
£23 £24
£33 £34
£43 £44 )
( 0 0 0 \ О О О В О О О А
\ о о о о у
( 0 ^п 0 Б12В + Б13А \
О дБ21 О Б22В + Б23А
О 1 О Б32В + Б33А
У 0 дБц О £^2В + ¿?4зА у
ВУ
(0 д/ 0 о \ / 5ц ^12 513
0 0 0 в ^21 ^22 ^23
0 0 0 А 531 532 5зз
V о 0 0 0 / \ ^41 £>42 "^43
( (¡Б22 £523 ^24 \
В ВБ42 ВБ43 В Б44
АБ41 АБ42 А543 А544
V о 0 0 0 /
Би \
^24
5з4
^44 /
Так как
УА = А У УВ = ВУ, то имеем следующие системы равенств:
'II1
0 = 5з1 0 = <?521
0 = 532 533 > <?5п = <?522
п \з — 0 = ?52З
= 512В + Б^А = д524
0 = АБ41 0 = В541
0 = АБ42 ?521 = 5542
21 = У4543 < 0 = -В543
23 = АБ44 522 В + 5-2;;.• 1 = -В 544
0 = 541 0 = А541
0 = 542 ?5з1 = А542
31 = 543 0 = -4543
33 — 544 5З2 В + 533Л. = А544
41 = 0 д541 = 0
43 = о, _ 542 В + 54зА = 0.
Следовательно,
521 = 52З = 0
5з1 = 532 = 0
541 = 542 = 5
5ц = 522 = 5-
43 = 0
33 = >^44 = 5,
У
( 5 512 513 514
0 5 0 524
0 0 5 534
^ 0 0 0 5 )
При этом,
§12 А + ¿>13 £>12 В + £пА БА БВ
¿>34
д524 А5 В5.
Теорема 1. Пары, операторов (А, В) и (А, В) подобны тогда, и только тогда, когда, подобны пары операторов (А,В) и (А,В).
Доказательство. Необходимость. Пусть (А, В) ~ (А, В). Тогда (А, В У (А, В), где оператор У имеет вид
У
/ 5 0 0 0 \
0 5 0 0
0 0 5 0
У 0 О О 5
Достаточность. Если (А,В У (А,В), где
У : V V, такой невырожденный оператор, что
УА = А>, У В = ВУ В силу леммы 1, оператор У имеет вид:
/ 5 512 513 5м \
У У
О О34
0 5 у
0 5
0 0
^0 0
При этом,
Следовательно, (А, В) ~ (А, В).
5А 5£
А5 В5.
Теорема 2. Пара, операторов (А, В) неразложима в пространстве V тогда, и 'только тогда, когда, пара операторов (А, В) неразложима в пространстве V.
Доказательство. Необходимость. Пусть пара операторов (А, В) неразложима в пространстве V, Допустим, что пара операторов (А, В) разложима в пространстве V, Тогда, в силу утверждения 1, существуют идемпотенты Р и Р такие, что
Р + Р = I РР = РР = 0, [р, А] = [Р
Л '
0, ]
1,2.
В силу леммы 1, операторы Р и Р2 имеют вид:
Так как
/
Р
Р, то
Рз
(з) а(з)
ОШ С
12
13
0 Рз 0
0 0 Рз
^0 0 0
р2
5
Р,
0 оУ) I о(Л о г3° 12 т "12 м р оО') , р
1 7^13 "Г >-714
'13
Зии "Х2
р с(з) I о(Л р 3 24 "г °24
5
24
о(Л °12
5-
0)
13
о(Л
14
о(з)
°24
оШ
34
Рз
3 = 1,2.
р с0') I с^') с^') <Р , сО') р
1"1 л ~Т "19 "94 "Г 34 ' "14 ">'
р сШ
3 34
+ 5
ШР
34 М
о(Л
°24
о(Л
34 ■
Я(3) °14
Так как Р + Р
/, то
Р1 + Р2 ^ + 5-+ 5; ~Ь <5-
(2) 12 (2)
13 (2)
14
с(1) , с(2) °24 "г °24
(2)
34
О
о о о 0.
Из условий РР
РР ' Р1Р2
О следует, что
Р2Р1 = О
Р с(2) _1_ сМ Р -г 1^12 + ^12 2
Р а*- ' _1_ с*- > г> Г1013 °13 2
,(2) . 0(1)0(2) . 0(1)0(2) . с(1)
Р сМ _1_ с(2) Р
Г2012 + ^12 -м.
Р I с(2) р
-< 2"ХЗ "Г 013 Г1
О О
-Г 1^14 + °12 °24 + °13 "34
_ р с(1) I с(2) с(1) I с(2) с(1)
— -г2"Х4 + 012 "24 + "13 "34
I р
"44 "Т "14 ¿2
Р с(2) _1_ сМ Р _ Р сМ _1_ с(2)
О Оо^ + >Э94 Г2 — ^ 2"94 + "'
-1 Р ^24 2
Р с^ _1_ сМ Р
1"34 ~г "34 2
1"24 7(2) -'34
24 :(1)
+ ^^Рх = О
'Рх = 0.
24 Р1 (2)
34 1
Так как [Р, А] = 0 и
РА
Рз О О О
я(з) "12
о о
°13
О
"14 Я(3) "24
5.
О)
34
( О
О
о
V0
/о о о \0
Рз О
о о
4 с^) \ 12 ^ 1 з
13
рр
0 \
а
1
0 У
АР
/ 0 0 I 0 \ / Рз о(Л °12 о У) °13 о(Л \
0 0 0 А 0 Рз 0 о(Л °24
0 0 0 I 0 0 Рз п(Л
V0 0 0 0 ) V 0 0 0 Рз /
(о о р., 4?
о о о о \о о
о о о
АР3
Р3
О /
то
с(Л л I с(Л
°12 Л "г °13
Б
и)
34
Р3А
АР3,
Наконец, так как [Р,В] = О и
РВ
/ о оУ) с(Л
г3 °12 °13
О Р3 О О О Р3 ООО
( 0 дР3 О ООО ООО
\ о о о
( 0 д1 0 0 \
О О О В
О О О А
0 0 0 0
с(Л \ о14
с (Л °24
Я(Л
34
О
о
V
д.I 0 0
0 0 в
0 0 А
0 0 0 )
Б^В + Б^А \
13
/
( 0 ЧРз О О
о о \ о о
Р3В Р3А
о с(Л г3 о12
5-
и)
13
Р3
\
О
О о о о
Рз О Р,
О дБ^ \
О ВР3
О АР3, 0 0/
мл \
о У)
°24
о(Л
34
У /
то
Таким образом,
о(Л о , о(Л А — „ с У)
°12 П "г - I."> л — Ч°24
Р3В Р3А
ВР3 АР3,
Р2
5
Р3Ф О А + р2 = I РХР2 = Р2РХ
Р3В Р3А
ВР3 АР3,
и, значит, пара операторов (А, В) разложима в пространстве V, вопреки предположению, Противоречие показывает, что пара операторов (А, В) неразложима в пространстве V,
Достаточность. Допустим, что пара операторов (А, В) неразложима в пространстве V. Если пара операторов (А, В) разложима в пространстве V, то, в силу утверждения 1, существуют идемпотенты /' и Р2 такие, что
Р1 = Р3Ф о
Р1 + Р2 = I < Р1Р2 = Р2Р1 = 0 Р3В = ВР3
. /'/1 = щ-
Тогда для операторов
/ рз 0 0 0 \
о^о 0 0 0 0 и ' V 0 о о Р3)
имеют место соотношения:
Р = 0, Р + Р = I РР = РР = 0, [Р, А] = [Р, В] = 0, = 1, 2.
Это означает, что пара операторов (А, В) разложима в пространстве V, вопреки предположению. Противоречие показывает, что пара операторов (А, В) неразложима в простанстве V, □
Р
Таким образом, задача о классификации, с точностью до преобразования подобия, пары нильпотентных линейных операторов (А,В), А3 = В3 = 0, связанных соотношением ^-коммутации АВ = дВА, является «дикой».
Заключение
Основным результатом, данной статьи является утверждение, что задача клас-
А В А В
щих соотношению
АВ ВА
а значит, и задача классификации произвольной пары ^-коммутирующих операторов, содержат задачу классификации пары операторов без дополнительных условий.
Список литературы
1. Гельфапд И. М., Пономарев В. А. Замечания о классификации пары коммутирующих линейных преобразований в конечномерном пространстве, Функциональный анализ и его приложения, 3, вып. 4, С. 81-82 (1969).
2. Кругляк С. А. О представления группы (р,р) над полем характеристики р. ДАН СССР, 1963, 153, ,V'6. С. 1253-1256.
3. Гудивок П.М. Представления конечных групп над коммутативными локальными кольцами. Ужгородский национальный университет, Ужгород, 2003. - 118 стр.
4. Donovan P., Freislich M.R. The representation theory of finite graphs and associated algebras. Carleton Math. Lecture Notes, 5, P. 1-119.
5. Дрозд Ю.А. Ручные и дикие матричные задачи. Представления и квадратичные формы. Сборник научных трудов Института математики ПАН Украины, Киев, С. 39-74.
Статья поступила в редакцию 29.11.2010
