О классе систем, разрешимом относительно задачи управления поведением на основе свойств функциональной избыточности Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.71

Т.Э. Шульга

О КЛАССЕ СИСТЕМ, РАЗРЕШИМОМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАДАЧИ

УПРАВЛЕНИЯ

ПОВЕДЕНИЕМ НА ОСНОВЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ

ИЗБЫТОЧНОСТИ

Рассматривается задача управления поведением систем дискретного типа на основе их функциональной избыточности. В качестве математической модели системы используется конечный детерминированный автомат. Выделяется класс автоматов, для которых рассматриваемая задача имеет решение, и изучаются возможности расширения этого класса.

Управление поведением, функциональная избыточность, конечный детерминированный автомат, числовая модель автомата.

T.E. Shulga

ABOUT CLASS OF SYSTEMS SOLVABLE RELATIVE TO THE PROBLEM OF BEHAVIOR CONTROL BASED ON PROPERTIES OF FUNCTIONAL

REDUNDANCY

The problem of behavior control based on properties of functional redundancy for discrete systems is considered. A finite determined automaton is used as the mathematical model. Class of automaton, for which considered problem has the decision is separated. Possibility of extension of this class is researched.

Control of behavior, functional redundancy, determined automaton, numerical model of automaton.

Современная теория систем рассматривает два основных типа избыточностей при решении задачи организации целенаправленного поведения: аппаратную (структурную) и функциональную (временную) [1]. Аппаратная избыточность системы подразумевает резервное (аппаратное) дублирование компонентов системы. В этом случае именно на существующий аппаратный резерв возлагается задача реализации требуемого (отличного от текущего) закона функционирования. Когда отсутствует (неисправно) аппаратное дублирование и невозможна (нецелесообразна) непосредственная модификация текущего поведения за счет внутреннего перепроектирования, то управление поведением системы возможно осуществлять на основе так называемой функциональной избыточности

системы. Система обладает свойствами функциональной избыточности, если возможно использовать свойства текущего закона функционирования для формирования на выходах требуемой совокупности реакций. При этом текущий закон функционирования системы используется для формирования требуемой реакции за счет имеющегося в данный конкретный момент или искусственно создаваемого резерва времени (организация «повторного счета», повторный запуск логической операции, измененной в результате нарушения и т.п.). Функциональная избыточность может выявляться в созданной системе при решении задачи управления поведением, а также целенаправленно создаваться на этапе проектирования системы, например, с целью восстановления ее поведения в случаях предполагаемых неисправностей.

В работе исследуется один из классов систем, для которых задача управления поведением на основе свойств функциональной избыточности имеет решение. В качестве математической модели дискретных систем с памятью рассматривается модель конечного детерминированного автомата.

Пусть дан конечный детерминированный автомат (КДА) Л=(Х,У,8,5,Л), где X = {хьх2,.. ,,х„} - множество входных сигналов, У = {у1,у2,.,}’^} - множество выходных сигналов, £ = {^¿г,.. .,*„} - множество состояний, 5:Xх£—£ - функция переходов,

X: Xх£ ——У - функция выходов. Без ограничения общности будем считать, что £ = У и 5 = X, то есть выходом автомата Л является его текущее внутреннее состояние. В этом случае первоначальный автомат упрощается и приводится к автомату

Л=(Х, £, 5) . (1)

Обозначения через Х - множество слов алфавита X.

Занумеруем состояния автомата вида (1) натуральными числами £={0,1, ..., т-1} и представим функции переходов данного автомата в виде обобщенных подстановок:

5,:(° 1 - т-Ч, хеX. (2)

х 1*0 *1 ."*„-1 )

Таким образом, поведение системы будет рассматриваться как совокупность подстановок вида (2) для каждого символа из входного алфавита. Обозначим

* = (0,1,...,„-1), * = ^ *1,...,*„_1).

Определение 1. Пусть текущее поведение системы М моделируется автоматом Л = (^£,5), X = {х1,х2,.,хп}, а требуемое поведение системы М- автоматом В = (^^'Х X = {х1,х2,.,хп}. Без ограничения общности будем считать

5ч (*) * 5х1 (*),..,5Х, (*) * 5х„ (*Х 5ХМ (*) = 5хм (*),.,5ХИ (*) = 5хи (*). Будем говоPить, что

существует возможность управления системой М на основе свойств функциональной избыточности, если (V/,/ = 1, И) (3/. е X*) такое, что 5х. (*) = 5. (*). Последовательность и

будем называть восстанавливающей последовательностью.

Из определения видно, что восстанавливающая последовательность - это последовательность входных символов, которая, будучи применима при любом текущем состоянии системы, в качестве последнего выходного символа даст требуемый выходной символ.

Пример 1.

Приведем пример, иллюстрирующий, каким образом функциональная

избыточность может быть использована для управления поведением системы с числом состояний т = 3 и множеством входных символов X = {0,1}, реализующей преобразования

'0 1 2^ 5 : (0 1 2^

1 2 0 ), 51 :1 0 1 1 )

Пусть необходимо, чтобы при подаче входного сигнала 0 осуществлялось не преобразование 50(*), а преобразование

Восстанавливающая последовательность для данного случая имеет вид 010. Действительно, анализ структуры переходов состояний показывает, что последовательность 010 формирует в итоге для любого начального состояния преобразование, эквивалентное требуемому:

Основой для решения задачи управления поведением на основе свойств функциональной избыточности является теория универсальных автоматов. Доказано, что задача построения универсального автомата - перечислителя относительно произвольного семейства КДА (а, следовательно, и задача управления поведением системы на основе свойств функциональной избыточности), является алгоритмически неразрешимой [3, 4]. Поэтому, в настоящее время предпринимаются попытки выделить классы, для которых эта задача имеет решение. Один из таких классов - класс КДА, допускающих моделирование семействами многочленов.

Рассмотрим многочлен, определенный на векторе ^ следующего вида:

где операции сложения, умножения и возведения в степень - это операции кольца вычетов по модулю т.

Определение 2. Будем говорить, что поведение автомата А вида (1) моделируется семейством многочленов {fx]xGX вида (3), если (Vx єX)5x представимо многочленомfx, то есть fx (5) = sx. Или иными словами, будем говорить, что автомат А вида (1) задан числовой моделью, если заданы множество входных сигналов X = {x1, x2,...xn}, количество состояний т и множество многочленов fx(5) = a0 + a1 s + a2s2 +... + alsl(modm) на векторе

5 = (0,1,..., m -1), ak є S, k = 1,l, Vx є X .

Например, все автоматные подстановки из примера 1 моделируются многочленами:

Построение автомата по заданной числовой модели возможно всегда, так как сводится к вычислению значений многочленов {/х }хеХ на векторе ^ и тем самым получению автоматных подстановок вида (2). Кроме того, отметим, что заданному многочлену соответствует ровно одна автоматная подстановка.

Задача построения числовой модели по заданному автомату заключается в нахождении степени и коэффициентов моделирующих многочленов. Наибольшая возможная степень многочлена (то есть не степень конкретного многочлена, взятого по модулю т, а ее верхняя оценка) определяется согласно следующей теореме [4].

Теорема. Пусть т = 2“°р^1 р2а2...рк“к,а0 > 0,аі > 0,і = 1,к - разложение числа состояний т автомата А вида (1) на простые множители. Тогда старшая степень I произвольного моделирующего многочлена вида (3) для данного автомата определяется по формуле

fx(s) = a0 + as + a2s2 +... + alsl(mod m) , ak є S , k = 1,l, xєX , (3)

Задача нахождения коэффициентов моделирующего многочлена a1,.,al для заданной автоматной подстановки сводится к нахождению решения системы линейных алгебраических сравнений (СЛАС) вида:

Ma = ~ (modm), (5)

а=(ах ,..., at ), ao=so,

1 1 ... 1 "

2 22 ... 2l

(m -1) (m -1)2 ... (m -1)1 _

Для решения данной системы можно использовать, например, преобразованный метод Гаусса [4].

Для построения числовой модели автомата необходимо для каждого входного сигнала х решить СЛАС вида (5), а именно найти хотя бы одно ее решение.

Если СЛАС вида (5) неразрешима, то для заданной автоматной подстановки невозможно построить моделирующий многочлен, т.е. не всякий КДА может быть представлен с помощью числовой модели. Если же СЛАС вида (5) разрешима, то в общем случае она имеет несколько решений, то есть автоматная подстановка может

моделироваться различными многочленами вида (3).

Пример 2.

Рассмотрим автомат A =(X, S, 5), где X = {х1, х2, х3}, |S|=m=6,

5 : (0 1 2 3 4 5^| 5 : f0 1 2 3 4 5^ 5 : (0 1 2 3 4 5

х1 : ^2 3 4 5 0 1) , 5х2 : f4 2 3 1 5 0J, х3 : f 1 2 0 4 5 3J .

Подстановка 5х1 моделируется многочленами f (s) = 2 + s, f (s) = 2 - 2s + 3s2,

f (s) = 2 + 4s - 3s2, а подстановки 5х2, 5х3 не допускают моделирование многочленами.

Условия моделируемости КДА семейством многочленов сводятся к условиям разрешимости данной системы и приведены в работе [5]. Доказано, что если число состояний автомата m - простое число, то l = m—1, матрица M - квадратная и система всегда имеет единственное решение. Это означает, что при простом числе состояний автомата для автоматной подстановки всегда существует единственный моделирующий многочлен вида (3).

Для класса КДА, допускающих моделирование семействами многочленов, решена задача управления поведением на основе свойств функциональной избыточности -предложен метод построения восстанавливающей последовательности относительно заданного входного сигнала [6]. Характерной особенностью данного метода является одновременность синтеза восстанавливающей последовательности и проверки ее существования для заданного преобразования.

Таким образом, описан класс КДА специального типа, а, следовательно, и класс систем, моделируемых КДА этого типа, для которого решена задача управления поведением на основе свойств функциональной избыточности.

Возникает вопрос, возможно ли расширить данный класс систем за счет доопределения КДА, описывающего поведение системы до КДА, допускающего числовое моделирование.

Будем называть автомат немоделируемым, если ни одна из его автоматных подстановок не допускает моделирование многочленом.

Будем называть автомат частично моделируемым, если числовое моделирование допустимо не для всякой его автоматной подстановки (входного сигнала). Примером частично моделируемого автомата служит автомат из примера 2.

Рассмотрим способы доопределения автоматов до автоматов, допускающих числовое моделирование.

где st = st - s0(mod m), i = 1, m -1,

M =

Прежде всего, можно предложить простой способ доопределения немоделируемых и частично моделируемых автоматов до автоматов, допускающих числовое моделирование за счет изменения числа состояний автомата.

Действительно, пусть дан автомат А =(Х, £, 5), |£| =т, где т - не простое число, и

1 ... т - Г

...

функции переходов заданы автоматными подстановками 5х : I / / / I Vxг■еX

' 1*0 *1 ... *„-1 )

При этом некоторая его автоматная подстановка не допускает моделирования

многочленом.

Тогда для построения числовой модели данного автомата необходимо

доопределить его следующим образом: число состояний увеличить до ближайшего простого числа и, а функции переходов изменить следующим образом.

5Х :

(0 1

V *0

... т -1 т т +1 ... і -1^

і -1

5г 1 т т +1

т-1

Так как и - простое число, то любая автоматная подстановка данного автомата будет моделироваться многочленом, а, следовательно, для данного автомата возможно построить его числовую модель. При этом состояния 0,...,т-1 доопределенного автомата будут неотличимы от состояний 0,.,т-1 исходного автомата, то есть VtеX Vsе {0,.,т-1} 5и (*) = 5'и (*). А значит, система, моделируемая исходным автоматом, будет

моделироваться и доопределенным таким образом автоматом при условии, что состояния т,...,и-1 не могут быть начальными.

Пример 3.

Рассмотрим автомат из примера 2.

Доопределим автомат Л следующим образом: Л-^У^), где X = (х1зх2,х3}, |£ '|=т=7,

5 х

0 1 2 3

01

12

2

4

2

0

3

5

3

4

4

0

4

5

5 6 1 6 56 36

5

х2

1

2

2

3

4

5

5

0

Данный автомат допускает моделирование многочленами

/ч(5) = 2 + * + 3*2 + 5з3 + 3*4 + 3*5, /х2(5) = 4 + 5* + 4*2 + 4*3 + 3*4 + 3*5,

/хз (*) = 1 + б*2 + б*3 + 4*4 + б*5.

Однако при условии, что число состояний автомата не должно изменяться, далеко не всегда немоделируемый или частично моделируемый автомат можно привести к полностью моделируемому виду. Этот вопрос в первую очередь сводится к вопросу нахождения изоморфизма моделируемых и немоделируемых автоматов.

Пусть существует автомат, реализующий автоматную подстановку 5х, не допускающую моделирования многочленом. Очевидно, что если возможно определить эквивалентный ему автомат, допускающий числовое моделирование данной автоматной подстановки 5'х, то задача сводится к переобозначению внутренних состояний автомата. Такое переобозначение есть не что иное как изоморфизм ф : £ — £ множества состояний на себя, причем, в силу того, что это изоморфизм, должно выполняться 5'х(ф(*)) = ф(5х(*)), то есть переобозначение состояний сохраняет функции переходов.

Заметим, что если 5х - моделируемая подстановка и ф - моделируемая подстановка, то полученная переобозначением вершин автоматная подстановка обязательно будет

5

допускать числовое моделирование и при этом сохранит первоначальный вид графа переходов автоматной подстановки.

Однако возможна ситуация, когда для немоделируемой функции 8Х можно определить такой изоморфизм ф, задаваемый немоделируемой подстановкой, что полученная эквивалентная подстановка будет допускать числовое моделирование. Это ситуация продемонстрирована в следующем примере.

Пример 4.

Рассмотрим автомат А = (ХД8), |£|=да=6, который реализует автоматные

0

1

Рис. 1. Графы заданных автоматных подстановок

4

1

4

4

2

3

0

а

б

подстановки

0 1 2 3 4 5

1 4 5 4 1 2

Графы автоматных подстановок 8 Х1,8х2 изображены на рис. 1, а и б соответственно.

Автоматная подстановка 8Х1 не допускает моделирования многочленом. Автоматная подстановка 8 Х2 допускает моделирование многочленом, например

ДС*) = 1 + * + *2.

состояния

ф

Переобозначим 0 1 2 3 4 5

0 2 4 1 3 5

Тогда получим подстановки 8Х •

автомата

помощью

подстановки

0 1 2 3 4 5

2 3 4 5 0 1

,8'

х2

0 1 2 3 4 5

233254

эквивалентные 8Х1,8Х2, графы которых изображены на рис. 2, а и б соответственно.

с

2

0

3

2

5

4

1

а

б

Рис. 2. Графы эквивалентных автоматных подстановок

Очевидно, что ф(5) - является изоморфизмом, так как

(0 1 2 3 4 5

8^(ф(,))=ф(8,(.))=(2 4 2 3 4 5

(0 1 2 3 4 5 ^

5,>(s» = ^(s)) = (2 3 5 3 2 4j •

Подстановка ф: (0 2 2 3 4 5J числ°вьш образом не моделируется, а новая

подстановка 5^ допускает моделирование многочленами fxi(s) = 2 + s,

f4(s) = 2 - 2s + 3s2, f4(s) = 2 + 4s - 3s2.

Однако подстановка 5X2 теперь не допускает моделирования многочленом.

Вообще говоря, вопрос алгоритмического нахождения подстановки для изоморфизма ф, позволяющего построить для немоделируемой подстановки эквивалентную ей моделируемую еще недостаточно изучен. Однако, как показывает пример 4, данный вопрос представляет скорее теоретический, чем практический интерес, так как нахождение такого изоморфизма не всегда позволит построить автомат, эквивалентный заданному, все функции переходов которого моделируются многочленами.

Возможно также предложить способ доопределения до автоматов, допускающих моделирование многочленами, частично определенных автоматов, т.е. автоматов, функции переходов которых полностью заданы не для всех входных сигналов или не на всем множестве внутренних состояний. Пусть задан частично определенный автомат A =(X, S, 5), |S|=m, который для некоторого xeX реализует автоматную подстановку 5x(s) = sx где sx - не полностью определенный вектор. Прежде всего, необходимо найти

необходимые и достаточные условия моделируемости автоматных подстановок многочленами для заданного числа состояний автомата, то есть ограничения, накладываемые на вектор sx [5]. Далее, для частично заданного вектора sx следует проверить, удовлетворяются ли те условия моделируемости, в которых участвуют только определенные компоненты вектора sx. Если условия не удовлетворяются, то доопределение данным способом невозможно. Если же условия удовлетворяются, то возможно доопределить автоматные подстановки, решая систему уравнений из оставшихся условий с неопределенными компонентами вектора sx. в качестве неизвестных. Очевидно, что в общем случае доопределение может быть многозначно.

Пример 5.

Пусть дан частично определенный автомат A =(X S, 5), где X = {x1, x2}, |S|=m=8,

5 : (0123456 7 J : (0 1234567

5xi ' ^ 1 6 7 4 5 2 - -J ’ 5x2 : (0 2 6 0 4 6 - -

Условия моделируемости многочленами автоматных подстановок с числом состояний

8:

s1 + 6s3 + s5 = 0 (mod 8),

s0 + 7s2 + 7s4 + s6 = 0(mod8),

2s1 + 5s3 + s7 = 0(mod8).

Первому условию s1 + 6s3 + s5 = 0(mod8) удовлетворяют обе подстановки

рассматриваемого автомата. Следовательно, данный автомат можно доопределить до автомата, допускающего числовое моделирование.

Доопределим подстановку 5xi , то есть найдем такие s6,s7, которые удовлетворяют второму и третьему условиям моделируемости соответственно

s0 + 7 s2 + 7s4 + s6 = 0(mod8) 1 + 7*7 + 7*5 + s6 = 0(mod 8) «•

^ 5 + s6 = 0(mod 8) ^ s6 = 3,

2s1 + 5s3 + s7 = 0(mod8) 2*6 + 5*4 + s7 = 0 0 + s7 = 0(mod8)

^ s7 = 0.

Аналогично, находим s6,s7 для подстановки 5x2 : S6 = 2, S7 = 4.

Таким образом, доопределенный автомат задается подстановками

: (0 123456 7^ _ : (0 123456 7^

Ö " ' ^ 1 6 7 4 5 2 3 0) , 0"2- ^0 2 6 0 4 6 2 4),

которые допускают моделирование многочленами fx (s) = 1 + 3s + s2, f (s) = s + 7s2 + 2s3.

Таким образом, в статье рассмотрен класс автоматов, относительно которого разрешима задача управления поведением системы на основе свойств функциональной избыточности, а именно класс автоматов, допускающих моделирование семействами многочленов. Числовое моделирование автоматов позволяет применять хорошо разработанный аппарат алгебры, в частности, при решении задач управления. Кроме того, показана возможность расширения описанного класса систем, за счет различных способов доопределения представляющих их автоматов, до автоматов, допускающих числовое моделирование.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пархоменко П.П. Основы технической диагностики, оптимизации алгоритмов диагностирования, аппаратурные средства / П.П. Пархоменко, Е.С. Согомонян. М.: Энергоиздат, 1981. 240 с.

2. Сытник А.А. Перечислимость при восстановлении поведения автоматов / А.А. Сытник // Доклады РАН. 1993. Т. 238. С. 25-26.

3. Сытник А. А. Методы и модели восстановления автоматов / А. А. Сытник // Автоматика и телемеханика. 1992. № 11. С. 149-159.

4. Посохина Н. И. Об одном подходе к решению задачи синтеза автоматов-перечислителей / Н.И. Посохина // Теоретические проблемы информатики и ее приложений: сб. науч. тр. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 1997. Вып. 1. С. 101-109.

5. Шульга Т.Э. Численные критерии восстановимости поведения КДА степенным многочленом / Т.Э. Шульга // Теоретические проблемы информатики и ее приложений-сб. науч. тр. Саратов: ГосУНЦ «Колледж». 1997. Вып. 1. С. 132-137.

6. Сытник А.А. Числовые методы функционального восстановления поведения систем / А.А. Сытник, Т.Э. Шульга // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 10. С. 123130.

Шульга Татьяна Эриковна - Shulga Tatyana Erikovna -

кандидат физико-математических наук, Candidate of Sciences in Physics

доцент кафедры «Теоретические основы and Mathematics,

информатики и информационных технологий» Assistant Professor of the Department Саратовского государственного of «Theoretical bases of information science

социально-экономического университета and information technologies»

of Saratov State Socioeconomic University

Статья поступила в редакцию 14.07.08, принята к опубликованию 05.09.08