О классе графов, обладающих сильными перемешивающими свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

М. И. Исаев1,2, К. В. Исаева2

1Centre de Mathematiques Appliquees, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, Prance 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

О классе графов, обладающих сильными перемешивающими свойствами

Рассматриваются три свойства перемешиваемости графа: большая алгебраическая связность, большая константа Чигера (изопериметрическое число) и большой спектральный зазор между 1 и вторым по величине собственным значением матрицы переходных вероятностей случайного блуждания по графу. В работе доказывается эквивалентность данных свойств (в некотором смысле). Получены оценки вероятности, что случайный граф обладает указанными свойствами перемешиваемости. Кроме того, приведены асимптотические формулы для числа эйлеровых ориентаций и числа эйлеровых циклов в неориентированном простом графе.

Ключевые слова: алгебраическая связность, изопериметрическое число, матрица Лапласа, эйлеровы циклы и ориентации.

1. Введение

Пусть G — неориентированный простой граф с множеством вершин VG я множеством ребер EG. Определим (п х п)-матрицу Q следующим образом:

-1, {Vj,у^} G EG,

dj, j = k, (1) 0 в остальных случаях,

где п = |VG| и dj обозначает степень Vj G VG. Матрица Q = Q{G) называется матрицей Лапласа, графа G. Собственные значения Ai < А2 < ... < Ап матрицы Q являются неотрицательными вещественными числами, причем количество нулевых собственных значений совпадает с количеством компонент связности, в частности, Ai = 0. Число А2 = ^(G) называется алгебраической связностью графа G.

Классическая теория алгебраической связности была развита Фидлером, см. [6], [7]. Отметим также, что число \2(G) является дискретным аналогом наименьшего положительного собственного значения дифференциального оператора Лапласа на римановом многообразии. (Для дополнительной информации о спектральных свойствах матрицы Лапласа см., например, [14] и ссылки, приведенные там.)

Пусть — множество простых графов G, обладающих следующим свойством.

Свойство 1. Алгебраическая связность Х2(G) > ^\VG\.

Для подмножества вершин А С ^тсть дА обозначает множество всех ребер, соединяющих вершину из А и вершину не из А:

дА = {{и, v} G EG : и G A,v G VG \ A} .

Константа Чигера, (или изопериметрическое число) графа ^обозначаемая i(G), определяется следующим образом:

i(G) = min jМ : А с VG, 0 < |Л| < ^ } .

Число i(G) является дискретным аналогом изопериметрической константы (Чигера) в теории римановых многообразий и имеет много интересных интерпретаций (для более подробной информации см., например, [13] и ссылки, приведенные там).

Пусть Cj — множество простых графов G, обладающих следующим свойством.

Qjk

Свойство 2. Константа Чигера г(С) > 7\VGI-

Пусть Р = Р(С) обозначает матрицу переходных вероятностей случайного блуждания по графу С:

Граф С связен тогда и только тогда, когда случайное блуждание является неприводимой цепью Маркова. В этом случае существует единственное стационарное распределение и кратность собственного значения х\ = 1 равна одному. (Для дополнительной информации

о случайных блужданиях на графах см., например, [9] и ссылки, приведенные там.)

Пусть — множество простых графов С, обладающих следующим свойством.

Свойство 3. Спектральной зазор 1 — Х2(С) > 7 и тт> 7\VGI-

з

Известно, что графы из 77, С7, имеют сильные перемешивающие свойства. Мы на-

зываем 77 П С7 П ^7-классом 7-перемешивающих графов. В действительности (см. раздел

2 настоящей работы), Свойства 1-3 эквивалентны в следующем смысле: если граф удовлетворяет одному из этих свойств при 7 = 70 > 0, то он удовлетворяет всем свойствам 1-3 для некоторого ^ > 0, зависящего толь ко от 70.

В разделе 3 оценивается вероятность случайного графа быть 7-перемешивающим. Рассматривается модель Гильберта случайного графа: каждая пара вершин может соединяться ребром независимо с некоторой фиксированной вероятностью 0 < р < 1. Оказывается, что в этой модели практически все графы (асимптотически) получаются 7-перемешивающими при некотором ^ > 0, зависящим только от р.

В разделе 4 построено общее семейство графов, удовлетворяющих свойствам 1-3 (см. пример 3 и замечание 1). Например, семейства полных графов {Кп} и полных двудольных графов {Кп,п} являются частными случаями этого общего семейства. В разделе 4 обсуждаются также другие важные примеры.

Кроме того, в настоящей работе рассматриваются две задачи перечисления: подсчет числа эйлеровых ориентаций (ЕО) и подсчет числа эйлеровых циклов (ЕС) в неориентированном простом графе. Известно, что обе эти задачи являются полными для класса #Р (см. [2], [10]) и, следовательно, трудными с точки зрения теории сложности.

В работах [4], [5] было определено асимптотическое поведение числа эйлеровых ориентаций и числа эйлеровых циклов для случая 7-перемешивающих графов (точнее, для графов, удовлетворяющих свойству 1).

В разделе 5 приведены асимптотические формулы для ЕО, ЕС, а также проведено сравнение с точными значениями для небольших графов. В действительности, если граф С является 7-перемешивающим, то для любого е > 0 относительная погрешность |^(^)| < Сп-1/2+е, где С > 0 зависит только от е и 7. Доказательство этих формул можно найти в препринтах [е-ргш1;: Ьа1-00730657] и [е-рп^: Ьа1-00739760], планируемых для публикации в ближайшее время.

2. Эквивалентность свойств 1^3

Известно, что для простого графа С с п вершинами

:> {vj } Є ЕС,

0 в остальных случаях.

(2)

Собственные значения Р таковы, что

1 = Х1 > Х2 ... > Хп > -1.

(ЗЬ)

(За)

ЫО)_ __________ _____......

2 < г(О) <уХ2(С)(2твхй3 — Х2(С)), (4)

Х2(С) < \2(0\) + 1, (5а)

Х2(С) < Л2(С'), (5Ь)

где С\ — граф, получающийся из С посредством удаления одной вершины и всех смежных ей ребер, С — произвольный граф такой, что УС' = УС и ЕС С ЕС'.

Оценки (3), (5) были получены в [6]. Оценки (4) приведены в [13].

Используя (4) и неравенство ^ < п, получаем, что для любого 70 > 0

7^0 С и ^"^0 С 7^1, (^)

где 71 > 0 зависит только от 70.

Пусть х € М” и М — (п х п)-матрица. Мы используем обозначения:

||ж|| = /хТ х, \\М У = вир ||Мж||.

ж€М", ||ж|| = 1

Для того чтобы завершить доказательство эквивалентности Свойств 1-3, нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть а,Ъ1,Ь2 > 0. Пусть А — симметричная положительно определенная (п х п)-матрица такая, что для некоторого ад € Мга; ад = 0;

Аад = 0, (7а)

и для любого и € М™ такого, что иТад = 0;

||Аи|| > а||й||. (7Ь)

Тогда, для, любой симметричной (п х п)-матрицы В такой, что

||Б|| < Ь1 и и>ТВ'ш > 62||-ш||2, (7с)

выполняется следующее утверждение:

( detM — ХВ) = 0,

=^ А > р 8

\Л = 0 >' ■ !

для, некоторого р = р(а, Ъ1, Ъ2) > 0.

Доказательство леммы 1 приведено в конце данного раздела.

Заметим, что

р = I — о-1 д, (9)

где ^ и Р - матрицы, определенные в (1) и (2) соответственно, I обозначает единичную

матрицу и Б — диагональная матрица,

Пусть А1 = ^ф, В1 = ^И и -Ш1 = [1,..., 1]Т. Используя (9), получаем, что

det(A1 — XI) = 0 det(Q — Хп1) = 0; (10)

det(Al — ХВ1) = 0 ^ det(P — (1 — Х)1) = 0 (11)

для любого и € М” такого, что итад1 = 0,

итА1и > — Х2(С)ити; (12)

Н^Н < — maxdj < 1, wf B1 w 1 > — min dj wf w 1. n j n j

Комбинируя свойство 1, (За), (10) - (13) и лемму 1, получаем, что для любого 70 > 0

^70 С ^^72,

(13)

(14)

где 72 > 0 зависит только от 70.

Пусть А2 = 0~ 2 QD- 2, В = пИ-1 и ад2 = О 2 ад 1, где И3 — диагональная матрица, И3 - = (dj)5. Используя (9), находим, что

det(A2 — XI) = 0 det(P — (1 — Х)1) = 0; det(A2 — ХВ2) = 0 det(Q — Xnl) = 0

для любого u G К” такого, что uTw2 = 0,

uTA2u > (1 — x2(G))uTu;

\\B2\\<-

п

min di

w 2> B1vS2 = nw f w 1 > w 2 w 2.

Комбинируя свойство 3, (15) - (18) и лемму 1, получаем, что для любого 70 > 0

Муо с ^73,

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

где 7э > 0 зависит тольк о от 70.

Собирая вместе (6), (14) и (19), мы получаем искомое утверждение.

Теорема 1. Пусть 77, С1, М7 — множества, рассматриваемые в разделе 1. Тогда, для любого 70 > 0

770 и С70 и М70 С 77 П С-у П М7,

где ^ > 0 зависит тольк о от 70.

Теперь осталось доказать лемму 1.

Доказательство. Пусть det(A — ХВ) = 0. Тогда для некоторого V € М™, V = 0,

Ау = ХВу.

(20)

(21)

Пусть V = + ь±, где щ || ад и ад = 0. Согласно (7а) имеем, что

Ау = 0.

Так как А = 0, используя (21), получаем, что

ЩЩ\ = —Ъ\\ Вь±.

(22)

Используя (7с), (22) и неравенство Коши-Шварца находим, что

f Bv±l = |vj

Поэтому имеем, что

Н^Н >

b2

Используя (7Ь), (7с) и (23), находим, что

> all^ll,

№

&2

Комбинируя (21) и (24), получаем, что

А >

ab2

h\/ b2 + Ь2

(23)

(24)

(25)

2

3. Вероятность случайного графа быть 7-перемешивающим

В(М,р):

РГ(Є = Й) = ЩмМ— к)\Р"(1 -Р)М-, 0 <Р< 1, М Є N.

Заметим, что

Рг({ < аМ) < с-м (26)

для некоторых а > 0 с> 1 зависящих только от р. Это следует, например, из следующей оценки: для 1 < к <

Рг({ = к) _ М -к + 1 р > ^2(М + 1) р >2

Рг({ = к — 1) к 1 —р ^ (М + 1)1 —'Р

Пусть С — случайный граф, принадлежащий модели Гильберта С(п,р):

Vl<i<j<n^г({Уг, V] } € ЕС) = р, 0 < р < 1,

(независимо для каждой пары {г, $}).

Для подмножества вершин А С УС, используя (26), находим, что

Рг(|М| < а|А|(п — |А|)) < с-1А1(п-1А\). (27)

Используя (27), получаем, что

Рг(г(С) < <2) < ^ Рг(|М| < <

Асус, 0<|А|<§

п/2

< Ё Е Рг(|^ < ^А^п — |А|)) <

к=1 \А\=к (28)

п/2 п/2

^ п• -к(п-к) <^Г'' П• (р-п/2)к <

< ^к\(п — к)! <^к.(п — к).( ) <

< (1 + с-га/2)га — 1 < Р-га

для некоторого Р > 1, зависящего толь ко от р.

Согласно (28) и теореме 1, получаем, что вероятность случайного графа (в модели

Гильберта С(п,р)) быть 7-перемешивающим не менее чем 1 — Р-п, где 7 = 7(р) > 0 и Р = Р (р) > 1.

4. Некоторые основные свойства и примеры

Заметим, что согласно (ЗЬ) и теореме 1,

если тт > а|УС| Т0 Граф С является 7-перемешивающим

для некоторого а > 1/2, для некоторого 7 = 7(а) > 0.

Пример 1. Пусть Кп и Кп — два полных графа, с п вершинами. Определим Сп ^ следующим образом,:

УС« = УКп и УКп,

ЕС^ = ЕКп и ЕКп и Е+,

где Е+ = {{уг, Уг}, г = 1,..., п}.

Для О = Сп^1 имеем, что для всех j = 1,..., 2п

^ = П + 1 > 2 \ус<£\

однако

г(с(п1)) \е +|

------- < ,тг ^ 0, при п ^ то.

п щУ

Поэтому семейство {Сга^} не удовлетворяет свойству 2 (и, следовательно, свойствам 1, 3). Кроме того, отметим, что это семейство графов имеет также большую вершинную и реберную связность.

(2)

Пример 2. Пусть Кп — полным гра,ф с п вершинами. Определим, Сп следующим, образом:

УС^ = укп и {уп+1}, ЕС^ = ЕКп и {ьп, ьп+1}.

Для С = С^ имеем, что тіп^ = 1, однако спектральный зазор 1 — Х2(Сп')) > 1/2 при

з

п > 2. Примеры 1 и 2 показывают, в частности, что оба условия свойства 3 являются существенными.

Пример 3. Пусть С0 — связный простой граф с т > 1 вершинами. Пусть с,, с2,..., ст — некоторые натуральные числа. Определим С^ следующим образом:

УС^ = {^ : і = 1,..., пц, j = 1,..., т},

{VI,уі} Є ЕС^ ^ К,ьп} Є ЕС0.

(3)

Оценим константу Чигера (изопериметрическое число) і(Сп )). Пусть

т

с0 = тіп Сі , С = > Сі .

1<3<т ^

3 = 1

Заметим, что

степень каждой вершины УС$ те мен ее с0п (29а)

и

ІУС^І = Сп. (29Ь)

Пусть А с УС(п \ |Л| < Сп/2.

• Случай 1. |А| < Соп/2. Используя (29), находим, что

|М| > сопЩ - |Л|2 > ^|Л| = (30)

• Случай 2. |А| > с0п/2. Пусть У,, У2 с УС0 такие, что

ц Є И ^ | ^ : V) Є А] | > 2^,

С гл

V, є¥2 ^ | {V5 : V} Є л} | > -2-.

Используя Соп/2 < |Л| < Сп/2, находим, что

V,і и У2 = УСо, №| > 0, |У21 > 0.

Так как С0 — связный, мы можем найти ю^1 Є Уі, Є ^2 такие, что {vj1 ,у^ } Є ЕСо-

Оценивая число ребер в дА, соответствующих этим вершинам, получаем, что

| - |> ^ > 2^ | - |=в1 | - | . (»)

Комбинируя (30), (31) и теорему 1, получаем, что семейство |^С^3) | удовлетворяет свойствам 1-3 с 7 > 0, зависящим толь ко от Со, с,,..., ст.

Отметим также, что пример 3 может быть модифицирован таким образом, что константы с,,... ,ст > 0 необязательно являются натуральными числами. Мы предположили это только для простоты доказательства.

Замечание 1. Комбинируя (5), теорему 1 и пример 3, можно доказать свойства 1-3 для, большого числа, классических примеров (включая семейства {Кп}, {Кп,п} и множество других).

5. Асимптотические оценки для 7-перемешивающих графов

Эйлерова ориентация графа О — такая ориентация его ребер, что для любой вершины число входящих ребер и выходящих ребер одинаково. Обозначим ЕО(С) — число эйлеровых ориентаций, эйлеровы ориентации полного графа Кп называются регулярными турнирами.

Эйлеров цикл в графе С — замкнутый путь, который использует каждое ребро С ровно один раз. Обозначим ЕС (С) — число различных эйлеровых циклов с точностью до циклического сдвига.

Известно, что ЕО(С) = ЕС (С) = 0, если степень хотя бы одной верш ины графа С нечетная (для дополнительной информации см., например, [1]). В этом разделе мы везде предполагаем, что все вершины графа имеют четную степень.

Рассматрим две задачи перечисления: подсчет числа эйлеровых ориентаций и подсчет числа эйлеровых циклов в неориентированном простом графе. Известно, что обе эти задачи являются полными для класса #Р, см. И, [Ю].

Результаты, представленные в этой секции, основаны на оценках из [4], [5].

Доказательства можно найти в препринтах [е-ргт^ Ьа1-00730657] и [е-ргт^ Ьа1-00739760], планируемых для публикации в ближайшее время.

5.1. Эйлеровы ориентации

Известно, что задача подсчета числа эйлеровых ориентаций может быть сведена к подсчету числа полных паросочетаний такого класса двудольных графов, для которых это может быть сделано приближено с большой вероятностью за полиномиальное время, см. [10]. Однако степень соответствующего полинома большая, и поэтому, в действительности, эти алгоритмы имеют большое время работы при уровне относительной погрешности 0(п-1/2). Для 7-перемешивающих графов верпа следующая асимптотическая формула.

Утверждение 1. Пусть С — неориентированный простой граф с п вершинами у1,у2, ..., уп, имеющими четную степень. Пусть С также является 7-перемешивающим графом, для некоторого ^ > 0. Тогда

1

ЕО(С) = (1 + 8(С)) (2|ес|+^^-П Рзк

V чЧЧ к ,щ}еЕС ) (32)

111 Рм = 1______________________

3 + 1)2 2(^ + 1)(^іи + 1) 4(Ли + 1)2,

где йі обозначает степень вершины Ь(С) — число ост,овны,х деревьев графа С, и для,

любого є > 0

|Я(С)| < Сп-1/2+£,

где константа, С > 0 зависит только от 7 и є.

Замечание 2. Отметим, что согласно теореме Кирхгофа (.матричной теореме о деревьях), см. [8], имеем, что

t(G) = 1Л2Л3 ■ ■ ■ \п = det Мп, п

где Мц — минор матрицы Q, получающийся, посредством удаления первой строки и первого столбца.

~ ' п, ЕКп = ^^, ЦКп)= п"

Замечание 3. Для полного графа Х2(Кп) = п, ЕКп = п(п2 t(Kn) = пп 2,

/ 1 1 1 \ п(п-1)

П k 4п 2 2п2 4п2)

{vj ,Ьк }еЕК„

п(п — 1)

= (X1-^ 2 = е"1/2 + 0(п-1).

Результат утверждения, 1 для, этого случая, сводится, к результату из [12] о подсчете числа регулярных турниров в полном, графе.

Подробное доказательство утверждения 1 приведено в препринте [е-рпШ:: 1та1-00730657]. В настоящей работе мы только проводим сравнение ответов, полученных с помощью формулы (32) с точными значениями для маленьких графов. Пусть

Error(G) =

EOapprox(G) - EO(G)

EO(G)

где E О approx (G) соответствует правой части (32). Следующие графики (см. рис. 1) демонстрируют зависимость Error(G) от отношения \2(G)/n, где \2(G) — алгебраическая связность и п = | VG| =6, 7, 8, 9:

Рис. 1. Зависимость Error(G) от отношения \2(G)/n

Графики из рис. 1 показывают, в частности, что Error значительно убывает при возрастании \2(G)/n.

5.2. Эйлеровы циклы

В отличие от эйлеровых ориентаций даже приближенные и вероятностные эффективные алгоритмы для подсчета числа эйлеровых циклов в общем случае до сих пор не были получены в литературе и известны только для специальных классов графов, обладающих невысокой плотностью, см. [3] и [15]. Тем не менее, для 7-перемешивающих графов верпа асимптотическая формула для ЕС (С), аналогичная (32). Это формула немного более сложная, поэтому нам потребуются некоторые дополнительные обозначения. Пусть

ж = 0-1 = (Я + J )-1,

где Q — матрица Лапласа и .] обозначает матрицу, все элементы ко торой равны 1. Пусть а = (а1,..., ап) € М™ такой, что

аз = ^зз.

Пусть р = Qd и

п— 1 п

Глзуг зь

С1 = ехр 1-Е Е (З3ж,к(3к | , (33)

j=1 к=]+1

п д2 \

°2 = ехр £эдгч)' (34)

где — степень вершины Vj € УС. Пусть

К(в) = Ьг(Л(0)ШЛ(0)Ш),

где ^(-) — след матрицы, Л(0) обозначает диагональную матрицу с элементами на диагонали, равными компонентам вектора ^0. Пусть ё^к) = (е^\ ..., е^) € М” такое, что гДе ^зк символ Кронекера. Пусть гк = К(е^к)),

П

Сз =ехр | Е 2(57+1) I • (35)

Наконец, пусть

С4 = П Р^к, (36)

{vj ,'ик}£ЕС

где такое же, как и в (32).

Утверждение 2. Пусть С неориентированный простой граф с п вершинами у1,у2, ..., уп, имеющими четную степень. Пусть С также является 7-перемешивающим графом, для некоторого ^ > 0. Тогда

(П

п

где С]_, С2, С3, С4 определены в (33), (34), (35), (36) соответственно, обозначает степень вершины V], t(G) — число ост,овны,х деревьев С, и для, любого е > 0

|5'(С)| < С'п—1/2+£,

где константа С1 > 0 зависит только от 7 и е.

^ - 1^!2|ес|—2—1^—2—1уЩС1С2С3СА , (37)

Замечание 4. Можно получить для случая G = Кп, что

С1С2С3 С4 = 1 + 0(п~1).

Используя, замечание 3 и формулу Стирлинга для, факториалов, результат, из утверждения, 2 для, этого случая, может, быть сведен к результату из [11] о подсчете числа эйлеровых циклов в полном, графе.

Подробное доказательство утверждения 2 приведено в препринте [e-print: hal-00739760]. В настоящей работе мы только проводим сравнение ответов, полученных с помощью формулы (37), с точными значениями для маленьких графов. Пусть

~ ECappr0x(G) - ЕС (С)

Error (G) =----------------------^-,

где ЕСаррГох(С) соответствует правой части (37). Следующие графики (см. рис. 2) демонстрируют зависимость Error'(G) от отношения \2(G)/n, где \2(G) — алгебраическая связность и п = | VG| =6, 7, 8, 9:

Рис. 2. Зависимость Error'(G) от отношения \2(G)/n

Графики из рис. 2 показывают, в частности, что Error' значительно убывает при возрастании \2(G)/n.

Литература

1. Biggs N.L., Lloyd Е.К., Wilson R.J. Graph Theory /7 Clarendon Press, Oxford. 1976.

P. 1736 1936.

2. Bright-well G., Winkler P. Note on Counting Eulerian Circuits /7 Proceedings of the

7th ALENEX and 2nd ANALCO 2005, ALENEX/ANALCO 2005. Vancouver, ВС, С Demetrescu. R. Sedgewiek and R. Tamassia (eds.). 2005. P. 259 262. e-print:

arXiv:cs/0405067.

3. P. Chebulu, М. Cry an, R. Martin, Exact counting of Euler tours for generalized series-parallel graphs // Journal of Discrete Algorithms. — 2012. — V. 10. — P. 110-122.

4. Isaev M.I. Asymptotic behaviour of the number of Eulerian circuits // Electronic Journal of Combinatorics. - 2011. - V. 18(1). - P. 219.

5. Исаев М.И. Асимптотическое поведение числа эйлеровых ориентаций в графах //

Математические заметки. — 2013. — Т. 93. I?. 0. С. 828-843.

6. Fiedler М. Algebraic connectivity of graphs // Czech. Math. J. — 1973. — V. 23(98). — P. 298-305.

7. Fiedler M. Laplacian of graphs and algebraic connectivity // Combinatorics and Graph Theory. - 1989. - V. 25. - P. 57-70.

8. Kirchhoff G. Uber die Auflosung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Strome gefiihrt wird // Ann. Phvs. Chem. — 1847. — у. 72. _ p. 497-508 / Translated by J. B. O’Toole in I.R.E. Trans. Circuit Theory, CT-5. -1958. - V. 4.

9. Lovasz L. Random walks on graphs: A survey // Combinatorics, Paul Erdos is eighty. — 1993. - V. 2. - P. 1-46.

10. Mihail М., Winkler P. On the number of Eulerian orientations of a graph // Algorithmica. — 1996. - V. 16. - P. 402-414.

11. McKay B.D., Robinson R.W. Asymptotic enumeration of eulerian circuits in the complete graph // Combinatorics, Probability and Computing. — 1998. — V. 7(4). — P. 437-449.

12. McKay B.D. The asymptotic numbers of regular tournaments, eulirian digraphs and eulirian oriented graphs // Combinatorica. — 1990. — V. 10(4). — P. 367-377.

13. Mohar B. Isoperimetric numbers of graphs // J. Combin. Theory Ser. B. —1989. — V. 47. — P. 274-291.

14. Mohar B. The Laplacian spectrum of graphs // Graph Theory, Combinatorics, and Applications. — 1991. — V. 2 / Ed. Y. Alavi, G. Chartrand, O. R. Oellermann, A. J. Schwenk. - P. 871-898.

15. P. Tetali, S. Vempala, Random sampling of Euler tours // Algorithmica. — 2001. — V. 30. - P. 376-385.

Поступим в редакцию 09.10.2012.