О КАТЕГОРИЯХ ГРУППОВЫХ АФФИННЫХ (Γ, 𝜆)-СХЕМ И (Γ, 𝜆)-КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБР ХОПФА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54:512.55:512.58 DOI 10.24147/2222-8772.2022.4.44-59

О КАТЕГОРИЯХ ГРУППОВЫХ АФФИННЫХ (Г Л)-СХЕМ И (Г, Л)-КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБР ХОПФА

Омский государственный технический университет, Омск, Россия

Аннотация. В работе рассматривается обобщение понятий (групповых) аффинных схем, а также (групповых) аффинных суперсхем как функторов, представимых Z2-градуированными алгебрами, на случай произвольной градуировки.

Приведено обобщение известной теоремы об антиэквивалентности категорий групповых аффинных схем и коммутативных алгебр Хопфа.

Ключевые слова: коммутационный фактор, градуировка, симметрическая моноидальная категория, аффинная схема, супергруппа, алгебра Хопфа.

Введение

Пусть к - область целостности. Всюду далее под кольцом подразумевается коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, а под алгеброй над к -унитальная к-алгебра.

Для данной абелевой группы Г через Г-Мо^ и Г-А^к обозначаются категории Г-градуированных к-модулей и Г-градуированных (цветных) к-алгебр с сохраняющими градуировку гомоморфизмами [1,4].

1. Групповые функторы из категорий с конечными копро-изведениями

Пусть далее С - некоторая категория с конечными копроизведениями, а I Е ОЬС - инициальный объект в ней.1 В такой категории для любой пары объектов А, В Е ОЬ С определён объект А и В и пара морфизмов

удовлетворяющих универсальному свойству: для любой пары морфизмов /: А ^ С, д: В ^ С в С существует и единственный морфизм, обозначаемый / V д: А и В ^ С и называемый диагональным копроизведением / и д,

CT. Казаков

аспирант, e-mail: [email protected]

,в: А ^ А u В, яА,в: В ^ А u В,

1 Такой объект обязательно существует [2, Ch. 2],[3, §3.5].

который делает коммутативной следующую диаграмму

А

В

Как следствие, для любых объектов А,В,Х,У Е ОЬС и морфизмов у: А ^ X, гф: А ^ У существует единственный морфизм

у и ф: А и В ^ X и У, 2

называемый копроизведением произведением у и ф, для которого коммутативна диаграмма

А-

■X

AUB vUФ >XUY

,2

В

Y

-Ф

Рассматривая копроизведение U как ковариантный бифунктор U: C х C ^ C на C, на этой категории естественным образом определяют структуру симметрической моноидальной категории

C = (C, U,a,I,X,p,a),

в которой функторные изоморфизмы

a: (_ U _) U _ _ U (_ U _) А: IU _ Idc, р: _ UI Idc, а: U-^Uo т, 3

таковы, что для любых объектов А, В, С е ObC изоморфизмы

аА,в,с : (А U В) U С А U (В U С) : IU А А, рА: А U I А gab : А U В В U А

делают коммутативными диаграммы

2 При этом ^и ф = (кхх,у о у) V ,у о ф), где V соответствует паре (х\,в, ж2А,в).

3 Здесь т - переставляющий бифунктор на категории С.

i

2

к

к

I и А и I,

К-

(А и В) и С

«А,В,С

->

А и (В и С)

Аи

^В и А,

в

в которых ьа : I ^ А - единственный элемент множества Иош(/, А).

Для С, как и для любой другой симметрической моноидальной категории, определены понятия группоида, когруппоида, бигруппоида, моноида, комоно-ида, бимоноида и моноида Хопфа [7, СЬ.1], [8, §2]. При этом, для каждого объекта А е ОЬС существует единственная структура моноида:

в которой единичным морфизмом является ¿а : I ^ А, а умножением - диагональное копроизведение двух копий тождественного морфизма Она примечательна тем, что с ней согласована любая структура комоноида

на А, определяемая морфизмами А: А ^ А и А и е: А ^ I, для которых коммутативны коассоциативная и коунитальные диаграммы:

поскольку, ввиду определений морфизмов V 1а и ьа, для А и е бигруппоид-ная и биунитальная диаграммы заведомо коммутативны [8, §2].

Т. о., задание на объекте А е ОЬС структуры бимоноида определяется заданием морфизмов

А: А ^ А и А, £: А ^ I,

делающих коммутативными диаграммы (1), а задание на А е ОЬС структуры моноида Хопфа - заданием морфизмов

А: А ^ А и А, £: А ^ I, 5: А ^ А

(А, V 1а, Ьа),

{А, А, е),

(А и А) и А и (А и А)

АиА

(1)

для которых помимо диаграмм (1) коммутативна ещё и антиподная диаграмма:

* ^ ^ I_I 1а . , и и 8 . .

АиА *—- АиА АиА

1а V 1А

А

А-

¿А

А

I

<-А

1а V U

(2)

■А

Напомним, что ковариантный функтор F: C ^ Set из категории C в категорию множеств Set называется представимым объектом А е ObC, если существует функторный изоморфизм

в: h

А

F,

называемый представляющим изоморфизмом [2, §3].

Пользуясь свойствами представимых функторов из категорий с конечными копроизведениями, получим справедливость следующего, аналогичного классическому, утверждения

Предложение 1. Если

F: C ->• Set,

G: C ->• Set

- две функтора, представимые объектами А и В с представляющими изоморфизмами

в: hA — F, v: hB — G,

то функтор

F x G: C ^ Set

представим копроизведением A U В с функторным изоморфизмом

в И 'q: hAuB — F x G,

таким, что, если С е ObC - ещё один объект C, то

(в И V)c: Hom(A U В,С) Э (вс (р о k1ab),Vc (р о xj^)) е F(C) x G(G).

Лемма Йонеды [2,3] даёт связь между морфизмами представимых функторов и морфизмами их представляющих объектов. Так, если

F: C ^ Set, G: C ^ Set

два функтора, представимые объектами А, В е ObC:

в: hA — F, п: hB — G,

4 Здесь hA = На : C ^ Set - т. н. ковариантный hom-функтор, соответствующий объекту А е ObC [2,3].

£

4

то определено биективное отображение

Ф% : Иош(^, С) —• Иош(Б, А),

такое, что, если у: Р ^ С - морфизм Р в С, а £: В ^ А - гомоморфизм В в А, то

(р: Р ^ С) (£: В ^ А) 5 тогда и только тогда, когда коммутативна диаграмма

F-^- G

в

v

(3)

hA—~^ hB

К)

т. е. имеет место равенство £ = (q 1 о у о 0)А(1A) = (qA о о 0A)(1A).

Определение 1. Групповым функтором из категории C называется любой функтор F: C ^ Grp из этой категории в категорию групп Grp. Каждому групповому функтору соответствует подлежащий функтор

F :=# о F: C ^ Set (4)

где #: Grp ^ Set - «забывающий» функтор на категории групп Grp.

Определение 2. Групповой функтор F: C ^ Grp из категории C называют представимым объектом А е ObC [2, §3], если им представим его подлежащий функтор F: C ^ Set, т. е. если существует функторный изоморфизм

в: hA — F,

называемый представляющим изоморфизмом F.

Представимые функторы и представимые групповые функторы вместе с функторными морфизмами между ними составляют категории RFun(C) и соответственно GRFun(C)

Групповой функтор F: C ^ Grp определяется заданием на его подлежащем функторе (4) групповой структуры посредством функторных морфизмов

т: F х F ^ F, е: Е ^ F, ь: F ^ F, (5)

таких, что для каждого объекта А категории C отображения

тА: F(А) х F(А) ^ F(A), 6a : Е(А) ^ F(A), a: F(А) ^ F(А),

определяют на множестве F(А) структуру группы F(A), т. е. для этих морфизмов в категории SetC коммутативны диаграммы:

5 Далее индексы "e'v" и "f,g" будут опускаться.

(F х F) х F ^ F х (F х F)

mxIdf / ^Ч Idf xm

FF

Е X F m

FF

FxF ; txIdF F x F IdF xS F x F

F х F

X^F xe

FxE ,

F

(6)

F

F

E ■

F

где

E: C ^ Set

- т. н. «одноточечный» функтор на C, определённый следующим образом:

Е:

(

ObC э А ^ {•} е Ob Set; Mor C э (p: A ^ В) ^ (idw : {•} ^ {•} ) е Mor Set

({•} - фиксированное одноточечное множество - терминальный объект в категории Set), представимый инициальным объектом I е ObC с представляющим изоморфизмом

£: h1 —• Е,

ставящим для каждого объекта А е ObC единственному элементу ьА: I ^ А множества Hom(/,A) единственный элемент одноточечного множества {•}:

£А: Hom(/, А) э iA М- • е {•} ,

а

8: F ^ F х F, 7: G ^ Е - такие функторные морфизмы, что

6А: F(А) э ж ^ (х,х) е F(А) х F(А); гА: F(А) э ж ^ • е {•} = Е(А).

Следующая теорема является, двойственной по отношению к Теореме 4.1 из [2, Ch. 4] и является следствием леммы Йонеды.

Теорема 1. Пусть C - категория с конечными копроизведениями и инициальным объектом I. Задание на ковариантном функторе F: C ^ Set, представимом А е ObC, групповой структуры посредством морфизмов (5), делающих коммутативными диаграммы (6), эквивалентно заданию на А структуры моноида Хопфа в C морфизмами

А: А->АиА, £: А->1, S: А ^ А,

д

rri

rri

7

е

€

для которых коммутативны диаграммы (1) и (2).6

Более того, пусть F,G: C ^ Set - ковариантные функторы, предста-вимые А, В е ObC. Тогда любому (изо)морфизму <р: F ^ G соответствует (изо)морфизм £: В ^ А, делающий коммутативной диаграмму (3), причём, если на F и G заданы групповые структуры: F, G: C ^ Set, или, что то же заданы морфизмы

Аа : А ^ A U А, еА: А ^ I, SA: А ^ А, Ав: В ^ В U В, £В: В ^ I, SB: В ^ В,

определяющие на А и В структуры моноидов Хопфа в C, то <р является функторным (изо)морфизмом F в G: <р: F ^ G - в том и только том случае, когда коммутативны следующие диаграммы:

В

А в

вив

■А

$ и ?

Ал

+ AUA

В

■ А

В

А

(

(

5

5

2. Категория (Г, Л)-коммутативных к-алгебр

Определение 3 (см. [6],[9]). Пусть Г - абелева группа. Коммутационным фактором на Г со значениями в к называется отображение

А: Г х Г ^ к*,

удовлетворяющее для любых Е Г следующим трём условиям:

Х(р,и )X(u,p) = l, Х(р + ) = Х(р,/у)Х(и,/у), Х(р,и + 7 ) = Х(р,и )Х(р,<у).

Определение 4 (см. [1],[6],[9]). Пусть А: Г х Г ^ к* - коммутационный фактор на абелевой группе Г со значениями в к. Г-градуированную к-алгебру

А = ф А1

тег

6 Опуская индексы у Ф, отметим, что между функторными морфизмами, входящими в (6) и моморфизмами, входящими в (1) и (2) имеет место взаимно-однозначное соответствие:

(5: С ^ С х С) ^^ (1А V 1а : А и А ^ А),

(7: С ^ Е) ^ ( .а : I ^ А), (т: С х С ^ С) ^^ (Д: А ^ А и А), (е: Е ^ С) ^^ (е: А ^ I), (I: С ^ С) ^^ (Б: А ^ А).

называют Х-коммутативной, если для произвольных у, и е Г и а е А^, Ь е А„ имеет место равенство

аЬ = Х(у, V)Ьа.

А-коммутативные Г-градуированные к-алгебры будем также называть просто (Г, X)-коммутативными к-алгебрами.

Для данных к, Г и коммутационного фактора А: ГхГ ^ к* класс всех (Г, А)-коммутативных к-алгебр вместе с сохраняющими градуировку гомоморфизмами составляет полную подкатегорию (Г, А)-Д^к категории Г-градуированных к-алгебр Г-Д^к.

Понятие (Г, А)-коммутативной к-алгебры обобщает понятия коммутативной к-алгебры и суперкоммутативной к-супералгебры.

На тензорном произведении М 0 N двух Г-градуированных к-модулей М =

к

0 М1 и N = 0 Щ естественным образом определяется градуировка [1,4]:

тег 7ег

М 0 N = 0 0 М^ 0 N..

к тег ^ег к

Если на абелевой группе Г задан коммутационный фактор А: Г х Г ^ к*,

то на тензорном произведении А 0 В двух Г-градуированных к-алгебр А =

к

0 А7 и В =0 В1 можно задать [1] структуру Г-градуированной к-алгебры,

тег 7ег

определив умножение как бинарную операцию

т: (А 0 В)2 ^ А 0 В,

кк

удовлетворяющую на порождающих элементах а 0 Ь, х 0 у, а е А», Ь е Аи,

кк

х е В1, у е В$ (у, е Г) равенству:

т(а 0 Ь,х 0 у) = Х(и, 7)ах 0 Ъу.

к к к

В этом случае тензорное произведение А 0В двух (Г, А)-коммутативных к-ал-

к

гебр А = 0 А7 и В = 0 Ву также является (Г, А)-коммутативной к-алгеброй,

тег 7ег

причём тензорное произведение 0, как бифунктор, является копроизведением

к

в категории (Г,А)-Д^к [1,3].

На категории Г-Мо^ естественным образом определена структура мо-ноидальной категории [3]. Более того, наличие коммутационного фактора

А: ГхГ ^ к* позволяет расширить эту структуру до структуры симметрической

г,

к

моноидальной категории Modг,л [9], сплетающий функторный изоморфизм

а: 0 0от7

т - переставляющий бифунктор на Г-Мо^.

7

которой на однородных порождающих элементах х 0 у,х Е М„,у Е (у, иЕ Г)

к

тензорного произведения М 0 N Г-градуированных к-модулей М

к

N = ф Щ имеет вид:

тег ^ л

&м,м (х 0 у) = Х(у, V)у 0 х

фм7

тег

г Л

Для Modk, стандартным образом определяются «моноидальные» аналоги таких алгебраических систем, как группоид, полугруппа, моноид, и т. п., а также двойственные им понятия и производные от них [7],[8, §2]. В частности, в ней определено понятие моноида Хопфа [7, §1.2].

Категория моноидов в Modг,Л изоморфна категории Г-А^к, а категория коммутативных моноидов в Modг,л - категории (Г, А)-А^к (Г, А)-коммутативных к-алгебр. На ней, как на категории с конечными копроизведениями и инициальным объектом - к-алгеброй к с тривиальной градуировкой - задаётся естественная структура симметрической моноидальной категории (Г, А)-А^к.

Аналогично, категория моноидов Хопфа в Modг,Л изоморфна категории Нор^,л, объектами {А, А,е,Б) которой являются Г-градуированные к-алгебры

А = ф А7 с заданными на них сохраняющими градуировку гомоморфизмами

тег

А: А — А 0 А, £: А — к, 5: А — А, г к г г

для которых коммутативны следующие три диаграммы:

(А 0 А) 0 А А 0 (А ® А)

А 0 А

А 0 Мл

к

А® А

Мл 0 А е 0

к к

А®А, к0А

■А-

Ы^ 0 £

к

А Л0 к

А

я 0 ыЛ ыЛ ® ^ А 0 — А 0 А—^ А 0 А

(7)

А

А-

А

к

■А

(где у: А 0 А А и : к — А - умножение в алгебре А, записанное через

тензорное произведение, и канонический гомоморфизм к в А), а морфизмами из {А, Аа,£А,8а) в {В, Ав,£В,вв) - сохраняющие градуировку гомоморфизмы Ъ: А В Г-градуированных к-алгебр, делающие коммутативными диаграммы:

н 0 н

А0В 0В А

В

А

В

аа

Ав

А-

В

к

А

В

£

н

н

н

н

причём, полная подкатегория коммутативных моноидов Хопфа в ModГ'A изо-

Г Л г л

морфна полной подкатегории Нор^'с категории Нор^' , образованной теми

{А, А,£,Б), в которых А =0 Ау - (Г, А)-коммутативные к-алгебры.

тег

Г л

Определение 5. Для данного А: Г х Г ^ к* объекты категории Нор^' будем называть (Г,Х)-алгебрами Хопфа над к, а объекты её полной подкатегории Нор^'А - \-коммутативными (Г, Х)-алгебрами Хопфа над к или просто (Г, А)-коммутативными алгебрами Хопфа над к.

3. Аффинные (Г,А)-схемы и групповые аффинные (Г, Л)-схемы

Пусть А: Г х Г ^ к* - коммутационный фактор на абелевой группе Г.

Определение 6. Аффинной (Г,\)-схемой будем называть любой представи-мый (Г, А)-коммутативной k-алгеброй А = 0 А7 ковариантный функтор

тег

F: (Г, A)-Algk ^ Set,

из категории (^A)-Algk в категорию множеств Set, т. е. такой, что SprA(A) « F, где Sp['A(А) := hA = hA [2, §3].

При этом А будем называть представляющей алгеброй данной аффинной (Г, А)-схемы.

Тензорное произведение, являясь копроизведением в категории (Г, A)-Algk, задаёт на ней естественную структуру симметрической моноидальной категории (Г,А)-Л^к, поэтому для (Г,А)-А^к имеют место понятия и утверждения из §1.

Предложение 2. Если

G: (Г, A)-Algk ^ Set, Н: (Г, A)-Ag ^ Set

- две аффинные (Г,\)-схемы, представимые (Г, X)-коммутативными k-ал-

гебрами А = 0 А7 и В = 0 с представляющими изоморфизмами

тег 7ег

0 :Sp['A(A) — G, у :Sp['A(S) — Н,

то функтор

G х Н: (Г, A)-Algk ^ Set

является аффинной (Г,\)-схемой, представимой тензорными произведением А 0 В с функторным изоморфизмом

k

в 0 у: Sp['A (А 0 В) G х Н,

таким, что, для любой (Г, X)-коммутативной к-алгебры С =0 С.7 :

тег

(в 0 г])с: Иошг(А 0В,С) Э у — (вс(<р о кА),г]С(<р о кв)) Е С (С) х Н(С),

к к

где к а : А — А 0В, кв: В — А 0 В - канонические гомоморфизмы А и В в г кг к

их тензорное произведение А 0 В.

к

Лемма Йонеды даёт связь между морфизмами аффинных (Г, А)-схем и сохраняющими градуировку гомоморфизмами их представляющих алгебр: если

С: (Г,А)-А^к — Сгр, Н: (Г,А)-А^к — Сгр

две аффинные (Г,А)-схемы, представимые (Г, А)-коммутативными к-алгебрами

А = 0 Л и В = 0 Б7:

тег 7ег

в: Ярг,Л(А) -—С, Ч^рк^В) Н,

то определено взаимно-однозначное соответствие

: Нош( С,Н) — Яошг(В,А), (у: С — Н) (В — А)

между функторными морфизмами у: С — Н и сохраняющими градуировку гомоморфизмами £:В — А, описываемое коммутативной диаграммой

G-^--Я

в

v

(9)

выражающей равенство £ = (г/-1 о у о 6%(Id^) = (у-1 о о 6U)(Id^).

Определение 7. Групповой аффинной (Г, Х)-схемой, представимой (Г, А)-

коммутативной k-алгеброй А = 0 А7 будем называть представимый ею груп-

тег

повой функтор

G: (Г, A)-Algk ^ Grp, (10)

из категории (Г, A)-Algk, т. е. такой, что

SpkV) « # о G,

где #: Grp ^ Set - «забывающий» функтор на категории групп Grp.

Иными словами, групповой функтор (10) является групповой аффинной (Г, А)-схемой, если аффинной (Г,А)-схемой является его подлежащий функтор

G = # о G : (Г, A)-Algk ^ Set. (11)

При этом (Г, А)-коммутативная k-алгебра А = 0 А7 называется представля-

тег

ющей алгеброй схемы (10).

Аффинные (Г,А)-схемы и групповые аффинные (Г, А)-схемы вместе с функ-

Г Л г л

торными морфизмами между ними составляют категории АБск' и САБск' .

Для различных абелевых групп Г и коммутационных факторов А: Г х Г — к* на них аффинные (Г,А)-схемы и групповые аффинные (Г,А)-схемы будем называть просто цветными аффинными схемами и цветными групповыми аффинными схемами соответственно.

Групповая аффинная (Г, А)-схема (10) определяется заданием на соответствующей ей аффинной (Г, А)-схеме (11) групповой структуры посредством функторных морфизмов

т: GxG^G, t: ЕG, i: G^G,

(12)

таких, что для каждой (Г, А)-коммутативной алгебры А = ф А7 отображения

тег

тА: С(А) х в(А) — в (А), еА: Е — в (А), ьА: в (А) — в (А),

определяют на множестве С (А) структуру группы С(А), т. е. для этих морфиз-мов в категории Бе^'^-^11 коммутативны диаграммы:

(G х G) х G^ G х (G х G)

mxIdc /

GxG

GxG

exIda^yf

ExG m

G х G

X^Idc xt

GxE

G

G

GxG -txIdG GxG IdGXS GxG

G

(13)

G

E-

G

где

E: (Г, A)-Algk - Set - «одноточечный» функтор на (Г, A)-Algk:

Ob((r,A)-Algk) э A — {•} e Ob Set;

E:

I

Mor((r,A)-Algk) э (p: A — B) — (idw: {•} — {•}) e Mor Set,

представимый (Г, А)-коммутативной к-алгеброй к, с представляющим изоморфизмом

£: ЯрГ'Л(к) -- Е,

компоненты которого для каждой А = ф А7 е ОЬ(Г, А)-А^к имеют вид:

тег

£а : Иошг(к, А) э ,а : к А) — • е {•} ,

5

т

rri

1

€

е

а 5: С — С х С 7: С — Е - такие функторные морфизмы, что 5а : С (А) Эх — (х,х) Е С (А) х С (А), : С(Л) Э ж — • Е {•} = Е (А).

Как следствие, задание на аффинной (Г,А)-схеме С структуры групповой аффинной (Г, А)-схемы О эквивалентно заданию на представляющей её к-ал-гебре А структуры (Г, А)-коммутативной алгебры Хопфа А = {А, А,е,в).

Воспользовавшись тем, что категория (Г,А)-А^к - категория с конечными копроизведениями и инициальным объектом к, применяя теорему 1, получим следующее утверждение, являющееся аналогом соответствующих утверждений о категориях классических групповых аффинных схем и аффинных суперсхем.

- г,л

5С

г,А

к,с

При этом задание на каждой аффинной (Г, Х)-схеме

Теорема 2. Категория вАБс^ групповых аффинных (Г, Х)-схем антиэквивалента категории Нор^С (Г, X)-коммутативных алгебр Хопфа над к.

G: (Г, A)-Algk — Set, представимой (Г, X)-коммутативной k-алгеброй А = структуры груп-

тег

повой аффинной (Г,Х)-схемы

G: (Г, A)-Algk — Grp

посредством морфизмов (12), делающих коммутативными диаграммы (13), эквивалентно заданию сохраняющих градуировку гомоморфизмов

А: А — А ®А, е: А — k, S:A — А, г k г г

для которых коммутативны диаграммы (7).8

Более того, пусть <р: G — Я - (изо)морфизм аффинных (Г,Х)-схем

G: (Г, A)-Algk — Grp, Я: (Г,Л)-Algk — Grp,

представимых (Г, X)-коммутативными k-алгебрами А = 0 А7 и В = 0 ,

тег 7ег

которому соответствует (изоморфизм) гомоморфизм £: В — А. Если на G и Я заданы структуры групповых аффинных (Г,Х)-схем

8 Между функторными морфизмами, входящими в (13) и гомоморфизмами, входящими в (7) имеет место следующее взаимно-однозначное соответствие:

(б: а — а х а) • (^: а0 а — а),

к Г

(7: С — Е) ( : к — А),

(т: С х а — а) • (Д: А — А 0 А),

Гк

(е: Е — С) (е: А к), (I: С — С) (Б: А -— А),

G: (Г, A)-Algk - Grp, H: (r,A)-Algk - Grp

т. е. на А и В заданы структуры (Г, \)-коммутативных алгебр Хопфа

A = (A, Aa,£A,Sa), B = (В, Дв ,ев ,SB),

то <р является (изо)морфизмом G в H: <р: G — H тогда и только тогда, когда £ является (изо)морфизмом A в B, т. е. делает коммутативными диаграммы (8).

Данная антиэквивалентность позволяет формулировать свойства групповых аффинных (Г, Л)-схем в терминах их представляющих алгебр. При этом, если

G: (Г, A)-Algk — Grp, H: (Г,А)-^ — Grp

- групповые аффинные (Г,А)-схемы, представимые (Г, А)-коммутативными

k-алгебрами А = 0 А7 и В = 0 В7 :

тег 7ег

0:Sp['A(A) G (G = # О G), у :Sp['A(B) Н (Н = # о H), то на А и В заданы структуры (Г, А)-коммутативных алгебр Хопфа

A = (А, ДА,£А,8А), B = (В, Дв,£В,SB)

и функторный морфизм у: G — Н, которому по лемме Йонеды соответствует гомоморфизм £: В -— А, является морфизмом G в H (т. е. каждое отображение

является гомоморфизмом групп: : G(A) — H(A)), тогда и только тогда, когда £: В — А является морфизмом алгебры Хопфа B в алгебру Хопфа A,

причём ^

у: G H ^ £: B — A.

г

Обобщая классические понятия из теории групповых аффинных схем [10], дадим следующие определения.

Определение 8. Групповую аффинную (Г, А)-схему G: (Г, A)-Algk — Grp будем называть алгебраической, если она представима конечнопорождённой (Г, А)-коммутативной алгеброй.

Определение 9. Аффинную (Г, А)-схему

Н: (Г, A)-Algk — Set будем называть подсхемой аффинной (Г, А)-схемы

G: (Г, A)-Algk — Set

и писать Н С G, если Н(А) С G(A) для любой (Г, А)-коммутативной алгебры

А = 0 А7.

тег

Аналогично, групповую аффинную (Г, А)-схему

H: (Г, A)-Algk — Grp

будем называть подсхемой групповой аффинной (Г,А)-схемы

О: (Г,А)-А^ — Сгр

и писать Н ^ С, если для любой (Г, А)-коммутативной алгебры А = 0 1^гА1 группа Н(А) является подгруппой группы О(А): Н(А) ^ О(А).

Определение 10. Морфизм <: Н — О групповой аффинной (Г, А)-схемы

Н: (Г,А)-А^ — Сгр

в групповую аффинную (Г, А)-схему

О: (Г, А)-А^к — Сгр

будем называть вложением: <: Н — О, если для любой (Г, А)-коммутативной алгебры А = 07ег^7 групповой гомоморфизм <А: Н(А) — О(А) является алгебраическим вложением Н(А) в О(А).

Определение 11. Подсхему Н ^ О групповой аффинной (Г, А)-схемы

О: (Г, А)-А^к — Сгр,

представимой (Г, А)-коммутативной алгебры А = 07ег^7, будем называть замкнутой подсхемой, если она представима факторалгеброй алгебры А по некоторому её градуированному идеалу.

Определение 12. Вложение <: Н — О групповой аффинной (Г, А)-схемы

Н: (Г,А)-А^ — Сгр

в групповую аффинную (Г, А)-схему

О: (Г,А)-А^ — Сгр

называется замкнутым вложением, если оно осуществляет изоморфизм Н и некоторой замкнутой подсхемы Н' ^ О схемы О.

На основе леммы Йонеды, при помощи рассуждений, аналогичных классическим [10, §2.1], легко получается следующее утверждение

Предложение 3. Пусть

О: (Г,А)-А^ — Сгр, Н: (Г,А)-А^ — Сгр

- две групповые аффинные (Г, Х)-схемы, представимые (Г, X)-коммутативными к-алгебрами А = 0 А^ и В = 0 В1, а

7ег 7ег

< : Н — О

- морфизм Н в О. Если морфизм £: А — В представляющих алгебр, со-

г

БИГ

ответствующий сюръективен: £: А —— В, то < - замкнутое вложение

Н в О, а схема Н изоморфна некоторой замкнутой подсхеме Н' схемы О, представимой факторалгеброй А/ кег

Благодарности

Автор выражает благодарность д.ф-м.н., профессору А.Н. Зубкову за постановку задачи, советы и ценные замечания при работе над данной статьёй.

Литература

1. Bourbaki N. Elements of Mathematics. Algebra I. New York : Springer-Verlag, 1989.

2. Bucur I., Deleanu A. Introduction to the theory of categories and functors. London, New York : John Wiley & Sons, 1968. [Перевод: Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М. : Мир, 1972.]

3. Mac Lane S. Categories for the working mathematician. New York : Springer-Verlag, 1998. [Перевод: Маклейн С. Категории для работающего математика. М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.]

4. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Methods of graded rings. New York : SpringerVerlag, 2004.

5. Dascalescu S., Nastasescu C., Raianu S. Hopf algebras. An introduction, New York, Basel : Marcel Dekker, Inc., 2001

6. Scheunert M. Generalized Lie algebra // Journal of Mathematical Physics. 1979. V. 20, No. 4. P. 712-720.

7. Aguiar M., Mahajan S. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Providence, RI : AMS, 2010

8. Smith J.D.H. Quantum quasigroups and loops // Journal of Algebra. 2011. V. 456. P. 135-170

9. Covolo T., Michel J.-P. Determinants over graded-commutative algebras. A categorical viewpoint // L'Enseignement Mathematique. 2016. V. 62, No. 2. P. 361-420.

10. Waterhouse W.C. Introduction to affine group schemes. New York : Springer-Verlag, 1979

ON CATEGORIES OF AFFINE GROUP (Г, A)-SCEMES AND (r,A)-CUMMUTATIVE HOPF ALGEBRAS

S.G. Kazakov

PhD student, e-mail: [email protected]

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Abstract. In the paper we consider the generalization of the concepts of (group) affine schemes and (group) affine superschemes as a representable by Z2-graded algebras to the case of arbitrary grading.

A generalization of the well-known theorem on the anti-equivalence of categories of group affine schemes and commutative Hopf algebras is given

Keywords: commutation factor, grading, affine scheme, symmetric monoidal category, supergroups, Hopf algebra.

Дата поступления в редакцию: 23.10.2022