О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ LP-ВЕСОВЫХ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ Ьр-ВЕСОВЫХ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (0 < р <

О. В. Охлупина

ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»

В работе охарактеризованы корневые множества некоторых классов целых функций. Ключевые слова: целая функция, корневые множества, порядок целой функции.

Введём предварительно обозначения: С - комплексная плоскость, Н (С) - множество всех целых функций в С, 0 < р < .

Пусть 0 < р < . Зададим класс целых функций Нрр (С) следующим образом:

HP (С ) =

, ч +?(lnM (r, f ))" f eH(C): j ^-V , ,} dr

P+1

Опишем корневые множества этого класса Нрр (С) . Для целой функции / е Н (С) определим =[г е С: / ( 7 ) = 0} . Пусть q е N. Тогда для 7, ^ е С :

A (^)=

г \

1-z

v О

exp

Vj

Если Z = {zk- последовательность комплексных чисел, \zk\ < |zk+1|, k = 1,2,..., \zk\ ^ , k ^ , то n(r) = card{zk : \zk\ < r}, 0 < r < .

Если Z = Zy , то будем обозначать через n^ число нулей функции f. Справедлива

Теорема 1. Пусть 0 <р<+», 0 <p <+да, р£N. Тогда следующие утверждения равносильны:

а) Z = {zkможно представить в виде Z = Zf для некоторой f e Hp (С);

<+да.

- np (2k )

б ^L r-tppk k=1 2

Для целых р верна

Теорема 2. Пусть f e Hpp (С), р e N. Z = {zk - последовательность

комплексных

чисел, IzJ < |zk+1|, k = 1,2,..., IzJ , k . Тогда следующие условия эквивалентны:

а) Z = {zk }L

можно

представить в виде Z = Zf для некоторой функции f e Ap (С);

6) S, (r ) =

z-

z P

W\<r zk

удовлетворяет условиям:

(Sf (r))"dr

r

< +<»,

(1)

r

J

(n (r))P dr

„pp+1

(2)

n (r ) - число нулей функции f в круге радиуса 0 < r <+ю.

Доказательство теоремы 2. Применение неравенства Иенсена (см. [3]) позволяет получить необходимость условий (1) и (2).

n (r) = card {zk : \zk \ < r j < lnM(er, f) + Cf, где C - некоторая константа, зависящая только от f. Поэтому

I-PP+1 i ' i

при всех 0 < р < +<х>, 0 < p < .

+j?(n ( r ))Р dr +?(lnM (er, f ))Р dr +?(lnM ( r, f))Pdr

J .PP+1 < J «РР+1 < J

P+1

<+да

, , lnM (er, f) Из неравенства of (r) <---- (см.[3]), получим

f ^ ' rp

7 (0f ( r))P dr +? (ln M ( r, f))P dr

J v f w/-<p-^¿i -<+да, 0 <р<+», 0 < P <+да, ре N.

1 1 Докажем обратное утверждение.

Пусть для 2 = {гк верны а) и б). Построим функцию / е Нр (С), для которой

Zf = Z.

Пусть 0 < R < , ре N. Представим

( \

fR (z) = exp zP£ -P хП|1 -Г

v kl<RzkР) Ы<R v zk J

exp

-1 1 ( ~ V

j=1 J V Zk J

x П f1 exp

kkl^R v Zk J

'zv

j=1 j V Zk J

Применяя оценку для произведения Вейерштрасса, и, обозначая R = r, r = Izl, запи-

шем:

In M (r, f )<0f ( r) rP+ ^ + P +J n-P

(t) dt

р J tP

V 0

Тогда

Получим

ln M ( r, f )

Y

<

(Of ( r))P + |1 i

1 rcn (t) dt

Y

r* tP

+ 1 r

n

(t) dt

iP+2

Y

+?(lnM(r, f ))P dr < +j?(Of (r))P dr +j? 1 (j. n(t) dt

J rPP+1 < J r + J rP+1 I J

+Jr 1

J rP-1 IJ ^ dr =J

1

\P

^ ' 4 J tP 1 ' V 0 1

dr +

(Of (r))Pdr

+Л+h

(3)

Предположим, что 1 < P < .

Оценим I. Применим неравенство Харди:

р +К п (г) &Р)рЛг р +?( п (г))р Лг

1 -р\ /р+1 = ^

Р О г

рр+1

Оценим /9. Аналогично,

12 -/

(п (г)) ргр-1Лг +?(п (г))р Лг

г

р+2

1

Р+1

■ <+да.

0 0 Для 1 < р < утверждение теоремы доказано. Рассмотрим случай 0 < р -1. Оценим интегралы и /2 в формуле (3).

Введём вспомогательный интеграл Д1 =

■п

(г) Лг

V 0 1 у

для оценки 1. Зафиксируем г и

предположим, что 2т < г - 2т+1, т е N. Для него справедлива оценка

т-1

+1

11,1 -I

к=0

п

(г) Лг

V г

+

п

(г) Лг

\р

V2m 1 у

Предположим, что п (г) = 0, 0 - г -1. Заметим, что

Г 2к+1

п

(г) Лг

\р

V 2

гр

-

( п ( 2к +1 ))

?(кр-1)р

0 - к - т-1.

Аналогично,

Тогда

г 1

п (г) Лг У (п (г))

гр

V 2т ' У

•утр р

-(г -2т)р.

(п(2к+1 ))р <2к+2(п(г))рЛ,

о( кр-1) р J fPP-P-1 , 2 2к+1

(п (г))р ^ г п (г) Лг

Следовательно,

^трр-

+<х> г

1

,рр- р-1

0 - к - т-1.

1 г (п (г)) ^+р( п (г)) рЛг

1 - лг - 1

1 1 гр+11 р-р-1 1

гр ■ 1 - грр-р-1 ' 0 1

грр+1

<+да.

Перейдём к оценке 12.

+<х> I +<х> (Л л Лр

'2 -| гр-11/ п

(г) Лг

р+2 г - У

Лг.

Пусть

Отметим, что

'2,2 =11

+» п V

г (г) Лг

Р 2

, у

-

| п (г) Лг

1т=}и 1 -\к г

Р 2 2к г У

-I

к=т

( п (2к+1))р

2(р+1)кр

т

2

(n ( 2+1))) „ 2f (n (t))'dt

o(p+1)kP J f(p+1)P+1 . 2 2k+1 t

Просуммируем эти неравенства по к = п, п +1,...

1 2,2 - У

к=п 2к+1

Используя последнюю оценку, окончательно получим

^ , (n (t))P dt +?(n (t))P dt Тогда Iц <J(-P)P+1-.

k=n ok+1 t 1 t

I2 <J r17 F,

1 ' r 1

1 +j?(n(t))Pd

(р+1) P+1

dr.

Изменяя порядок интегрирования, имеем

+?(n (t)) Pf 1 1 +?(n (t))P dt

L < J \ V', J-1^rdt = - J —

2 J /p+1)p+1 J r1-P P J tpp+1

1 ' 0 ' p 1 '

+P (n (t))P dt

Таким образом, окончательно получаем I2 < J -—^-j—

<+да.

tP.....

Теорема доказана.

Список литературы

1. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.

2. Boas R.P. Entire Functions. - New York: Academic Press, Inc., 1954. - 276 p.

Сведения об авторе

Охлупина Ольга Валентиновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: helga131081@yandex.ru.

ON CHARACTERIZATION OF SOME Lp-WEIGHTED CLASSES OF ENTIRE FUNCTIONS (0 < p < +да)

O. V. Okhlupina

Bryansk State engineering-technological University

The paper describes the characterization of the root sets of some classes of entire functions. Keywords: entire function, root sets, order of an entire function.

References

1. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of the Zp-weight classes of meromorphic functions- Bryansk: Group of companies «Ten», 2009. - 153 p.

2. Boas R.P., Entire Functions. - New York: Academic Press, Inc., 1954. - 276 p.

About author

Okhlupina O.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of the Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: helga131081@yandex.ru.