CC BY
44
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
им, в. г, воинского
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.76
О ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЛИФТАХ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ В КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ
© И. Р. РАЗАКОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,
кафедра алгебры e-mail: pervyi.v@mail.ru
Разаков И. Р. — О горизонтальных лифтах линейной связности в касательное расслоение // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 186—194. — В статье построен горизонтальный лифт линейной связности с базы в касательное расслоение, определены компоненты полученной связности и тензоров ее кривизны и кручения.
Ключевые слова: касательное расслоение, линейная связность, горизонтальный лифт.
Razakov I. R. — About the horizontal lifts of a linear connection in the tangent bundle // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 186—194. — In this article the horizontal lift of a linear connection from base in the tangent bundle was built. The components of the resulting connection and its tensors of curvature and torsion was defined.
Keywords: the tangent bundles, the linear connection, the horizontal lift
Основные понятия и необходимые сведения
Целью данной статьи является построение горизонтальных лифтов линейной связности с базы в его касательное расслоение при помощи линейных связностей, заданных на базе, а также нахождение компонентов тензоров кручения и кривизны полученных лифтов линейной связности.
Пусть Мп - п-мерное связное дифференцируемое многообразие класса Сто, Т(Мп) - касательное расслоение над этим многообразием, п : Т(Мп) ^ Мп - каноническая проекция.
Выберем на Мп локальную карту (и, хг) гладкого атласа А, где хг - локальные координаты, определенные в окрестности и.
На Т(Мп) порождается координатная окрестность (п-1(и),хг,уг).
Если (V, хг) - другая карта на многообразии Мп и и П V — 0, то закон преобразования координат при переходе от карты (и,хг) к (V, хг) имеет вид:
Хг = хг(х1,..., хп). (1)
На касательном расслоении закон преобразования координат при переходе от локальной карты (п-1(и),хг,уг) к локальной карте (п-1^),хг,уг) имеет вид:
{хг — хг ( х1 хп )
Уг — Ці уг
Если на базе Мп задана линейная связность, то она позволяет строить горизонтальные лифты геометрических объектов с базы в его касательное расслоение. Пусть V - линейная связность с компонентами
Г; в карте (и, хг).
;
На п-1(и) индуцируется подвижной репер {дгн, д^} - адаптированный к связности V, где дгн —
дг - Угг^, дГ = э|г.
Вертикальным лифтом векторного поля X с базы в касательное расслоение называется такое векторное поле Xу в Т (Мп), что
х ^ (7ш) — их ))у,
для любого ковекторного поля ш. Здесь функции 7Ш определяются для каждого ш — шг^хг формулой
а
7Ш — ШаУ
в индуцированной локальной системе координат (хг,уг ) [1], [2].
Таким образом, Xу имеет координаты:
(X').
С помощью оператора 7 из тензорного поля Р — Р;гдг ® ¿х; можно получить векторное поле 7Р на касательном расслоении Т(Мп), которое определяется условием 7Р — у;Р^д^. Локальные координаты этого векторного поля будут иметь вид: ( )
(;Р;)'
Горизонтальным лифтом векторного поля X с базы в касательное расслоение называется векторное поле Xн — Xг(дг0 — у;Г;гд1) в Т(Мп) [1], [2]. Таким образом, Xн имеет координаты:
—у; X ггк
X
гГ
■ ;
Для вертикального и горизонтального лифта векторного поля справедливы тождества
(/X )У — / у X у, (/X )н — / у X н.
В дальнейшем не будем использовать обозначение /у, а просто записывать /, подразумевая вертикальный лифт функции.
Тензор кривизны Т и тензор кручения Д связности V определяются [3] следующим образом:
Т (X, У) — V* У — V у X — [X, У], Д^, У )^ — V* Vу ^ — Vу V* — V [х,у ] ^.
Горизонтальный лифт линейной связности в Т(Мп)
Пусть на базе Мп наряду со связностью V задана связность V. Тогда имеет место следующая Теорема. На касательном расслоении Т(Мп) существует единственная линейная связность Vн, удовлетворяющая условиям:
VХууу — о, V* уун — о, '^н«уу — (V*у)у, ^н«ун — (V*у)н, (3)
где X и У - произвольные векторные поля на Мп.
Доказательство. Существование. Пусть Vд? = С-в карте (и,ж®). Определим в координатной окрестности (п-1(и),ж®,у®) линейную связность 1^7 по формулам
^ вН д;н — С; дн , ^ дИ — Ск; ^ дУ д;н —0, ^ ду д/ —0.
Возьмем произвольным образом другую карту (V, хг) такую, чтобы и П V — 0. Тогда на иП V справедлив закон преобразования координат (1), а на п-1(и) Пп-1^) — п-1(иП V) формулы преобразования координат имеют вид (2). Обозначим через С; коэффициенты связности V в карте (V, хг). Тогда
где дг — д|г, причем
Тогда из V§. д; — С;дк получаем
- дхк
дг — ¿пт дк.
дхг
дхП дхП
¥ йі». д; д‘ — с; д?^
дхк дхп д дхп дхп
а* сх;47 дкд^ + <х дх;д^— сх^д^,
, дхк схв + д2хМ д — д
кв дхг дх; дхгдх; / П ; дхк П
(4)
В карте (п 1^),хг,уг) зададим линейную связность 2VH по формулам:
^а« ; — с; дн, ^дн д/ — е* д/, ^дУ <5;н — о, ^дУ ;
о.
Покажем, что на п 1(и) П п 1^) имеет место равенство
Vн.
В силу равенств (4)
^ дн дн — с; сн — Ск
тг;
/ дхп д ; V дхк дхп
н
^ дхк дхв д2хп
Сп____________і __________
кв дхг дх; дхгдх;
дн
дП .
Аналогично
1^ дн д7н —1^,
( 9x1 д 1
\дхз Св/
н
дхк \ дН дхг ) к
( дх11 дн
V дхз / дв
(дХЛ (дЗ 1 1^7дндн + (Адз 1 дн — дЗ + дхХЗ дЛн.
у д ж г / V д х 3 / ок в 1 V д ж г д х з ! в у кв д хг д х з 1 д х гд х зі п
С; д,
к — Ск /^дхП д А
к ;Д дхк дхп;
^дн ; — ^ , ах,
<9к дУ
дх О д/1
^ дхк дхв д2хп
Сп______________+_________
кв дхг дх; дхгдх;
н (ИЗ двГ — 1V, ън (Ш) д/
V дхг } к
(дхк А (джя 1 1 ^ д^ і ( д джя 1 д^ ____ (сП дхк джя + д2жь А д^
уд х г j \д х 3 ) дк в ' \д х г д х3 / в у кв д хг д х3 ' д хгд х3 J П .
дУ дп .
Ввиду того, что 1^дУ <н — 0 и 2^Ву ¿?н — 0, 1^дУ д/ — 0 и 2^ду с9]7 — 0, мы имеем 1^ду <н — 2^дУ ¿^н,
1^ дУ д]> = 2^ду д]7.
Н
дхк д
к
д
к
д
Таким образом, получаем, что на п 1 (и) П п 1 (V)
1^н — ^н.
Следовательно, на касательном расслоении мы построили линейную связность. Обозначим ее Vн и назовем горизонтальным лифтом.
Покажем, что связность Vн удовлетворяет условиям (3). Рассмотрим на (и,хг) векторные поля X — Xгдг и У — У;д; и их продолжения в Т(Мп):
X 7 — X гд]/ ,У7 — У; д/,
г;
X н — X гд,н ,Ун — У; дн.
г;
^ну УУ — ^нгдУ У; д/ — X гУ; '^ну д/ + ^дИ У; д/ — 0,
VHу у н — '^нгду У; дн — X гУ; V ну дн + X гдН У; дн — 0,
'VI н у У — V |гдн У; д/ — XгУ; V нн д/ + XгдH У; д/ —
— Xг У; С; д/ + X гдгУг; д;7 — ((Xг У; С; + X гдгУ к )дк )у — (V* У )у,
V* н Ун — ^|гдн У; дн — XгУ; V нн дн + X гдн У; дн —
— XгY; дн + X гдгУ; д;н — ((Xг У; + X гдгУ к )дк )н — (V* У )н.
Таким образом, линейная связность Vн удовлетворяет условиям (3).
Единственность. Пусть на Т(Мп) имеются две связности Vн и '^н, удовлетворяющие условиям
(3). Обозначим , У) — VнУ —' VнУ и покажем, что , У) — 0.
-н ’ _ ун
Тогда
Пусть X = Xн, У = Ун. Тогда
¿(X н, Ун) = V Нн УН - V Н н Ун = (V х У )н - (V х У )н = 0.
Если X = Xн, У = Уу, то
¿(X н, Уу) = 'V Нн УУ — VI н У у = ('V х У )У - ('V х У Г = 0.
Пусть X = Xу ,У = Ун. у, У н) = Vн^ Ун -' VХу У н = 0.
При X = Xу , У = Уу получаем
¿(Xу, у у) = Vну УУ - VХу уу = о.
Таким образом, <S’(X, У) = 0. Следовательно, VнУ = VннУ и Vн =' Vн. ■
Определение компонентов связности Vн в адаптированном репере
Рассмотрим линейные связности V и V на базе Мп, причем связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его касательное расслоение.
Определим компоненты связности Vн. В адаптированном репере {Да}
V нв Дс = (5 Ас Дл,
где Да - векторное поле вида дн или д^. Примем следующие обозначения для индексов А, В, С: А к \ / к \ _ I г \ I j \ / 3
или
В
0 1 \ 1 ) \ 0 = Д.
Рассмотрим тождество
Д(г)— д1.
или І I, С — І I или І I. При этом дн — Д/ г \
V II \ 0 \ 0 И г (о)
Vн <н — (Vдг д; )н .
Д0, д/
Vн <н
удн д;
^н 7~)0 /000А п ’00к п0 і ’00к тл 1
у £° Д; — Сг; да — Сг;0 Дк + Сг;1 Дк,
Следовательно,
Из тождества
Значит
(V дг д; )" — (С; дк )" — С* Д0 .
’00к к ’00к
Сг;0 — Сг; ,Сг;1 — 0.
^ нн д;У — (V дг д; )у.
V н д /
удн д;
V но д1
/О01А п ______ /о01к тл0 і /о01к п 1
д; — Сг; да — Сг;0 Дк + Сг; Дк,
(V дг д; Г — (С; дк )У — С; Д1 .
/о01к ___ /001к ___ /ок
Сг;0 — 0,Сг;1 — Сг;.
Из тождества
V ну д/ — 0
получим
V н д /
Уд,у д;
’ н Д1 уді Д;
С" 11А п __ /о11^п0 і /о!1к Г)
г; ДА — Сг;0 Дк + Сг; Д
0.
Тогда
На основании тождества
с ; — 0,с; — 0.
’ н дн Уду д;
’ н дн Уд,у д;
’ н Д0 ув)Д;
/010А гл _____ /010к р)0 і /о10к р)
Сг; ДА — Сг;0 Дк + Сг;1 Д,
10к п 0
'У 10 к 7~) 1
0.
Следовательно,
/010к Сг;0
0,6; — 0.
В результате получаем, что компоненты связности Vя" выражаются через компоненты связности V следующим образом:
0,
/000к
Сг;0
/ок /000к
Сг; ,Сг;1
/001к
Сг;0
0,<5 ;
ск
’ 11 к Сг;0
0,с;к — 0,
/010к Сг;0
0,с; — 0.
имеем
к
0
имеем
к
Тензор кручения линейной связности Vн
Пусть Т - тензор кручения линейной связности V, а Т и Тн - соответственно тензоры кручения V и Vн. Тогда для Тн и произвольных векторных полей X и У получаем:
Тн(Xу, уу) = '^Н^уу - 'VНуху - [ху, уу] = о, Тн (ху, у н) = V*у у н - Vнн ху - [ху, у н] =
= -(V г х )у + (V г х )у = -(V г х)у + (V у х - т (у, х ))у =
= -(V у х )у + ^у х )у + (Т (х,у ))у, Тн (у н, ху) = 'Vнн ху - 'VIу у н - [у н, ху ] = = ('V у х )у - (^у х )у = ('V у х )у - ^у х - т (у, х ))у = = ('Vух)у - ^ух)у + (Т(У, х))у = ('Vух)у - (Vух)у - (т(х, У))у, Тн(хн, ун) = VXнун - 'Vннхн - [хн, ун] = = (V*У)н - (Vух)н - ([х, У]н - 7Д(х, У)) = (Т(х, У))н + 7-Й(х, У).
Определим компоненты тензора кручения Тн линейной связности Vн. В адаптированном репере будем обозначать эти компоненты через Т^с.
Рассмотрим тождество
Тн (х у ,у у) = о.
Для векторных полей Д1, Д
Тн (Д1, Д1) = ТА1Ада = Т“* Д + Ту1!* Д.
Следовательно,
гЛИ* __ Г! ГлЦ* _ Г!
т;,0 = 0, т;,1 = 0.
Рассмотрим левую и правую часть тождества
Тн (х у, у н) = -('V у х - Vу х )у + (т (х, у ))у.
Применительно к векторным полям адаптированного репера
лрН / ]-л1 п0\ лЛ10А п гЛЮ* п0 | гЛЮ* п 1
Т (DІ , ДО = А, = А,0 Д + Т;,1 Д.
Учитывая, что V*д, = Г,д*, Vдд, = С,д*, Т(д;, д,) = д*, получим -(V в. д; - д; )^ + (Т (д;, д, ))^ = -((С* - Г,)д* )^ + (^¿- д* )^ =
= (Г, - + Т;,Д = (Г, - с* + Т,)Д.
Следовательно,
тлю к о Тю * Г * С * + Т *
Из тождества
Тн (у н, х у) = ^у х - vу х )у - (т (х, у ))у
мы имеем
Тн (д0, д1) = Т=;0,1АДа = Т^,10к Д + Т^011к Д (^ д; - ^ д; )^ - (Т (д;, д, ))^ = ((С* - Г,)д* )^ - (Т, д*)У = = (С* - Г,)Д1 - Т;, Д = (С* - Г*; - т, )Д1 .
Значит,
Т01к 0 Т01к г к тк
Ті-0 , Т — 1 ^?і -і Т і-'
Рассматривая тождество
тн(Xн,ун) _ (т(х, у))н + 7Д(х,у),
получим
Таким образом,
тн(Д0, — _ т-0А£а _ тті0і00к^0 + тті0і0ік^. (ТТ(дг, д-))н + 7^(д*, д-) _ Т-^0 + У^?-Д _ Т-^0 - у^уД.
аЪ00& ^Ъ00к ».і Т?к
тгі0 ТІ7, ті -1 у ДЩ .
¿j0 ,т;,1 У 1ЬИз.
Тензор кривизны линейной связности Vн
Если Д - тензор кривизны линейной связности V, Д и Дн - соответственно тензоры кривизны V и Vн, то для Дн и произвольных векторных полей х, У и Z получаем:
Дн(ху,Уу= VXv VHv ZV - VHv VXv ZV - Vнfv уV] ZV = 0,
Дн(ху,уу)Zн = V*VVHvzн - VHvVXvzн - Vнcv уу]zн = о,
Дн(ху,Ун)zу = VXvVHнzу - VHнVXvzу - ^Ху,ун]zу = ^н(^х)zу = о,
Дн(хн,уу)zу = VHнVHvZV - VHvVXнzV - VHfн,уV= ^н(^ху)у zV = о,
Дн(ху,Ун)zн = VXvVHнzн - VHнV*уzV - Vнfv ун]zн = о,
лн / ~у~н \ ^н__^н ^н с^н ^н ^н с^н ^н с^н
дн(хн,у17)2н _ ух«ун^-ун^ухн2н - У|Хн.уV]^н =о,
Дн(хн, ун)2^ _ УХ«Ун«2у - Ун«УХн2у - У/Хн уН]^у _ уХн (УУ2Г - Унн (УХ2Г - Унх,у]Н_7А(х,у)^ _
(УхУ у2Г - (УуУх2Г - (У[Х,У]^Г - У^ у)2у _ (Д(х, у)2Г,
Дн(хн,ун)2н _ Ух«Ун«2н - Ун«Ухн2н - У|х« ун^н _ Ух« (Уу2)н - Ун«(Ух2)н - У*_^(х.у)2н _
[х,у р-7й(х.у)
7н
7-Й(х.у )"
Определим теперь компоненты тензора кривизны Дн. Обозначим их в адаптированном репере через
_ (УхУу2)н - (УуУх2)н - (У[х.у]2)н - УнА(х у)2н _ (Д(Х, у)2)н.
ЪА
Д£С£.
Рассмотрим тождество
Дн (х у ,у у )z у = о.
Применительно к векторным полям адаптированного репера
Дн (А1, дЗД _ Д1-1А^а _ Д— ^0 + Д—^1 _ о.
Следовательно,
Из тождества
Д'111й ____ п Ъ111к ________ п
гі-0 _ 0, Дг-1 _ 0.
Дн(Xу,уу)2н _0
мы получим
RH (D1, Dj)D° = ROj1ADA = Rj D0 + ROjf D1 = 0,
DOllk _ n DOllk _ (Л
Rij'O — 0, Rij1 — 0.
Тем же способом из тождества
RH (X V ,Y H )Z V — 0
имеем
RH (Dl, Dj0)Dl — R j°ADA — Rj DO + Rj Dl — 0,
DllOk _ n DllOk _ (Л
Rij'O — 0, Rij1 — 0.
Из тождества
RH (X H ,Y V )ZV — 0
мы получаем
RH (dO, d1)d1 — R1íO1aDa — Rjk dO + R 0jik d0 — 0,
DlOlk _ n DlOlk _ (Л
Rij'O — 0, Rij1 — 0.
Аналогично из тождества
RH (X V ,Y H )Z H — 0
имеем
RH (Dl, DjO)DO — ROijOADA — Rj dO + ROjk d0 — 0, D O l Ok DO lOk R1jO — 0, R1j1 — 0.
Из тождества
RH (X H ,Y V )Z H — 0
получаем
RH (DO, Dj)DO — ROj1ADA — ROjOk d O + ROjik d0 — 0.
Следовательно,
D OOlk _ rv DOOlk _ rv
R1jO — 0, R1j1 — 0.
Из тождества
RH (X H, YH )ZV — (R(X,Y )Z )V
имеем
RH (DO ,DjO )Dl — Rlij aDa — RjDO + Rj Dl — (R(di,dj )d,)V — Rkij Dl.
Таким образом,
DlOOk __ DlOOk ____ Dk
R1jO — 0, R1j1 — R1j .
На основании тождества
RH (X H, YH )ZH — (R(X,Y )Z )H
имеем
RH (DO, d°)d° — RjADA — Rj DO + ROjik D0 — (R(d¿, dj )d )H — Rfij dO.
Следовательно,
DOOOk Dk DOOOk R1jO — R1j, R1j1 — 0.
Остановимся на частных случаях горизнтальных лифтов.
1. Линейные связности V и V на базе Mn совпадают. Тогда мы имеем:
G~00k _ pk /000k _ a /001k _ a /001k _ pk /011k _ a /011k _ a /010k _ a /010k _ a
ijO ~ rij , Gij1 — 0,Gij0 — 0, Gij1 — rij , Gij0 — 0, Gij1 — 0, Gij0 — 0, Gij1 — U-
TH (X V, YV) — 0, TH (X V, YH) — (T (X, Y ))V,
TH (YH, X V) — -(T (X, Y ))V, TH (X H, Y H) — (T (X, Y ))H + 7i?(X, Y).
rp11k _ a rp11k _ a ^p10k __ a ^p10k ___ rpk
Tij0 — 0, Tij1 — 0,Tij0 — 0, Tij 1 — Tij,
Ао01к _ a ^o01k __ rpk ^oOOk ___ rpk ^oOOk _ i pk
Tij0 0,Tij1 Tij , Tij0 Tij, T ij 1 y Rlij.
RH (X V, YV )ZV — 0, RH (XV, YV )ZH — 0,
RH(XV, YH)ZV — 0, RH(XH, YV)ZV — 0,
RH(XV, YH)ZH — 0, RH(XH, YV)ZH — 0,
RH (X H, Y H )Z V — (R(X, Y )Z )V, RH (X H, YH )ZH — (R(X,Y )Z )h .
тЗ 111k R1ij0 0 k 0 ^ о 0k _o,Rj1k _ o'
p110k R1ij0 = o,Rj1k a p101k _ 0, R1j0 _ R1§1k _ 0,
p010k R1ij0 = 0,R0ij°1k a 5001k _ 0, R1j0 _ o, _ 0,
.100k _ '1ij0 o,Rj1k _ pk p000k R1ij, R1ij0 R І ?T j. p< І o j О 1 ?r _ 0
2. Связности V и V различны, связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его касательное расслоение. Этот случай был подробно рассмотрен выше.
3. Связности V и V различны, связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы Mn в его касательное расслоение T(Mn). Этот случай аналогичен 1 случаю, но с учетом того, что связности V и V меняются ролями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. New York, 1973.
2. Егоров И. П. Геометрия. М.: Просвещение, 1979, 256 с.
3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 345 с.
