О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-2-15-22

УДК 517.95 Дата: поступления статьи: 13.03.2020

после рецензирования: 27.03.2020 принятия статьи: 25.05.2020

В.А. Киричек

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail: Vitalya29@gmail.com. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9817-863X

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается нелокальныя задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. Условия задачи содержат производные первого порядка как по x, так и по t, что можно интерпретировать как упругое закрепление правого конца стержня при наличии некоего демпфера, а так как в условиях также присутствует интеграл от искомого решения, то это условие является нелокальным. Известно, что задачи с нелокальными интегральными условиями являются несамосопряженными, а, значит, исследование разрешимости сталкивается с трудностями, не свойственными самосопряженным задачам. Дополнительные трудности возникают и в силу того, что одно из условий является динамическим. Исследована гладкость решения нелокальной задачи. Введено понятие обобщенного решения и доказано существование производных второго порядка и принадлежность их пространству L2. Доказательство основано на априорных оценках, полученных в статье.

Ключевые слова: нелокальные условия, динамические граничные условия, гиперболическое уравнение, обобщенное решение, пространства Соболева, гладкость решения.

Цитирование. Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Т. 26, № 2. С. 15-22. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-2-15-22.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Информация об авторе: © Киричек Виталия Александровна — аспирант кафедры дифференциальных уравнений и теории управления, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443011, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.

Введение

Рассмотрим в области Qт = (0,I) х (0, Т) уравнение

пи - (а(х, г)пх)х + с(х, г)п = /(х, г) (1)

и поставим следующую задачу: найти в Qт решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

п(х, 0) = 0, щ(х, 0)=0, (2)

граничному условию

пх(0,г) = 0 (3)

и нелокальному условию

I

пхМ + + / ВДЦМ)* = о. <4)

0

Условие (4) содержит производные первого порядка как по х, так и по г, что можно интерпретировать как упругое закрепление правого конца стержня при наличии некоего демпфера [1, с. 44], а так

как в (4) присутствует интеграл от искомого решения, то это условие является нелокальным. Известно, что задачи с нелокальными интегральными условиями являются несамосопряженными и, стало быть, исследование разрешимости сталкивается с трудностями, не свойственными самосопряженным задачам [2; 3]. Дополнительные трудности возникают и в силу того, что условие (4) является динамическим. Некоторые результаты в исследовании задач с краевыми условиями, содержащими призводную по времени первого порядка, для одномерных гиперболических уравнений получены в статьях [4; 5]. Заметим, что краевые задачи с динамическими условиями вызывают интерес не только как математический объект, но и в силу их прикладного значения [6-10; 12].

В [5] доказано существование единственного обобщенного решения поставленной задачи в пространстве Ш(Ят), т. е. решения, имеющего обобщенные производные первого порядка. Приведем здесь определение обобщенного решения задачи (1)-(4), используя обозначения, введенные в [5]:

г0 = {(х,ь): х = 0,ь е [0,Т]}, Г1 = {(х,ь): х = 1,ь е [0,т]},

Г = Го и г, Ш(Ят) = {п(х,1) : и е Ш1(Ят),Щ е Ь2(Г1)}, Ш(Ят) = {у(х,г) : V е Ш(Ят),у(х,Т) = 0}.

Определение. Функция и е Ш(Ят) называется обобщенным решением задачи (1)-(4), если она удовлетворяет условию и(х, 0) = 0 и тождеству

т I т

J !(—щVI + auxvx + cuv)dxdt + ^

0 0 о

т I т I

+ ! a(l,t)v(l,t) J К(x)u(x,t)dtdx = J J fvdxdt (5)

о о 0 0

для любой v е Ш(Ят).

В упомянутой выше статье найдены условия на входные данные, при выполнении которых справедливо утверждение об обобщенной разрешимости поставленной задачи, что нашло отражение в теореме: Теорема 1. Пусть выполняются следуюшие условия:

с(х,Ь) е С(Ят),а(х^),аг(х^) е С(Ят),! > 0, f (х,Ь) е Ь2(Ят.

Тогда существует единственное обобщенное решение поставленной задачи.

Дальнейшие исследования показали, что при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты уравнения и его правую часть обобщенное решение имеют и производные второго порядка. Обоснование этого утверждения составляет основной результат статьи и изложено в следующем разделе. Основной результат.

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

с(х^),а(х^),аг(х^),аи(х^) е С(Ят)К(х) е С1[0,1],1 > 0, ft(x,t) е Ь2(Ят).

Тогда обобщенноге решение задачи (1)-(4) принадлежит пространству Ш22 (Ят) .

Доказательство. Воспользуемся соотношением, которое позволило убедиться в существовании обобщенного решения из Ш(Ят), а именно

I I I

J(ЩЦчю^ + аиЛт^ю^ + cumWj)dx + (I) J К(x)um(x,t)dx = J fwjdx, (6)

0 0 0

т

где пт(х^) = ск(х), {юк(х)} — система функций, принадлежащая С2(0,1)ПС 1[0, I] и образующая

к=1

полную систему в (0,1). Продифференцируем (6) по t, затем умножим на с''(Ь), просуммируем по ] от 1 до т, а затем проинтегрируем по (0,т), где т е [0, Т]. Получим

т l

Kit< + an^nm + atumKtt + cu?um + сьити% ]dxdt + J[jat (l, t)u?v,m + ja(l, t)(u% )2]dt+

0

т l т l т l

+ J at(l,t)um(l,t) J K(x)umdxdt + J a(l,t)um(l,t) J K(x)umdx = J J ftumdx. (7)

0 0 0 0 0

т

Перейдем к выводу оценок. Преобразуем два первых слагаемых левой части (7).

i i

<tt<t dxdt = 2 J(um(x,T)2dx — 1 J(umt (x, 0))2dx, 0 0 0 0 T l T l l

auXtuXttdxdt = — ^ J j at (umt)2dxdt + ^ j a(umt (x,T))2dx.

0 0 0 0 0 В силу этих преобразований (7) примет вид

l t it l 1 г' ^ \\2 I ~ ((™ ^ | /* /• j 4-\(„,m(l + \\2 _ 1 I ((™ П \\2 Л™ i 1 I I ~ (2 .

Ц[(пт (х,т ))2 + а(п^(х,т ))2]Сх + 7| а(1,г)(пт (¡,Ь))2Л = Ц(пт (х, 0))2Сх +2! | а^п^СхЖ-0 0 0 0 0 т I т т I

1[аптпта + си^п^ + с^и^ЦхЛЬ - ^ аг (¡^п^п^А - J аг (¡,г)у™(1,г) J К (х)пт(х,Ь)СхА-

0 0 0 0 0

т I т I

- ! а(1,г)ит(1,г) J К (х)п^ (х,Ь)Сх& + У J / п^СхА. (8)

0 0 0 0 При выполнении условий теоремы левая часть (8) неотрицательна. Тогда из (8) вытекает неравенство

I т 1т I

У [(пт(х,т ))2 + а(пт (х,т ))2]Сх + 2^1 а(1,г)(п^(1,г))2 Л < || (п%(х, 0))2Сх\ + || | а (п% )2СхСЬ\+ 0 0 0 0 0 т I т т I

+ \2 ! J [агп^п^+сп^и^+сптпт]СхА1 + \2^ аг (¡^п^п^А^^ ! аг (1,г)ит(1,г) J К (х)пт(х,г)СхСг\ + 0 0 0 0 0

т I т I

+ |- 2^ а(1,г)п^(1,г) ! К(х)ут(х,г)3,хЖ\ + \2 J J /п™СхА\. (9)

0 0 0 0 Оценим правую часть (9). Для этого сначала преобразуем некоторые слагаемые, интегрируя по частям

т I т I

—2J at (l,t)um(l,t) J K(x)um(x,t)dxdt = 2 J at(l,t)um(l,t) J K(x)um(x,t)dxdt+ 0 0 0 0 T l l

+2 J att(l,t)um(l,t) J K (x)ut(x,t)dxdt — 2at(l,T )um(l,T) J K (x)um(x,T )dx,

0 0 0 T l T l

—2J a(l,t)um (l,t) j K (x)um(x,t)dxdt = 2 J a(l,t)um(l,t) J K (x)um (x,t)dxdt+

0 0 0 0 T l l

+2 J M^m j k и«.,^ — mI,t x O,t ) J K м^

0 0 0 Тогда неравенство (9) можно записать так:

l T l T l

(um(x,T))2 + a(umt(x,T))2]dx + 2y i a(l,t)(um(l,t))2dt <1 i(uVtt(x, 0))2dx| + 1 / i at(u"i)2'

J[(um(x,T))2 + a(umt(x,T))2]dx + 2y J a(l,t)(um(l,t))2dt < \ j(um(x, 0))2dx\ + \J J at(umt)2dxdt\+

0 0 000

T l T l T l T

+ \2 J J cumumdxdt\ + \2 J J atumumttdxdt\ + \2 J J ctumumdxdt\ + 2j\ J at(l,t)umumdt\ +

0 0 0 0 0 0 0 T l T l T l

+2\ J a(l,t)um (l,t) J K (x)um(x,t)dxdt\ +2\ J at(l,t)um (l,t) J K (x)um(x,t)dxdt\ + \2 J J ftum dxdt\. (10)

T

Проведем оценкии некоторых слагаемых

т l т l

1) 2\ J J cumumdxdt| < со J J[(um)2 + (u™)2]dxdt, 0 0 0 0 т l т l т l l

2) — j j atu'miumittdxdt = J j attu'miu'mitdxdt + J j at(umt)2 dxdt — J atuim(x,T)umt(x,T)dx.

0 0 0 0 0 0 Оценим последнее слагаемое в 2), применяя неравенство Коши с е.

l l l 2\ J atuim(x,T)uimt(x,T)dx\ < a1e223J(umt(x, t))2dx + a1c(e) J(um(x,T))2dx,

т l т l

так как um = j umt(x,t)dt, то f(um(x,T))2dx ^ tJ f(umt(x,t))2dxdt, в результате 2) примет вид

0 0 0 0

т l т l т l

2\J J atu™u™ttdxdt\ < a'i J J[(um)2 + (umt)2]dxdt + a1 j J(umt)2dxdt+

0 0 0 0 0 0 т l l

m\2 i „ , / <„.m<„ \\2,

+a\c(e)T J j(umt)2dxdt + a\e j(umt(x,T))2dx.

0 0 0

Оценим остальные слагаемые

т l т l

3) 2\ J J ctumumdxdt\ < d J J[(um)2 + (um)2]dxdt, 0 0 0 0 т т т

4) 2y\ J at(l,t)u™u™dt\ < arf J(u™(l,t))2dt + c(S)a1j j(u™(l,t))2dt, 0 0 0 т l т т l

5) 2\ J a(l,t)um(l,t) J K(x)um(x,t)dxdt\ < arf J(um(l,t))2dt + a1c(S)K0 J J(um)2dxdt,

0 0 0 0 0 т l т т l

6) 2\ J at(l,t)u™(l,t) J K(x)um(x,t)dxdt\ < a1S J(um(l,t))2dt + a1c(S)K0J J(um)2dxdt, 0 0 0 0

т l т l т l

7) 2\ / ftumdxdt\ ^ (um)2dxdt + / f2dxdt.

tuttaxat\ ^ j j (uuj u^^-r j j jt

0 0 0 0 0 0

l

(utt

(Здесь 5 играет ту же роль, что и е в оценках выше). Рассмотрим слагаемое (х, 0))2dx и оценим

0

его. Для этого вернемся к (6), умножим его на с"(Ь), просуммируем по ] от 1 до т и положим Ь = 0

l

J [щ(х, 0))2 + aum(x, 0)^1 (х, 0) + ^(х, 0^(х, 0)]сх + 7а(1, 0^(1, 0)^1 (I, 0)+

0

I I

+а(1, 0)4% (I, 0) ! К(х)^^, 0)Сх = У f (х, 0)4% (х, 0)Сх,

00

так как чт(х, 0) =0, то и чт(х, 0) =0, ^(1, 0) =0, тогда последнее равенство перепишется в виде

I I

(х, 0))2dx = ! f (х, 0)Щ(х, 0)сх,

откуда

i i

J(um (x, 0))2dx f2(x, 0)dx. (11)

0

i

В силу условий теоремы |а|, \at\, \att\ ^ ai, \c\, \ct\ ^ ci, f K2(x)dx = Ko,a(x,t) ^ ao. С учетом приведенных выше оценок (10) примет вид

0

Т I т I

J[(um (x,r))2 + a(umt(x,r))2]dx + 2y J a,(l,t)(v™ (l,t))2dt < a1 J J^fdxdt + c0 J J [(v™ )2 + (u™ )2]dxdt+ 0 0 0 0 0 0

Т i Т i Т i i

+a1 / J[(um)2 + (umf]dxdt + a^ J(umtfdxdt + aA*)rj J(<tfdxdt + (<t(x, T )?dx+ 0 0 0 0 0 0 0 Т i Т Т Т

+c1 J J[(um)2 + (u%)2]dxdt + a1S J(u™(l,t))2dt + Sa1 j j(vm(l,t))2dt + a^ J(u™(l,t))2dt+ 0 0 0 0 0 Т i Т Т i

+a1c(ô)K0 J J (u^fdxdt + arf J (u™ (l, t))2dt + a1c(5)K0 J J (um)2dxdt+

,.m\I „ x I t„.mn J-\\2j+ , „ I I (um 2,

0 0 0 0 0 Т i Т i i

+ J J(u" )2dxdt + J У ft dxdt + l f 2(x, 0)dx.

0 0 0 0 0 Пусть N1 = тах{с0 + а1с(е)Ко, а1, С1+а1с(5)Ко}, N2 = тах{3а1+а1с(е)т, со + С1 + 1}, тогда полученное неравенство перепишется

I т т I

У [Щ (х,т ))2 + ао(и™(х,т ))2]сх + 2чаю i (ит (1,ь))2& < N1 У У [К™)2 + (и2Х)2 + (um)2)]dxdt+ 0 0 0 0

т I I т т II

//[(итt)2 + (ит ?]схсь + а1^у (umt(x,т))2dx + 3а1^ (иЦ (1,ь))2сь ^ ^ ^схсь ^ f2(x, 0)сх.

0 0 0 0 0 0 0

Перенесем интегралы, содержащие (ит^(х,т))2, (и%(1,Ь))2, в левую часть, выбрав е, 5 так, чтобы ао — — а1е > 0; 27 — 3а15 > 0, например, ао — а1е ^ а0, то есть е ^ тр-, и аналогично 27 — 3а15 ^ откуда

5 < зР-. Тогда 01

I т I

то У [(ит(х,т))2 + (и%(х,т))2]Сх < N1 У У[(и^)2 + (ит)2 + (um)2)]dxdt+

о 0 0

Т

I I

+N2 У JiiuZt)2 + (u%)2]dxdt + J У ¡¡dxdt + J f 2(x, 0)dx, о о о о о

где mo = min{1 + 2^ao + 3ai^; ao — aie}. Первое слагаемое правой части ограничено, так как u G W2(Qt )■

Т l l

В силу условий теоремы J J f^dxdt + J f 2(x, 0)dx ^ N3, тогда

o o o

l Т l

moj [(um (X,T ))2 + (um(x,r ))2]dx < N2 y f[(umt)2 + (um)2]dxdt+N3 . (12)

0 0 0 Применим к неравенству (12) лемму Гронуолла, что приводит к неравенству

l

f [(u?t (x,T))2 + (uZt(x,r))2]dx < e^т m . J m0

0

Т

Т

После интегрирования последнего неравенства по (0, T) получим

о П N3 N2 T

\um\\Uqt ) + \\u:t\\l(QT) < N (em — i)-

Так как правая часть этого неравенства не зависит от m, то мы приходим к выводу, что при выполнении условий теоремы 2 обобщенное решение поставленной задачи имеет производные utt ,uxt, принадлежащие пространству L2(Qt). Покажем, что решение имеет и uxx £ L2(Qt). Заметим, что обобщенное решение задачи (1)-(4), имеющее производные utt,uxt, удовлетворяет тождеству (5) в форме

T l T T l T l

(uttv + auxvx + cuv)dxdt + 7 j a(l,t)ut(l,t)v(l,t)dt + j a(l,t)v(l,t) j Kudxdt = j j fvdxdt. (13)

00 0 0000

Положим в (13) v(x,t) = &(x)V(t), где Ф G L2(0,T), V(T) =0, Ф G Wl(0,l), Ф(0) = 0, тогда из (13) следует

T l T T l

У ^(t) J[utt^(x) + aux&(x) + cu§]dxdt + j j a(l,t)V(t)ut(l,t)&(l)dt + J a(l,t)&(l)V(t) J Kudxdt =

0 0 0 0 0

T l

J J №(t)<b(x)dxd,t. (14)

0 0

Так как ^(t)- любая функция из указанного класса, то для почти всех t G [0, T] из (14) следует выполнение соотношения

i 1 1

J аихФ ' (x)dx = - J [utt + cu - f ^(x)dx - Ya(l,t)<b(l)ut(l,t) - a(l,t)<b(l) J Kudxdt. (15)

0 0 0 Рассмотрим вспомогательную задачу: найти ux(x,t) из соотношений:

(aux )х = Z (x,t), ux(l,t)= v (t). (16)

Решение этой задачи имеет вид

х l

aux(x,t) = J Z (Ç,t)d£ + a(l, t)v(t) - J Z (Ç,t)dÇ. 00 Можно также найти представление u(x,t), удовлетворяющее (16)

x £ l x

1 Г „Н ^ , r „ ^ ^ ï ^ i d£

u(x,t) = J a^J Z (?>t)d£d£ + [a(l, t)v(t) - J Z (Ç,t)d$J ■ t).

0 0 0 0

Очевидно, что это решение имеет пхх С Ъ 2(0,1) для почти всех г С [0, Т], если £ С Ь2^т). Легко видеть, что функция п(х,г), являясь решением (16), удовлетворяет тождеству

I I

J апхФ'(х)Сх = -J Z(х,г)Ф(х)Сх - а(1,г)и(г)Ф(1)

00

I

для любой Ф € Ш2(0,1), Ф(0) = 0, которое при Z(х,г) = пи + сп - /, и(Ь) = -[^щ(1,г) + / КпСх]

0 ' ;

совпадает с (15).

Отсюда следует, что пхх С Ь2^т), где п(х,г) — обобщенное решение задачи (1)-(4). Таким образом, п С ).

Утверждение доказано.

Литература

[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 2004. 798 с. URL: http://volnogaz.math.msu.su/pages/books/Тихонов%20-%20%20Уравнения%20математической%20физики.pdf.

[2] Скубачевский А.Л., Стеблов Г.М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в Ь2{0,1) // ДАН СССР, 1991. Т. 321. Вып. 6. С. 1158-1163. URL: http://www.mathnet.ru/links/45f36a1Qc5fQ6a36e54d3cQ2Gefbc746/dan5707.pdf.

[3] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. Вып. 2. С. 294-3Q4.

[4] Рогожников А.М. О различных типах граничных условий для одномерного уравнения колебаний // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ. 2013. Вып. 10. C. 188-214. URL: https://istina.msu.ru/ download/4446927/1ktCIB:sjvtjvFuk4heV2GZd4Cw4OWVUF4/.

[5] Киричек В.А. Задача с нелокальным граничным условием для гиперболического уравнения // Вестник Самарского ун-та. Естественнонаучная серия. 2017. Вып. 3. C. 26-33. URL: https://journals.ssau.ru/index.php/est/article/view/5498; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32274170.

[6] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. Москва: URSS, 2010. 237 с. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=19461607.

[7] Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями // Вестник Самарского ун-та. 2014. Вып. 3(114). C. 9-19. URL: http://vestnik-old.samsu.ru/articles/3-2014-1.pdf; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21608733.

[8] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping // EJDE. 1998. Issue 28. P. 1-10. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13287682.

[9] Andrews K.T., Kuttler K.L., Shillor M. Second order evolution equations with dynamic boundary conditions // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 197. Issue 3. P. 781-795. DOI: http://doi.org/10.1006/JMAA.1996.0053.

[10] Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. Задача с нелокальным динамическим условием для уравнения колебаний толстого стержня // Вестник Самарского ун-та. Естественнонаучная серия. 2017. Вып. 4. C. 7-18. DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2017-23-4-7-18.

[11] Tobias Louw, Scott Whitney, Anu Subramanian and Hendrik Viljoen. Forced wawe motion with internal and boundary damping // Journal of applied physics. 2012. V. 111. P. 014702-0147028. DOI: http://doi.org/10.1063/1.3674316.

[12] Pul'kina L.S. A problem with dynamic nonlocal condition for pseudohyperbolic equation // Russian Mathematics. 2016. Vol. 60. Issue 9. P. 38-45. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X16090048.

[13] Pulkina L.S., Beylin A.B. Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar // EJDE. 2019. Issue 29. P. 1-9. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38706537; https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2019/29/pulkina.pdf.

Scientific article

DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-2-15-22 Submited: 13.03.2020

Revised: 27.03.2020

Accepted: 25.05.2020

V.A. Kirichek

Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: Vitalya29@gmail.com. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9817-863X

ON SMOOTHNESS OF SOLUTION OF ONE NONLOCAL PROBLEM

FOR HYPERBOLIC EQUATION

ABSTRACT

In this paper we consider a nonlocal problem with integral boundary condition for hyperbolic equation. The conditions of the problem contain derivatives of the first order with respect to both x and t,, which can be interpreted as an elastic fixation of the right end rod in the presence of a certain damper, and since the conditions also contain integral of the desired solution, this condition is nonlocal. It is known that problems with nonlocal integral conditions are non-self-adjoint and, therefore, the study of solvability encounters difficulties that are not characteristic of self-adjoint problems. Additional difficulties arise also due to the fact that one of the conditions is dynamic. The attention of the article is focused on studying the smoothness of the solution of the nonlocal problem. The concept of a generalized solution is introduced, and the existence of second-order derivatives and their belonging to the space L2 are proved. The proof is based on apriori estimates obtained in this work.

Key words: nonlocal conditions, dynamic boundry conditions, hyperbolic equation, generalized solution, Sobolev spaces, smoothness of solution.

Citation. Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 15-22. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-2-15-22. (In Russ.)

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

Information about the author: © Kirichek Vitaliya Alexandrovna — postgraduate student, Department of Differential Equations and Control Theory, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.

References

[1] Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 2004, 798 p. Available at: http://volnogaz.math.msu.su/pages/books/THXOHOB%20-%20%20ypaBHeHHS%20MaTeMaTHHecKOH%20<^H3HKH.pdf. (In Russ.)

[2] Skubachevskii A.L., Steblov G.M. On the spectrum of differential operators with a domain that is not dense in L20,1. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1991, vol. 321, no. 6, pp. 1158-1163. Available at: http://www.mathnet.ru/links/45f36a10c5f06a36e54d3c020efbc746/dan5707.pdf. (In Russ.)

[3] Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differential Equations, 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294-304. Available at: http://www.mathnet.ru/links/c44146f313280b7b9e3890b4495b3965/de2993.pdf. (In Russ.)

[4] Rogozhnikov A.M. On various types of boundary conditions for the one-dimensional equation of oscillations. Collection of articles of young scientists of the faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, 2013, vol. 10, pp. 188-214. Available at: https://istina.msu.ru/download/4446927/1ktCIB:sjvtjvFuk4heV2GZd4Cw4OWVUF4/. (In Russ.)

[5] Kirichek V.A. Problem with nonlocal boundary condition for a hyperbolic equation. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2017, vol. 3, pp. 26-33. Available at: https:// journals.ssau.ru/index.php/est/article/view/5498; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32274170. (In Russ.)

[6] Korpusov M.O. Destruction in nonclassical wave equations. Moscow: URSS, 2010, 240 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=19461607. (In Russ.)

[7] Beylin A.B., Pulkina L.S. Task on longitudinal vibrations of a rod with dynamic boundary conditions. Vestnik of Samara State University, 2014, no. 3 (114), pp. 9-19. Available at: http://vestnik-old.samsu.ru/articles/3-2014-1.pdf; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21608733. (In Russ.)

[8] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping. Electronic Journal of Differential Equations, 1998, vol. 28, pp. 1-10. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13287682.

[9] Andrews K.T., Kuttler K.L., Shillor M. Second Order Evolution Equations With Dynamic Boundary Conditions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, vol. 197, issue 3, pp. 781-795. DOI: http://doi.org/10.1006/JMAA.1996.0053.

[10] Beilin A.B., Pulkin L.S. A problem on longitudinal vibration in a short bar with dynamical boundary conditions. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2017. no. 4 (23). pp. 7-18. Available at: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2017-23-4-7-18. (In Russ.)

[11] Tobias Louw, Scott Whitney, Anu Subramanian and Hendrik Viljoen. Forced wawe motion with internal and boundary damping. Journal of Applied Physics, 2012. vol. 111, no. 1, pp. 014702-0147028. DOI: http://doi.org/10.1063/1.3674316.

[12] Pul'kina L.S. A problem with dynamic nonlocal condition for pseudohyperbolic equation. Russian Mathematics, 2016, vol. 60, issue 9, pp. 38-45. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X16090048.

[13] Pulkina L.S., Beylin A. B. Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar. Electronic Journal of Differential Equations, 2019, no. 29, pp. 1-9. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38706537; https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2019/29/pulkina.pdf.