CC BY
40
МАТЕМАТИКА
Е.Н. Михалкин
О ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1
Алгебраическое уравнение, гипергеометрическая функция, обобщенный гипер-геометрический ряд.
Рассмотрим общее алгебраическое уравнение:
гп + х^"1 +... + х г р -1 = 0, п> щ...> п
(1)
В 1921 г. шведский математик Меллин предъявил интегральную формулу [МеШп, 1921], а также разложение в гипергеометрический ряд для решения г(х) = г(х1,...хр) рассматриваемого уравнения (см. также [Семушева, Цих, 2000]).
Им было найдено решение для ветви с условием г0(0) = 1, которое называется главным решением. Нетрудно проверить, что все остальные решения уравнения (1) получаются из главного по формуле:
х-.(х)-е1х(е1п1 Х1,...,81Пр Хр), ] = 1,...,п~1,
2пп
где £ = е п -первообразные корни из единицы степени п.
В статье [Семушева, Цих, 2000] на основе интегрального представления Мел-лина и теории многомерных вычетов был вычислен ряд Тейлора и описана его область сходимости для главного решения уравнения (1). Этот ряд следующий:
1
(-1 рг
г0(х) = —
ті ІА’ЕГо
X
Ц> О
1
ги
п п
п 1
І-Іь +1
(2)
п п
п
где щ=п-щ, |&| = ^ +... + & , Гф) - гамма функция Эйлера.
1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № НШ-7437.2010.1, а также гранта Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта 2.1.1 / 4620).
В данной работе рассматривается уравнение (1) при р = 1. В этом случае (1) содержит лишь один параметр и имеет вид:
гп+хгт-1 = 0 (3)
(здесь хит обозначают соответственно хх и щ).
В статье будет получена формула для решения (3) в классе гипергеометричес-ких функций вида:
пК-1 (а1,...,ап;р1,...,рп_1;у(х)),
где у(х) - функция, линейно зависящая от параметра х. Напомним, что обобщенной гипергеометрической функцией пРп_1(а1,...,ап;/31,...,/3п_1;1) называется ряд:
к=о(Юк
где (а)к символ Похгаммера.
Г(а)
Теорема. Главное решение г0(х) уравнения (3) допускает представление в виде суммы обобщенных гипергеометрических рядов:
1 + те
, Пв--/1 1 V П J 8
г0(х) = — X—Ъ----------гг—4х х /кч
п*=°8гг\1 1 тв1 ^
п
* Т7
4 /7 П-1
где
1 т-1 , , 1 , п-т-1 1 : п-\ . л.т
а,а л—,...,ал-------------------------------------------------,Ь,Ь-\-,...,Ь +-;с,с + — -;(-1) д
^ т т п-т п-т п п
а = а(в) = — + ——, Ь = Ъ(з) = —-——--, с = с(в) = — + —, (6)
п тп п п(п-т) п п
;=«=м(7)
п
а символ 1 означает пропуск параметра 1.
пп
Указанные ряды сходятся в круге | х | <-—.
тт(п-т)п т
Доказательство. Для доказательства теоремы запишем ряд (2) для случая триномиального уравнения (3):
и применим к нему формулу дополнения:
1 _ Г(г)я\гшг
Г( 1-х)
п
Тогда получим, что
г( 1 + тки іI + тк
, \ 1^1 П 11 1 { 11 11 ) \П п I ь
г0(х) =--------------—-------Г,---------------- х
ПП к=о к!
(8)
Далее воспользуемся формулой Гаусса-Лежандра для гамма-функции [Бейтмен, Эрдейн, 1973], которую запишем в следующем виде:
т-1 (
ПГГ+™
Г(тг) = —^--------т = 2,3,4,....
(2п;
—(т-1) —тг
2 т2
Согласно ей, множители, стоящие в (8), будут такими:
Ы=Г
( (к 1
п —+ —
V \П «уу
1
гМ- + - + -|,
1(п-1) -~к Г=0 {п п п
(2п)2 п 2
Г\- + —\ = Г п п
г\±лк-±\ = 11 11
Ґ
(к+ 1
т\ — +-----
ч \11 ШПуу
1
п-1
тк
(2п)
"-(т-і) г1=о Vя тп т;
1 ,
11, п-т (п-т-1) —+—к---- го=0
(2и)2 (п-т)2 п п
т
п-т-1 ( 1о
П Г
і
■ + ■
п п(п - т) п-т
Подставляя полученные выражения в (8) и выполняя некоторые достаточно очевидные действия, перепишем (8) в виде:
г0(х) = -
3 1 1 11
л[лп2т2 П(п-т)2 п
ГК
+ -
- + -
X I
к-О
г1~0 V
п тп т
П Г
гп- О
&
1
\
+
її п(п-т) п-т
( Ь 1 Г
П г\- + - + -
г=о I п п п
к
„ . (1 тк\
— +---- І ,
І п п
тт(п-т)п~т
где £ =- —-—- х" . Заметим, что в полученном представлении решения г0(х)
п
/г
в выражении при гамма-функции содержится один и тот же аргумент —, сдви
п
нутый на некоторое слагаемое, не зависящее от к.
Теперь представим /г в виде й = в + пі, где 0 < в < и, -1, / = 0,1, 2,..., в результате
чего последний ряд представится в виде суммы ^ рядов:
г0(х) = —
42,
3 1 1
1 1
4пп2т2 П(п-т)2
т-1
8 Пг
п-1 со -л .
X
+-----+ — + I
11 ТПП тп
л (
П Г
; г2-О
1
+
п п(п-т) п-т
+1
Л
=0 1=0
Пг|- + і + - + ;
г=0 \П 11 11
і ■ і 1 , , ї I
£ вішт — + — + ті . п п
Далее, следуя представлению обобщенного гипергеометрического ряда, представим внутренний ряд в виде (4), для этого воспользуемся ранее упомянутой формулой Гаусса - Лежандра:
п-1
ГК
г =0 тп Шу
(2п)2 т2 п п
п—т—1
П г
г„- О
1
+ ■
п п(п-т) п-т
1 , , . 1 п-т 1 , л
/с. -(п-т-і) ------*>+-„( п-т 1
= (2п)2 (п-т,)2 п пГ\--------в-----|,
п п
п-1 ( 8 1 г
г=5 \п п п
^-(п-1) -—-б
[ 1, 018 , , | , л\т1 ■ ( 1 , те
а также тем, что вішт — + — + ті = (-1) виш — + —
\п п ) \п п
В результате решение г0(х) уравнения (3) представится следующим образом:
1
п-1 ’
п“4Ы1Л!,_1
20(Х) =--------Е-
ПП,=о
11 11
11
в!
Під. I те ,1 .
-X вІПіТІ ---+ — I X
11 11
X и -^П-1
г 1 /п-1,. 1 ,и-от-1 1 ; и-1,1Чтл
а,а + — ,...,а +--,о,Ь +---,...,Ьл--------;с,с+ —сн------------;(-1) д
V
т
т
п-т
п-т
п
п
/
где значения а = а(з),Ь = Ь(8),с = с(8) находятся согласно (6). После применения
I ТПЭ 1 I ( 1)18 1 I
формулы дополнения к произведению Г\— + — впит— + — , убеждаемся в
\ 11 п) \ п п)
справедливости (5).
Каждый из полученных рядов сходится при \$(х) | < 1 (см., например, [Бейтмен, Эрдейи, 1973]), а это в силу (7) и означает, что найденные ряды сходятся в круге
IX I <
п"
тт(п-т)п-т
Отметим, что все точки дискриминантного множества уравнения (3) лежат на
пп
граничной окружности |х| = дов [Михалкин, 2006].
тт(п-т)п
найденного круга сходимости ря-
Библиографический список
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. 516 с.
2. Михалкин Е.Н. О решении общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47. № 2. С. 365-371.
3. Семушева А.Ю., Цих А.К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы. Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 134-146.
4. Mellin H.J. Resolution de l'equation algebrique generale a l'aide de la fonction gamma // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1921. V.172. P. 658-661.
