CC BY
39
решений уравнения Шредингера (ср. соответствующие формулы для решения аналогичных задач в [2; 3]). Его можно использовать для решения многих задач квантовой физики и теории солитонов.
Список литературы
1. Зайцев А. А., Каргаполов Д. А. О точных решениях матричного уравнения Шредингера // Вестник РГУ им. И. Канта. Вып. 3: Сер. Физико-математические науки. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007.
2. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Пичаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М., 19S0.
3. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 19S6.
Об авторах
А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., РГУ им. И. Канта.
Д. А. Каргаполов — асп., РГУ им. И. Канта, [email protected]
УДК 551.465
В. А. Гриценко, А. Г. Зацепин, И. П. Чубаренко, С. С. Низов
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ СКАЧКЕ ПРИ РАССЛОЕНИИ ВДОЛЬСКЛОНОВОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ
Анализ результатов численных и лабораторных экспериментов при изучении взаимодействия вдольсклоновых течений с пикноклином позволил идентифицировать возникновение внутреннего гидравлического скачка для течений с расслоением и смены режима с закритического на докритический.
Analysis of the results of numerical and laboratory experiments on interaction of down-slope currents with a pycno-cline has allowed to identify an occurrence of an internal hydraulic jump and a change of a regime of currents from supercritical to subcritical in the case of shearing.
Посылки. Эффект расслоения вдольсклонового гравитационного течения в вертикальной плоскости при его погружении в стратифицированную жидкость известен уже достаточно давно [7; 9] и был получен как в лабораторных [9; 10], так и в численных [1; S] экспериментах. Вместе с тем из-за сложности регистрации в зоне контакта различных по плотности водных масс и на сегодняшний день отсутствует описание механизма их взаимодействия. Цель данной работы — исследование эффекта возникновения внутреннего гидравлического скачка при взаимодействии распространяющегося вдоль склона дна гравитационного течения с пикноклином.
В основе работы лежат результаты лабораторных экспериментов в гидролотке ИО РАН [1], позволившие предположить существование
Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 25 — 29.
2б
гидравлического скачка при расслоении течения, и массив расчетных течений, полученных на конечно-разностной Х2-модели [2—4] динамики стратифицированных по плотности течений в двухслойной жидкости. Система уравнений Х2-модели имеет следующий вид:
ёс
dJL =іЁС+,,А„, dC = DАс, А/ = о,
dt
dt
dt
Po dz
где а — завихреность, / — функция тока, g=982 см/ с2, р0 — плотность пресной воды, ро+ с — плотность соленой воды, vt =v0 + c(x, z, t) ■УЭФ, Dt = = (Sc)-1Vt — коэффициенты турбулентных вязкости и диффузии, Sc = 2
— турбулентное число Шмидта, Уэф =VRe ■ v0, Re = Uo ■ ho / Vo, при t=0 — уэф = 0; с — безразмерная величина, сє[0.0;1.0], используемая как трассер водной массы вдольсклонового течения, d/dx — оператор полной производной. Расчетные уравнения модели были построены на сетках размерностями 301 х 111 и 701 х 321 (Дх= Дz= 0,05) при помощи схемы с направленными разностями [б].
На рисунке 1 приведены распределения плотности и трассера для течения с уже произошедшим эффектом расслоения в вертикальной плоскости, с почти симметричными по расходу придонным и интрузи-онным течениями.
25 □
Рис. 1. Распределения избыточной плотности (сплошные линии), трассера (серая заливка) и функции тока (тонкие штриховые линии) для течения с расслоением. Для увеличения масштаба изображений на рисунке приведена только часть модельного пространства. Стрелочками на рисунке отмечено направление каждого из двух течений — придонного и интрузионного
Все параметры течения во входном створе неизменны во времени и были следующими: верхний слой в модельном пространстве — пресный
— ро=1 г/см3, придонный — соленый, р1= ро+Дро, Дро=0,0015 г/ см3, водная масса течения р1= ро+Дряо^,, Дрflow = 0,0017 г/см3. Характерный линейный масштаб задачи определялся толщиной входного створа — Ьо=50 см, масштаб скорости — скоростью течения в нем — и0=2 см/ с. В выходном створе задавалось равенство нулю нормальных к границе производных по плотности и скорости течения. Угол наклона дна а равен 45о. На линии склона дна использовались условия непротекания и скольжения жидкости.
Предварительный анализ. Анализ графиков различных фаз расчетных течений показал, что при их распространении в верхнем слое модельного пространства (т. е. в пресной воде) сразу за входным створом происходит их быстрое сжатие по вертикали и разгон вдоль склона дна. При этом на фоне вовлечения пресной воды вблизи зоны контакта языка водной массы течения с границей раздела слоев число Фруда
уверенно больше единицы — Бг=1,9, Бг = й/2/(й • Ь • g,)/2, где и и Ь средние скорость и толщина придонного потока на склоне дна, g, = g • ДрЙ0№ / р0 — редуцированное ускорение силы тяжести. Вовлечение значительно. Вскоре после окончания стартовой фазы сжатия и разгона потока вдоль склона дна его толщина возрастает примерно вдвое. Для течений с расслоением после взаимодействия и прохождения пикноклина ситуация резко меняется. Рост толщины слоя при-склонового течения и его торможение приводит к переходу числа Фру-да через критическое значение — Бг=0,83. Толщина потока по сравнению с предыдущим створом возрастает более чем в 3 раза. Таким образом, для расчетного течения с расслоением, в неплохом соответствии с теоретическими предположениями [5], эффект перехода числа Фруда через единицу действительно имеет место.
Аналогичные оценки были сделаны и для полярного по своей структуре варианта течения, полностью сохраняющего свой придонный характер. Расчет чисел Фруда для тех же створов до и после контакта вдольсклонового течения с границей раздела слоев показал, что в этом случае изменения знака неравенства не происходит. В частности, в створе «до контакта» число Фруда больше единицы (Бг = 1,96). В створе «после контакта» — число Фруда снова больше единицы (Бг = 2,81). Таким образом, для течения без расслоения можно было констатировать только некоторое «замедление» течения перед или в зоне контакта со слоем скачка плотности. После акта взаимодействия течения с пикноклином его структура «самовосстанавливается» до обычной для придонных течений на склоне дна [7].
Итак, эффект появления точки ветвления структуры течения в вертикальной плоскости связан с появлением внутреннего гидравлического скачка и сменой режима течения с закритического на докритиче-ский, который происходит в зоне взаимодействия вдольсклонового течения со слоем скачка плотности.
Расчет дополнительных параметров и оценок. Для лучшего понимания ситуации было рассмотрено изменение средних параметров вдольсклонового течения в 13 контрольных створах, равномерно распределенных по всей длине склона дна. При анализе расчетных полей в каждом из контрольных створов сначала определялась толщина (количество слоев расчетной сетки) двигающегося присклонового слоя воды, а затем выполнялась обычная процедура осреднения по слою для показателей скорости, трассера и плотности, а также расчет чисел Фру-
28
да. На рисунке 2 приведены графики изменения значений скорости течений с расслоением и значения чисел Фруда для каждого из створов. Отчетливо видно последовательное и монотонное уменьшение значений чисел Фруда перед зоной взаимодействия и переход через критическое значение — единицу.
Рис. 2. Распределения средней скорости иї и значений чисел Фруда йгї в 13 контрольных створах (бії) для двух расчетных течений (04 и 05) с расслоением на сетке 701 х 321. Кружочками и ромбиками обозначены значения чисел Фруда в каждом из контрольных створов. Штрих-пунктирные линии подчеркивают тенденцию типа изменчивости значений чисел Фруда до и после взаимодействия течений с пикноклином
Выводы. Проделанный в работе анализ изменчивости средних значений основных полей расчетных течений в 13 контрольных створах на склоне дна показал, что при взаимодействии вдольсклонового течения со слоем скачка плотности в зоне контакта различных по плотности водных масс — течения, верхнего и нижнего слоев — возникает внутренний гидравлический скачок и одновременно в этой же зоне происходит расслоение потока в вертикальной плоскости.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 05-05-64927, № 06-05-64138 и № 07-05-00850.
Список литературы
1. Гриценко В. А., Зацепин А. Г., Чубаренко И. П. Об эффекте расслоения гравитационного течения при взаимодействии со слоем скачка плотности // Меж-дунар. конф. «Потоки и структуры в жидкости». Санкт-Петербург, 2 — 5 июня, 2007: Тез. докл. СПб., 2007. С. 200—202.
2. Гриценко В. А., Юрова А. А. О распространении придонного гравитационного течения по крутому склону дна // Океанология. 1997. Т. 37. № 1. С. 44 — 49.
3. Гриценко В. А., Юрова А. А. Об основных фазах отрыва придонного гравитационного течения от склона дна // Там же. 1999. Т. 39. № 2. С. 187 — 191.
4. Зацепин А. Г., Гриценко В. А., Кременецкий В. В. и др. Лабораторное и численное исследование процесса распространения плотностных течений по склону дна // Там же. 2005. Т. 45. № 1. С. 5—15.
5. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск, 2000.
6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., 1980.
7. Самолюбов Б. И. Придонные стратифицированные течения. М., 1999.
8. Gritsenko V. A., Sivkov V. V. Some results of numerical modelling of suspension-carrying deep currents in the Baltic Sea: sedimentological aspect / / Sveriges Geologiska Undersoekning. Uppsala. 1995. Ser. Ca 86. P. 57—60.
9. Monaghan J. J. Gravity currents and solitary waves / / Physica D 98. 1996.
P. 523—533.
10. Simpson J. E. Gravity currents in the environment and the laboratory. England. ELLIS HORWOOD LTD. 1987.
Об авторах
B. А. Гриценко — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.
А. Г. Зацепин — д-р физ.-мат. наук, Институт океанологии им.П. П. Ширшова РАН.
И. П. Чубаренко — канд. техн. наук, Институт океанологии им.П. П. Ширшова РАН.
C. С. Низов — асп., Институт океанологии им. П. П. Ширшова РАН. УДК 538.945
П. Ф. Бессараб, А. В. Радиевский
РАСЩЕПЛЕНИЕ НИЖНЕГО КРИТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ С МНОГОКОМПОНЕНТНЫМ ПАРАМЕТРОМ ПОРЯДКА: КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Hew
Рассмотрено поведение в магнитном поле вихревых структур и доменных стенок в сверхпроводниках с многокомпонентным параметром порядка.
Behavior of vortex structures and domain walls in a superconductor with many- component order parameter in the external magnetic field is studied
В последние годы все большее внимание уделяется исследованию сверхпроводников с многокомпонентным параметром порядка. К ним относят все сверхпроводники с нетривиальным спариванием (p, d-спариванием и др.), системы с тяжелыми фермионами (например, UPt3) и ВТСП [1 — 4].
Многокомпонентность параметра порядка приводит к тому, что в таких сверхпроводниках возможные типы топологических дефектов включают в себя не только линейные дефекты — вихри, но и топологические особенности в виде плоскостей — доменные стенки (ДС), а также сложные комбинации тех и других [5; 6].
Исследуемый функционал Гинзбурга-Ландау (ГЛ) для сверхпроводников с d-спариванием имеет вид [3]:
Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 29 - 32.
