О геометрии кораспределения почти контактной метрической структуры с метрикой Сасаки Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 514.76

С. В. Галаев, Ю. В. Шевцова

О ГЕОМЕТРИИ КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ С МЕТРИКОЙ САСАКИ

На кораспределении О* контактной метрической структуры (М, £, п, р, д, О) определяется новая почти контактная метрическая структура, называемая продолженной почти контактной метрической структурой. Исследуются свойства полученной структуры.

Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 с заданной на нем контактной метрической структурой (М, £, п, р, д, О) [1-3]. В работе [1] с помощью внутренней и Х-продолженнои связностей на распределении О была определена почти контактная метрическая структура, названная в работе продолженной почти контактной метрической структурой. В настоящей статье понятие продолженной почти контактной метрической структуры рассматривается применительно к кораспределению О*. Кораспределение О* образовано всеми допустимыми 1-формами: Л € О* ^ А(£). Введем на кораспределении О* структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте К(ха) (см. [1, 2]) (а, в, 7 = 1,..., п; а,Ь,с = 1,..., п — 1) многообразия М сверхкарту К(ха,ра) на многообразии О*, где ра — координаты допустимого ковектора в кобазисе (йха,п = (1хп + Г^ха), сопряженном базису (еа = да — Гпадп,дп). Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Пусть, далее, Га& — коэффициенты внутренней связности V (см. [1]).

Поставим каждому допустимому векторному полю х € Г(О), х = = хаеа и каждому допустимому ковекторному полю А € Г(О*), А = = Аа^ха, векторные поля хн = ха<Га, А^ = Аада соответственно, где £а = да — ГПдп + рьгасдда = На тотальном пространстве О* векторного расслоения (О*,п,М), где п : О* ^ М — естественная проекция, таким образом, возникает гладкое распределение О = Н 0 V, где Н = Брап(еа)) V = Брап(да). Определим та прострапстве О* метрический тензор С, полагая С(еа,£Ь) = С(да,дъ)даЬ, С(дпдп) = 1, С(еа,дь) = С(еа,дп) = С(да,дп) = 0 и допустимую почти комплексную структуру </, таким образом, что J(еа) = да, J(да) = —£а, J(дп) = 0. Проводя необходимые вычисления, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Система (О*, и = дп, д = п ◦ п*, </, С, О) является почти контактной метрической структурой.

Назовем полученную структуру продолженной (до распределения О*) почти контактной метрической структурой.

Имеют место следующие структурные уравнения:

[£а,£ь] = 2шЬай + РеЩавд6,

^ = -гасдс,

[£а,дп] = -рьдпГЬаСдС.

Здесь Я^Ьс = е[аГцс + 2Га|е|— компоненты тензора Схоутена (см. [1]): Я(х,у)у = УхУуг - У-УхУ- УР- Р[<^[х,у],у].

Почти контактная метрическая структура называется почти нормальной (см. [1]), если N+2((пор)®у, где Ы^х, у) = [рх,ру]+р2[х,у] — — р[рх, у] — р[х, ру] — тензор Нейенхейса эндоморфизма р.

Воспользовавшись структурными уравнениями, получаем выражения для компонент тензора Нейенхейса эндоморфизма 3:

NJ (£а,£Ь)= РсЩаед

N (д а,д Ь) = 2иЬаИ + РсЩаед ^

Полученные выражения используются при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 2. Почти контактная метрическая структура (Б*, и = = дп, ц = п ◦ п*, 3,0,0) почти нормальна тогда и только тогда, когда распределение Б является распределением, нулевой кривизны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые М-про-долженной связностью // Мат. заметки СВФУ. 2015. Вып. 1. С. 25-34.

2. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2013. № 4. С. 1-9.

3. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с р-связ-ностью // Науч. ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2015. № 17(214), вып. 40. С. 20-24.