О гарантированном оценивании параметров процесса авторегрессии с неизвестной дисперсией шума Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 63

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ DATA PROCESSING

Научная статья УДК 519.246.2 doi: 10.17223/19988605/63/7

О гарантированном оценивании параметров процесса авторегрессии

с неизвестной дисперсией шума

Воробейчиков Сергей Эрикович1, Пупков Андрей Викторович2

12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 sev@mail. tsu. ru 2 andrewpupkov@gmail. com

Аннотация. Рассматривается модификация последовательных оценок, позволяющая уменьшить объем выборки, необходимой для получения оценок с заданной среднеквадратической точностью. Уменьшение объема выборки достигается за счет введения дополнительного шага для оценивания дисперсии шума процесса. Представлены модификации процедур оценивания вектора параметров и покомпонентного оценивания. Приводятся результаты численного моделирования.

Ключевые слова: процесс авторегрессии; неасимптотическое оценивание; гарантированная точность; неизвестная дисперсия.

Для цитирования: Воробейчиков С.Э., Пупков А.В. О гарантированном оценивании параметров процесса авторегрессии с неизвестной дисперсией шума // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 63. С. 53-61. doi: 10.17223/19988605/63/7

Original article

doi: 10.17223/19988605/63/7

On guaranteed estimation of parameters in autoregressive process with unknown noise variance

Sergey E. Vorobeychikov1, Andrey V. Pupkov2

12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 sev@mail.tsu.ru 2 andrewpupkov@gmail. com

Abstract. In the paper the modification of guaranteed estimates, which allows one to reduce the necessary sample size to obtain estimates with a given accuracy is considered. Reducing the sample size is achieved by introducing an additional step for estimation the variance of the process noise. The paper presents modifications of the procedures for estimating the vector of parameters and component-by-component estimation. The results of numerical simulation are presented.

Keywords: autoregressive process; non-asymptotic estimation; guaranteed accuracy; unknown variance.

For citation: Vorobeychikov, S.E., Pupkov, A.V. (2023) On guaranteed estimation of parameters in autoregressive process with unknown noise variance. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 53-61. doi: 10.17223/19988605/63/7

© С.Э. Воробейчиков, А.В. Пупков, 2023

Введение

Модели авторегрессионного типа широко применяются в задачах автоматического управления, прогнозирования, обработки телекоммуникационных данных и изображений, при распознавании речи [1, 2]. Для оценивания параметров процесса используются методы максимального правдоподобия и наименьших квадратов [3-5], а также оценки на основе минимизации функции риска [6, 7]. Свойства полученных оценок исследуются в асимптотике при неограниченном росте объема наблюдений. Для практического использования желательно иметь оценки с гарантированным качеством, например с заданной среднеквадратической ошибкой или заданной вероятностью попадания в эллипсоид, содержащий вектор истинных параметров процесса.

Одним из способов, позволяющих решить эту проблему, является использование последовательных процедур оценивания. В частности, в работах [4, 8, 9] была предложена последовательная модификация оценки МНК с доказанными неасимптотическими свойствами (несмещенность и ограниченность среднеквадратической ошибки). Важной особенностью построенной процедуры является ее независимость от распределения шума. Но она обладает существенными недостатками: в частности, для оценивания требуется, чтобы размерность оцениваемого параметра не превосходила размерность процесса, а также необходимо знать дисперсию шума процесса, что является довольно сильным ограничением в применимости построенной процедуры. Например, в такой ситуации невозможно оценить параметры скалярного процесса авторегрессии порядка выше первого.

Для оценивания параметров модели обобщенной регрессии с любым количеством неизвестных параметров была разработана процедура [10]. Решение, позволяющее уйти от необходимости знания дисперсии шума, предложено в работе [11] для процесса авторегрессии р-го порядка. Другой вариант оценивания параметров авторегрессионного процесса с известной и неизвестной дисперсией шумов рассматривался в работе [12]. В дальнейшем в [13] было предложено использовать пилотную оценку неизвестного параметра процесса авторегрессии 1 -го порядка для оценивания неизвестной дисперсии шумов. Это позволяет существенно уменьшить средний объем выборки, требуемый для получения оценки неизвестного параметра с заданной среднеквадратической точностью.

Цель данной работы - построение оценки вектора параметров авторегрессионного процесса (а также его компонент) с заданной среднеквадратической точностью при неизвестной дисперсии шума, что позволяет уменьшить среднее время оценивания по сравнении с [12].

1. Постановка задачи

Рассмотрим процесс авторегрессии р-го порядка

^ = Х'к-1е + ЬЧ, к > 1,

где Хк = (хк,...,хк_р+1)', 6 = (61,...,6р)' - вектор неизвестных параметров (штрих О означает транспонирование), Ь - неизвестная дисперсия шума процесса, [&к} - последовательность независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием Кек — 0 и единичной дисперсией Ее^ = 1. Процесс {гк} не зависит от начальных значений х0,х_1,.,х1_р . Предполагается, что плотность распределения /(х) случайных величин &к имеет симметричное и унимодальное распределение. Требуется построить оценку вектора параметров 6 = (61,., 6 р)', гарантирующую заданное среднеквадратичное уклонение при любом значении дисперсии шума Ь2, а также оценки каждой координаты вектора 6 .

2. Оценивание дисперсии шума

Для построения оценки вектора 6 будем в качестве основы использовать процедуру, предложенную в [12]. Эта процедура с целью уменьшения среднего времени оценивания будет модифици-

рована следующим образом. Сначала построим МНК-оценку параметра 9 на основе фиксированного объема выборки щ

0„ =

Г Л"1

п1 \ п1

H^k-l^k-l YjXk_yXk, \k=\ у k=1

2

а затем построим оценку дисперсии шума b по схеме

Г„

k=«j+1

f

x

Z ^k

П2 > Щ.

(1)

(2)

Аналогично случаю AR(1) в [13] можно получить следующие результаты, оформленные в виде

лемм.

Лемма 1. Пусть плотность распределения / (х) случайной величины &к удовлетворяет следующим условиям:

/ (х) = / (-х) для любого х; /(х)) > /(х2), для любых х1;х2 :| хх |<| х2 |; /(0) = тах /(х),

хеМ1

тогда для функции распределения случайной величины выполняется

Р (БЩ,П1 < г )< Р

b2 X sk < z

v k="i +1 J

Лемма 2. Пусть выполняются условия Леммы 1, тогда для оценки (2) выполняется

Тщ,п1 Ь

2 '

Замечание 1. Отметим, что если {s^.} - последовательность стандартных гауссовских случай-

ных величин, то

DH = ("2 - n1 - 2)-1 .

3. Последовательное оценивание в векторной форме

Далее воспользуемся процедурой оценивания, которая была предложена в [12]. Сначала введем взвешенную матрицу вида

п

Ап = £ У к-1 Хк-1 Х£-1> к=п2 + 2

в которой начальные значения коэффициентов \к вычисляются по формуле

1

Vt =

Vr"1;n2 Xk Xk

если Xk линейно не зависит от Xn ,..., Xk-1;

0,

иначе,

до первого момента n3 , когда существует обратная матрица A-1, т.е.

n3 = inf {n > n2 + 2: det An Ф 0}. Начиная с момента n3 коэффициенты vn находятся из уравнений

л min п

" = XX V^XkUXk-!, n > "3,

Г

k=n +1

(3)

где ЯГ - минимальное собственное значение матрицы Аи , зависящее от коэффициента \п_ 1.

1' 2

Накапливать информацию о процессе будем до момента, пока минимальное собственное значение не превзойдет заданный порог Н > 0 , т.е. момент остановки определяется по формуле

х(Н) = М [п > п3: Xтп > Н}. (4)

После нахождения момента остановки т(Н) значение коэффициента 0 <ут(н)_1 <Г-1^ уменьшается до тех пор пока не будут выполнены условия

л min ,, ч

^тГМ Х(А) т x(h) ^ ^ л,2 V v Л min /

--- А Vk_iXk-lXk-1; AT(h) -

1 и1,и2 k—n3+1

Последовательную оценку МНК определим по формуле

X(h) x(h)

0(h) - Ax(h) А Vk_iXk-Л , Ax(h) - S Vk_iXk_iXk_i

k—n+2 k—n+2

(5)

(6)

Учитывая матричное неравенство 4:(й) - ^m'")Ip, ограничения (5) и свойство подчиненности

х(Н) > ' х(Н)1 р

спектральной нормы матрицы евклидовой норме вектора, получим цепочку неравенств

2 ( , 2^ 2 "

III 0(A)-011 =

_ х(й)

Aw 2 ^k-iXk_xbzk

к=щ+2

<

à'1

1(h)

х(й)

2 v^X^ôs^

k=iî9+2

<

х(й)

2 vk-l^k-lSk

x(A)

(7)

x(A)

k=n2 + 2

/? n2 + 2<k<s<z(h)

Найдем верхнюю границу правой части выражения (7). Введем усеченный момент х(Н, Ж) = шт(х(Н), Ж), N > п3 . Отметим, что индикатор Х{к<х(Н)} измерим относительно а-алгебры

Тк_\ = а{Х0,х1,...,хк_1} в силу определения момента остановки (4) и матрицы Ап . Учитывая начальные значения коэффициентов (3), неравенство (5) и результат Леммы 2, получим

Х(Н,Ж) Ж Пз

к=п2 +2 к=п2 +2 к=п2 +2

Ж

1

к=и,+1

ь2

Второе слагаемое в правой части неравенства (7) равно нулю в силу независимости шумов и ss, s Ф k. Поскольку lim x(h,N) — x(h) почти наверное (п.н.), то

N ^с»

eh ег/г)-е и2< ^-1 h

В следующем разделе приведем результаты покомпонентного оценивания параметров процесса AR(p).

4. Последовательное оценивание координат вектора параметров

Рассмотрим ситуацию покомпонентного оценивания координат вектора 0. По аналогии с предыдущим разделом введем оценку дисперсии, описываемую формулами (1), (2), а также систему матриц вида

4_) — А vjiXk_iXk_i, j — , n - П2 + 2,

где {v^}, j — 1,p , k - n2 + 2 - весовые коэффициенты, определяемые ниже.

Теперь для некоторого фиксированного порога Н > 0 зададим совокупность правил остановки по схеме

X

, (h) = inf {n > 0: <[A") ]-2> j < h"2}, j = 1, p,

где <А)у - элемент 7-й строкиу-го столбца матрицы A. Введем обозначение

X j (h)

А,- (h) = X а.. (k, h)vjXk-^Xk-1, j = 1, p, n > n2 + 2,

k=n9+2

и определим коэффициенты а, (k, h) в соответствии с правилом

а, (k, h) = •

1,

если 0 < k <х, (h);

j =1, P,

Р У (Н), если к = т у (Н),

где корректирующий множитель 0 < Р у (Н) < 1 определяется из условия

<[ Ау (Н)]-2 )у= Н"2-

Последовательную оценку параметра 9у , у = 1,р , будем вычислять по следующему правилу:

(8)

0j (h) = ( А-l(h) 1 f аj (k, h)vjXk Л ,

\ k=n2 +2 I ■

здесь <а)у означает у -й элемент вектора а. Начальные значения весовых коэффициентов у^) опре-

деляются по схеме

v k) =

1

если X линейно не зависит от X ,. , X

k-1;

7ГП1,П2 ХкХк' ■ - (9)

0, иначе,

до первого момента щ , когда в системе векторов X , X +1,-.., Xпоявится (р — 1) -й линейно независимый с предыдущими вектор. Далее весовые коэффициенты у^) на интервалах к е (п3, ту (Н)],

j = 1, p , рассчитываются из уравнений

1

= X (vj))2X^Xi-1.

(10)

ГП1,П2д/<[4у)]-2)уу =П3 +1 Пусть [ву }к у <р - совокупность ^-мерных векторов с координатами

[1, если I = у;

<ву )'' = 1п

[0, иначе.

Рассмотрим среднеквадратическое уклонение построенной оценки. Применяя неравенство Коши-Буняковского и используя равенство (8), получим

Е(0,.(й)-0у) =:

А-1 (h) f аj (k, h)vk\Xk-1bsk

\ к=п2 + 2 I

zAh)

,( j )

j

< b2

x j(K) x j (h)

e'JAf{h)e] X X а у (к, h)<Xy (/, h)v(kJ\v(lJ_}lX'k_1Xl_1sksl

k=n2 + 2l=n2 + 2

" Xj(h) k=n2 + 2

(•1)

+ 2^,

а

n2 + 2<k<l<tj(h)

,.(k, И)а j (l, h)vjv(l-l X'k-1Xl -1

sk si

2

2

b

2

h

h

Аналогично предыдущему разделу можно показать, что второе слагаемое в правой части неравенства (11) обнуляется в силу независимости шумов {еА} . Используя равенство (10), а также определение начальных значений для весовых коэффициентов , задаваемых соотношением (9), имеем

2 Ъ2 Е(0 ,(А)-0 ,)2

h

b2 h2

' Xj(h) k=ru+1

^b2(h + p-1) 1 ^h + p-1

В результате получаем верхнюю границу для среднеквадратического уклонения оценки 6^ .

5. Численные результаты

В данном разделе в качестве А обозначим выборочное значение среднеквадратической ошибки ЕII 0(/г) - 0II2, а х - усредненное значение объема выборки процедуры, рассчитываемое по формуле (4).

В табл. 1 представлены результаты оценивания параметров процесса

хк = 61хк_ 1 +62хк_2 + Ь8к, к > 1, (12) где {еА } - последовательность независимых стандартных гауссовских случайных величин.

В первых трех столбцах табл. 1 приводятся комбинации входных значений следующих параметров: щ - объем выборки пилотной оценки параметра 6, п2 - момент, до которого рассчитывается оценка дисперсии шума (2), Н - параметр, отвечающий за объем выборки последовательной модификации оценки МНК. Далее идут два блока, включающие в себя по 4 столбца, отражающие результаты вычислений характеристик качества оценивания (А, х ) для разных комбинаций параметров 6 и Ь . В последнем столбце представлены теоретические значения верхней границы среднеквадратической ошибки. В строках, отмеченных символом *, приведены результаты моделирования, опубликованные в [12]. Здесь п1 - объем выборки оценки дисперсии шума процесса, которая в [12] определялась по схеме

и \-1

Г 8П1 = "±х2к,

1 ¿=1 1

Отметим, что модифицированная процедура, предложенная в данной работе, требует заметно меньшего объема выборки для получения оценок аналогичного качества (см., напр., строки 3, 4, 7 и 5, 6, 8 табл. 1). Символом х обозначим отсутствие соответствующих данных в [12].

В табл. 2 приведены результаты оценивания для процесса ЛЯ(3) вида

хк = 0,6хк_1 _ 0,8хк_2 + 0,8хк_з + Ьак, к > 1. (13)

Таблица 1

Выборочная среднеквадратическая ошибка и средний объем выборки оценки (6) для процесса (12)

ni n2 h 01 = 0,4; 02 = 0,4 01 = 0,6; 02 = 0,2 h + p -1 h2

b = 1 b = 10 b = 1 b = 10

А т А т А т А т

10 20 10 0,067 85,0 0,071 89,4 0,070 98,1 0,068 114,8 0,11

10 20 50 0,015 323,1 0,014 318,7 0,014 419,7 0,014 438,0 0,0204

10 20 100 0,008 642,4 0,007 623,7 0,007 740,5 0,008 807,2 0,0101

20 30 100 0,009 460,3 0,009 475,2 0,008 589,3 0,008 585,7 0,0101

10 30 100 0,007 538,0 0,007 568,9 0,007 688,4 0,007 716,1 0,0101

20 40 100 0,009 430,7 0,008 448,3 0,008 544,2 0,008 527,5 0,0101

*10 X 100 X 719,0 X 623,0 X 836,0 X 1192,0 X

*20 X 100 X 626,0 X 709,0 X X X X X

Таблица 2

Выборочная среднеквадратическая ошибка и средний объем выборки оценки (6) для процесса (13)

П1 П2 h b = 1 b = 10 h + p -1 h2

А т А т

10 20 10 0,028 190,6 0,030 223,3 0,12

10 20 50 0,006 760,2 0,006 1095,6 0,0208

10 20 100 0,003 1336,5 0,003 1911,3 0,0102

20 30 100 0,005 727,1 0,004 808,4 0,0102

10 30 100 0,003 1324,1 0,003 2026,9 0,0102

20 40 100 0,004 704,7 0,004 752,7 0,0102

В табл. 3 и 4 приведены результаты покоординатного оценивания значений параметров AR(2) и ЛЯ(3). В таблицах используются следующие обозначения: х, х2 и х3 - средние объемы выборки для

оценивания параметров 01, 02 и 9з соответственно, Л1 и Л2 - выборочные значения среднеквадратиче-ских уклонений, определяемые выражением

щё7.(/о-е7.)2, у=1,2.

В табл. 4 приведены усредненные объемы выборки для оценивания каждой из координат вектора параметров (01,02,03)' процесса (13).

Таблица 3

Выборочные характеристики покомпонентного оценивания параметров процесса (12) (01 = 0,6; 02 = 0,2)

П1 П2 h b = 1 b = 10 h + p -1 h2

А1 А2 т2 А1 А2 т1 т2

10 20 10 0,049 0,047 70,6 70,1 0,057 0,046 71,2 71,1 0,11

10 20 50 0,011 0,011 220,3 219,9 0,013 0,012 221,4 220,3 0,0204

10 20 100 0,006 0,006 370,8 372,3 0,006 0,005 450,9 449,8 0,0101

20 30 100 0,007 0,006 305,7 304,7 0,007 0,006 310,2 309,8 0,0101

10 30 100 0,005 0,006 374,6 372,7 0,006 0,006 380,6 378,8 0,0101

20 40 100 0,007 0,007 292,3 292,3 0,006 0,006 292,0 291,1 0,0101

Таблица 4

Усредненные объемы выборки при покомпонентном оценивании параметров процесса (13)

П1 П2 h b = 1 b = 10

т1 т2 тз т1 т2

10 20 10 111,2 45,3 112,0 132,2 44,0 133,6

10 20 50 385,5 87.0 386,6 576,3 86,7 574,7

10 20 100 650,6 118,6 653,2 1053,3 123,1 1042,6

20 30 100 372,1 95,3 372,9 390,3 93,7 389,5

10 30 100 731,8 137,3 733,3 1079,6 135,9 1071,3

20 40 100 373,3 101,0 373,9 379,1 101,8 379,4

Отметим, что во всех таблицах выборочные среднеквадратические ошибки Л, Д1 и Д2 ограничены сверху теоретической верхней границей (И + р -1) / И2 или достаточно близки к ней. Наблюдается эффект занижения выборочной среднеквадратической ошибки по отношению к верхней границе при увеличении порядка авторегрессии р. Это, вероятно, является следствием использования неравенства Коши-Буняковского при нахождении верхней границы среднеквадратической ошибки. Также стоит отметить, что средние объемы выборки х , хг, г = 1,3, уменьшаются (до определенных пределов в силу сходимости оценок (1) и (2) к константам) при увеличении параметров П1 и «2. Больший эффект на уменьшение среднего объема выборки имеет увеличение объема выборки пилотной оценки «1. Мы рекомендуем устанавливать значения входных параметров на уровне щ = 20 и п2 = 40 . Отметим, что при покомпонентном оценивании средний объем наблюдений для оценивания каждой компоненты

существенно меньше, чем при оценивании всего вектора параметров. Это является вполне естественным следствием того, что при оценивании вектора параметров сверху ограничивается математическое ожидание квадрата евклидовой нормы IE II 9(К) — 9II2 . В свою очередь, при покомпонентном

оценивании ограничивается среднеквадратическая ошибка лишь одной координаты вектора 9(h) — 9 . Важным фактом, который явно просматривается в данных табл. 2 и 4, является то, что средний объем выборки процедуры оценивания сильно связан с объемом выборки пилотной оценки (1) параметра 9 (см., напр., строки 5 и 6 в соответствующих таблицах).

Усреднение результатов при моделировании проводилось по 1 000 повторений процедуры.

Заключение

В работе представлены модифицированные варианты процедур векторного и покомпонентного последовательного оценивания параметров процесса авторегрессии p-го порядка AR(p). В соответствии с модификацией вводятся дополнительные этапы для оценивания дисперсии шума. Сравнение численных результатов, приведенных в работе [12], и данных табл. 1 явно указывает на улучшение качества оценивания в смысле уменьшения среднего объема выборки, необходимой для оценивания параметров процесса авторегрессии с заданной среднеквадратической точностью.

Полученные результаты можно использовать в приложениях, связанных с оцениванием параметров временных рядов.

Список источников

1. Berezina-Green M., Rudoy D., Wolfe P. Autoregressive modeling of voiced speech // ICASSP, IEEE International Conference on

Acoustics, Speech and Signal Processing : Proc. 2015. V. 4. P. 5042-5045.

2. Gudnason J. Chapter 34. Speech production modeling and analysis // Academic Press Library in Signal Processing. Elsevier, 2014.

V. 4. P. 985-1018.

3. Anderson T.W. The Statistical Analysis of Time Series. New York : Wiley, 1971. 704 p.

4. Lai T.L., Siegmund D. Fixed accuracy estimation of an autoregressive parameter // Annals of Statistics. 1983. V. 11 (2). P. 478-485.

5. Xia Y., Zheng W.X. Novel parameter estimation of autoregressive signals in the presence of noise // Automatica. 2015. V. 62 (12).

P. 98-105.

6. Sriram T.N., Iaci R. Editors special invited paper: sequential estimation for time series models // Sequential Analysis. Design

Methods and Applications. 2014. V. 33 (2). P. 136-157.

7. Mahmoudi E., Sajjadipanah S., Zamani M. Two-stage Procedure in P-Order Autoregressive Process // Journal of Statistical

Research of Iran. 2023. V. 17 (1). P. 45-62.

8. Borisov V.Z., Konev V.V. On sequential parameter estimation in discrete time processes // Automation and Remote Control.

1977. V. 38 (10). P. 1475-1480.

9. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О последовательной идентификации стохастических систем // Известия АН СССР. Тех-

ническая кибернетика. 1980. № 4. С. 176-182.

10. Конев В.В., Пергаменщиков С.М. Последовательные планы идентификации параметров динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1981. № 7. С. 84-92.

11. Дмитриенко А.А., Конев В.В. О гарантированном оценивании параметров авторегрессии при неизвестной дисперсии помех // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 87-99.

12. Meder N., Vorobeychikov S. On guaranteed estimation of parameters of random processes by the weighted least squares method // IFAC Proceedings Volumes. 2002. V. 35 (1). P. 409-412.

13. Vorobeychikov S., Burkatovskaya Yu. Non-asymptotic Confidence Estimation of the Autoregressive Parameter in AR(1) Process with an Unknown Noise Variance // Austrian Journal of Statistics. 2020. V. 49. P. 19-26.

References

1. Berezina-Green, M., Rudoy, D. & Wolfe, P. (2015) Autoregressive modeling of voiced speech. ICASSP, IEEE International

Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing - Proceedings. 4. pp. 5042-5045.

2. Gudnason, J. (2014) Chapter 34 - Speech Production Modeling and Analysis. Elsevier. pp. 985-1018.

3. Anderson, T.W. (1971) The Statistical Analysis of Time Series. New York: Wiley.

4. Lai, T.L. & Siegmund, D. (1983) Fixed Accuracy Estimation of an Autoregressive Parameter. Annals of Statistics. 11(2). pp. 478-485.

5. Xia, Y. & Zheng, W.X. (2015) Novel parameter estimation of autoregressive signals in the presence of noise. Automatica. 62(12).

pp. 98-105.

6. Sriram, T.N. & Iaci, R. (2014) Editors special invited paper: sequential estimation for time series models. Sequential Analysis.

Design Methods and Applications. 33(2). pp. 136-157.

7. Mahmoudi, E., Sajjadipanah, S. & Zamani, M. (2023) Two-stage Procedure in P-Order Autoregressive Process. Journal of Statis-

tical Research of Iran. 17(1). pp. 45-62.

8. Borisov, V.Z. & Konev, V.V. (1977) On sequential parameter estimation in discrete time processes. Automation and Remote Con-

trol. 38(10). pp. 1475-1480.

9. Vorobeychikov, S.E. & Konev, V.V. (1980) O posledovatel'noy identifikatsii stokhasticheskikh system [On sequential identifica-

tion of stochastic systems]. Izvestiya Akademii NaukSSSR. Tekhnicheskaya Kibernetika. 4. pp. 176-182.

10. Konev, V.V. & Pergamenshchikov, S.M. (1981) Successive procedures of parameter identification in dynamic systems. Automation and Remote Control. 42(7). pp. 917-924.

11. Dmitrienko, A.A. & Konev, V.V. (1994) Guaranteed estimation of autoregression parameters under unknown noise variance. Automation and Remote Control. 55(2) pp. 218-228.

12. Meder, N. & Vorobeychikov, S. (2002) On guaranteed estimation of parameters of random processes by the weighted least squares method. IFACProceedings Volumes. 35(1). pp. 409-412.

13. Vorobeychikov, S. & Burkatovskaya, Yu. (2020) Non-asymptotic Confidence Estimation of the Autoregressive Parameter in AR(1) Process with an Unknown Noise Variance. Austrian Journal of Statistics. 49(4). pp. 19-26.

Информация об авторах:

Воробейчиков Сергей Эрикович - доцент, доктор физико-математических наук, профессор кафедры системного анализа и математического моделирования Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: sev@mail.tsu.ru

Пупков Андрей Викторович - аспирант кафедры системного анализа и математического моделирования Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: andrewpupkov@gmail.com

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Vorobeychikov Sergey E. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: sev@mail.tsu.ru

Pupkov Andrey V. (Post-graduate Student, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: an-drewpupkov@gmail.com

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 23.01.2023; принята к публикации 09.06.2023 Received 23.01.2023; accepted for publication 09.06.2023