О функции влияния цепочки стержней с упругими опорами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 49-61

УДК 517.927.2

О ФУНКЦИИ влияния ЦЕПОЧКИ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМИ ОПОРАМИ

Р. Ч. Кулаев

В работе изучается разрывная краевая задача для уравнения четвертого порядка, описывающая малые деформации цепочки жестко сочлененных стержней с упругими опорами в местах сочленения. Даются формулы, выражающие функцию Грина краевой задачи с упругими опорами через функцию Грина краевой задачи, когда опоры отсутствуют.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение четвертого порядка, разрывная краевая задача, функция влияния, функция Грина.

В настоящей работе рассматривается разрывная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнение четвертого порядка, являющаяся моделью стержневой конструкции. Изучаются свойства соответствующей функции Грина.

Вопросы, связанные с функцией Грина разрывных краевых задач для уравнений четвертого порядка уже изучались ранее. Был получен ряд общих результатов для уравнений произвольного порядка, когда вид краевых условий и условий связи в точках разрыва не играет ключевой роли. Здесь можно отметить такие вопросы как существование, построение, непрерывность функции Грина [1, 2]. Целый цикл работ Ю. В. Покорного,

A. В. Боровских и К. П. Лазарева был посвящен вопросам о принадлежности функций Грина разрывных краевых задач к классам осцилляционных и знакорегулярных ядер [3-8]. В частности, в работах [3, 7] была доказана осцилляционность функции Грина краевой задачи, моделирующей малые деформации цепочки шарнирно сочлененных стержней, а в работе [8] формулируются достаточные условия знакорегулярности функции Грина разрывных краевых задач, обобщающие известный результат Калафати — Гантмахера — Крейна [9].

В центре внимания настоящей работы — задача, которая получила в фольклоре название «балка с упругими опорами». Вопрос о положительности и, тем более, осцилляционности функции Грина этой задачи нетривиален даже в случае одной опоры: если жесткость опоры равна нулю, то выполнены достаточные условия знакорегулярности (а значит и осцилляционности) функции Грина, сформулированные в работе [8]. Если же жесткости опор стремятся к бесконечности, то мы в пределе получаем функцию Грина так называемой «задачи с шарнирной опорой», которая меняет знак «в шахматном порядке» (эта задача и ее обобщения исследовались Н. В. Азбелевым, Ю. В. Покорным,

B. Я. Дерром и А. Л. Тептиным (см. работы [10-12] и библиографию в них). Поэтому актуальным является вопрос, до каких пор можно увеличивать жесткость опоры, чтобы функция Грина оставалась положительным или осцилляционным ядром.

© 2014 Кулаев Р. Ч.

В данной статье даются формулы выражающие ассоциированные ядра функции Грина задачи о «балке с упругими опорами» через функцию Грина «более простой» краевой задачи — когда упругие опоры отсутствуют. Последняя, как уже отмечено выше, обладает комплексом осцилляционных свойств (см., например, [7]), что позволяет получить вполне явные свойства функции Грина исходной задачи [13].

1. Постановка задачи

Пусть Г = (а, 6) \ {а, где а = ао < а1 < ... < ап < ап+1 = Ь. Через С [Г] обозначим пространство кусочно-непрерывных функций, допускающих разрывы только первого рода и только в точках а» при г = 1,..., п. Тогда для функции п(ж) £ С [Г] иод п(а,±0) будем понимать соответствующие пределы. Через Ск[Г] обозначим пространство функций из С [Г], имеющих к производных, также принадлежащих С [Г]. Г

= (р(ж) и'')'' - (я(ж) и')' = /(ж), ж £ Г, (1.1)

аЬ

и(а) + а(а)Л(а) = 0, в(а)и'' (а) - #(а)и'(а) = 0, (1.2а)

и(Ь) - а(Ь)^3и(Ь) = 0, в(Ь)и''(Ь) + #(Ь)и'(Ь) = 0, (1.2Ь)

а в точках а» (г = 1,..., п) — условиями согласования

п(а, - 0) - п(а, + 0) = 0, и'(а, - 0) - и'(а, + 0) = 0, (ри'')(а, - 0) - (ри'')(а, + 0) = 0, Л(а, - 0) - Л(а, + 0) - 6,и(а,) = 0,

(1.3)

где через ^3и в (1.3) обозначена третья квазипроизводная (р(ж)п'')' - я(ж)п'.

При исследовании задачи (1.1)-(1.3) мы будем предполагать, что выполнены следующие условия:

• р £ С2 [Г], ш^ег р(ж) > 0 Я £ С ^Г], Я > / £ С [Г];

• «(•),#(•),£(•) ^ 0 #(•) + в(■) = 0;

• 6, ^ 0 для всех г = 1,..., п.

Задача (1.1)—(1.3) описывает малые деформации цепочки жестко сочлененных стержней с упругими опорами в местах сочленения. При этом числа 6, в условиях (1.3) задают коэффициенты упругости опор, а условия (1.2) охватывают все известные случаи закрепления концов стержней.

(1.1) (1.3)

функцией Грина невырожденной краевой задачи (1.1)—(1.3) назовем функцию С (ж, в) : [а, Ь] х [а, Ь] ^ Ж такую, что решение задачи может быть представлено в виде

п(ж) ^ У С(ж, в)/(в) г

(1.1) (1.3)

дает следующими свойствами:

1) функция О(х, в) вместе со своими производными по х до четвертого порядка непрерывна по совокупности переменных вплоть до границы на каждом из прямоугольников [а^ а^+1 ] х [а^, 0^+1] (г = ]) и на каждом из треугольников, на которые диагональю х = в разбиваются квадраты [а^а^] х [а^а^ ];

2) при каждом фиксированном в £ Г функция О(х,в) по х удовлетворяет однородному уравнению (1.1) на Г \ {в};

3) при каждом фиксированном в £ Г, функция О(х, в) по х удовлетворяет условиям (1.2), (1.3);

4) функция О(х, в) на диагонали х = в £ Г удовлетворяет условиям непрерывности

дО(х,э) д2С(х,з)'

вместе со своими производными —дх ', —и условию скачка третьей квазипроиз-х

В3О(в + 0, в) - В3О(в - 0, в) = 1;

5) функция О(х, в) определяется однозначно условиями 1)-4).

Утверждения 2) и 3) леммы 1 описывают поведение функции Грина при каждом в £ Г. Что касается свойств функции Грина задачи (1.1)-(1.3) при в = а^, г = 1,... ,п, то они даются в следующей лемме о предельных срезках. Напомним [1, гл. 6], что предельными срезками функции Грина О(х, в) мы называем ее пределы при в ^ а» + 0 или в ^ а» — 0, оставляя за ними обозначения О(х, а» ± 0).

Лемма 2 [1, гл. 6]. Пусть О(х, в) — функция Грина задачи (1.1)-(1.3). Тогда ее предельные срезки О(х, а» ± 0) при некотором I, 1 ^ г ^ и, удовлетворяют следующим условиям:

1) (1.1) Г

2) они удовлетворяют краевым условиям (1.2) и соотношениям (1.3) в точках а^, отличных от ац

3) О(х, ai — 0) = О(х, ai + 0) на Г;

4) в точке а функция О(х, а^ удовлетворяет первым трем из условий (1.3), а также неоднородному условию

В3 О^ — 0, аi) — В3 О(ai + 0, ai) — ^О^, ai) = —1.

Пусть Оо (х, в) — функция Грина краевой задачи (1.1)—(1.3) в случае когда все коэффициенты ^ в условиях (1.3) равны нулю. Не сложно проверить, что при Si = 0, г = 1,..., и, выполнены достаточные условия знакорегулярности ядра Оо(х, в), сформулированные в работе [8]. Поэтому справедливо следующее утверждение

Лемма 3. Для любых наборов а<х1 < х2 <...<х& < 6 и а < в1 < в2 < ... < в^ <6 ассоциированные ядра

4:1 х2:::::) =**и«с«и

функции О0(х, в) неотрицательны, а в случае равенств xi = в^ г = 1,..., к, положительны.

Наша ближайшая цель — найти представление функции Грина О(х, в) задачи (1.1)-(1.3) через ассоциированные ядра функции Оо(х, в). Для этого будем искать выражение О(х, в)

п

О(х, в) = Оо(х,в) — Оо(x,ai) ^(в), (2.1)

i=1

где ^(в) — некоторые функции.

Очевидно, что правая часть (2.1) удовлетворяет условиям 1), 2) и 4) леммы 1. Подберем функции ^ (в) так, что бы О(ж, в) удовлетворяла и условию 3). Тогда из свойства 5) леммы 1 будет следовать, что формула (2.1) действительно дает представление функции Грина краевой задачи (1.1)-(1.3).

Условия (1.2) для функции О(-,в) при в £ Г выполнены в силу свойств функции Оо(ж, в). Условия (1.3) с производными ниже третьего порядка в точках а выполнены по той же причине. Поэтому остается добиться выполнения условий с третьими квазипроизводными из (1.3). Подставляя правую часть (2.1) в эти условия, получаем

п

^3Оо(а^ - 0, в) - ^3Оо(а^ + 0,в) - ^Оо(а, ,в) - ^ (^3Оо(а, - 0,аг)

¿=1

-^3Оо(а^ + 0,аг) - ¿^Оо(а^^(в) = 0, ] = 1,... ,п. Используя свойства предельных срезок функции Оо (ж, в) (лемма 2), получим

п

Оо (а^ ,аг) + ¿¿¿) ^¿(в) - ¿^ Оо(а5- ,в) = 0, ^ = 1,...,п, (2.2)

¿=1

где ¿¿^ — символ Кронекера.

К системе равенств (2.2) добавим равенство (2.1), записанное в виде

п

Оо (ж, аг) ^¿(в) + (О(ж, в) - Оо(ж, в)) = 0. (2.3)

¿=1

Рассматривая (2.2) и (2.3) как систему (п + 1)-однородного уравнения, имеющую ненулевое решение ^(в), ..., ^п(в) и ^п+1(в) = 1, получаем, что определитель этой системы равен нулю:

¿1Оо (а1,а1) + 1 ¿1 Оо(а1,а2) ¿2 Оо (а2,а1) ¿2Оо (а2,а2) + 1

¿пОо (а а1) Оо (ж,а1)

¿п Оо(а а2) Оо (ж,а2)

¿1Оо (а1,ап) ¿2Оо (а2,ап)

¿1 Оо(а1 ,в) ¿2Оо(а2, в)

¿пОо(ап ,ап) + 1 ¿пОо(ап ,в) Оо (ж, ап) О(ж, в) - Оо (ж, в)

Отсюда

А ■ О(ж, в) =

¿1 Оо(а1 ,а1 ) + 1 ¿1 Оо(а1,а2) ¿2 Оо (а2,а1) ¿2Оо(а2, а2 ) + 1

¿пОо (а п, а1) Оо (ж,а1)

¿п Оо(а п, а2) Оо (ж,а2)

0.

¿1 Оо(а1, ап) ¿1 Оо(а1 ,в)

¿2 Оо(а2, ап) ¿2 Оо(а2 ,в)

¿пОо (а п, ап ) + 1 ¿пОо(ап,в)1

Оо (ж, ап) Оо (ж, в)

(2.4)

где

А

¿1Оо (а1,а1) + 1 ¿1 Оо(а1, а2) ¿2 Оо (а2,а1) ¿2 Оо (а2,а2) + 1

¿пОо (ап,а1) ¿п Оо(ап,а2)

¿1Оо (а1,ап) ¿2Оо (а2,ап)

¿пОо(ап, ап) + 1

Оба определителя, стоящих в формуле (2.4), имеют примерно одинаковую структуру и получаются из следующего определителя более общего вида:

Дп

¿1C11 + Al С12

¿2C21 ¿2 C22 + A2

¿ncn1 ¿n cn2

¿n+1 c(n+1)1 ¿n+1 c(n+1)2

¿1 C1n

¿2 C2n

¿1c1(n+1) ¿2 c2(n+1)

¿ncnn

¿n+1 c(n+1)n ¿n+1c(n+1)(n+1) + An+1

¿ncn(n+1)

Вычислим этот определитель, а затем, придавая соответствующие значения константам ¿¿и А», получим из (2.4) формулу для функции Грина С(ж, в) краевой задачи (1.1)-(1.3).

«1 «2

главные миноры этого опре-

Если, как обычно, обозначить через Д0( .

22 . . . ^

делителя, составленные из строк и столбцов с номерами ¿1,... то определит ель До равен

п+1 /• • \

до=£ е ь*.-^ до(¿1 ¿2 ;:: ;;), ад

где индексы 21,... вместе с индексами ...,образуют полную систему индексов 1,2,..., п, п +1 Действительно, произведение А^ А^2 ... А

j n — k+1

имеется только в том

члене определителя До, который содержит диагональные элементы

¿ji Go (aji, «j) + Aji, ¿j2 Go (« j> « j) + Aj2 >

¿jn—fc+1 G0(«jn—k+1 , «j n— k + 1

) + Ajn—

jn—k+1•

До

«1 «2

телем, равным главному минору До ( . "2 ) с индексами «1,..., образующими

\«1 «2 ... «fe/

вместе с j,..., jn-k+1 полный набор индексов 1, 2,..., n + 1. Поэтому

Д0 = (¿j1 G0 («j , « j ) + Aj1) (¿j G0 (« j > «j ) + Aj2 )

X ... X (¿in— k + 1 G0(«jn—k+1 > «jn— k+1 ) + Ajn— k+1) Д

«1 «2 «1 «2

«fe ¿fe

+...

Перебирая по к всевозможные сочетания из (п + 1)-го индекса, получим формулу (2.5). Положим в формуле (2.5) А1 = А2 = ... Ап = 1 и Ап+1 = 1, ¿п+1 = 0. Тогда определи-До Д

Д

1+

Д0

k=1 1<¿1 <...<¿k^n

«1 «2 «1 «2

= 1 +

n

7У! «2

k=1 1^¿1<...<¿fc^n

¿i1 ¿i2 ...¿ikG0' ai1 «i2

П1

«fe «fe

^«2

«i «i

Если же в формуле (2.5) А1 = А2 = ... Ап = 1 И Ага+1 — 0 ¿п+1 — 1? то отличными от нуля могут быть только слагаемые не содержащие Ап+1 = 0 или, что одно и то же, слага-

емые с минорами Д0 (%l «2 .. ), у которых один из индексов «1,..., обязательно \«1 «2 ... «fe/

равен n +1. Замечая теперь, что при нашем выбо ре констант A«, ¿« определит ель Д0 совпадет с определителем, стоящим в правой части (2.4), получаем представление функции

О(х, в) Оо(х, в):

С( х,э) =

Оо (х,в) +

У У ^

к=1 1^,1<...<,к ^п

5,2 ... 5,, Оо

П1

,2

ai а,;

(2.6)

а

а

3. Представление ассоциированных ядер

(1.1) (1.3)

В данном параграфе мы выведем формулы, выражающие ассоциированные ядра функции Грина О(х, в) задачи (1.1)-(1.3) через ассоциированные ядра функций Грина «упрощенных» задач.

Пусть, по-прежнему, Оо (х,в) — функция Грина краевой задачи (1.1)-(1.3) в случае, когда все коэффициенты 5^- в условиях (1.3) равны нулю. Через О,(х,в) обозначим функцию Грина задачи (1.1)—(1.3) для случая, когда в условиях (1.3) все коэффициенты , кроме некоторого фиксированного 5,, равны нулю. Аналогично, через О,ь..,к (х, в), 1 ^ ¿1 < г2 < ... < ¿й ^ и, будем обозначать функцию Грина задачи (1.1)-(1.3) для случая, когда в условиях (1.3) коэффициенты 5^,..., 5,к отличны от нуля, а все остальные равны нулю. В частности, при к = и получим, что функция О1...п(х, в) совпадает с функцией Грина О(х, в) исходной задачи.

Теорема 4. Для ассоциированных ядер функции Грина О,(х, в) задачи (1.1)-(1.3) имеет место представление

о,;

х1 в1

вк

1

а!

О

х1 .. . хй \ + 5 о / а, х1 ... хк

в1 ... в^ i о Ц, в1 ... вй

(3.1)

где А, = 1 + 5,Оо(а,, а,) 1 ^ г ^ и к = 1,2,3,...

< При к = 1 утверждение теоремы следует из (2.6). Доказательство теоремы для к ^ 2 будем вести индукцией по к. Пусть к = 2. Из формулы (2.6) следует

О,;

х1 х2 в1 в2

Оо(хМ + 5,Оо(а; х1

\в1/ \а, в1

ОоМ + 5,Оо х2

\в1/ \а, в1

Оо(хМ + 5,О о ( а; х1

\в2/ \а, в2

Оо(Х^ + 5,О о х2

\в2/ \а, в2

А2

Раскладывая определитель второго порядка в числителе дроби, получаем

О,

х1 х2 в1 в2 1

А?

А2

Оо(хМ + 5,ОоР х1 в1/ V а, в1

Оо(х2 + 5,Оо(а; х2 в2/ V а, в2

Оо(хМ + 5,Оо(а; х1 в2/ V а, в2

Оо(хЧ + 5,Оо ( а; х2 в1/ V а, в1

1

Умножим обе части равенства на А2 и раскроем скобки:

А ■ О, (х1 х22] = Оо Г) Оо Г2) - Оо Г) Оо (х2

+ 5,Оо(хМ О о ( а; х21 - 5,Оо(хМ Оо(а; х2

\в1 у \а, в2 у \в2 У \а, в1

+ 5,Оо (^У Оо ((Н - 5,Оо (хЛ Оо ((Н х1

\в2/ \а, в^ \в1/ \а, в2

+ 52

Оо I а, хм оо ( а, х^ - оо ( а, х^ оо ( а, х2

а, в1/ о I а, в2/ о V а, в2/ о I а, в1

Сворачивая первые два слагаемых, и раскрывая третье и четвертое, получим

- 5,

Оо(х1 х2) + 5,Оо(аМ Оо(х1 х2 \в1 в2/ \а,/ \ в 1 в2

Оо ' "2) Оо хо Оо х^ - Оо а; Оо РМ Оо х

+ 5,Оо(хМ О о ( ai хМ - 5,Оо ( х ] О о ( ai х1 \в2/ \а, в^ \в1/ \а, в2

+ 5?

Оо I а, хЛ оо ( а, х^ - оо ( а, х^ оо ( а, х2

а, в1 / о I а, в2/ о \а, в2 / о \а, в1

Во второй строке выносим общий множитель и сворачиваем, а к четвертой строке применяем детерминантное тождество Сильвестра [15, гл. II, § 7]:

Со

х1 х2

в1 в2

1 + 5,Оо

а,

- 5,Оо(хМ Оор х1 а, / V в2 а,

+ 5,Оо \ Х) О о ( ai хМ - 5,Оо(х2) О о ( ai х1 \в2У уа, в1 У \ в1/ \а, в2

+ 52Оо ( а,У Оо I4 х1 х2У = Оо х2У А, + 5,Оо И Оо а х1

а, в1 в2

в1 в2

+ 5,Оо(х2 Оо Г; хМ - 5,Оо Г2) Оо

\в2/ \а, в^ \в1/ \а, в2

ча, у а, х1

+ 52 Оо ( ам Оо ( х1 х2 ) = Оо ( в А, + 5,Оо ( "1 ^ 1 А,

х1 х2

в1 в2

а, в2

а, х1 х2 а, в1 в2

Деля на А2, окончательно получаем

О,

х1 х2

в1 в2

1

а!

О I х1 х2 \ + 5 о | а, х1 х2

о в1 в2/ , о \а, в1 в2

к-1

к

О,

х1 в1

вк

= det

1

А!

Со

+ 5,Оо

а, хт а, в7

к

т.,7=1

а

х

в

7

Для упрощения записи через Оо (Х \ Хт) будем обозначать ассоциированное ядро,

счита-

(X \ Жто ' 5 \

емое на наборах, получаемых из Х1,..., и 51,..., вычеркиванием эле ментов хт и

соответственно. Разложим определитель О» ^X1 ... Х^) 110 элементам первой строки и воспользуемся предположением индукции:

с (х 1 ... хЛ = Л с (хл\с, (х\хл

Ъ в! ••• 8к) ^ Аг 4^7

к

д» Vаl , V5 \

£

,=1

к

А?

О

Д»

Х1

+ Ж1

,=1

Д2

а»;

О / Х \ Х1 | + ¿ О | а» Х \ Х1

0 5 \, » 0 Ч« 5 \

О / Х \ Х1 \ + ¿ О | а» Х \ Х1

0 5 \ , » 0 V«» 5 \

Разделим каждую сумму на две. Тогда первую из получаемых четырех сумм можно свернуть, а во второй сумме каждое слагаемое разложить по первой строке и выделить первые слагаемые в отдельную сумму:

1 /Х1 ... Хк

дг°и ... **

,=1 т=, Дг \5т/ V«» 5 \ >6т}

д2 V«» , V5 \

„ /а» ХА ^ /а» Х \ Х1

,=1

Д2

-Со

а»

Со

а» 5 \

Учитывая, что

Е(-1),+1 О0 (X1) О0

,=1

Х \ Х1 \ _ о | Х1 . . . Хк

5 \ = % 51 ... ^

и

, = 1

ЕО0 Г Е (-1),+тО,

т=,

а» \ О / Х \ Х1

) Ц» 5 ,5т}

+ ^(-1),+1 О, ,=1

а» Х1 ^ О { Х \ Х1 ^ _ О ^ а» Х1 . . . Хк

а»

5 \ 5

а» 51

имеем

0 (XI ... жЛ + 0 /а» XI ... хк А» 0 ••• 8к) Д2 0 I а» 51 ... 8к

7=1

Сворачивая две последние суммы, приходим к равенству

£ /Ж1 ... хЛ=_}_(2 ... ПМ XI ... хк

••• вк) Аг 0 ... вк) Д2 ° \(Ц 51 ... 8к

+ К. с (аЛ с (а' Ж1 " ' + — о о ('аi Ж2 " ' ж?с

Здесь последнее слагаемое равно нулю, поэтому окончательно получаем

(2 [хх ... жЛ _ _1_£ /ж1 ... /йг ж1 ... жЛ ^

г V 51 ... вк) ~ Аг 0 ••• 8к) Аг °Ц ••• 8к) '

Далее мы установим формулу, выражающую функцию Грина О(х, в) через функции Грина О,1...,к (х, в), 1 ^ г1 < г2 < ... < гк ^ и, «упрощенных» задач.

Рассмотрим функцию О, (х, в). Из формулы (3.1) следует, что

О,

о,-

П1

... а,, ... а,,

+ А~°°

+ А~°°

1

-

П1

а, а,

а,

П1

а, а,

(3.2)

где А, = 1 + 5, О о (а,, а,).

О(х, в)

нием (2.6) через функцию О о (х,в).

О(х, в) =

А

Оо (х,в) + £ ^

5,15,2 ... 5,к Оо

к=1 1^,1 <...<,к ^п

41 ',1

^,2 1,2

а, а,

х в

а

7

а

а

а

а

а

1

кА

перегруппировывая слагаемые, получим

001:) + £ ¿<10 СЦ XI +

£

К К Г^ I а»1 а»2 Х ¿»2 0 0

+... +

£

¿»1 ... ¿»п-1 °0

»1

«»п—1 Х \ | £ £ I а1 . . . ап Х + ¿1 ... ОпО,

а1 ... ап 5

о0| х + ¿1° а 5

+ £ ¿»1 ¿»2

2^¿l<¿2^n

+ £ ¿»1 а?л а»о х

а»-, 5

О | «»1 х | + ¿о ' а¿l а1 х

а^ а1 5

О ( и'»2 ^ | + ¿О ^ «»1 «»2 «1 Х

«»1 а»2 «1 5

+... +

£

<...<»„—2 ^п

¿»1 ... ¿»п—2

^ I а»1 О0

«»п—2 ^ + ¿1 °0 I «»1

«»п—2 5 ■

»1

а»п—2 «1 Х а»п—2 «1 5

+ ¿2 . . . ¿п

О0

«2 ... «п Х + ¿1°0 «2 а2 ... ап V \«2

«п а 1 х ап а1 5

Используя (3.2), окончательно получаем

0(х,з) = ^

5) + £ ¿»1 °1

«»1 X

а»-, 5

+ ^ ¿»1 ¿»2 °1

+ ... + ¿»1 ...¿»п—2°1

2^¿l<...<¿n—2$п

»1 »1

2^¿l<¿2^n X

«»1 а»2 X

а»1 а»о 5

+ ¿2 ... ¿п°1

5 / \а2

а2

«п X ап 5

С помощью аналогичных выкладок, но уже с функцией Gl(x,s), получим

О^, 5) =

ДтД

1^12 А

О12

X

¿»1О12

«»1 X

а»-, 5

+ ^ ¿»1 ¿»2 012

Э^»! <»2 ^п

«»1 а»2 X

а»1 а»о 5

+ . . . + 1

¿»и ... ¿1п—3 О12' »1

+ ¿Э ... ¿п012

аэ аэ

«п X ап 5

Д12 = 1 + ¿2О1(а2, а2)

0(x, 5) =

А1А12А23 • • • Ага_2,га_1 А

Г1 I X ^ I Л Г1 ( а»п x

01...п-1 I + ¿п 01...п-1

(3.3)

которой Д,,,+1 = 1 + ¿,+101..., (а,+1,а,+1), 1 ^ ] ^ п — 2.

а

а

а

п—2

а

п—2

«»п —3 X

«»п —3 5

Теорема 5. Для любого набора индексов {^ } С {1, 2,...,п} имеет место

формула

О(ж,в) = С

О

+ £ £ ¿¿1 ¿¿2 ¿1 £{Л,-Лт}

«2

г О I а«1 а

¿¿к I а. а.

а, а,-

(3.4)

С

Формула (3.4) позволяет факторизовать формулу (2.6). Сначала, при помощи функции Оо(ж, в) мы можем построить, например, функцию ОЛ1 (ж, в), 1 ^ ^ п. Затем, с помощью уже построенной функции ОЛ1 (ж, в), строим функцию О^л (ж, в), 1 ^ , ^2 ^ п, и так далее. На последнем шаге мы применяем формулу (3.3). Это, в свою очередь, вместе с формулой (3.1) позволяет факторизовать формулу для ассоциированных ядер функции О(ж, в):

О

л •••л

Ж1 ... Жк «1 ... ^

- Ст

О

Л-Лт-1

ж1

. . Жк .. ^

+ ¿Лт О

«Лт Ж1 Лт

ВДе Ст - 1 + ¿Лт ОЛ1...Лт-1 (аЛт > Л ^ * = 1> 2> 3> . . .

Жк

(3.5)

4. Свойства функции влияния краевой задачи (1.1)-(1.3)

В данном пункте анонсируются результаты, которые удается получить, используя выведенные в предыдущих пунктах представления для функции О (ж, в) и ее ассоциированных ядер.

Формула (2.6) позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия положительности функции влияния краевой задачи (1.1)-(1.3). В этих условиях определяется множество значений коэффициентов жесткости опор, при которых функция влияния положительна и вне которого у нее теряется это свойство. Указанное множество определяется системой алгебраических неравенств относительно коэффициентов жесткости, что позволяет осуществлять эффективную компьютерную проверку положительности функции Грина. Эти результаты будут опубликованы в журнале «Дифференциальные уравнения» (Кулаев Р. Ч. «Критерий положительности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения четвертого порядка» — принята в печать).

Что касается представления (3.5), то оно явилось отправной точкой при изучении вопроса о зависимости осцилляционности функции Грина краевой задачи (1.1)—(1.3) от коэффициентов жесткости [13].

Напомним, что непрерывная на квадрате [а, 6] х [а, 6] функция О(ж, в) называется осцилляционным ядром (см., например, [9] или [16]) интегрального оператора

ь

(с)(ж)-У емФЖ^ л.

а

если при всех к = 1, 2, 3,... выполнены условия

О(х, в) > 0, а < х, в < 6,

О

О

х1 х1

х1 в1

хк хк

хк вк

> 0, а < х1 < ... < хк <6,

^ 0,

а < х1 < ... < хк <6; а < в1 < ... < вк <6.

Осцилляционные ядра примечательны тем, что интегральные операторы с такими ядрами обладают комплексом замечательных спектральных свойств, характерных для классической задачи Штурма — Лиувилля и называемых осцилляционными (см., например, [1-5]).

О(х, в)

евой задачи (1.1)-(1.3), представление (3.5) позволило использовать знаковые свойства осцилляционной функции О о (х, в) и ее ядер. Причем, оказалось, что условие осцилляционности функции Грина задачи (1.1)-(1.3) совпадает с условием ее положительности (Кулаев Р. Ч. «Об осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения четвертого порядка» — принята в печать в журнале «Дифференциальные уравнения»).

Та же формула (3.5) используется и при изучении вопроса о зависимости собственных значений дифференциального оператора, порожденного соотношениями (1.1)-(1.3), 5, а,

Удалось показать, что с увеличением жесткости упругих опор собственные значения краевой задачи монотонно возрастают и остаются положительными при любых допустимых значениях коэффициентов жесткости, хотя не исключена ситуация, когда имеются кратные собственные значения. Возможность двукратного вырождения отдельных собственных значений уже наблюдалась в ряде задач оптимизации частот колебаний балок и стержневых систем, нагруженных сжимающей силой (см., например, [17-19]). Важной особенностью подобных задач является то обстоятельство, что оптимум может достигаться на двукратном собственном значении. В рассматриваемой нами задаче возникает аналогичная ситуация. Так, например, в случае одной опоры, минимальное значение коэффициента жесткости, при котором ведущее собственное значение достигает своего максимально возможного значения, соответствует случаю, когда ведущее собственное значение является двукратным.

Литература

1. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.—М.: Физматлит, 2007.—272 с.

2. Покорный К). В., Бахтина Ж. П., Зверева М. В., Шабров С. А. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах.—М.: Физматлит, 2009.—192 с.

3. Покорный К). В. О знакорегулярных функциях Грина некоторых неклассических задач // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, № 4.-С. 205-206.

4. Воровских А. В., Покорный К). В. Системы Чебышева — Хаара в теории разрывных ядер Кел-лога // Успехи мат. наук.—1994.—Т. 49, № 3.—С. 3-42.

5. Воровских А. В., Лазарев К. П., Покорный К). В. Об осцилляционных спектральных свойствах разрывных краевых задач // Докл. РАН.—1994,—Т. 335, № 4,—С. 409-412.

6. Воровских А. В., Лазарев К. П., Покорный К). В. О ядрах Келлога в разрывных задачах // Оптимальное управление и дифференциальные уравнения. Сб. статей. К семидесятилетию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко. Тр. МИАН.—1995.—Т. 211.—С. 102-120.

7. Покорный К). В., Лазарев К. 17. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Днфференц. уравнения.—1987.—Т. 23, № 4.—С. 658-670.

8. Воровских А. В. Условия знакорегулярности разрывных краевых задач // Мат. заметки.—2003.— Т. 74, № 5.-С. 643-655.

9. Левин А. Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака, II // Сиб. мат. журн.—1976.—Т. 17, № 4.—С. 813-830.

10. Тептин А. Л. К вопросу об осцилляционности спектра многоточечной краевой задачи // Изв. вузов. Математика.—1999.—№ 4(443).—С. 44-53.

11. Покорный К). В. О нулях функции Грина задачи Балле — Пуссена // Мат. сб.—2008.—Т. 199, № 6.-С. 105-136.

12. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Балле Пуссена // Дифференц. уравнения.—1987.—Т. 23, № 11.— С. 1861-1872.

13. Кунаев Р. Ч. О знакорегулярности функции Грина для уравнения четвертого порядка // Диф. уравнения.—2013.—Т. 49, № 6.—С. 813-814.

14. Ланкастер П. Теория матриц.—М.: Наука, 1978.—280 с.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1966.—576 с.

16. Степанов Г. Д. Эффективные критерии знакорегулярности и осцилляционности функции Грина двухточечных задач // Мат. сб.—1997.—Т. 188, № 11,—С. 121-159.

17. Вратусь А. С., Сейранян А. П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений // Прикл. мат. и мех.—1984.—№ 4.—С. 657-667.

18. Ваничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций.—М.: Наука, 1986.—304 с.

19. Masur Е. F. Optimal structural design under multiple eigenvalue constraints // Int. J. Solids Struct.— 1984.—Vol. 20, № 3.-P. 211-231.

Статья поступила 22 апреля 2013 г. Кулаев Руслан Черменович

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, " доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

THE SOURCE FUNCTION OF THE CHAIN OF RODS WITH ELASTIC SUPPORTS

Kulaev R. Ch.

We consider a boundary value problem for a fourth-order equation modeling elastic deformations of a rod system with elastic supports. The Green's function of the boundary value problem with elastic supports expressed through the Green's function of the boundary value problem without supports.

Key words: fourth-order equation, discontinuous boundary value problem, Green's function.