CC BY
70132 Вестник Российского университета кооперации. 2012. №1(7)
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
УДК 519.211
О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
О. И. Берёзкин, В. К. Краснов
Статья посвящена фундаментальным понятиям теории вероятностей. Рассмотрены принципиальные подходы к освоению этой науки.
Ключевые слова: явление, воспроизведение, случайность, закономерность, субъективность, практическая уверенность, уровень значимости.
Французский учёный-энциклопедист, математик и философ Рене Декарт (15961650) в своём знаменитом сочинении «Правила для руководства ума» подчёркивал: «определяйте значения терминов, и вы избавите мир от половины его заблуждений». В самом деле, начиная говорить об обсуждаемом предмете, мы должны чётко представлять себе, что именно это такое и договориться с возможными собеседниками о том содержании, которое мы в него вкладываем. Понимание сути предмета должно быть единым. Это есть абсолютно необходимый этап процесса познания и об этом надо условиться в самом начале будущих обсуждений. Именно так поступают в математике, юриспруденции, физике, химии, военном деле, медицине и других серьёзных науках. Теория вероятностей является такой же серьёзной наукой и требует к себе соответствующего отношения. Между тем рассмотрение значительного числа литературных источников, посвящённых изложению теории вероятностей, свидетельствует о том, что в них имеют место различные толкования в понимании и трактовке, причём касаются они зачастую понятий самых основополагающих. Если оставить всё как есть, возникающие противоречия по мере дальнейшего обсуждения могут нарастать и в конечном счёте привести к неопределённости или даже просто к тупику.
Всё это безусловно сказывается на процессе преподавания. На начальной стадии
обучения у студентов возникают определённые трудности. В отличие от высшей математики, физики, химии, истории, географии и других известных наук, у теории вероятностей нет своих более элементарных предшественников среди предметов, ранее изучавшихся в средней школе. Это сказывается. Приходится сталкиваться с новыми понятиями, новой логикой их взаимоотношений, что не сразу доходит до глубин сознания.
Поэтому пренебрегать разработкой и уточнением самого основного, первичного понятийного аппарата никак не стоит. Собирая, а затем разбирая всё то, что сказано в различных местах о том или ином основополагающем понятии, надо попытаться прежде всего уяснить и понять его внутреннюю суть для себя самого, не давая себя увлечь различными отвлечениями философского, а то и религиозного плана. Объяснения должны быть простыми и понятными, но вместе с тем по возможности полными, дабы не упустить наиболее существенных сторон вопроса. Не надо бояться, если при этом некоторые мысли будут выглядеть новыми и об этом другими авторами как-то не упоминалось (или в крайнем случае упоминалось вскользь). Если вы лично всё продумали и убеждены в их правоте, значит, надо смело называть вещи своими именами. Время потом всё рассудит. Наука, повторяем, сравнительно молодая по сравнению с некоторыми другими классическими науками и её поня-
тийный аппарат пока ещё только формируется.
Итак, начнём с самого исходного определения.
Теория вероятностей есть наука о закономерностях, проявляющихся в случайных явлениях при массовом их воспроизведении.
Здесь мы встречаемся, по меньшей мере, с тремя новыми понятиями, которые, может быть, и знакомы нам из обихода, но применительно к теории вероятностей требуется уточнение их содержания. Имеются в виду слова:
- «явление»;
- «воспроизведение» (массовое);
- «случайное».
В этой же последовательности мы и будем их обсуждать. Под «явлением» мы будем подразумевать все то, что на данный момент (или период) времени привлекло наше внимание («явилось нашему взору»), а мы это внимание на нем сосредоточили и решили пронаблюдать. В этом плане явлением может быть какое-либо событие, например, «восход солнца» или «падение подброшенной монеты» или просто результат наблюдения за выбранным нами объектом (мы обратили внимание на то, что человек, мимо которого прошли, является лысым). Отсюда следует, что явление — категория субъективная, тесно связанная с лицом, его воспринимающим и оценивающим. Представим себе ситуацию: на автобусной остановке стоят люди и подъезжает автобус. В восприятии пассажиров, стоящих на остановке, явлением будет «прибытие автобуса № 22». В восприятии пассажиров автобуса это же самое прибытие будет означать уже «остановка «Детский мир», привлекающее внимание в смысле «пора (или не пора) выходить». Наконец, в глазах незаинтересованных прохожих или пассажиров проезжающих мимо автомобилей прибытие автобуса № 22 вообще не будет явлением, поскольку им в данный момент до него нет никакого дела. Коль скоро явление тесно связано не только с тем, что происходит, но и с наблюдением, то отсюда вытекают два важных свойства, которыми оно должно обладать:
1. Время, в течение которого наблюдается явление, не должно превышать общего времени, в течение которого наблюдатель готов вести наблюдение: иными словами, наблюдаемое явление в восприятии наблюдателя должно иметь четко обозначаемое «начало» и четко фиксируемый «конец» или «завершение», «исход» (как «старт», так и «фи-
ниш»). Здесь не столь важны физические возможности самого наблюдателя (за посаженным кем-то деревом или взятой в дом долгоживущей черепашкой могут наблюдать и потомки), но важен сам факт наличия у явления «начала» и «конца». Если же подобные четкие границы для того, за чем мы наблюдаем, установить невозможно (например, «штормящее море» или «журчащий ручей», или «движение планет по своим орбитам»), то это будут уже процессы, и к явлениям, изучаемым методами теории вероятностей, мы их относить не будем.
2. Должна быть обеспечена возможность (не принципиальная, а самая натуральная) фиксации наблюдателем как начала явления, так и особенно его результата (исхода). Без этого мы вообще не вправе говорить о том, что какое-либо явление состоялось или не состоялось. Пусть, например, мы даем больному лекарство, понижающее артериальное давление. Нас интересует явление, связанное с воздействием этого лекарства. Лекарство может подействовать или не подействовать. Но если у врача нет в наличии прибора, измеряющего само давление, и нет других равноценных способов сделать это, то мы не вправе вообще делать об интересующем нас явлении какие-либо суждения.
Будем поэтому в дальнейшем считать, что указанными свойствами все явления, рассматриваемые в курсе теории вероятностей, обладают. Будем также считать, что эти явления обладают еще одним очень важным свойством. Свойство это описывается вторым из выделенных нами фундаментальных понятий и называется «воспроизводимостью явлений». Воспроизводимостью явления называется полное воссоздание условий, обеспечивающих возможность заново пронаблюдать интересующее нас явление.
Воспроизводимость - это принципиальная способность изучаемого явления к его неограниченному воспроизведению теми средствами, какими мы располагаем, и в том смысле, как мы его понимаем. Теория вероятностей предполагает обеспечение воспроизводимости в качестве одного из обязательных условий своей применимости; отклонение от требований воспроизводимости может серьезно поколебать выводы и рекомендации, сделанные методами теории вероятностей по данному явлению.
Когда мы проводим серию наблюдений над каким-либо явлением, то основная трудность по обеспечению воспроизводимости состоит в том, чтобы ход и результаты наб-
людения по другим воспроизведениям никак не влияли на ход и результаты данного воспроизведения.
Требование вполне понятное, однако с вопросом его практической реализации при конкретных повторных воспроизведениях не все и не всегда будет выглядеть столь очевидным. Допустим, изучается явление «бросание монеты» с целью установления, как часто выпадают герб или цифра. Здесь влияние одних бросаний на другие практически не сказывается - воспроизводимость можно считать обеспеченной. Но рассмотрим теперь начинающего музыканта, повторяющего одно и то же упражнение. Здесь после ряда повторений у играющего образуется навык и он играет уже не так, как начинал - воспроизводимость не обеспечена. Представим себе какое-либо техническое устройство, испытываемое под разрушающей нагрузкой. Для повторных испытаний оно, очевидно, уже непригодно - требуются другие экземпляры того же устройства. Пусть теперь проводится какой-либо социологический опрос. Конечно, среди взятых наугад для опроса людей нежелательно появление тех, кого мы уже опрашивали или тех, кто знает, о чем мы спрашивали других. Поэтому не существует единого рецепта обеспечения воспроизводимости: выработка рекомендаций и приемов на каждый конкретный случай - задача творческая. Мы же подчеркнем еще раз, что теория вероятностей оперирует с явлениями, для которых требование воспроизводимости считается выполненным.
Отметим, что из выполнения условия воспроизводимости автоматически следует, что зафиксированные результаты (итоги) отдельных актов воспроизведения при их дальнейшем совместном анализе (обобщении) могут рассматриваться в произвольном порядке, а не только в той последовательности, в которой они были зафиксированы в состоявшихся наблюдениях. На итоговых результатах обобщения порядок следования отдельных актов воспроизведения сказываться не должен. И еще одно существенное обстоятельство необходимо подчеркнуть: понятие «воспроизведение» автоматически подразумевает повторность наблюдения. Говорить о «воспроизводимости» явления, наблюдавшегося только один раз, бессмысленно: оно должно наблюдаться как минимум дважды.
И, наконец, мы переходим к анализу последнего из трех названных нами фундаментальных понятий. Речь идет о понятии,
стоящем за словом «случайное». Что же это такое - «случайное явление»? Наиболее близкий синоним к слову «случайное» - это «неожиданное». Стремясь действовать успешно и принимать правильные решения, человек хочет жить в предсказуемом им мире, встречаться с тем, чего он ожидает и на что рассчитывает. Если этого не происходит, возможно, даже, с оттенком досады, то он считает, что «в дело вмешался случай».
Рассмотрим примеры. Человек ежедневно привык выходить к остановке междугороднего автобуса в 12.00, зная, что в это время всегда проходит автобус нужного ему маршрута. Автобус иногда приходит чуть раньше, иногда немного запаздывает, и эти расхождения человек воспринимает как «игру случая». Конечно, на каждое опоздание и на каждое «преждевременное» прибытие имеются вполне конкретные причины, все объясняющие. Но они человеку обычно недоступны, да он и не стремится особенно их выяснять. Точно так же обстоит дело и с моментом прихода одного из покупателей в магазин: владельцу магазина сложно предсказать, когда именно и кто именно пересечет порог магазина. Или представим себе, что бросается монета с целью установить, какой стороной вверх она ляжет после падения. Существует много причин, предопределяющих тот или иной исход (высота бросания, сила щелчка, характер поверхности, на которую упадет монета и т.д.), однако подробно разобраться с учетом их влияния у человека нет ни возможности, ни желания, и он предпочитает считать исход бросания случайным. Почему же он так делает? Всегда ли он так делает? И что за всем этим стоит? Эти вопросы нам сейчас и предстоит обсудить.
Мы уже догадываемся, что случайность по своей сути субъективна. Она не существует сама по себе, вне сознания того человека (субъекта), который наблюдает данное явление. Это видно хотя бы из того, что «степень неожиданности», с какой воспринимается одна и та же ситуация, не есть величина постоянная. Она, в частности, зависит:
- от того, насколько то или иное отклонение реального исхода явления от ожидаемого задевает личные интересы субъекта; так, если человек едет в соседний город просто развлечься, то случившееся реально опоздание автобуса на 10-15 минут он может просто «не заметить», сочтя приход автобуса соответствующим его ожиданиям (т. е. неслучайным); но если человеку с автобуса предстоит потом пересаживаться на самолет и
время рассчитано впритык, то это же самое опоздание будет восприниматься человеком драматически;
- от того, насколько субъект информирован о внутренней сути механизма наблюдаемого явления; так, одно и то же событие, например, «крах коммерческого банка», воспринимается как трагическая случайность рядовыми вкладчиками банка, как в общем-то ожидавшаяся неприятность чиновниками банка, имевшими возможность наблюдать за движением финансовых потоков, и, наконец, как полная неслучайность - узкой группой крупных финансовых олигархов, которые, возможно, сами этот крах и подготовили.
Совершенно очевидно, что, столкнувшись на практике с отклонением действительного хода событий от ожидаемого, человек испытывает внутренний дискомфорт. Возникает вопрос: а что же ему делать при таком вот отклонении? Будем откровенны: если речь идет о единичном или нескольких единичных воспроизведениях явления, то... ничего! Принять все, как есть, и смириться. («Над прошлым мы не властны»). Но теперь представим себе, что ситуация раз за разом повторяется. В этом случае человек сначала обычно пробует анализировать поступающую к нему последовательность данных и пытается отыскать скрывающуюся за ними закономерность. Иногда это ему удается. Представим себе, например, что поступает последовательность данных о моментах прохождения движущимся автомобилем различных пунктов, расположенных на трассе. На основании анализа этих данных человек может установить характер движения автомобиля - его направление и скорость, а отсюда сделать момент прибытия автомобиля в интересующий его пункт значительно более предсказуемым для себя. Или, например, представим себе, что авиакомпания располагает данными о суммарном объеме авиаперевозок поквартально за несколько последних лет. Анализируя эти данные, авиакомпания вполне может обнаружить некоторую общую тенденцию роста объема авиаперевозок, на которую накладываются определенные сезонные колебания. Это также позволит ей дать более точный прогноз объема перевозок на ближайший квартал. Или, допустим, при пристрелке из артиллерийского орудия первый снаряд упал далеко от цели. Однако после корректировки установочных данных снаряды один за другим стали падать уже в непосредственной близости к цели.
Во всех этих и других подобных им случаях нам удавалось обнаружить интересующую нас закономерность, учесть ее, и тем самым повысить уровень предсказуемости наблюдаемого явления (обратим внимание на то, что здесь порядок рассмотрения отдельных актов наблюдения играет уже весьма существенную роль).
Однако такие возможности человек имеет далеко не всегда. Так может оказаться и с прогнозированием моментов прибытия автобуса простым пассажиром или моментов прихода посетителей в магазин, или же с прогнозированием исхода бросания монеты. Да и в отмеченных выше «благоприятных» случаях все равно могут остаться некоторые рассогласования, «выбрать» которые прежним способом уже не удается. Что же тогда делать? В этом случае естественной реакцией является стремление к выработке некоторой линии поведения на все случаи вместе, то есть о выработке некоторого массового решения, наилучшим образом согласующегося со складывающимся механизмом исходов и их воспроизведением. Такая постановка задачи не только реальна, но и весьма желательна. Более того, во многих практических ситуациях она необходима - и экономически, и просто жизненно. В этих ситуациях мы сначала постараемся обеспечить достижение уровня массовости воспроизведений явления, необходимого для уяснения детального характера, соответствующих ему массовых закономерностей. Затем эти массовые закономерности мы выявим и опишем, после чего используем их при выработке массовых решений, которые в дальнейшем и будем реализовывать. Принимаемые массовые решения не смогут застраховать нас от возможного ущерба в отдельных единичных случаях, но надежно гарантируют от неразумных действий по массе случаев в целом. Случайность, проявляющая себя в отдельных, единичных воспроизведениях, будет "погашена" неслучайностью, проявляющей себя по массе воспроизведений. Поясним на уже знакомых примерах, как это может быть достигнуто.
Наблюдая в течение достаточно большого числа дней за временем прихода междугороднего автобуса и нанося результаты наблюдений в виде точек на числовую ось времени, мы в скором времени уясним характер распределения этих точек по оси и оценим интервал времени, наиболее «предпочтительный» для этих точек. Это определит нам «вилку» - интервал времени, в течение которого мы должны непрерывно находиться
на остановке. Тем самым, мы практически гарантируем себе встречу с автобусом, при минимальном перерасходе (в среднем) своего личного времени.
Бросание монет обычно применяется в различного рода азартных играх, как правило играемых на ставку, с заранее оговариваемыми условиями. Какими бы ни были условия, при одном акте игры (одном бросании) исход может быть любым, т.е. нести с собой как выигрыш, так и проигрыш. Но если затевается продолжительная игра, содержащая много актов, то знающий массовые закономерности, всегда может оговорить условия, внешне выгодные партнеру, но по сути дела для него всегда проигрышные. (Пример: на кону 100 рублей, монета бросается 100 раз. Мы ставим на герб, партнер - на цифру. Условия: партнер забирает всю сумму, если цифра выпала не менее 65 раз; в противном случае выигрыш делится в отношении 65:35 в нашу пользу).
Покупатели заходят в магазин в случайные моменты времени, но большая часть покупателей определяет в сумме устойчивый спрос, под который владелец может с успехом «подстраивать» организацию работы магазина - с тем, чтобы по возможности не было как неудовлетворенного спроса, так и затоваривания.
Добавим к этому еще один курьезный пример. В давние времена один из школьных друзей одного из авторов приспособился ездить на трамваях без билета, сопоставив грозивший ему штраф (эту сумму он всегда носил при себе) с возможностями встречи с контролерами. Утверждал, что за три года остался в бесспорном выигрыше (имевшие место физические воздействия при задержаниях были отнесены к непредвиденным издержкам и в счет не включались). Обратим внимание на то, что по сути дела все страховые компании действуют, основываясь на этом же самом принципе.
Таким образом, основные термины, определяющие теорию вероятностей как науку о «массовых закономерностях», разъяснены. Тем самым разъяснена и роль теории вероятностей в общественной практике и общей системе человеческого познания, что по сути дела и обосновывает необходимость изучения этой науки. Тем не менее опыт преподавания показывает, что после всего сказанного в сознании обучающихся все-таки остается (хотя и не всегда высказываемый открыто) некоторый червь сомнения. В своей сути он сводится к следующему. Да, в практи-
ческой деятельности мы стремимся прогнозировать исходы различных явлений, для чего должны изучать их внутренние механизмы. Да, эти внутренние механизмы порою оказываются весьма сложными, вследствие чего мы переходим от изучения закономерностей единичных к изучению закономерностей массовых. Да, массовые закономерности не способны дать точный прогноз исходу каждого единичного явления, но зато они способны дать обобщающий прогноз по массе явлений и к тому же они легче поддаются изучению.
И все-таки: не является ли этот вынужденный переход некоторым «смазыванием» исходной задачи, своего рода подменой ее задачей более мелкой? Не является ли это просто капитуляцией перед трудностями решения исходной задачи? А как же весь хваленый бурный прогресс современной науки? Неужели даже он так и не будет никогда способен радикально изменить ситуацию? Необходимо прямо признать: основания для подобного скепсиса у обучающихся имеются. Действительно, если прочитать вводные разделы учебников по теории вероятности еще 20-30-летней давности (хотя бы [1],[2], не говоря уже о более ранних изданиях), то в них везде проявляется настроение какой-то обреченности: «исследовать и описать весь комплекс причин, определяющих исход многих явлений, практически невозможно и поэтому уместен вероятностный подход». Это есть лейтмотив всех обоснований, ведущихся, кстати, скороговоркой. От этого и остается непонимание у обучающихся. (Единственным известным авторам исключением является блестящая книга Е.С. Вентцель [3], ставшая к настоящему времени библиографической редкостью). Нельзя, однако, игнорировать тот факт, что в мире буквально за последние те же 20-30 лет произошла подлинная научнотехническая революция, заставившая по-новому взглянуть на многие вещи, ранее казавшиеся общепризнанными. Сказалось это и на логических основах теории вероятностей. Задача математического и информационного обеспечения в описании многих явлений, ранее казавшихся чрезмерно сложными, стала делом уже вполне реальным. Снова обратимся к тем примерам, которые мы ранее рассматривали.
Математический аппарат современной механики в сочетании с возможностями вычислительной техники и точнейшей измерительной аппаратуры, уже сегодня способны обеспечить строго контролируемую исходную
установку монеты и четкое математическое описание полета монеты, со всеми ее колебаниями, вращениями и подскоками. В результате положение монеты после падения при желании может прогнозироваться практически однозначно.
В настоящее время не существует особых технических трудностей для того, чтобы расположить по трассе автобуса семейство электронных датчиков, сигнализирующих о прохождении автобусом соответствующих пунктов. Располагая этими данными, будущий пассажир может выйти на свою останов -ку точно к моменту прибытия автобуса, без всякого ожидания и без риска опоздать.
Владелец магазина в принципе может организовать в канун данного дня социологический опрос всех потенциальных покупателей на предмет того, собираются ли они посетить его магазин и что хотят приобрести. Точность прогноза значительно возрастет.
Мы видим, что во всех этих примерах мероприятия по «защите от случайностей» в принципе не такие уж невыполнимые, тем более, что с записью, хранением и обработкой, возможно, весьма большой по объему цифровой информации отлично могут справиться компьютеры.
Однако принципиальная возможность отнюдь не всегда означает целесообразность. В русском языке не зря существует поговорка: «Овчинка выделки не стоит». Будущие экономисты особенно хорошо понимают разницу между «возможно» и «во что все это обойдется и что мы с этого будем иметь». Взглянув на проблему под этим углом зрения, мы поймем, что каждое воспроизведение какого -либо явления стоит определенных затрат (времени/денежных, материальных ресурсов, физических сил и т.п.). Получение в ходе этого воспроизведения каких-либо дополнительных данных, очевидно, увеличивает расходы на каждое воспроизведение, иногда весьма существенно. Но окупятся ли эти дополнительные затраты выгодами от увеличения точности предсказания исхода явления? Если нет, то стремиться к увеличению точности прогноза просто невыгодно и надо вернуться к прежней вероятностной схеме. Но если ставка велика и сулит большой выигрыш от увеличения точности прогноза (или большую беду в случае прогноза ошибочного), то «игра стоит свеч»: надо совершенствовать «организационно -технико -информационное» обеспечение воспроизведений того явления, в знании исхода которого мы столь заинтересованы.
Таким образом, если по трассе едет простой рейсовый автобус с обычными пассажирами и человек, ожидающий его на данной остановке, также обычный, рядовой гражданин, то никаких специальных мер по повышению точности предсказания времени прихода автобуса, очевидно, не потребуется. Но если по трассе едет какой-нибудь очень высокий начальник, от которого зависят судьбы многих из ожидающих его на данной остановке, то дополнительные меры по увеличению точности предсказания времени прибытия, конечно же, будут приняты (и всегда принимаются). «Случайным» прибытие транспортного средства с начальником уже не будет. Если бросание монеты осуществляется при обычной игре в "орлянку" с малой ставкой, то все ухищрения с точным математическим описанием полета и падения монеты бессмысленны, хотя и возможны. Но если ставка в той же самой игре резко возрастет, то использование всех имеющихся математических и технических достижений в этой игре станет вполне оправданным.
Очень поучительный пример отношения к данной проблеме дает нам обычная живая природа. Наблюдая за естественными процессами воспроизводства у живых организмов, мы видим, что различные организмы осуществляют это по-разному. Там, где рождаемость относительно мала, родители предпринимают большие усилия по выкармливанию, воспитанию и защите подрастающего поколе -ния. И, наоборот, многие живые организмы ограничиваются только производством потомства на свет и совершенно не заботятся о его дальнейшей судьбе, компенсируя это высокой численностью рождаемых. Оба названных подхода обеспечивают стратегию выживания, и Природа сама регулирует наиболее выгодные формы ее осуществления.
Таким образом, можно вполне уверенно заключить, что актуальность применения вероятностных методов обоснования массовых решений в обозримом будущем утрачена не будет. А это значит, по-прежнему важным в подготовке квалифицированных экономистов будет оставаться изучение математической науки «Теория вероятностей».
Необходимо подчеркнуть, что современная экономическая наука и практика -весьма привлекательное поле для применения всего арсенала методов теории вероятностей. В динамичных условиях рыночной экономики коммерческие решения часто приходится принимать при неполноте информации из-за недостатка времени и средств для ее
получения и сбора. Затягивать же с принятием решения, собирая информацию, часто бывает нельзя, ибо в противном случае эти решения вообще потеряют смысл. В подобных условиях многие события и величины проявляют себя как случайные, что и требует для их описания и анализа соответствующего математического аппарата. А он предоставляется именно теорией вероятностей.
И далее. Современная экономика - это прежде всего учет:
- трудозатрат;
- затрат ресурсов;
- результатов труда;
- итогов реализации продукции.
Учетные документы - это множество
таблиц - массовых данных по месту, по времени, по позициям.
Современная экономика - это и анализ. Данные надо осмыслить, охватить единым взглядом, единой концепцией. («Не потерять из-за деревьев леса»). Попытаться представить механизмы функционирования различных хозяйственных систем.
Современная экономика - это и прогноз основных тенденций развития хозяйственных систем. Это - и оценка ожидаемого «отклика» хозяйственных систем на те или иные управленческие решения.
Механизмы функционирования хозяйственных систем очень сложны, в них задействовано много причин, много факторов. Всего сразу учесть невозможно, тем более в быстро меняющихся условиях. Поэтому методы теории вероятностей и обеспечивающей ее математической статистики являются на начальном этапе изучения весьма актуальным средством познания механизмов работы хозяйственных систем и их практического использования. Это же определяет и актуальность преподаваемого курса.
Продолжим, однако, обсуждение ряда основополагающих понятий и исходных положений теории вероятностей. Следующим таким основополагающим понятием является понятие опыта и его исходов. Мы уже отмечали ранее, что всякое воспроизводимое случайное явление всегда имеет некоторый чётко фиксируемый исход (результат). А вот количество возможных исходов, мы считаем, может быть различным. Это может быть всего один исход (любой человек, родившись, до истечения 200 лет обязательно умрёт), или два (до 60 лет человек доживёт, или не доживёт; подброшенная монета упадёт либо гербом вверх, либо цифрой), или пять (экзаменационная оценка школьника), или шесть
(число граней бросаемой игральной кости), или, наконец, бесконечное множество исходов (стрелки внезапно остановившихся часов могут указывать на любое время).
Воспроизводимое явление мы будем называть опытом, а возможные исходы явления - исходами опыта. Опыт может быть элементарным, т.е. состоять из однократного воспроизведения какого-либо явления, а может быть и сложным, составным. В послед -нем случае один опыт будет включать в себя воспроизведение двух или более явлений, причем не обязательно однородных. Количество возможных исходов по элементарным опытам при этом перемножается. Так, например, если представить себе опыт, состоящий в том, что некоторый человек наугад указывает на одну из граней игральной кости одним из пяти пальцев своей левой руки, то такой составной опыт, очевидно, будет иметь 6x5=30 различных исходов.
Группа возможных исходов опыта, в наступлении которых мы как-либо заинтересованы, в теории вероятностей принято называть событием. Если в результате опыта получились именно эти исходы, то говорят, что событие состоялось, если получились какие-либо другие из возможных исходов, то говорят, что событие не состоялось. Таким образом, основным свойством всякого события является то. что оно может либо состояться, либо не состояться.
Примеры событий:
1) выпадение «герба» при бросании монеты;
2) выпадение трех «гербов» подряд при трех бросаниях;
3) попадание в цель при выстреле;
4) появление бубнового туза при вынимании карты из колоды наугад и т. п.
Каждое событие имеет свою степень возможности его осуществления. Так, мы сразу сможем догадаться, что эта степень возможности у второго события меньше, чем у первого, а у четвертого - меньше, чем у второго. А вот о третьем пока ничего сказать нельзя: надо уточнить условия опыта или проводить специальные исследования.
Степень возможности события принято характеризовать числом. Это число принято называть вероятностью события.
Введение количественной меры для характеристики вероятности события очень важно. Вспомним изречение К. Маркса: «Наука только тогда становится подлинной наукой, когда она начинает оперировать числом». Вопросы чисто количественного определе-
ния значений вероятности изложены достаточно подробно во всех учебниках и за исключением небольших оговорок могут быть приняты.
Следует, однако, обратить внимание ещё на одну весьма важную сторону понятия «вероятность». На неё впервые обратил внимание английский математик и философ Бертран Рассел (1872-1970). Речь идёт о так называемой двойной природе вероятности — её субъективной и объективной сторонах.
Самое время спросить: почему мы так стремимся к точному знанию значений вероятности? Что это нам дает практически в повседневной жизни? Ведь гарантированного предсказания наступления события А это знание не дает? Правильно, не дает. И все-таки роль точного знания вероятности события А на практике неоценима. Возьмем сначала объективную сторону вероятности, как более простую для понимания. О чем она говорит? О том, что если у нас имеется возможность массового воспроизведения опытов
с попыткой получения события А, то в этой массе опытов вероятность Р(А) уже приобретает вполне «материальный», объективный смысл. Это - доля опытов, в которых событие А произошло. Мы подчеркиваем: нам неважно, в каких именно по номерам опытов в серии событие А состоялось, а в каких - нет. Важно лишь то, что доля этих опытов весьма и весьма близка к Р(А) - и она тем ближе, чем больше опытов. И эта доля реально состоявшихся событий А будет уже величиной объективной, практически неслучайной. Объективной - потому, что числовое выражение величины этой доли будет одинаково восприниматься любым субъектом, безотносительно к его возможному настроению или свойствам личности.
В самом деле: если, допустим, на 10 тыс. человек выявлен уровень заболеваемости гриппом, равный 12%, то это есть объективный факт, как бы к нему ни относились и вне зависимости от того, кто именно этим гриппом переболел (тут - случайность). И это знание объективной реальности, конечно же, может (и будет) практически использоваться в разных видах человеческой деятельности (например, при проведении профилактических мероприятий, в страховой деятельности, выделении средств на оплату больничных мест и т.п.).
Несколько иное положение складывается тогда, когда не имеется возможности массового воспроизведения данного события. Во всяком случае, для данного субъекта,
сейчас, сегодня, в данных условиях. Предсказывающей силой знание вероятности не обладает. Гарантии наступления события А это знание не дает. Зачем же нам тогда вообще знание вероятности Р(А)? Как мы сможем применить его с пользой для себя, для каждого данного субъекта в отдельности? Здесь мы уже вплотную сталкиваемся со второй важной стороной понятия «вероятность» -субъективной вероятностью.
Субъективная вероятность характеризует, как воспринимает субъект (любой из нас) шансы на то, что событие А или произойдет, или не произойдет. Нужна ли человеку такого рода оценка шансов? Конечно, нужна, ибо она предшествует принятию решений. Простейший пример. Человек летит в командировку самолетом на 1-2 дня. Вещей с собой может взять - в обрез. Вопрос: брать или не брать плащ, зонт, теплые вещи? Прогноз погоды для тех мест куда он летит, на эти дни ему неизвестен. Но решать надо. Он взвешивает данные многолетних наблюдений по погоде для этих краев и устанавливает, что на рассматриваемые дни в 80% случаев (т.е. с вероятностью 0,8) там бывает теплая, ясная погода. В месте отлета и будущего возвращения погода и ее ближайший прогноз ему известен. Он принимает решение: ничего лишнего с собой не брать. Рискует ли он после этого замерзнуть или попасть под дождь? - Конечно, рискует. Но человек взвешивает шансы, мысленно оценивает последствия и принимает решение. А потом исполняет его, то есть действует. Бертран Рассел по этому поводу мудро заметил: «Если бы мы не были способны к оценке шансов, мы бы никогда не смогли принять никаких решений».
Характерна внутренняя логика принятия решений человеком в условиях неопределенности. Неопределенность заключается в том, что значимое для него событие А либо состоится (или уже состоялось, но человек об этом еще не знает), либо не состоится (не состоялось). Но человеку необходимо принимать решение именно в данный момент.
Экспериментально доказано, что у человека существуют некоторые внутренние допустимые пороги принятия решений Р (А). Оценивая (для себя! субъективно!) вероятность Р (А), он мысленно сравнивает Р (А) с пороговым Р(А). Если Р(А) > Р(А), он принимает решение, а дальше он уже не колеблется (так называемый «принцип практической уверенности») и действует, считая риск допустимым. Пороговое значение Р (А)
принято называть доверительной вероятностью, а величину а = 1 - Р (А) - уровнем значимости.
Если же человек считает, что, по его оценкам, Р( А) < Р(А), то он либо принимает противоположное решение, либо откладывает это решение, чтобы собрать недостающую, по его мнению, информацию для прояснения ситуации. (Например, звонит в место будущей командировки, справляясь о прогнозе погоды). Последний вариант, вообще говоря, обоюдоострый: «добирая» информацию «до полной ясности», можно потратить не только дополнительные средства, но и время. В результате может даже отпасть надобность в самом решении (например, улетит самолет). Пороги принятия решений Р (А) у разных людей могут заметно различаться. Они, в частности, зависят от типа личности человека. Так, люди азартные, решительные, дерзкие имеют сравнительно низкие Р(А); люди нерешительные, ро_бкие, склонные к перестраховке - высокие Р (А). Вместе _с тем даже у одних и тех же людей порог Р (А) может быть непостоянным. В одних, сравнительно спокойных ситуациях, в исходе которых (а то и в самих ситуациях) человек мало заинтересован, его субъективные пороги Р(А) сравнительно высоки (принцип выдвижения завышенных требований, чтобы «отвязаться», не брать на себя ответственность). Наоборот, в других ситуациях, которые человек считает для себя крайне важными, субъективные пороги могут оказаться весьма низкими: например, если человеку сказали, что ему надо выбирать между медленной, но гарантированной смертью или рискованной операцией с гарантией полного выздоровления 50%, многие, могут выбрать именно последнее. Ещё более выразительными могут оказаться случаи, когда люди решаются на заведомо героические поступки, совершают подвиги с большим риском для себя лично.
Свои субъективные вероятности Р (А) люди тоже оценивают по-разному. Все практически здоровые люди, пусть подсознательно, но отслеживают реальные частоты появления интересующих их событий. У этих людей субъективные оценки вероятностей событий обычно согласуются с наблюдаемыми частотами их появления. Иными словами, реальные люди, живя в реальном мире, в основном адекватно (правдоподобно) отражают его в своём сознании. Сильное же "смещение" субъективных вероятностных оценок по отношению к реальным частотам
событий, вытекающим из повседневного опыта человека, часто свидетельствует о подсознательном стремлении «выдать желаемое за действительное». Нередко это смещение является сигналом о различных психических расстройствах человека, в частности, о заболеваниях некоторыми формами шизофрении. Получается что, казалось бы, «внутренние», индивидуальные, субъективные оценки вероятностей человеком также имеют объективную основу и опираются на реальный практический прошлый опыт - и человека, и всего человечества. В конечном счете они материализуются в принимаемых им решениях. У нормальных людей, объективно отражающих в своем сознании окружающий мир, субъективные оценки вероятностей характеризуют объективные частотные свойства массовых событий. Следовательно, во всех случаях знание и правильное определение числовых значений вероятностей жизненно важных для человека событий - задача весьма и весьма актуальная. Именно она создает человеку материальную и психологическую основу, позволяющую ему правильно ориентироваться в окружающем мире и принимать решения. А те, кто в своих решениях объективно отражают закономерности окружающего мира и делают из этого правильные выводы, те и в последующих действиях в среднем достигают больших успехов.
В отечественной литературе по теории вероятностей вопрос о субъективной и объективной сторонах понятия «вероятность» как-то замалчивался. (Возможно, из-за того, что сам Б. Рассел считался буржуазным филосо-фом-идеалистом, что, впрочем, так и было). Приятным исключением в этом плане явилась одноимённая книга Е.С. Вентцель, где был отчасти затронут этот вопрос и сформулирован так называемый «принцип практической уверенности», в соответствии с которым люди интуитивно оценивают свои собственные уровни значимости и на их основе либо решаются на действия, либо отказываются от них.
Любопытное подтверждение этому принципу один из авторов обнаружил совсем недавно лично во время авиационного перелёта из России на курорт в Египет. Самолёт летел нормально и в нужное время пошёл на посадку. Автор последний раз пользовался самолётом (из-за цен на авиабилеты) только ещё в советское время, т.е. около 30 лет назад. Поэтому он сразу обнаружил существенную деталь в изменении массового поведения
авиапассажиров. По мере приземления пассажиры прекратили общение между собой и всё больше внутренне напрягались. Наверное, один автор сохранял полную беззаботность (он-то летал уже давно). Наконец, самолёт коснулся земли (успешно) и побежал по дорожке. И в этот самый момент сотни людских ладоней (включая, кстати, и стюардесс, находившихся в салоне), как по команде взметнулись вверх к потолку и разрядились бурными аплодисментами. В этом было что-то от массовой истерики. И вряд ли это было только выражение благодарности мастерству пилотов (хотя, конечно, это тоже имело место). Здесь было интенсивное чувство массовой радости за то, что «на этот раз пронесло» и принцип «практической уверенности» сработал. К такому массовому поведению-психозу людей «приучила» современная отечественная авиация, с её резко возросшим за последнее время количеством авиакатастроф. Конечно, никто об этом вслух не говорил, но регулярные сведения об авариях, навязчиво сообщаемых прессой, заметно снижали уровни пороговых значений и соответственно завышали «уровни значимости».
Общие выводы:
1. Для обучающихся в вузах курс теории вероятностей, как математической дисциплины, является новым и непривычным, не имеющим прецендентов в прежнем обучении. Это потребует глубокого осмысления курса на основе подробного рассмотрения основополагающих понятий.
2. Ключевыми понятиями, определяющими суть курса, являются исходные понятия массового явления, случайности, воспроизводимости, опыта, события. Их уяснению необходимо уделять самое серьёзное внимание.
3. Необходимо обязательно различать объективную и субъективную стороны понятия «вероятность», их место и взаимодействие в процессе практической деятельности.
Источники и литература
1. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для эконом. вузов. М.: Статистика, 1979. 279 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для эконом. вузов. М.: ЮНИТИ, 2000. 543 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 4-е стереотипное. М.: Наука, 1969. 576 с.
Berezkin O.I., Krasnov V.K. ON FUNDAMENTAL NOTIONS OF PROBABILITY THEORY.
The article is devoted to fundamental notions of probability theory and looks into principled approaches to understanding this science.
Key words: phenomenon, reproduction, randomness, reqularity subjectivity, practical certainty, siqnificance level.
БЕРЁЗКИН Олег Иванович родился в 1934 г., окончил Военно-воздушную инженерную Краснознамённую академию им. Н.Е. Жуковского (1958), доктор технических наук (1978), профессор кафедры математических и инструментальных методов экономики Чебоксарского кооперативного института (филиала) Российского университета кооперации (1991). Автор 110 работ.
КРАСНОВ Вячеслав Константинович родился в 1956 г., окончил Казанский государственный университет (1978), кандидат физико-математических наук (1985), доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики Чебоксарского кооперативного института (филиала) Российского университета кооперации (1989). Автор 70 работ.
