CC BY
44
УДК 550.34
В.В. Филатов, А.П. Хилько ФГУП СНИИГГиМС, Новосибирск
О ФРАКТАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ СИСТЕМ ЛИНЕАМЕНТОВ
В последнее десятилетие понятие фрактала приобрело широкую популярность благодаря высокой эффективности его использования при изучении свойств различных гетерогенных систем. Сейчас несомненно, что фракталы встречаются в огромном множестве физических процессов и явлений, в том числе, и горных породах.
Отметим, что регулярные фрактальные структуры в природе практически не реализуются. Именно поэтому мы рассматриваем в качестве определяющего свойства фракталов - свойство самоподобия. Сущность идеи самоподобия заключается в следующем: если рассмотреть фрактал при одном масштабе (или под одним увеличением некоего микроскопа), а затем при другом масштабе (увеличении), то различие между изображениями не обнаруживается.
Фрактальность реальных геологических сред подсказывает новые методы обработки и интерпретации результатов измерений. Диапазон возможного применения фракталов очень широк, начиная с относительно простой задачи выделения аномальных зон, которые очень часто и являются объектом исследования, и, заканчивая задачей изучения особенностей поведения геофизических полей во фрактальных средах.
В частности, геодинамика занимается изучением Земли как динамической системы, в которой на протяжении всей её эволюции непрерывно шли, и продолжаются в настоящее время процессы создания и уничтожения на самых различных уровнях. Исходя из этого, строились различные математические модели динамических систем. Например, известная модель динамической системы с сухим трением, предложенная Барриджем и Кноповым в 1967 г. [1] и впоследствии развивавшаяся многими исследователями.
Даже в этой простой модели можно увидеть, что поведение системы, связанное с появлением скачков скорости изменения системы представляется непредсказуемым. Амплитуды скачков и временной интервал между скачками распределены хаотически. Никаких предвестников скачков не обнаруживается, причем это относится к скачкам любой амплитуды. Но необходимо отметить два характерных свойства такого рода моделей.
1. Графическое отображение практически всех моделируемых процессов обладают одной особенностью. Если бы отсутствовали указатели диапазона изменения параметра, практически невозможно было бы сказать, с каким масштабом мы имеем дело в данный момент. Другими словами, что данное отображение процесса обладает свойством фрактальности в том смысле, в каком мы определили его выше.
2. Фрактальность среды, как правило, приводит к уравнениям в
дробных производных [2, 3], которые могут совершенно изменить
традиционные представления о динамике процесса.
Наглядно изменение характера процесса во фрактальной среде можно увидеть на примере волновых полей.
Рассмотрим модель, в которой связь напряжений и деформации носит запаздывающий характер, и закон Гука имеет вид свертки.
В результате такого представления уравнение для вектора смещений преобразуется к виду:
Р^г = 4 G(t+F, (1)
dtQ t Зт
где L дифференциальный оператор m
L =-----grad div - rot rot
m - 2
Рассмотрим два предельных случая функции G . В случае, когда G равняется постоянной G, уравнение (1) превращается в обычное уравнение Ламе. В случае, когда G = a 5(t), уравнение (1) превращается в уравнение параболического типа Р 3v
—— = Lv + F а 3t
относительно функции v = —. При этом теряется волновой характер
3t
процесса, и он превращается в чисто диссипативный.
В простейшем случае, когда в качестве источника упругих колебаний
берется источник типа центра вращения, в горизонтально-слоистой среде
существует только одна составляющая вектора смещений u, уравнение для
которой можно записать в форме 2
Э2мф т 2G
Р—2 = L--------оиФ (2)
Зт2 m - 2 ф
В случае среды с «памятью» уравнение (2) трансформируется к виду:
I
Р-
З um 2 г—/ \Зит
ф- LjG (t — т)—ф d% (3)
-х т — 2 -х
Для фрактальной среды функция О будет являться характеристической функцией некоторого фрактального множества и уравнение (3) может быть сведено к уравнению с дробными производными:
Ьу- , (4)
з*+%_ 2G0
Эх1+5 (т — 2)р
Э1—% где Ъ = -£15-.
Уравнение (4) описывает процесс, занимающий промежуточное положение между волновым и диффузионным, что дает еще одну возможную трактовку феномена медленной волны, наблюдаемой в эксперименте [4].
Отметим, что к подобному уравнению мы приходим и при анализе поведения электромагнитного поля во фрактальной среде. И точно так же это
дает возможность попытаться объяснить экспериментальные данные, не укладывающиеся в рамки классической теории электродинамики.
Аналогичные результаты имеют место и при анализе процессов геодинамики. Рассмотрим один из аспектов этой проблемы. Геодинамические процессы сопровождаются разрушением гонных пород. При этом известно, что процесс образования трещин как классический вариант броуновского случайного блуждания, может быть описан уравнением диффузии. Обычно, это уравнение и рассматривается в качестве базового при анализе процессов разрушения. Однако, в случае фрактальной среды уравнение для функции, выражающей плотность вероятности нахождения броуновской частицы в точке с координатами (гД), имеет вид [5], [6]
± х 1 — (Г5—1—« ФМ) (5)
(1 — у) Ж“ (? — х)у г -г -г ’ ( )
где D - евклидова размерность пространства, у, 0 - величины, зависящие от фрактальной размерности.
При этом мы получаем, так называемое, уравнение сверхмедленной диффузии, которое в отличие от обычного уравнения диффузии зависит от дополнительного параметра, связанного с фрактальностью среды и, соответственно, позволяет моделировать более широкий класс объектов и процессов.
Задача такого моделирования лежит далеко за рамками данной работы, тем более, что адекватное сопоставление модели с реальностью требует длительного наблюдение во времени геодинамических процессов представляет собой достаточно сложную задачу.
Мы рассмотрим существенно более узкую задачу. Попытаемся выявить соотношение между системой поверхностных линеаментов, характеризующихся небольшими размерами с геологическими объектами другого масштаба.
Задача, безусловно, не новая, но мы будем решать ее исходя из двух. основных положений.
1. Фрактальности системы линеаментов.
2. Связи процессов, результате которых образовались объекты, выражаемой уравнением (5).
То есть, мы будем предполагать, что система линеаментов в своих фрактальных характеристиках наследует особенности, присущие более протяженным структурным образованиям, и на основе фрактального анализа попытаемся восстановить эти образования.
И первая проблема, которая при этом возникает - проблема выделения и прослеживания в разрезе объектов, характеризующихся определенным масштабом. Обычно говорят о задаче выделения объектов с определенными спектральными характеристиками и используют для этого преобразование Фурье. Однако, использование частотной фильтрации приводит к существенному искажению сигнала во временной (или пространственной)
области, в то время как требуется, по возможности, сохранить частотное наполнение полезного сигнала, соответствующего объекту.
Гораздо лучше к анализу фрактальных объектов (по своей сути) приспособлен аппарат вейвлет-преобразований, который возник при обработке записей сейсмодатчиков в нефтеразведке и с самого начала был ориентирован как раз на локализацию разномасштабных деталей.
Если резкие отличающиеся объекты во многих случаях можно заметить невооруженным глазом, то взаимодействие событий на мелких масштабах, перерастающее в крупномасштабные явления, увидеть очень сложно. Например, фрактальная структура системы объектов бывает связана с (статистической) однородностью их строения на различных пространственных масштабах. Многомасштабный анализ помогает количественно охарактеризовать эту однородность.
Именно этот аппарат мы и использовали при анализе системы линеаментов. На рис. 1а представлена карта исходной системы линеаментов. Рис. 1б, 1в показывают, как при разномасштабных вейвлет-преобразованиях на этой системе выделяются объекты соответствующего масштаба.
,ю4 х104м
в
Рис. 1. Выделение аномальных зон (б, в) на основе вейвлет-анализа анализа
системы линеаментов (а)
На рис. 2, 3 показаны результаты сопоставления полученных с помощью вейвлет-анализа структур с реальными геологическими данными. Выделенные структуры хорошо согласуются со структурой горизонта Б, построенного по данным сейсморазведки. Кроме того, зоны с повышенной проницаемостью, выявленные по результатам бурения, выкладываются в своеобразную ложбину, отмечаемую по рассчитанным данным.
Рис. 2. Наложение зон с наибольшей Рис. 3. Структура горизонта Б
проницаемостью на структуры, по данным сейсморазведки.
выделенные на основе вейвлет-анализа системы линеаментов.
Таким образом, предложенная схема анализа систем линеаментов позволяет на основе анализа фрактальных характеристик и последующих преобразований выделять существенно отличающиеся по масштабу от линеаментов структуры, которые могут быть соотнесены с реальными геологическими объектами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Burridge R., L. Knopoff., Model and theoretical seismicity, Bull. Seism. Soc. Am. 1967. V.57, p. 341-371.
2. Nigmatullin R.R. On the theory of relaxation with "remnant" memory., Phys. Stat. Sol(b). - 1984. - V.124, -p 389-393.
3. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация, ТМФ, 1992, т. 90, № 3, с. 354-309.
4. Голошубин Г.М., Крауклис П.В., Молотков. Новые возможности летального изучения нефтенасыщенных слоев в межскважинном пространстве на основе феномена медленной волны. Международная геофизическая конференция и выставка, С-Петербург, 1995. Тезисы докладов 3, с. 11.6.
5. Giona M.,Roman H.E. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimentional case and asymptotic behavior. Jornal of Physics A: Math. Gen. 1992. V.25, p. 2093-105.
6. Metzler R.,Glockle W.G., Nonnenmacher T.F. Fractioal model equation for anomalous diffusion / Physica A 1994.V.211, p.13-24.
© В.В. Филатов, А.П. Хилько, 2005
