УДК 514.132
О ФОРМУЛЕ МИЛНОРА ДЛЯ ОБЪЕМА ИДЕАЛЬНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА*)
Г, А. Байгонакова, А. Д. Медных
1. Введение
Объемы тетраэдров и некоторых других многогранников в гиперболическом пространстве Н3 как функции двугранных углов выражаются через функцию Лобачевского (см. [1-7]).
Функция Лобачевского Л (ж) определяется формулой
Функция Л(ж) нечетная, периодическая с периодом п и дифференцируемая всюду, кроме точек пп, где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 1). Максимальное значение функции достигается в точке в = п/6 и равно Л(п/6) = 0.5247....
Рассмотрим идеальный тетраэдр в гиперболическом пространстве Н3. Напомним, что гиперболический многогранник называется идеальным, если все его вершины лежат на бесконечности. Хорошо известно [8], что двугранные углы такого тетраэдра при скрещивающихся ребрах
п
Следующие две теоремы доказаны Дж. Милнором [9].
*) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00255), АВЦП развития научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1/3707) и фцд (проект 02.740.11.0457).
@ 2010 Байгонакова Г. А., Медных А. Д.
x
0
Рис. 1. Функция Лобачевского.
Теорема 1.1. Объем идеального гиперболического тетраэдра Т = Т(А, В, С) с углами А, В, С (А + В + С = п) вычисляется по формуле
Уо1(Т) =Л(А)+Л(В)+Л(С),
где Л(х) — функция Лобачевского.
Теорема 1.2. Максимальный объем идеального гиперболического тетраэдра достигается при А = В = С = п/Ъп равен
Уо1(Т) = ЗЛ(п/3) = 2Л(2п/6) = 1.01494....
Рис. 2. Рис. 3.
Цель настоящей работы — обобщить указанные результаты Милнора на случай идеального симметрического октаэдра.
В пространстве Н3 рассмотрим идеальный симметричный октаэдр О с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах. Обозначим его двугранные углы через А, В,С,В,Е и Е так, как указано на рис. 3.
О
евклидовой геометрией, имеем следующие равенства:
С = п - А, В = п - В, ^ = п - Е. Из последних равенств, в частности, заключаем, что А, В, С, В, Е, Е €
Объем октаэдра О определяется следующей теоремой.
Теорема 2.1. Объем идеального симметричного гиперболическо-О
доказательство. Соединим верхнюю и нижнюю вершины окта-О, О
занная прямая служит общим ребром.
2. Основные результаты
А + В + С+ В = 2п, А + С+ Е+ Е= 2п,
В+В+Е+Е= 2п.
Отсюда
(о, П.
Следуя [10], рассмотрим орисферу с центром в верхней точке октаэдра и спроектируем на нее полученные тетраэдры. Тогда общее ребро этих тетраэдров проектируется в некоторую точку б, лежащую на орисфере, а ребра с двугранными углами A, B,C, D — в точки со-
ответственно. Поскольку двугранные углы при
противоположных ребрах каждого из четырех идеальных тетраэдров равны, мы знаем значения углов E, F, E, F при вершине б в евклидовом четырехугольнике séSS^О). Обозначим углы, как показано на рис. 4.
По теореме синусов
sin х _ 6D sin у _ б A sin z _ б В sint _ б С sint' б A sinx' 6B sin y'
Перемножая равенства, получим
sinx sin y sinz sint sin t' si nx' si ny' si nz'
Из четырех треугольников на рис. 4 имеем
x + t' + F = п, y + x' + E = п, z + y' + F = п, t + z' + E = п,
x x' A, y y' B, z z' C, z z' D.
x
углы через x и диэдральные углы октаэдра O Учитывая, что C = п — A, D — п — B и F = п — E, имеем
x = x, x' = A — x, y = п + x — A — E, y ' = —п — x + A + B + E,
z = п H- x — A — B, z ' = —x + B, t = ^x — B — E, t' = —x + E. Из основного уравнения (1) для x = —u получим
sin u sin(A + B + u) sin(A + E + u) sin(B + E + u)
.
sin(A + u) sin(B + u) sin(E + u) sin(A + B + E + u)
.
Последнее уравнение эквивалентно следующему:
(соэ (А + В) - сов (А + В + 2м))(соз(А - В) - сов (А + В+ 2Е + 2 и)) _ (со в(А -В) - со в(А +В + 2м))(сов(А + В) - со в(А + В+ 2Е + 2м)) ~ '
из которого непосредственно вытекает, что
сов(А +В+ 2и) - сов(А + В + 2Е + 2и) = О,
или
2 вш Евт(А + В + Е + 2и) = 0.
Поскольку Е € (0, П, то втЕ ф 0. к переменной ж,
имеем
вт(А+В + Е - 2х) = 0.
Следовательно,
= ^ + ^ + кп,
где к — некоторое целое число. Заметим, что для А = В = Е = Щ справедливо равенство х = Это случай правильного идеального октаэдра. Следовательно, к = -1 и
А+В+Е-п х=---.
Симметричный октаэдр состоит из двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами
А + В + Е - п . -А - В + Е - п
X = -, t = -, Р = 7Г — Е
2 2
и двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами
. А-В-Е + п -А + В -Е + п
х = -, у = - и Е.
2 ' У 2
п - Е Е .
Установим аналог второй теоремы Милнора.
Теорема. Максимальный объем идеального симметричного октаэдра в Н3 достигается при А=В = С= В = Е = Е = п/4и равен
Уо1(0) = 4Л(п/4) = 3.66386 ....
Доказательство. Воспользуемся формулой для объема V = V(О) из теоремы 2.1. Вычисляя производную функции V по А, имеем
va = - log
- log
2 sin ■
•A + B + E
2 sin ■
2 sin ■
A-B-E
= log
log + log
2 sin t-a-b+e gin k-a+b-e
- A - B + E
2 sin ■
-A+B-E
2 sin k+A+B+E sin ^A-B-E
= log
cos(-B + E) — tos(n - A)
= log
B -E) - A
B + E) - A
cos(B + E) — tos (n + A)
Из равенства V' = 0 следует, что либо cos(B — E) = cos(B + E), либо cos(B — E) + cos(B + E) + 2 cos A = 0. В первом случае sin B sin E = 0, что невозможно, поскольку A, B £ (0,п).
B E A
Аналогично из уравнений Vb = 0 и V¿ = 0 имеем соответственно равенства eos A tos E + cos B = 0 и cos A tos B + cos E = 0. Полагая x = cos A, y = cos B и z = cos C, приходим к следующей системе уравнений:
x = yz, y = xz, z = xy.
Поскольку z = —xy, имеем x(l — y2) = 0 и y(l — x2) = 0. Так как 1— x2 = sin2 ^^и 1— y2 = sin2 ^О^о^Ои^О. Следовательно, и z = — xy = 0.
В результате получим cos A = cosB = cosE = 0, откуда A = B = E = Ц. Поскольку в этой точке
V'' — V'' — V'' — 9 V'' — V'' — V'' — n
vaa — vbb — vee — — z, VAB — VAE— VBE ~ u,
V.
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Винберг Э. В. Геометрия-2. М.: ВИНИТИ, 1988. Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники).
2. Деревнин Д. А., Медных А. Д. О формуле объема гиперболического тетраэдра // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, № 2. С. 159-160.
3. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1022-1031.
4. СЪо Yu., Kim Н. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discr. Comput. Geom. 1999. V. 22. P. 347-366.
5. Kellerbals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.
6. Murakami X, Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. 2005. V. 13. P. 379-200.
7. Usbijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // Non-Euclidean geometries. Math. Appl. 2006. V. 581. P. 249-265.
8. Thurston W. P. The Geometry and topology of three-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Math. Dept., 1978.
9. Miinor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, № 1. P. 9-24.
10. Mobantv Ya. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence. Ph. D. in Mathematics, UCSD, 2002, 123 pp.
г. Горно-Алтайск, г. Новосибирск
20 ноября 2010 г.