Научная статья на тему 'О формуле Милнора для объема идеального гиперболического октаэдра'

О формуле Милнора для объема идеального гиперболического октаэдра Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
79
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / ФУНКЦИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО / ИДЕАЛЬНЫЙ ОКТАЭДР / HYPERBOLIC GEOMETRY / LOBACHEVSKY FUNCTION / IDEAL TETRAHEDRON

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Байгонакова Галия Аманболдыновна, Медных Александр Дмитриевич

Известная формула Милнора выражает объем идеального гиперболического тетраэдра в виде суммы трех функций Лобачевского, зависящих от его углов. При этом используется весьма важное свойство идеального тетраэдра, состоящее в том, что его двугранные углы при противолежащих ребрах равны. В работе рассматриваются идеальные октаэдры с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах. Для них устанавливается аналог формулы Милнора и доказывается, что объем достигает своего максимума для правильного идеального октаэдра.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On Milnor’s formula for the volume of ideal hyperbolic octahedron

The well-known Milnor’s formula gives the volume of an ideal hyperbolic tetrahedron as a sum of three Lobachevsky functions. Essential tool to prove the formula is the following property of an arbitrary ideal hyperbolic tetrahedron: opposite dihedral angles of a such tetrahedron are equal to each other. The aim of the present paper is to give a generalization of the Milnor’s formula for an ideal octahedron whose opposite dihedral angles are equal to each other.

Текст научной работы на тему «О формуле Милнора для объема идеального гиперболического октаэдра»

УДК 514.132

О ФОРМУЛЕ МИЛНОРА ДЛЯ ОБЪЕМА ИДЕАЛЬНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА*)

Г, А. Байгонакова, А. Д. Медных

1. Введение

Объемы тетраэдров и некоторых других многогранников в гиперболическом пространстве Н3 как функции двугранных углов выражаются через функцию Лобачевского (см. [1-7]).

Функция Лобачевского Л (ж) определяется формулой

Функция Л(ж) нечетная, периодическая с периодом п и дифференцируемая всюду, кроме точек пп, где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 1). Максимальное значение функции достигается в точке в = п/6 и равно Л(п/6) = 0.5247....

Рассмотрим идеальный тетраэдр в гиперболическом пространстве Н3. Напомним, что гиперболический многогранник называется идеальным, если все его вершины лежат на бесконечности. Хорошо известно [8], что двугранные углы такого тетраэдра при скрещивающихся ребрах

п

Следующие две теоремы доказаны Дж. Милнором [9].

*) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00255), АВЦП развития научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1/3707) и фцд (проект 02.740.11.0457).

@ 2010 Байгонакова Г. А., Медных А. Д.

x

0

Рис. 1. Функция Лобачевского.

Теорема 1.1. Объем идеального гиперболического тетраэдра Т = Т(А, В, С) с углами А, В, С (А + В + С = п) вычисляется по формуле

Уо1(Т) =Л(А)+Л(В)+Л(С),

где Л(х) — функция Лобачевского.

Теорема 1.2. Максимальный объем идеального гиперболического тетраэдра достигается при А = В = С = п/Ъп равен

Уо1(Т) = ЗЛ(п/3) = 2Л(2п/6) = 1.01494....

Рис. 2. Рис. 3.

Цель настоящей работы — обобщить указанные результаты Милнора на случай идеального симметрического октаэдра.

В пространстве Н3 рассмотрим идеальный симметричный октаэдр О с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах. Обозначим его двугранные углы через А, В,С,В,Е и Е так, как указано на рис. 3.

О

евклидовой геометрией, имеем следующие равенства:

С = п - А, В = п - В, ^ = п - Е. Из последних равенств, в частности, заключаем, что А, В, С, В, Е, Е €

Объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

Теорема 2.1. Объем идеального симметричного гиперболическо-О

доказательство. Соединим верхнюю и нижнюю вершины окта-О, О

занная прямая служит общим ребром.

2. Основные результаты

А + В + С+ В = 2п, А + С+ Е+ Е= 2п,

В+В+Е+Е= 2п.

Отсюда

(о, П.

Следуя [10], рассмотрим орисферу с центром в верхней точке октаэдра и спроектируем на нее полученные тетраэдры. Тогда общее ребро этих тетраэдров проектируется в некоторую точку б, лежащую на орисфере, а ребра с двугранными углами A, B,C, D — в точки со-

ответственно. Поскольку двугранные углы при

противоположных ребрах каждого из четырех идеальных тетраэдров равны, мы знаем значения углов E, F, E, F при вершине б в евклидовом четырехугольнике séSS^О). Обозначим углы, как показано на рис. 4.

По теореме синусов

sin х _ 6D sin у _ б A sin z _ б В sint _ б С sint' б A sinx' 6B sin y'

Перемножая равенства, получим

sinx sin y sinz sint sin t' si nx' si ny' si nz'

Из четырех треугольников на рис. 4 имеем

x + t' + F = п, y + x' + E = п, z + y' + F = п, t + z' + E = п,

x x' A, y y' B, z z' C, z z' D.

x

углы через x и диэдральные углы октаэдра O Учитывая, что C = п — A, D — п — B и F = п — E, имеем

x = x, x' = A — x, y = п + x — A — E, y ' = —п — x + A + B + E,

z = п H- x — A — B, z ' = —x + B, t = ^x — B — E, t' = —x + E. Из основного уравнения (1) для x = —u получим

sin u sin(A + B + u) sin(A + E + u) sin(B + E + u)

.

sin(A + u) sin(B + u) sin(E + u) sin(A + B + E + u)

.

Последнее уравнение эквивалентно следующему:

(соэ (А + В) - сов (А + В + 2м))(соз(А - В) - сов (А + В+ 2Е + 2 и)) _ (со в(А -В) - со в(А +В + 2м))(сов(А + В) - со в(А + В+ 2Е + 2м)) ~ '

из которого непосредственно вытекает, что

сов(А +В+ 2и) - сов(А + В + 2Е + 2и) = О,

или

2 вш Евт(А + В + Е + 2и) = 0.

Поскольку Е € (0, П, то втЕ ф 0. к переменной ж,

имеем

вт(А+В + Е - 2х) = 0.

Следовательно,

= ^ + ^ + кп,

где к — некоторое целое число. Заметим, что для А = В = Е = Щ справедливо равенство х = Это случай правильного идеального октаэдра. Следовательно, к = -1 и

А+В+Е-п х=---.

Симметричный октаэдр состоит из двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами

А + В + Е - п . -А - В + Е - п

X = -, t = -, Р = 7Г — Е

2 2

и двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами

. А-В-Е + п -А + В -Е + п

х = -, у = - и Е.

2 ' У 2

п - Е Е .

Установим аналог второй теоремы Милнора.

Теорема. Максимальный объем идеального симметричного октаэдра в Н3 достигается при А=В = С= В = Е = Е = п/4и равен

Уо1(0) = 4Л(п/4) = 3.66386 ....

Доказательство. Воспользуемся формулой для объема V = V(О) из теоремы 2.1. Вычисляя производную функции V по А, имеем

va = - log

- log

2 sin ■

•A + B + E

2 sin ■

2 sin ■

A-B-E

= log

log + log

2 sin t-a-b+e gin k-a+b-e

- A - B + E

2 sin ■

-A+B-E

2 sin k+A+B+E sin ^A-B-E

= log

cos(-B + E) — tos(n - A)

= log

B -E) - A

B + E) - A

cos(B + E) — tos (n + A)

Из равенства V' = 0 следует, что либо cos(B — E) = cos(B + E), либо cos(B — E) + cos(B + E) + 2 cos A = 0. В первом случае sin B sin E = 0, что невозможно, поскольку A, B £ (0,п).

B E A

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогично из уравнений Vb = 0 и V¿ = 0 имеем соответственно равенства eos A tos E + cos B = 0 и cos A tos B + cos E = 0. Полагая x = cos A, y = cos B и z = cos C, приходим к следующей системе уравнений:

x = yz, y = xz, z = xy.

Поскольку z = —xy, имеем x(l — y2) = 0 и y(l — x2) = 0. Так как 1— x2 = sin2 ^^и 1— y2 = sin2 ^О^о^Ои^О. Следовательно, и z = — xy = 0.

В результате получим cos A = cosB = cosE = 0, откуда A = B = E = Ц. Поскольку в этой точке

V'' — V'' — V'' — 9 V'' — V'' — V'' — n

vaa — vbb — vee — — z, VAB — VAE— VBE ~ u,

V.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Винберг Э. В. Геометрия-2. М.: ВИНИТИ, 1988. Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники).

2. Деревнин Д. А., Медных А. Д. О формуле объема гиперболического тетраэдра // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, № 2. С. 159-160.

3. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1022-1031.

4. СЪо Yu., Kim Н. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discr. Comput. Geom. 1999. V. 22. P. 347-366.

5. Kellerbals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.

6. Murakami X, Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. 2005. V. 13. P. 379-200.

7. Usbijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // Non-Euclidean geometries. Math. Appl. 2006. V. 581. P. 249-265.

8. Thurston W. P. The Geometry and topology of three-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Math. Dept., 1978.

9. Miinor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, № 1. P. 9-24.

10. Mobantv Ya. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence. Ph. D. in Mathematics, UCSD, 2002, 123 pp.

г. Горно-Алтайск, г. Новосибирск

20 ноября 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.