CC BY
82
Статья
Раздел I.
БИОЛОГИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ФИЗИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОРГАНОВ И СИСТЕМ ЧЕЛОВЕКА
УДК 615.84
О ФОРМООБРАЗОВАНИИ ЭРИТРОЦИТОВ В ПОТОКЕ КРОВИ
И.Н. ГАВРИЛЬЧАК, В.В. ИГНАТЬЕВ, В.Н. КИДАЛОВ,
П.П. РЫМКЕВИЧ, В.Н. СОЛОВЬЕВ, А.А. ХАДАРЦЕВ*
Форма эритроцитов имеет большое значение в обеспечении функционального состояния организма. Но нетривиальные физические закономерности изменения формы эритроцитов в потоке крови до сих пор исследованы и обоснованы недостаточно.
Цель исследования - математическое обоснование наблюдаемой в норме конфигурации безъядерного эритроцита in situ на основе минимального количества очевидных физических допущений. С механической точки зрения эритроцит представляет собой упруго-вязкое полимерное тело, заполненное однородным гелем. В сосудах больших по диаметру на 8-15% диаметра движущегося по ним эритроцита, последний участвует в двух движениях - поступательном и вращательном (кувыркания) [ 1 ]. Следовательно, движущийся эритроцит можно рассматривать как систему, обладающую свободной энергией, состоящей из следующих основных четырех компонентов: энергии атомарного и молекулярного взаимодействия W,^; энергии поверхностных сил WTO; кинетической энергии W^ энергии электромагнитного поля, создаваемого нескомпенсированными в нем зарядами Wэмп•
W^ = W*» + Wra + WK + Wэмп (1)
Согласно теореме Кенига, полная кинетическая энергия движущегося тела складывается из двух компонент: W^ - энергии поступательного движения центра масс, и W^ - энергии вращательного движения относительно этого центра [2]:
Wк = Wm + W^ (2)
На изменение формы эритроцита от его квазиравновесной формы очевидно лимитирующее влияют два фактора: энергия его вращения (ротатор) и энергия поверхностных сил. Первая и четвертая компоненты свободной энергии эритроцита в уравнении (1.) являются медленно меняющимися функциями времени, потому что у него отсутствуют механизмы переработки питательных веществ, дающие большое количество энергии. Основной источник свободной энергии эритроцита - гликолиз [3] . Рассмотрим математическую модель, обосновывающую преобладающие конфигурации эритроцитов. Общая методика построения подобных моделей отработана в [4]. Согласно положениям теории твердого деформированного тела, механическое напряжение в нем описывается уравнением Больцмана - Вольтера (в виде Персо) [4].
с = Е0е* + п?'* - [Е0 - *(r)R(t- z)dz, (3)
где: Eo - динамический модуль упругости; Бда - модуль вязко-упругости; п - динамический коэффициент вязкости; s* -производная коэффициента деформации; s* - коэффициент деформации; R - наследственное ядро релаксации; т - время запаздывания. При этом ядро релаксации R(t - т) определяется спектром времен релаксации:
" ±dT (4)
R(t )=| H Т) г' ,
где: Н(т) - спектр времен релаксации.
Собственные расчеты: если принять время между очередными тактами систолического изгнания крови из сердца в сосуды около 1 секунды, и оно значительно больше периода обращения эритроцита вокруг своей оси ( ю £ [30-300] об./с [5].), то можно
считать вклад третьего слагаемого в уравнение (3) незначительным. В этом случае (.) описывает только потенциальные силы (интегралом памяти можно пренебречь). В квазиустановившемся режиме свободная энергия эритроцита имеет вид:
О = О0(Т,Уэ,я) + WроT. + , (5)
где: Оо - медленно меняющаяся часть свободной энергии эритроцита, характеризующая идущие физико-химические процессы в нем; Т - абсолютная температура; Уэ - объем эритроцита; q - нескомпенсированный электрический заряд эритроцита;
- термодинамическая энергия поверхностных сил; 'рот. = I ю2/2 ; I - момент инерции; ю - угловая скорость вращения.
Согласно второму началу термодинамики 'з всегда стремится к минимуму. При вращении эритроцита как целого изменение его энергии равно:
аО = <Шрот. + , (6)
так как аОо(Т,Уэ^)/ & ^ 0. Рассмотрим решение уравнения (6) для стационарного случая, когда сумма термодинамической энергии поверхностных сил и энергия ротации минимальна:
^^пот. + Ws = G^
(7)
Выражение (7) говорит о том, что в стационарном состоянии свободная энергия эритроцита всегда имеет минимальное значение. Многочисленные микроскопические наблюдения эритроцитов в норме in vitro указывают на то, что клетки по внешнему виду напоминают дискотороиды, эллипсоиды, ротаторы, ветеренообразные объекты и т. п. [1, 6]. Другими словами, эритроцит можно в первом приближении представить в виде фигуры вращения. На рис. 1 изображена ее образующая:
Т
Рис.1. Образующая фигуры вращения (эритроцита).
В связи с введенными обозначениями (рис.1) перепишем уравнение (5) в следующем виде:
О = О0 +2я-{2ст| Х^ 1 + (У) + рсо21 ух?(3х}, ( )
0 0 где: второй член уравнения (8) - 'з , а третий - 'рот. ; с -коэффициент поверхностного натяжения. Введем обозначение у = рю2 /2ст и перепишем уравнение (2.8.) с его учетом:
G = Go + 4па-
R I-----------
■{J [ W1 + (у) +yyx3]dx},
(9)
Выражение в фигурных скобках из уравнения (9) будем называть функционалом L(x,y,y'). Данная задача есть известная задача на поиск минимума функционала. Важным условием, необходимым для решения задачи, является медленность изменения объема эритроцита по сравнению со скоростью его вращения. Это условие можно записать в следующем виде:
R (1G)
I xydx = V, / 4п ^ const
G
Решим задачу нахождения экстремалей функционала L(x,y,y'). Обозначим через:
E = хл 1 +
І
-(у') -у
(11)
Санкт-Петербург,.Тула; СПб Гос. университет «Сервиса и экономики», Тульский Гос. Университет, СПб ГУЗ МИАЦ
и введем для этой цели функцию Лагранжа «Ф», равную
И.Н. Гаврильчак, В.В. Игнатьев, В.Н. Кидалов и др.
Ф = Е + 20¥ , (12)
где: ¥ = ху - подынтегральное выражение изопериметриче-ского условия (10.); 0 -неопределенный множитель Лагранжа.
Верхний предел интегрирования в выражениях (9) и (10) не фиксирован, по этому надо воспользоваться условием трансверсальности [7]. Последнее означает
дФ
—у-Ф = G,
ду
(13)
при х = Я, что при варьировании функционала Ь(х,у,у') необходимо варьировать и верхний предел интегрирования. Условие трансверсальности для нашего случая получим путем подстановки в (13.) выражения (12.) с учетом (11.). То есть:
(14)
R
-- G.
V1 + (у')
Условие (14.) имеет место при у' ^ ± да. Воспользуемся уравнением Эйлера для решения вариационной задачи Лагранжа:
d дФ дФ
- = G
(15)
ёх у' ду
Подставим (12.) в (15.) и проведем дифференцирование. После интегрирования, полученного выражения, и последующего его упрощения с учетом, что а = 1/4у, уравнение Эйлера будет выглядеть так:
(16)
ху
--axA +вх2 + C.
У1 + (у')
Заметим, что в уравнении (16) при х = 0 и у Ф да, С = 0. В тоже время из условия трансверсальности следует, что при х = 0 ^ у(х) = 0. Учитывая высказанные замечания упростим выражение (16.) и решим его относительно у(х).
(17)
У\х)
Л -
(а, +0х)
В выражении (17.) имеют место две ветви решения. Знак (+) соответствует возрастающей, а знак (-) убывающей ветви решения. При а ^ 0 убывающее решение (17.) совместно с условием трансверсальности приводит к сфере, для которой 0 = 1/Я.
Выполнив ряд преобразований, получим выражения для двух ветвей решения: убывающая ветвь решения -
(18)
г ё
у,
J I. 3 1 / 2
Ф -[а/+(/R
г +(/я~аК )?]
В (18) Я - неопределенный параметр. Этот параметр можно найти из условия изопериметричности (10). Введем обозначение: х/Я= 7 , аЯ3 = Р . (19)
Умножая левую и правую части выражения (18.) на 2а и учитывая (19), получим:
(20)
Vvg= p|*_ 2п 1
/ [pz‘+(1 - p)
1 2 2 2 f1 -[PZ + (1-P)] Z
=dz.
Определим энергетическую характеристику убывающей ветви решения.
23,1 z(z‘ p2 + pz* - p2 z* + 1) (21)
Ьуб(,Г,у)==\‘-\ J
1 2 ~
V1 (p z - p + 1) z
■dz
Обозначим через Хуб(р) функцию вида:
1 z( 6 2 + p 4 - 2 4 + 1)
/ \2/3 f z(z p + p z - p z + 1),
X(p) \^^—nrdz
° V1 - (pz -p+1) z
(22)
Возрастающая ветвь решения -
Нетрудно видеть, что само по себе решение (17) со знаком (+) не может удовлетворять начальным условиям поставленной задачи о нахождении образующей фигуры вращения. Это связано с тем, что при изменении х от «0» до «Я» и фиксированном параметре 0 у(х) монотонно возрастает до +да, а при х>Я не имеет действительных решений. Предположим, что при ряде условий существует точка х0, принадлежащая интервалу [0,Я], где происходит замена возрастающей ветви решения на убывающую. Фигура вращения, описываемая соотношением (18), представляет собой односвязную поверхность. Соотношение (23) описывает образующую, которая формирует двусвязную поверхность. Определим условия и вид функции у(х), соответствующей реше-
нию уравнения (23). Это решение является экстремалью, так как удовлетворяет уравнению Эйлера.
сс у +©+С*
Jj- (“і +®J- +0
(xt,R].
(23)
Потребуем, чтобы оно удовлетворяло и остальным условиям - Уэ - const, у(R) = 0, непрерывность у(х) и у’(х). Тогда справедливо равенство:
aX + ©x ar4 +0 J + С (24)
'11-(+0Хї I2 - (аХ + 0 х2 + С)'
Решим это уравнение относительно С: С1 = G , С2 = -2(ахо‘
+ Oxcf)
а у +0г
IS [Од],
•]і-(ал+0л) ссл +©л -2(ах +©J
■ х -Є (x»,R].
(“i +®jr ])
(25)
Для С1 решение лежит в интервале хе[0,х0], для С2 - в х£(х0,Я]. Из условия трансверсальности: при х^-Я, у(х)^-да, т.е.: (аЯ4 + 0Я2) - 2(ахо4 + 0хо2) = ± Я . (26)
Для удобства выполнения решения уравнения введем следующие обозначения:
2о = хо/Я, 2о е [0,1]; р=аЯ3; 0 = [1 + ^о4 -1)р] / (1 - 22о2)Я (27) Окончательное выражение для второй ветви решения нашей задачи будет иметь вид:
■ 1У+©, -2(0^40,)}:* • (я? +щл [Ох]
<х)=
■Jt ~[at *®f-2(ax )] ^ (at +®0
+®f -2(«л +®л )]
Параметр R определяется из условия (1G).
h0x)dx
(28)
(29)
Пусть 7о = Хо/Я , и = 0/Я. Энергетическая характеристика второй ветви решения, опуская алгебраические преобразования:
(30)
1 4 4 2 4 2 2
т = P21f pz [pz + uz - 2(pzo + uzo)] + z
ДС a2/3 J
dz + Jz - + uz)d7
•\z2 - [ pz' + uz2 - 2( pz4+u z2)] G V1 + (p3 + uz )
Aналогично первой ветви решения обозначим:
ХдС/
p zo ) = p
ffPz[Pz+UZ~2(Pza +MZb)]+Z d , °z-P4ipz +uz)d_, (31)
z \z -[Pz +Uz -2(Pzo+Uzo)] ^1_lpz +uZ)
В этом решении остался неопределенным параметр хо , о
котором известно только то, что хо £ [0,R]. Используя второе начало термодинамики, его можно определить потребовав, чтобы Хдс (p,Zo) при p - const было минимальным. Аналитическое исследование Хдс (p,Zo) на экстремум не целесообразно. Его проще выполнить методами численного интегрирования. Рассмотрим физический смысл использованного нами параметра p = aR3. Раскроем это выражение, подставив в него значение a:
Р =
ро R 8а
(32)
Умножим и разделим (32) на 4пЯ /3 и перепишем его в следующем виде:
3 -22
^ _ 4П? 1 3 ф ^ Р
_ (33)
и 3 4лК2 8а
Первый и второй сомножители в выражении (33) есть объём и поверхность эквивалентного шара. Далее, если учесть, что рУш = тш , = 2тшЯ /5 , Тш ю рот ш , 8ша = 8 ш , (34)
то, преобразовав (34), получим:
ax +0,
И.Н. Гаврильчак, В.В. Игнатьев, В.Н. Кидалов и др.
р = 15 ' рот ш / 8 'з
(35)
Из выражения (35) следует, что параметр «р» представляет собой отношение ротационной (кинетической) энергии к энергии поверхностных сил. По этому алгоритму был составлен ряд программ для ЭВМ и оценены области существования и особенности поведения функционалов, соответствующих первой и второй ветвям решения задачи. Так, оказалось, что задача имеет решение лишь на интервале р е [0,4), причем он разбивается на два подинтервала - ре [0;1,16) и ре (1,16;4). Первый подинтер-вал удовлетворяет неравенству Хуб(р) < Хдс (р,^о), а второй неравенству &б(р) > Хдс (р,го).
Зависимость Хдс (р^о) на интервале р е (1,16;4) для различных р=сош1 имеет минимум при 7о~0,851 2 да 2 да 3Ф, где
Ф~0,6180339 - число Фидия, и практически одинакова для всех р из этого интервала. Это указывает на оптимальность перехода от возрастающей ветви решения к убывающей в точке 7о~0,851.
Приведем К ВИДУ Хдс(2о) При р=СОП81 , Ъ0 е [0,1]. (рис. 2.)
Т Хде
1Л6 р
Рис.2. Зависимость энергетической характеристики Хдс второй ветви решения от величины объединяющего параметра 2о.
Таким образом, в зависимости от величины «р» эритроцит, как тело вращения, может находиться в одном из трех режимов, которые можно обозначить как недонапряженный, критический и перенапряженный. Первый - недонапряженный режим соответствует интервалу р е [0 ; 1,16). В этом режиме форма тела вращения (эритроцита) эллиптическая (рис. 3.).
Рис.3. Эллиптоцит. Световая микроскопия. Ув.320.
Третий - перенапряженный режим, ему соответствует интервал р е (1,16 ; 4). В этом режиме форма тела вращения дискотороидальная (двусязная поверхность). Во втором - критическом режиме р = 1,16 и Хуб(р) = Хдс (р,2о) форма эритроцита неустойчивая, поскольку эллиптическая форма эритроцита может переходить в диско-тороидальную и наоборот.
Рис.4. Дискоцит. Световая микроскопия. Ув.320.
Этот переход, вероятнее всего, переходит скачком. При таком переходе, происходящем с дозвуковой скоростью или в пределе со скоростью звука в данной среде (плазме крови), могут возникать звуковые эффекты - щелчки или хлопки.
Для р = 1,16 согласно уравнения (35.) соотношение между энергией сил поверхностного натяжения и энергией сил инерции имеет вид: 'рот ~ Ф , Ф - число Фидия. Звуковые эффекты критического режима могут появляться вследствие быстрого -скачкообразного увеличения или уменьшения радиуса фигур вращения (эритроцитов) при неизменном его объеме, которые происходят вероятнее всего кооперативно. Увеличение радиуса эритроцита происходит при его переходе из недонапряженного режима в перенапряженный режим, что может быть после выхода эритроцита из желудочка сердца и при его разгоне в аорте. Уменьшение радиуса эритроцита может происходить при обрат-
ной смене его режимов, то есть при замедлении его движения при переходе из крупных артерий в мелкие артерии или артериолы. Очевидно, физиологический смысл таких переходов состоит в следующем: После разгона эритроцитов в аорте они приобретают форму (диско-тороида) наиболее выгодную для образования радиально-кольцевых систем и выполнении ими функции неспецифической сорбции компонентов плазмы крови [8]. Пройдя систему магистральных артерий эритроциты попадают в мелкие артерии или артериолы где скорость их движения, при условии сохранения ими исходно-невысокой вязкости цитоплазмы и плазмолеммы, соответствует недонапряженному состоянию их плазмолеммы. В этой ситуации переход формы эритроцита от диско-тороидальной к эллиптической позволяет уменьшить его радиус примерно на 8-10%, что способствует проникновению их в капилляры. Замена вогнутости в форме эритроцита (в прилегающей к оси вращения области) на выпуклость с одной стороны увеличивает поверхность взаимодействия его стенки с эндотелиальными клетками (улучшает обтюрацию). С другой стороны - в момент этого перехода - происходит «разгрузка» клетки через участки ее выпячивания от крупнодисперсного коллоидного осадка, который был накоплен ей за время движения по магистральным артериям (транспортно - очищающая функция эритроцита [8]). Те же красные клетки крови, которые в процессе своего движения по артериальному руслу накопили в себе большое количество боле плотного коллоида, то есть увеличили вязкость своей цитоплазмы и плазмолеммы, могут не изменять свою форму в мелких сосудах и оставаться диско-тороидами. Из-за своей жесткости, часть из них не может попасть в капилляры, а, вероятно, сразу через артерио-венулярные анастомозы устремляются из артериального русла в венозное.
Важно отметить, что недонапряженный режим характеризуется преобладанием энергии сил поверхностного натяжения над энергией сил инерции. Такое состояние может возникнуть либо при малых скоростях движения крови, либо малой массе или размере эритроцита, либо высокой начальной вязкости его плазмолеммы. Под начальной вязкостью плазмолеммы красной клетки крови следует понимать вязкость его плазмолеммы в момент выхода его из зон эритропоэза в кровяное русло. Перенапряженный режим характеризуется преобладанием энергии сил инерции над энергией сил поверхностного натяжения. Такое состояние соответствует инверсии вышеперечисленных факторов - скорость, масса, начальная вязкость плазмолеммы. Очевидно, недонапряженный режим характеризуется меньшей эффективностью фильтрации и фиксации внутри клетки более твердого (относительно плазмы крови) коллоида движущимися в потоке крови эритроцитами, чем перенапряженный. Переход клетки в перенапряженный режим, обусловливает более быструю сорбцию частиц плотного коллоида, что приводит к увеличению ее массы. При р ^ 4 (при увеличении массы (плотности) или размера эритроцита) в перенапряженном режиме диско-тороидальная форма эритроцита (тела вращения) вырождается в плоский ротатор (рис. 5.), что часто наблюдают при микроскопии крови человека, особенно у тяжелых (онкологических) больных. При значениях р<4, система (плазмолемма эритроцита) становится механически неустойчивой и разрушается, что может стать причиной повышения среди эритроцитов числа пойкилоцитов.
Рис. 5.Превращение эритроцита дискоцита (а) в плоский ротатор (б).
Электронная микроскопия, вертикальный срез клетки. Ув. 13 000.
Приведенные выше расчеты показывают, что форма движущегося в крови эритроцита определяется соотношением между центробежными силами инерции и силами поверхностного натяжения. На любой элемент вращающегося тела действует центробежная сила инерции, равная:
У Ю , (36)
к
