CC BY
309
3. Калитеевская Е.Р. Психическое здоровье как способ бытия в мире: от объяснения к переживанию // Психология с человеческим лицом: гуманистическая перспектива в постсоветской психологии / Под ред. Д.А.Леонтьева, В.Г.Щур. М.: Смысл, 1997. С. 231-238.
4. Леонтьев Д.А. Очерк психологии личности. М.: Смысл, 1993. 43 с.
5. Ломов Б.Ф. Методологические и теоретические проблемы психологии. М.: Наука, 1999. 350с.
6. Петровский В.А. Личность: феномен субъектности. Ростов н/Д: РГПУ 1993. 212 с.
7. Рубинштейн, С.Л. Основы обшей психологии. СПб.: Питер, 2010. 713с.
8. Словарь-справочник психолого-педагогических терминов/авт.-сост. Е.Р. Горюнова, Т.Е. Исаева; Ростов н/Д.: Рост. гос. ун-т путей сообщения. 2011. 176 с.
9. Столяренко A.M. Психология и педагогика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 423 с.
10. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. Утвержден приказом Министерства образования и науки РФ № 1897 от 17.12.2010. [Электронный ресурс] //URL: http: www.edu.ru.
Об авторе
Доронцова О.А. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г.Петровского,
olimpiada1502@yandex.ru
УДК 53:372.8
О ФИЗИЧЕСКОМ СОДЕРЖАНИИ И ФОРМУЛИРОВКАХ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Г.В. Егоров
В статье анализируются физическое содержание и рзличные формулировки квантовой механики, проводится сравнение разных формулировок, отмечаются особенности различных подходов к построению квантовой теории, аргументируется возможность применения принципа множественности и единства моделей в процессе изложения материала данной темы в курсе физики.
Ключевые слова: преподавание физики, методология, формулировки квантовой механики, гармонический осциллятор, принцип множественности и единства моделей.
Многообразие окружающего мира проявляется в том, что для описания его сущности необходимо использовать различные инструменты. Применительно к физике это означает, что часто требуются различные модели для более полного понимания того или иного физического явления. Ранее автором было указано на роль принципа множественности и единства моделей в процессе преподавания физики [1]. В данной статье с этой точки зрения рассматривается наиболее спорная физическая теория 20 века - квантовая механика, ее физическое содержание, различные формулировки и интерпретации.
Квантовая механика была разработана в 20-е годы 20 века. С самого начала при ее создании возникло два разных, на первый взгляд, варианта теории. Исторически первой была создана матричная квантовая механика, автором которой является немецкий физик В. Гейзенберг [2]. В 1925 году, исследуя спектральные закономерности, он получил теорию атома, устанавливающую соотношения между непосредственно измеряемыми в экспериментальных исследованиях величинами («наблюдаемыми» величинами, по терминологии Гейзенберга) — частотой излучения спектральных линий, их интенсивностью, поляризацией и т. п. «Ненаблюдаемые» величины, такие как координаты электрона, его скорость и т. д., не должны, по мнению Гейзенберга, использоваться в теории атома.
В ходе работы над новой теорией Гейзенберг принимал за первооснову важнейший принцип, выдвинутый одним из основоположников квантовой теории Н. Бором, - принцип соответствия. В 1923 году Нильс Бор предположил, что любая новая теория, являющаяся развитием проверенной классической, не отвергает её полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы её применения, причём в определённых предельных случаях новая теория переходит в старую.
Строгую математическую форму идеям Гейзенберга в том же 1925 г. придали немецкие физики М. Борн и П. Иордан [3]. Они показали, что те величины, которые Гейзенберг поставил в соответствие классическим величинам, являются матрицами, и с математической точки зрения переход от классической или полуклассической теории к квантовой механике заключается в замене обычных величин и действий над ними матрицами. Основными являются матрица координат q и матрица импульса р. Из этих матриц можно образовать матрицы других физических величин, полагая, что между матрицами существуют те же соотношения, что и между аналогичными классическими величинами. Так, например, можно составить матрицу, соответствующую полной энергии системы или гамильтониану:
Н = ^+U(q) .
2m
Независимо от матричной механики развивалась волновая квантовая механика, которая была разработана на основе волновой гипотезы, предложенной Л. де Бройлем в 1924 году. Основываясь на волновых представлениях, в 1926 году Э. Шредингер получил уравнение, из которого можно определить волновую функцию содержащую в себе информацию о свойствах системы [4]. При этом Шредингер исходил из оптико-механической аналогии Гамильтона. В работе «О соотношении квантовой механики Гейзенберга, Борна, Иордана и моей» Шредингер впервые установил связь между квантовой и волновой механикой [5], которую уточнил в последующих работах. Он показал, что при всем различии исходных физических положений эти теории математически эквивалентны.
Матричный вариант квантовой механики создавался при принципиальном отказе от использования какой-либо кар-
тины физических процессов, происходящих в атоме, и с самого начала имел чисто формальный характер. Создатели волнового варианта квантовой механики де Бройль, а затем Шредингер, пытались опираться на конкретные физические представления, тем не менее, эти представления были не вполне ясными и противоречивыми. Идея Шредингера о том, что волновая функция представляет собой размазанный заряд электрона, встречала серьезные возражения и не разделялась ни Бором, ни Гейзенбергом, ни другими физиками-теоретиками, работающими в области теории строения атома.
Решающий шаг на пути выяснения физического смысла квантовой теории был сделан в 1927 году Борном, который указал на статистический смысл волновой функции [6]. В том же 1927 году Гейзенберг установил важнейшие соотношения, устанавливающие предел точности измерения физических величин в микромире - соотношения неопределенностей^].
Дальнейшее развитие квантовой теории связано с именем английского физика П.А.М. Дирака, который упорядочил математический аппарат квантовой механики, обобщив представления матричной механики Гейзенберга. Дирак разработал формализм теории представлений, которая изучает схемы конкретных реализаций квантовых наблюдаемых как самосопряжённых операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и состояний как векторов этого пространства [8].
Сразу же после своего создания квантовая механика стала подвергаться критике. Прежде всего, противники этой теории выступали против ее индетерминизма. Эйнштейн утверждал: «Эта теория говорит о многом, но всё же, не приближает нас к разгадке тайны Всевышнего. По крайней мере, я уверен, что Он не бросает кости». Эйнштейн надеялся, что будет создана теория, позволяющая получить детерминированное описание движения. Критика квантовой механики Эйнштейном сыграла важную роль в уяснении ее физического содержания. Многие кажущиеся парадоксы теории, сформулированные Эйнштейном, были опровергнуты Бором в ходе многолетней дискуссии об основаниях квантовой механики.
Наиболее известным парадоксом, указывающим, на первый взгляд, на неполноту этой теории является парадокс ЭПР, сформулированный в статье Эйнштейна, Подольского и Розена «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» [9]. Авторы парадокса предприняли попытку указания на неполноту квантовой механики с помощью мысленного эксперимента, заключающегося в измерении параметров микрообъекта косвенным образом, не оказывая на этот объект непосредственного воздействия. Целью такого косвенного измерения является попытка извлечь больше информации о состоянии микрообъекта, чем даёт квантовомеханическое описание его состояния. В своей статье авторы определили элемент физической реальности следующим образом:
«Если ничем не возмущая систему можно достоверно предсказать числовое значение физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой величине».
В статье было рассмотрено невозмущающее измерение импульса частицы. Пусть покоящаяся частица самопроизвольно распадается на две частицы, которые разлетаются в разные стороны. Суммарный импульс двух частиц равен нулю, а импульсы частиц равны по модулю и противоположны по направлению. Следовательно, измерив, импульс одной частицы, мы узнаем импульс другой. Значит, по мнению авторов статьи, у квантовой частицы существует элемент физической реальности, называемый импульсом. Можно измерить в независимом эксперименте координату второй частицы, и тогда мы будем одновременно точно знать координату и импульс этой частицы, что невозможно с точки зрения квантовой механики.
Бор без промедления ответил на рассуждения Эйнштейна и его соавторов [10]. По мнению Бора, в этом эксперименте две разлетевшиеся частицы не могут рассматриваться как два независимых квантовых объекта, они в совокупности представляют единую квантовую систему, независимо от геометрических размеров, и эту систему нельзя разбивать на части. Поэтому заключение о неполноте квантовой механики несостоятельно.
Рассуждения авторов парадокса ЭПР не оказались бесплодными, они активизировали исследования по фундаментальным аспектам квантовой теории и, прежде всего, по квантово-механической корреляции и несеперабельности квантовых объектов. Эти работы косвенным образом способствовали развитию очень перспективной идеи о создании квантовых компьютеров.
В настоящее время отношение к квантовой механике среди физиков является неоднозначным. Хотя подавляющее большинство ученых соглашаются с тем, что математические результаты, полученные в рамках теории, адекватно отражают объективную физическую реальность, тем не менее, существует большое число различных интерпретаций этих математических результатов.
Копенгагенская интерпретация квантовой механики, выдвинутая Н.Бором, В.Гейзенбергом, В.Паули, поддержанная М.Борном, П.А.М.Дираком и многими другими крупными физиками, изложенная в авторитетнейших курсах - в 3 томе «Теоретической физики» Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица и в двухтомнике А.Мессиа «Квантовая механика», утратила сейчас свое монопольное положение [11, 12].
Согласно копенгагенской интерпретации статистический характер описания движения микрочастиц объясняется тем, что при измерении происходит коллапс (редукция) волновой функции (термин введен фон Нейманом и Дираком в 1932 г.). ^-функция при этом мгновенно обращается в нуль всюду, кроме того места, где обнаружена частица. Таким образом, в копенгагенской интерпретации система перестает быть смешением состояний и выбирает одно из них в тот момент, когда происходит наблюдение. Измерение рассматривается как взаимодействие макроскопического (классического) прибора и наблюдателя с микрообъектом.
Советскими физиками Д. И. Блохинцевым, Л.И.Мандельштамом, К. В. Никольским была выдвинута интерпретация квантовой механики на основе концепции квантовых ансамблей. Полемизируя с Н. Бором, утверждавшим, что статистический характер квантовой механики объясняется неконтролируемым воздействием измерительного прибора на микрообъект, и, что, следовательно, квантовая статистика не имеет объективной, независимой от измерительного прибора, реальности, Д. И. Бло-хинцев выдвинул положение, что квантовая механика применима не к отдельным микрообъектам, а только к квантовым статистическим ансамблям и, что, следовательно, квантовая статистика имеет объективную, независимую от измерительного прибора, реальность [13]. Тем не менее, концепция статистических ансамблей опровергается многими экспериментальными данными, например, результатами опыта Бибермана, Сушкина, Фабриканта, в котором пучок был настолько разреженным, что электроны практически поодиночке проходили через кристалл, однако в результате была получена обычная дифракционная
картина [14]. Следовательно, волновыми свойствами обладает каждый отдельный электрон, а не только статистический ансамбль. По мнению ряда ученых, концепция квантовых ансамблей принципально не отличается от ортодоксальной копенгагенской интерпретации. М.А. Марков утверждает, что «если очистить текст Блохинцева от незаслуженных Бором гносеологических упреков, изложение Блохинцева становится очень близким к копенгагенской трактовке»[15].
В последние годы набирает популярность многомировая интерпретация квантовой механики, предложенная в 1957 году Хью Эвереттом (США). М. Б. Менский называет эту интерпретацию «самой интересной и самой радикальной» [16]. Предположим, что производится измерение координаты частицы, находящейся в состоянии суперпозиции. В результате получается с некоторой вероятностью одно из возможных значений этой величины. Согласно копенгагенской трактовке, волновая функция кол-лапсирует, т. е. мгновенно обращается в нуль всюду, кроме точки, в которой обнаружена частица. По Эверетту же утверждается, что коллапс волновой функции вообще не происходит никогда. Любое квантово-механическое измерение «расщепляет» Вселенную на реально существующие макроскопические копии. В каждой из них реализуются те или иные возможности, содержащиеся в исходной суперпозиции. Каждый компонент квантовой суперпозиции представляет собой отдельную и равноправную физическую реальность. Вселенная расщепляется на ряд вселенных-ветвей, каждая из которых соответствует своему возможному исходу события. То, что мы воспринимали как коллапс, означает, что наше сознание выбрало определенный путь через эти ветви, и поэтому наблюдается один набор результатов вместо другого, из миллиардов возможностей. Другие копии нашего сознания могут наблюдать другие возможные исходы в других вселенных - ветвях. В практическом плане данная концепция совпадает с копенгагенской, однако, вследствие ее оригинальности и нестандартности она долгое время не воспринималась всерьез авторитетными учеными. Тем не менее, в последнее время многомировая интерпретация находит немало сторонников.
Помимо описанных выше есть еще немало других формулировок и интерпретаций квантовой механики, которые акцентируют внимание на различных аспектах описания движения микрообъектов и используют при этом различные инструменты [17]. Например, известный американский физик Ричард Фейнман предложил в 1948 году формулировку квантовой механики через интегралы по траекториям, которая является обобщением на случай микромира вариационных принципов классической механики [18].
В процессе изучения квантовой механики в вузе студенты должны понять то, что различным формулировкам и интерпретациям соответствует общее физическое содержание. Это физическое содержание в случае различных квантовых систем может быть описано разным языком, но результат от этого не изменяется. Например, важнейшей задачей квантовой механики является описание простейшей колебательной системы - гармонического осциллятора. Эта модель является базовой при описании всевозможных колебательных систем. В координатном представлении механики Шредингера решение задачи сводится к громоздкому решению дифференциального уравнения вида:
п2 ч2у | =
2т йх2 2
В случае использования представления чисел заполнения в рамках дирковской интерпретации квантовой механики эта задача решается существенно проще. Проблема состоит в этом случае только в освоении несколько непривычной терминологии этого представления.
_ л р—1тых р—1тых л , р+1тых
Введем операторы а = , _ = -===■ и а+ = .
Здесь р = рх = —1Ь — - оператор импульса, х = х - оператор координаты.
йх
Найдем произведение операторов:
_ 1 / р2 ,
а+а = —[ — +■
Ъо> \2т 2
Анлогично получаем:
10) г л Н 1
-Т[р*-хр]) = --- .
—+ н 1 аа+ =--Ь - .
Ъш 2
Следовательно, гамильтониан осциллятора можно записать в виде:
Н = + ^ .
Оператор а называют оператором уничтожения, а оператор а+ - оператором рождения. Действительно, действие этих операторов на волновые функции, являющиеся собственными функциями гамильтониана, приводят к новым собственным функциям гамильтониана с собственными значениями меньшими или большими на величину Ьо).
Рассмотрим основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией Е0, описываемое волновой функцией ¥0. Действие оператора уничтожения на нее равно нулю, т.к. нет состояния с меньшей энергией:
аУ'о = 0 .
Тогда
0 Ьш 2
Следовательно, Отсюда получаем значение энергии основного состояния:
=^0.
Ъш
Сп — - .
и 2
Значения энергии возбужденных состояний получаются действием операторов рождения на функцию Ф0. Получаем энергетический спектр гармонического осциллятора в виде:
Еп = (п + .
Волновая функция основного состояния находится из уравнения = 0:
ах 0
Решая простое дифференциальное уравнение, получаем: Удобно ввести обозначение
-ih^V'o — imMxV0 = 0.
_ . h x0 —
Волновая функция принимает вид:
Коэффициент А определяется из условия нормировки. Волновая функция основного состояния имеет вид:
Волновые функции возбужденных состояний получаются действием операторов рождения на волновую функцию основного состояния W0.
Таким образом, применение разных моделей к описанию гармонического осциллятора приводит к одинаковым результатам. Это является подтверждением принципа множественности и единства моделей, который имеет важное методологическое значение в процессе преподавания физики. Какими бы многообразными не были пути к познанию законов природы, какими извилистыми тропинками не добирались бы ученые к постижению истины - все эти пути приводят к одной цели. Это является подтверждением могущества человеческого разума и познаваемости окружающего мира.
The paper analyzes the physical content and different formulations of quantum mechanics, a comparison of different formulations marked features of different approaches to the construction of quantum theory, argues the possibility of applying the principle of plurality and unity in the process models of presentation of the topic in a physics course.
Keywords: teaching physics, methodology, formulation of quantum mechanics, harmonic oscillator, the principle ofplurality and unity models.
Список литературы
1. Егоров Г.В. О множественности и единстве моделей в физике // Вестник БГУ - 2012. - №1. - с. 296.
2. Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik. -1925. - B. 33. - s. 879.
3. Born M., Jordan P. Zur Quantenmechanik // Zeitschrift für Physik. - 1925. - B. 34. - s. 858.
4. Schrödinger E. Quantizierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) // Annalen der Physik. - 1926 - B. 79. - s. 361.
5. Schrödinger E. Über das Verhältnis der Heisenberg Born Jordanischen Quantenmechanik zu der meinen // Annalen der Physik. - 1926. - B. 79. - s. 734.
6. Born M. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge // Zeitschrift für Physik. - 1926. - B. 37. - s. 863.
7. Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik // Zeitschrift für Physik. - 1927. - B. 43. - s. 172.
8. Дирак П.А.М. Приципы квантовой механики. - М.: Наука. - 1979. - 480 с.
9. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Physical Review. - 1935. - V47. - p. 777.
10. Bohr N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Physical Review. -1935. - V.48. - p. 696.
11. Печенкин А.А. Три классификации интерпретаций квантовой механики // Философия науки. Вып. 5: Философия науки в поисках новых путей. - М.: ИФ РАН, 1999. - № 5. - с. 164.
12. Гриб А. А. К вопросу об интерпретации квантовой физики // УФН. - 2013. - т. 183. - №12. - с. 1337.
13. Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики. - М: Наука. - 1966. - 160 с.
14. Биберман Л.М., Сушкин Н.Г., Фабрикант В.А. Дифракция одиночных поочередно летящих электронов // ДАН СССР. - 1949. - т. 66. - №2. - с.185.
15. Марков М.А. О трех интерпретациях квантовой механики. - М.: URSS. - 2009. - 109 с.
16. Менский М. Б. Концепция сознания в контексте квантовой механики // УФН. - 2005. - Т. 175. - № 4. - с. 413.
17. Styer D F. et al. Nine formulations of quantum mechanics // Am. J. of Physics. - 2002. - V 70. - № 3. - p. 228.
18. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир. - 1968. - 384 с.
Об авторе
Егоров Г.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, gennadyegorow@yandex.ru.
УДК 378.147
ВОЗМОЖНОСТИ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ОЦЕНКЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ В ПРАКТИКЕ ВЫСШЕЙ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ
Е.Ю. Елизарова
Принципиальные изменения сложившейся практики оценивания в высшей школе состоят в переходе от субъективного оценивания к объективному измерению знаний обучаемых, к обработке результатов с помощью математических методов (системный анализ, теория больших чисел, статистические показатели) и компьютерных технологий (компьютерные программы: StatSoft Statistica. MS Excel). В статье рассматриваются некоторые аспекты эмпирической оценки тестовых заданий. Приводится описание статистических способов обработки и геометрические формы представления результатов тестирования, проводимых при обучении студентов-математиков. В статье рассматриваются аналитические характеристики тестового задания (индекс трудности и надежности и.т.п.) и графические способы представления и описания (форма «решаемость задания», геометрический образ задания, гистограмма распределения результатов тестирования), примеры их изображения в StatSoft Statistica, MS Excel, анализ и интерпретация.
Ключевые слова: матрица ответов, индекс трудности, коэффициент корреляции, геометрический образ задания, гистограмма распределения результатов тестирования, MS Excel, Stat Soft Statistica.
Сложность и многогранность проблем оценивания в сфере образования, широкое использование тестов в школьной и вузовской практике, обусловили актуальность проблемы подготовки будущего учителя, владеющего теоретическими основами тестирования, имеющего представления о средствах оценивания результатов обучения, о способах педагогических измерения учебных достижений обучаемых с помощью математической обработки результатов тестирования.
Составление качественных тестов - очень трудоемкий процесс, поэтому важная задача вуза, обучающего студентов по направлению «Педагогическое образование»: подготовка специалистов в области педагогических измерений по вопросам теории и практики использования педагогических тестовых материалов в сфере образования.
Как известно, вычислительная техника с каждым годом оказывает все большее влияние на все этапы проведения тестов — от разработки и конструирования тестов до их проведения, от подсчета баллов до оперативного сообщения результатов и их интерпретации. Однако анализ целей использования компьютера при изучении тем курса, выбор программного обеспечения, отражающего содержание тем, которое будет доступно и интересно обучаемым, позволяет констатировать, что особенно эффективным и наглядным становится применение компьютера на стадии предъявления тестов, обработки и интерпретации результатов тестирования.
Рассмотрим одну из методик обработки и формы представления результатов тестирования, проводимых при обучении студентов-математиков с использованием компьютерной техники.
1. Построение матрицы ответов по эмпирическим данным тестирования. Получение статистических характеристик теста.
При вводе результатов тестирования для определенности номера или фамилии испытуемых вводим в столбец, а итоги тестирования по каждому испытуемому в соответствующую строку. Получаем матрицу ответов, пример которой представлен в приложении 1. Отметим, что результаты тестирования рассматриваются по дихотомической шкале: 1 балл ставится при правильном ответе на тестовое задание, 0 баллов - при неправильном ответе.
Анализ матрицы ответов может осуществляться в двух направлениях: получение статистических характеристик при анализе матрицы по вертикали (по столбцам) и по горизонтали (по строкам).
а) Анализ матрицы ответов по столбцам
Среди характеристик тестирования выберем следующие показатели:
• Сумма (Rj)- число правильных ответов на j задание.
• Процент выполнения задания вычисляется по формуле «Сумма • 100%», где n - число испытуемых.
Rj
• Доля правильных ответов (Pj) на j задание определяется по формуле Pj = —, где n - число испытуемых.
• Доля учащихся, неверно выполнивших j задание (Qj) вычисляется по формуле Qj =1- Pj.
Показатель Qj является важной статистической характеристикой j задания, которая называется индексом трудности. Определение индекса трудности является обязательным требованием к тестовым заданиям. Если не известна эмпирическая мера трудности, то задание трудно назвать тестовым. Это связано с тем, что в педагогическом тесте задания должны быть упорядочены по степени возрастания трудности [1, с.165].
Отметим, что задания, индекс трудности которых меньше 20% или больше 80 % либо исключаются из теста либо дорабатываются, поскольку в первом случае тестовые задания являются легкими для большинства учащихся, а во втором случае задания окажутся трудными (их решат меньше 20% учащихся). Однако в критериально-ориентированных тестах, направленных, например, на усвоение способов решения типовых задач, задания с высоким и низким индексом трудности могут быть оставлены в тесте. Они позволят выявить типы задач, с которыми справляются большая (меньшая) часть учащихся, и внести коррективы в процесс обучения по результатам тестирования [3, с.32].
Таким образом, требование известной трудности задания является системообразующим признаком тестового задания.
б) Анализ матрицы по строкам
Для анализа рассмотрим ряд характеристик:
• Сумма баллов за тест для каждого испытуемого.
• Средний балл (М), который равен частному суммы баллов за тест каждого испытуемого и n, где n - число испытуемых.
• Мода (Мо) - наиболее часто повторяющийся элемент. Подсчитывается, например, с помощью функции МОДА в MS Excel от суммы баллов по каждому испытуемому в формате «=МОДА^2±23)>>.
• Медиана (Ме) - значение признака у средней единицы ряда, записанного в возрастающем (убывающем порядке).
