О физическом смысле фазы подобия девиаторов и возможности ее определения по результатам испытаний при простых напряженных состояниях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

К. Ф. Комков

О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ФАЗЫ ПОДОБИЯ ДЕВИАТОРОВ И ВОЗМОЖНОСТИ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ ПРИ ПРОСТЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ

Проведен анализ соотношений для фазы подобия девиаторов и разницы параметров Лоде. Показана взаимосвязь этих величин и возможность представления их в виде отношения смешанных инвариантов, имеющих размерность работы напряжений на деформациях, что дает им новую интерпретацию. Предложена методика определения этих величин и нелинейных сдвиговых характеристик. Проведены исследования их зависимости от напряженного состояния для различных конструкционных материалов.

Фаза подобия девиаторов ш = в — и предложена В.В. Новожиловым [1] в качестве обобщенной характеристики упругости в тензорно-нелинейных уравнениях связи компонент девиатора деформаций с компонентами девиатора напряжений, которые можно представить в виде

е, = ФтБ,/2 + Ф4 (БгаБа, — 2/9£0% )/Б0, (1)

где Б, = ст, — сто^,; сто = 1/3ст»»; Бо = (3/2Б,Б,); Ст1 > о2 > стз; егз = £гз — £о&гз, £о = 1/3е»г, ео = (2/3е,е,); г,], а = 1, 2, 3.

В уравнениях (1) ст,, Б, — соответственно тензор и девиатор напряжений; сто — среднее напряжение; 5о — интенсивность напряжений; £,, е, — тензор и девиатор малых деформаций; £о — средняя деформация; ео — интенсивность деформаций; и - угол вида деформированного, а

в — напряженного состояния, определяемый соотношением

в = 1/3 arccos[9£¿jSjaSm/(2S03)], 0 < в < п/3. (2)

Сдвиговые характеристики Фт и Фа выражаются формулами [2]

Фт = 3e0(cos ш — sin ш cos3e/ sin3e)/S0; (3)

Ф(1 = 9e0 sin ш/(2Б0 sin3e), (4)

из которых вытекает соотношение для фазы подобия девиаторов [3] tgш = 2Фа sin 3в/(3Фт + 2Фа cos3e). (5)

Другое представление сдвиговых характеристик, предложенное в работе [4],

Фт = (Bi + B2 + Вз)/3; (6)

Фд= {[(Bi-B2)2+(B 2-B з)2+(В з-B i)2]/8}1/2 (7)

более удобно для анализа результатов экспериментов. В выражениях (6) и (7) величины

Bi= Yi /Ъ (8)

представляют собой податливости сдвигу, где

Yi= £j-£а, Ti=(aj-аа)/2

— главные деформации сдвига и главные касательные напряжения соответственно; ai = SoCi/3 + а0 — главные напряжения; i,j,a = 1, 2, 3; i = j = a; Ci = 2 cos 0; C2 = sin 0 — cos 0; C3 = — (\f3 sin 0 + cos 0).

С использованием определения e0 и уравнений (1) устанавливается зависимость между интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений:

eo= Фв So/3, (9)

где

Ф, = (Фт + 4/ЭФтФ^ cos 30 + 4/9Ф^)1/2 (10)

— податливость формоизменению при любом 9.

В.Лоде для анализа полученных им результатов экспериментальных исследований ввел в рассмотрение параметры [5]

А, = -2т1 /Т2 - 1; (11)

А£ = -271/72 - 1, (12)

представляющие виды напряженного и деформированного состояний. Разницу этих параметров можно записать как

ДА = А, - А£ = (пЫ - N71)/(7-272/2). (13)

Для материалов, деформация которых подчиняется линейно-упругому закону, числитель этого соотношения, согласно принципу взаимности работ [6], равен нулю, а знаменатель — работе максимального касательного напряжения на соответствующей деформации.

При нелинейном поведении [2] разница параметров ДА > 0 для всех напряженных состояний, кроме обобщенного растяжения и соответствующего сжатия, где она принимает нулевое значение. Следовательно, в общем случае числитель в соотношении (13) не равен нулю. Его значение можно рассматривать как работу касательных напряжений на взаимных деформациях, поскольку нелинейная деформация идет с отклонением от принципа взаимности работ.

Это позволяет представить рассматриваемый показатель как отношение смешанных инвариантов, имеющих размерность работы напряжений на деформациях

ДА = ДА/АТ. (14)

Термин "работа" относится к той ее части, которую можно определить как площадь под секущим модулем сдвига в зависимостях т — y». Он принят здесь лишь для удобства интерпретации полученного результата.

Пользуясь уравнениями (1), можно определить напряжения

T1= S о(С !+2С 2)/6,т 2= —So(C !+2С 2)/6 (15)

и соответствующие им деформации сдвига

Y1= т 1(Ф m—2Ф dCi/3), Y2= Т 2 (Ф m—2Ф d С2/3), (16)

тогда числитель и знаменатель в (14) приводятся к виду

ДА = ФdS20 (2 С i+С 2 )(С 1+2С 2 )(С 1—С 2)/54; (17)

Ат = т2Y2/2 = (3Фm 2ФdС2)(2С1 + С2)2. (18)

Соотношение (5) для тангенса фазы подобия девиаторов тоже можно привести к виду, аналогичному (14). Действительно, вводя обозначения cos в = С1/2, sin в = (С1+2C2)/(2v^3) и используя соотношения (15), после несложных преобразований получаем

tg ш = ДА/АШ. (19)

Числитель в этой формуле определяется соотношением (17), а знаменатель

Ас = [3Фгп—Ф(1С1С2(С 1+С 2)] S0/ (6^3). (20)

Причем отношение Ас/АТ зависит от угла в. При в = п/6 оно принимает минимальное значение -\/3, а при в = 0 и в = п/3 достигает значения «2, что отмечалось в работе [2] для отношения ДА/ tgш.

При необходимости с той же целью можно ввести и третий показатель

Дп = ДА/А0, (21)

где Ao= (т 1Y1+T2Y2+T3Y3)/2.

Поскольку по определению (5) tg ш > 0, то можно утверждать, что график зависимости Ае—в общем случае лежит ниже прямой Ае= Аа. Поведение этого графика в диапазоне 0 < в < п/3 можно установить для частного случая в предположении, что

sinш = а sin3в, cosш = 1, а ^ 1. (22)

Тогда из соотношений (3) и (4) для сдвиговых характеристик следует

Фт= Фд(1 - a cos 30), Фd = аФд, (23)

т.е. допущение (22) делает их практически независимым от угла 0.

Так как показатели АЛ и tg ш отличаются только множителем, можно провести анализ их зависимости от угла 0, используя соотношение (5). Поиск максимального значения этого соотношения дает

tg штах= - cos 30о/ sin 30о (24)

при cos30o= —2Ф^(3Фт), где угол 0о принимает значение > 30°.

Таким образом, фаза подобия девиаторов, а следовательно, и АЛ графически представляют собой полуволну синусоиды, максимальное значение которой незначительно смещено за 0 = п/6.

Проведенный анализ дал возможность представить качественную картину поведения рассматриваемых показателей. Для количественной оценки необходимы числовые данные о характеристиках Фт и Ф(1, которые можно получить, привлекая для этого результаты испытаний при простых напряженных состояниях: растяжении, чистом сдвиге и сжатии или двухосном растяжении в виде зависимостей S0—e0. Анализ податливостей в направлениях главных касательных напряжений B¿ показал, что характеристики могут быть выражены через Фр, Фс и Фт, которые представляют собой Фд для частных напряженных состояний.

Действительно, при растяжении

Вз= Y з/т з= 3eo/So= Фр, (25)

где y3= ei—е2= 3e0/2, т3= S0/2. При сжатии

Bi= Y i/т i= 3e0/S 0= Ф с, (26)

где y1 = e2 — e3 = 3e0/2, Ti = S0/2. При чистом сдвиге

B = Y2/T2 = 3e0/S0 = Фт, (27)

где Y2= ез—ei= — (2e1 +e2) ^ — v7^, T2= —S0^v/3.

Найденные равенства позволяют найти в первом приближении характеристики в соответствии с их определениями (6) и (7)

Фт= (Ф c+Ф т +Ф p)/3; (28)

Фd= {[(Фс—Фт )2+(Ф т — Фр)2+(Фр— Фс)2]/8}1/2. (29)

Существенное различие соотношений (6), (7) и (28), (29) состоит в том, что в первом случае все B относятся к одному и тому же трехосному напряженному состоянию, а во втором — к трем различным состояниям.

Податливость для любого в можно выразить функцией

= а 1 + а 2в + а зв2, (30)

где коэффициенты а находятся по данным для простых напряженных состояний:

а1= Фр, а 2= 3(4Ф т-3Фр-Ф с )/п, а 3= 18(Фр-2ФТ+Ф с )/п2.

(31)

Чтобы отразить зависимость характеристик от угла в в следующих приближениях, используется соотношение (10), из которого следует

Фт= [Ф2-(2/3Ф ^т3в)2]1/2—2/3Ф ^еоэ 3в, (32)

где значения для Ф^ принимаются из первого приближения. При этом последующие значения уточняются по формуле

Ф*= |3[(Фт-Фт )2+(Фт-ФР)2+(Фт-Фс)2]/8}1/2. (33)

Ниже описана последовательность определения фазы подобия де-виаторов и ДА. Как уже отмечалось, исходными данными являются диаграммы 50-е0, полученные по результатам простых испытаний. При отработке методики было найдено, что удобно, принимая во внимание (14) и (19), в качестве наиболее приемлемого аргумента для искомых величин принять смешанный инвариант A = 50е0/2 [7]. Диаграммы 50-е0 перестраиваются в графики зависимости 50—A и е0-А. Затем для каждого фиксированного значения А^ (_; = 15 ... 20) по этим графикам уточняются значения 50 и е0, по которым вычисляются податливости Фр, Фс и Фт.

С использованием соотношений (30) и (31) определяется податливость Ф9, позволяющая провести численный анализ зависимости характеристик Фт и Ф^ и показателей ДА, tg ш, Дп, а также Ат и ДА от вида напряженного состояния в пределах 0 ^ в ^ п/3. Уже отмечалось, что характеристики Фт и Ф^ вычисляются методом последовательных приближений. При 2-3 итерациях они сходятся к значениям, отличающихся от предыдущих в пределах пяти процентов. Такая процедура проводится для каждого А.

Описанная методика была апробирована на диаграммах 50-е0 для алюминиевого сплава 24Б-Т4, экспериментальные сведения о котором можно найти в работе [8]. По результатам расчетов были построены графики зависимости исследуемых величин как от А, так и угла в. На рис. 1 верхние два представляют собой зависимости 50-А для сжатия и для растяжения (кривые 1 и 2 соответственно). Кривые 3, 4 и 6 — это зависимости Фр, Фс и Ф^, а 7 и 5 — соответствуют tg ш и ДА. Характеристика Фт не представлена, но она находится между кривыми для Фр и Фс.

Рис. 1. Диаграммы $о — А для сплава 24S-T4 при сжатии (1) и растяжении (2) (£0 с множителем 10-2), изменение Фр (3), Фс (4), характеристики Ф^ (6) и показателей нелинейности АЛ и tg ш (кривые 5 и 7) в зависимости от А (податливости Фр, Фс с множителем 104, ¿Л и tg ш с коэффициентом 40)

Рис. 2. Зависимости характеристик Фт (1), Ф^ (2), АЛ (3) и tg ш (4) от вида напряженного состояния для сплава 24S-T4 (коэффициенты соответствуют рис. 1)

Численный анализ зависимости основных величин от вида напряженного состояния иллюстрирует рис. 2, где кривые 1, 2, 4, 3 соответствуют характеристикам Фт, Ф^, tg и и АЛ соответственно. Максимальные значения этих величин находятся примерно при одном и том же напряженном состоянии, определяемом углом в0. Данный материал проявляет весьма малую тензорную нелинейность итах « 0,023), поэтому угол в0 незначительно отличается от п/6. Анализ, проведенный выше на основе допущений (22), согласуется с результатами, представленными на рис. 2.

На рис.3 кривые $0—А характеризуют поведение стали 20 (использованы данные, приведенные в работе [9]). График 1 относится к испытанию на растяжение (Л = — 1, усредненная диаграмма для

Рис. 3. Диаграммы 8о — А для стали 20 при растяжении и чистом сдвиге (кривые 1 и 2, 80 с коэффициентом 10-2), графики Фт, Фр, Фт, Фа и tgш в зависимости от А — кривые 3, 4, 5, 6, 7 соответственно (Фт, Фр, Фт с коэффициентом 7,5103, Фа c коэффициентом 1,6 • 104 и tgш с коэффициентом 10);

3 т

15 30 45

Угол вида напряженного состояния

60

Рис.4. Зависимости характеристик Ф$, Фт (1, 2), tgш, АЛ и Фа (кривые 3, 4 и

5 соответственно) от вида напряженного состояния

образцов № 5 и 7), а график 2 — к чистому сдвигу (Аа = 0). Здесь принято допущение [10], состоящее в том, что диаграммы $0—е0 не зависят от знака Аа. Поэтому вычисления проводились при условии Ф = Ф

^р Неподатливости Фт и Фр (кривые 3 и 4) плавно возрастают с ростом аргумента. Так же ведет себя характеристика Фт (кривая 5). Кривая

6 представляет характеристику Ф^, а 7 — показатель tg и, которым сталь 20 заметно отличается от сплава 248-Т4 как по форме графика, так и более высокими (в пять раз) значениями.

Зависимость характеристик и параметров от вида напряженного состояния при постоянном значении А = 1,75 МПа для рассматриваемого материала представлена графиками на рис.4. Кривая 1 (Фв показывает, что аппроксимация этой величины многочленом второй

степени, является вполне удовлетворительной. Аналогично ведет себя и характеристика Фт (кривая 2). Нижняя кривая 3, соответствующая tg и, по форме практически подобна кривой 4 для АЛ.

Максимальные значения этих показателей смещены вправо от в = п/6, в наибольшей степени — максимум характеристики Фа (кривая 5).

Таким образом, проведенные исследования позволили установить взаимосвязь между показателями тензорной нелинейности, выявить новую интерпретацию их сущности как величин, представляющих отношение работ напряжений на деформациях. Кроме того, из соотношений (14) и (19) следует, что любая нелинейность в процессе формоизменения должна сопровождаться нарушением подобия девиато-ров напряжений и деформаций. Этот вывод расширяет представление о процессе деформирования материалов с изотропными свойствами. Описанная методика восстановления сдвиговых характеристик Фт и Фа дает возможность изучить нелинейные свойства конкретных материалов по результатам испытаний при простых напряженных состояниях, представленных в виде диаграмм Б0—в0. Методика предполагает независимость этих диаграмм от а0, т.е. от гидростатического сжатия. Это предположение оправдано для многих металлов и сплавов со стабильными свойствами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде // ППМ. - 1951. - Т. XV, вып. 2. - С. 183-194.

2.Комков К. Ф.К определению параметров Лоде при обработке результатов испытаний // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 2. - С. 126-135.

3. Комков К. Ф. Об использовании тензорно-нелинейных уравнений для анализа поведения пластических сред // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". - 2007. - № 1. - С. 164-172.

4. К о м к о в К. Ф. Об уравнениях связи деформаций с напряжениями для материалов, оказывающих различное сопротивление растяжению и сжатию // Изв. вузов. Сер. "Машиностроение". - 1989. - № 7. - С. 3-6.

5. Л о д е В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности. - М.: ИЛ, 1948. - С. 336-374.

6. Ф и л и н А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1978. - 616 с.

7. Новожилов В. В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

8. Н а д а и А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М: ИЛ, 1969. - Т. II. -863 с.

9. Ж у к о в А. М. Пластические деформации стали при сложном нагружении // Изв. АН СССР. - ОТН. - 1954. - № 11. - С. 53-61.

10. Я н г Ю. И., М и т р о х и н Н. М. О систематическом отклонении от законов пластичности // ДАН СССР. - 1960. - Т. 135, - № 4. - С. 796-799.

Статья поступила в редакцию 29.05.2007