CC BY
13ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015 Серия: Физика Вып. 3 (31)
УДК 532.546.6; 532.72; 532.5.013.4
О фильтрации смеси через замкнутую полость пористой среды с учетом закупорки
Б. С. Марышевa,b
a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1 b Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: bmaryshev@mail.ru
При медленной фильтрации смеси вглубь вертикального фильтра, насыщенного жидкостью, благодаря диффузионному переносу возникает переходный слой между чистой жидкостью и смесью. Со временем толщина этого слоя растёт, и по прошествии некоторого времени толщина вырастает до критической, при которой развивается неустойчивость Рэлея-Тейлора. Перенос примеси в пористой среде сопровождается ее осаждением на твердый скелет среды. Осаждение замедляет перенос и уменьшает пористость среды, тем самым увеличивая критическое время. Решена задача об устойчивости вертикального течения смеси через фильтр с учетом осаждения примеси. Получены зависимости критического времени и формы критических возмущений от параметров задачи. Построены карты устойчивости в пространстве параметров системы
Ключевые слова: транспорт в пористой среде; закупорка; неустойчивость Рэлея-Тейлора
1. Введение
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости вертикального течения смеси в замкнутой полости пористой среды. Если на верхней границе области задать постоянное значение потока концентрации, то в этом случае концентрационное поле будет однородно по горизонтали. В вертикальном направлении эволюция концентрационного поля представляет собой продвижение плоского фронта концентрации сверху вниз. Фронт оставляет за собой слой жидкости с повышенной концентрацией примеси, т.е. (поскольку примесь предполагается тяжелой) жидкость большей плотности, чем та, что находится под ним. Таким образом, формируется неустойчивая стратификация, приводящая к развитию неустойчивости Рэлея-Тейлора.
Неустойчивость Рэлея-Тейлора широко исследуется для несмешивающихся жидкостей [1, 2], в том числе в пористой среде [3]. В последнем случае при развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора наиболее опасными являются коротковолновые возмущения, при которых фронт дробится на все меньшие и меньшие структуры (пальцы) вплоть до масштабов поры. Неустойчивость Рэлея-Тейлора при наличии диффузии наиболее часто рассматри-
вается для задач хемодиффузии, в которых исследуется устойчивость фронта химической реакции [4-7]. Наиболее близкими из этих работ к рассматриваемой в настоящей работе проблеме являются исследования [5-7] для ячейки Хеле-Шоу, так как уравнение движения жидкости в этом случае совпадает с уравнениями Дарси для пористой среды. Один из основных выводов этих работ состоит в том, что наиболее опасными являются возмущения с конечными длинами волн, с характерным масштабом порядка толщины переходного диффузионного слоя между растворяемым веществом и растворителем.
Чаще всего в качестве модели диффузии при описании концентрационной конвекции в пористой среде используется стандартная модель диффузии-адвекции, основанная на законе Фика [8]. Однако массоперенос в пористой среде не всегда корректно описывается классической моделью, поскольку часть жидкости связана, а частицы примеси, находящиеся в связанной жидкости или прилипшие к твердому скелету (адсорбированные), становятся неподвижными, т.е. не переносятся вовсе (находятся в немобильной фазе), что подтверждается экспериментами [9, 10]. Наличие такой осевшей примеси приводит к замедлению диффузии и, как следствие, к существенному изменению характера конвективных течений.
©Марышев Б.С., 2015
Модели, описывающие поведение примеси с учётом осаждения, обычно называют MIM моделями (Mobile-Immobile Media) [11]. В рамках MIM модели предполагается, что примесь разделена на две фазы: мобильная - дрейфующая с фильтрационным потоком и немобильная - осевшая на твердый скелет среды или находящаяся в связанной жидкости. Предполагается, что перенос примеси обусловлен исключительно динамикой мобильной фазы. Для ее описания используется классическое уравнение диффузии со стоковым слагаемым, которое описывает отток примеси в немобильную фазу. Межфазный поток примеси описывается кинетическим уравнением и обычно зависит от концентраций примеси, находящейся в обеих фазах. Существует много моделей такого типа, отличающихся видом кинетического уравнения.
Модель такого типа была впервые предложена в работе [12], а спустя несколько месяцев в работе [13]. В этих работах в качестве кинетического закона было выбрано линейное соотношение (q = £с) между концентрацией немобильной (q) и мобильной (с) примесей. Такой подход позволяет описать замедление процесса диффузии, поскольку это приводит к простому уменьшению коэффициента диффузии в £ раз, что, как отмечено в работе [11], плохо согласуется с данными эксперимента.
Впоследствии было предпринято несколько попыток построения моделей с использованием хорошо известных изотерм адсорбции Фрейндлиха и Ленгмюра, которые достаточно хорошо описывают равновесную ситуацию при адсорбции газов и жидкостей из растворов с малой концентрацией [14-17]. Эти модели лучше, чем [12, 13], описывают диффузию, но сами по себе изотермы соответствуют установившемуся режиму (динамическому равновесию между фазами).
Для описания изменения концентрации немобильной примеси необходимо динамическое уравнение, описывающее кинетику процесса. Простейшей моделью такого рода стала модель с кинетикой первого порядка, в которой скорость межфазного перехода линейно зависит от концентраций примеси в обеих фазах. Такая модель впервые предложена в работе [18] и развита в работе [11].
Экспериментально показано, что для достаточно малых значений концентрации (до 10-15% от объёма) линейная модель корректно описывает перенос [11, 19]. В случае больших значений концентрации необходимо учитывать эффект насыщения немобильной фазы (концентрация осевшей примеси не может превышать некоторый предел). Это обстоятельство было впервые учтено в [20], где была предложена модель с кинетикой второго порядка.
Для описания более сложных случаев, когда необходим учет гетерогенности среды или некоторых ее геометрических и химических свойств, до-
статочно часто используются модели более высокого порядка (см., например, [21]). В случае протекания химической реакции при соприкосновении примеси со скелетом также возможно использование кинетической модели. Например, для учета протекания реакции разрушения примеси (осаждения на стенку в виде нерастворимого продукта реакции) возможно использование кинетического уравнения, в котором скорость адсорбции не зависит от концентрации адсорбированной примеси. Простейшее кинетическое уравнение такого вида было применено в работе [22].
Осевшая примесь уменьшает пористость среды. Очевидно, что пористость линейно зависит от объемной концентрации примеси, находящейся в немобильной фазе. Таким образом, осаждение примеси сказывается и на проницаемости среды. Обычно зависимость проницаемости от пористости среды описывается законом Козени-Кармана [23], полученным из геометрических соображений. Существует еще несколько распространенных эмпирических и полуэмпирических соотношений, описывающих случай значительных значений концентрации примеси или некоторые специальные виды примесей, например [24].
В данной работе изучается линейная устойчивость вертикального однородного течения смеси в прямоугольной области пористой среды с учетом эффекта осаждения примеси. Возмущения предполагаются двумерными. Боковые границы области считаются непроницаемыми, на верхней и нижней - задаются конечные значения потоков жидкости и концентрации смеси. В качестве закона движения жидкости использована модель Дарси-Буссинеска в приближении малых ускорений жидкости [8]. Учет иммобилизации производится в рамках линейной MIM модели [11], зависимость проницаемости от пористости учитывается формулой Козе-ни-Кармана [23].
Статья состоит из четырех частей, в первой изложена постановка задачи. Вторая часть посвящена исследованию основного состояния, соответствующего распространению плоского фронта. Задача устойчивости плоского фронта решается в третьей части статьи, где получены нейтральные кривые и карты устойчивости в пространстве параметров системы. Четвертая часть, являющаяся заключением настоящей работы, посвящена обсуждению основных результатов.
2. Постановка задачи
2.1.Концентрационная конвекция в пористой среде
Уравнения, описывающие концентрационную конвекцию в приближении Дарси-Буссинеска [8], с учетом особенностей линейной MIM модели [11]
и закупорки пористой среды по механизму Козе-ни-Кармана [23], запишем следующим образом:
(ст + с ш ) = -У Уст + БАст 3,с. = а(с -Кх. ),
г гт \ т а гт} >
ФоП
к(ф)
ёгуУ = О
V + Ст)РР = -УР,
(2.1)
к(ф) = кф3/ (1 -ф)2
где у - единичный вектор, направленный против силы тяжести, ст, с1>л - объемные концентрации примеси, находящейся в мобильной и немобильной фазах соответственно, V - скорость фильтрационного потока жидкости, Р - добавка к гидростатическому давлению, к,ф - проницаемость и пористость среды, Б - эффективный коэффициент диффузии, р - коэффициент концентрационного расширения, р - плотность чистой жидкости, а - параметр межфазного обмена, К - коэффициент распределения примеси, к0 - параметр Кармана и ф0 пористость незагрязнённой среды, символом д обозначено дифференцирование по времени. Первое уравнение системы (2.1) описывает динамику мобильной примеси, второе - кинетику «фазового перехода», третье - уравнение Дарси-Буссинеска, представляющее собой закон фильтрации, четвертое - условие несжимаемости, пятое - зависимость проницаемости среды от пористости - формула Козени-Кармана, седьмое -зависимость пористости от концентрации примеси в немобильной фазе.
2.2.Постановка задачи
0
ь
У
дС / ду = 0
Рис 1. Конфигурация задачи
Рассматривается устойчивость однородного вертикального течения смеси в квадратной поло-
сти. Через верхнюю границу осуществляется прокачка смеси со скоростью V и концентрацией примеси С . На верхней и нижней границах скорость фильтрации постоянна, на верхней границе задан постоянный поток концентрации Ж равный VС (V =(0,К)), на нижней границе ставится
условие отсутствия диффузионного потока. Такие граничные условия достаточно популярны при описании фильтрации в вертикальном фильтре со свободным вытеканием жидкости снизу [25]. Конфигурация задачи представлена на рис. 1.
Обезразмерим уравнения (2.1). Для этого выберем следующие масштабы длины, времени давления:
[*] = А [г] = [V] = Б, [р] = [с] = Со. (2.2)
В этом случае безразмерная форма уравнений (2.1) может быть записана в виде:
д г (ст + сш ) = ^ ■Уст +Аст ,
д,с<т = аст - Ьс<т ,
V + Ярст} = -к(ф)УР,
dгvV = О,
к(ф) = ф3/ (1 -Ф)2,
ф = фо - Сост.
(2.3)
Уравнения (2.3) содержат пять безразмерных параметров: а = аБ / II, Ь = аКйБ /II - безразмерные коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно, Яр = С^ЬкрР/ (Б-цфф) - число Рэлея-Дарси, С0 - концентрация примеси в прокачиваемой смеси и ф - пористость незагрязненной среды. Уравнения (2.3) должны быть дополнены граничными условиями, которые могут быть записаны в виде:
(уст +дст / ду} )|у=0 = ре}, дст / Зу1 =, = 0, дст / дг^=о 1 = О,
(2.4)
они содержат дополнительный параметр Ре = VI /Б - число Пекле.
Будем исследовать устойчивость строго вертикального течения смеси, В этом случае должна быть решена отдельная задача для определения поля концентрации примеси. Решение такой задачи описывает основное состояние, исследованию которого посвящен следующий параграф.
3. Основное состояние
Получим решение задачи (2.3), (2.4) в предположении V = (0, Ре), ст = С (у) и сш = Q (у). Такое решение дается следующей задачей:
д, (С + 0) = д^С + РедуС, д,С = аС - Ь0,
У 1
V = (0,Ре), Р0 =|-[ЯрС(у',/)-Рв]йу', (3.1)
0 к
(УС + д С)| = СаРе, д С\ = 0,
V у /|у=0 0 у 1у=1
где С (у, (), 0 (у, (), Р0 (у, () - распределения концентрации примеси, находящейся в мобильной и немобильной фазах, и давления, соответственно. Символами д, д , дх обозначены производные по
соответствующим координатам. Решение С (у, t), 0 (у, t), Р (у, t) представляет собой нестационарное основное состояние системы и описывает продвижение горизонтального концентрационного фронта вглубь фильтра. Результаты численного решения задачи (3.1) представлены на рис. 2.
0.2-
0.4-
0.6-
C
0.4 0.6 I. .. I
1: Pe=0.1 2: Pe=0.5 3: Pe=1 4: Pe=2 5: Pe=3 6: Pe=5
654321 0 0.1
Q 0.2
1: Pe=0.1 2: Pe=0.5 3: Pe=1 4: Pe=2 5: Pe=3 6: Pe=5
6 54 3 2 1
Рис. 2. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной (сверху) и немобильной (снизу) фазах в момент времени t = 0.5. При различных значениях числа Пекле значения параметров сорбции выбраны следующим образом: a = 3, b = 6
Влияние параметров сорбции на распределение концентрации показано на рис. 3. На этом рисунке представлены профили концентрации для различ-
ных значений параметра десорбции. Видно, что увеличение параметра десорбции приводит к интенсификации перехода примеси из немобильной фазы в мобильную. Увеличение параметра адсорбции приводит к обратному эффекту.
C
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 J-,-1-,-1-,-1-1--1----1-1
0.2-
0.4-
0.6-
1: b=1 2: b=3 3: b=5 4: b=7 5: b=9
1 2345
Q
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1: b=1 2: b=3 3: b=5 4: b=7 5: b=£
Рис. 3. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной (сверху) и немобильной (снизу) фазах в момент времени t = 0.5. При различных значениях параметра десорбции значения параметра адсорбции и числа Пекле выбраны следующим образом: a = 3, Pe = 1
На рис. 2, 3 представлены профили концентрации для фиксированного момента времени, однако процесс распространения примеси нестационарен. Примесь со временем проникает все дальше вглубь фильтра, при этом градиент концентрации растет. В некоторый момент времени градиент достигает критического значения и возникает неустойчивость Рэлея-Тейлора в виде распространяющихся «пальцеобразных» структур. Характер распространения примеси в фильтре может быть проиллюстрирован рис. 4.
Распространение фронта концентрации вглубь фильтра представлено зависимостями концентрации от вертикальной координаты в различные моменты времени (см. рис. 4). Это распространение происходит достаточно медленно, характерное
0
0
время процесса - диффузионное время (см. формулу (2.2)). Поскольку характерные значения эффективного коэффициента диффузии В ~102 см2/ч [11], то характерный масштаб времени для фильтра размерами 10 см может быть оценён как т = I / В «104 ^105 ч. Время т в несколько сотен раз больше характерного времени развития неустойчивости Рэлея-Тейлора. Развитие последней определяется вязкими временами, характерные значения которых можно оценить, решая задачу для возмущений основного состояния.
С
1=0.2 1=0.4 1=0.6 1=0.8 1=1
Рис. 4. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной (сверху) и немобильной (снизу) фазах, в различные моменты времени. Значения времен для каждой кривой указаны в легенде. Значения параметров сорбции и числа Пекле выбраны следующим образом: а = 3, Ь = 6, Ре = 1.
4. Линейная задача устойчивости
4.1.Квазистатический подход
При решении задачи для возмущений будем предполагать, что неустойчивая стратификация формируется намного медленнее, чем развивается неустойчивость Рэлея-Тейлора. Характерные времена развития неустойчивости будут оценены ниже. Таким образом, профиль концентрации предполагается стационарным при решении задачи
устойчивости. Этот подход и условия его применимости подробно рассмотрены в работах [26, 27].
Из рис. 4 видно, что концентрационный профиль на самом деле меняется со временем, и неустойчивая стратификация сформируется только при достижении критического градиента концентрации. Тогда время формирования состояния, отвечающего критическим условиям, войдёт в задачу устойчивости в качестве дополнительного параметра С а критические распределения концентрации даются следующим решением задачи (3.1): С(у&), б(у,а
4.2. Уравнения для возмущений
Введем возмущения для скорости фильтрации, концентрации и давления в следующем виде:
(и, м)= V-(0, Ре), с = ст - С, Ч = Сы - б + Ч, Р = Р - Р
(4.1)
где и, м - горизонтальная и вертикальная компоненты возмущения скорости фильтрации, с, q -возмущения поля концентрации примеси, находящейся в мобильной и немобильной фазах, р - возмущение поля давления. Будем интересоваться нейтральными возмущениями, соответствующими монотонной моде неустойчивости (в соответствии с квазистатическим подходом [27]), т.е. производные по времени от возмущений всех рассматриваемых полей равны нулю (д, = 0). Дополнительно, будем считать возмущения малыми, т.е. опустим нелинейные по возмущениям слагаемые в уравнениях (2.3). В этом случае уравнения (2.3) в терминах возмущений могут быть записаны в виде:
д2х0 + д2уС - ^дС (у, tc)- РедуС,
Ч = а с, и = -к(ф)д р,
Ь ' хИ' (4.2)
V + Ярс = -к(ф)д р, дхи +д V = 0,
к(ф) = ф3 /(1 -ф)2, ф = ф0 -С0 (б(у,^)+а).
Исключим возмущения скорости фильтрации с помощью условия несжимаемости:
-д уС (у, tc ) (к (ф) д уР+сЯр )+Ред уР =
дк(ф)
у1
= д 2 с + д2 с,
-д уб (у, ^ )д ур + Ярд уС =
дф
= к(ф)(д2ур+д2р),
а (Х\ ф3 Ч = — с, к(ф) =--,
Ч Ь , (ф) (1 -ф)2, ф = ф0 -С0 (б (у,tc)-Ч),
(4.3)
учтем, что граничные условия на вертикальных стенках фильтра дх с| = дх р\ = 0, тогда
р, с ~ 8т(лх) и задача для возмущений преобразуется к виду:
-д £ ( у, tc) (к (ф) д ур + С^р ) + Peд ур = дк{ф).
= дуc-л c,
дф
-д УQ (У, К )д ур + Rрд уС =
= к(ф)(д1р-л c),
фф
(4.4)
^ = ^ К(Ф)=(1 -ф)" Ф=Фо - С ^ ( у, К )-q),
д у^У=о,1 =д уНУ=о,1 = 0
Задача (4.4) является задачей на собственные значения, она содержит семь параметров Яр, С Ре, а, Ъ, ф0, С0. Параметры сорбции а, Ъ входят в задачу устойчивости лишь в качестве отношения, однако решение задачи для основного состояния зависит от каждого из них в отдельности. Параметры ф0, С0 не оказывают влияния на решение задачи для основного состояния, а решение задачи устойчивости, очевидно, должно зависеть лишь от их отношения, поэтому можно фиксировать пористость ф0 во всех расчетах. Пусть ф0 = 0.5. Запись задачи в форме (4.4) (когда параметры записаны отдельно) более удобна для анализа.
Задача на собственные значения (4.4) решалась численно методом дифференциальной прогонки, для решения пространственной задачи использовался метод Рунге-Кутты-Мерсона [28].
4.3. Нейтральные кривые
Задача (4.4) описывает критическое состояние, которое определяется некоторым соотношением между параметрами задачи. На рис. 5 представлены нейтральные кривые, описывающие такие зависимости, на плоскости параметров (/с, Яр).
Как видно из рис. 5 (сверху), увеличение скорости потока приводит сначала (до значения Ре « 3.7) к дестабилизации (критическое значение числа Рэлея-Дарси падает), а затем к стабилизации. Этот эффект связан с влиянием скорости потока как на основное состояние, так и на возмущения. Так, повышение числа Пекле приводит к размытию профиля концентрации, что приводит к увеличению толщины слоя жидкости большей плотности, находящегося над жидкостью с меньшей плотностью, что дестабилизирует систему. Дальнейшее увеличение числа Пекле приводит к интенсификации выноса возмущений из полости, т.е. стабилизации конвекции.
0.6-
0.4-
0.2-
1: Ре=1 2: Ре=2 3: Ре=3 4: Ре=5 5: Ре=10 6: Ре=15 7: Ре=20
20
I
40
60
I
80
100
—I 120
Rр
1.6
1.2
0.4
2: С =5%
15%
=20%
54
20
I
40
60
I
80
100
—I 120
Rр
Рис. 5. Нейтральные кривые на плоскости параметров Яр, ^ построенные для различных значений числа Пекле (сверху) и различных значений начальной концентрации смеси (снизу) (значения параметров указаны в легенде). Значения параметров сорбции выбраны следующим образом: а = 3, Ъ = 6. Значение начальной концентрации для верхнего рисунка С0 = 10%, значение числа Пекле для ни^с-него рисунка Ре = 10. Неустойчивость реализуется в области выше кривых при указанных значениях параметров
Рис. 5 (снизу) демонстрирует нейтральные кривые на плоскости параметров (Яр, С при различных значениях начальной концентрации С0. Повышение начальной концентрации приводит к дестабилизации, поскольку более насыщенная смесь приводит к повышению плотности жидкости. Так же усиливается засорение пористой среды, поскольку параметр С0 входит в зависимость проницаемости от концентрации осевшей примеси, что ослабляет течение и вынос возмущений из полости замедляется.
Также из рис. 5 видно, что каждая нейтральная кривая начинается из некоторой точки на плоскости (Яр, /с), т.е. неустойчивость не реализуется для достаточно малых значений числа Рэлея-Дарси. Такое поведение обусловлено конечностью филь-
3
0
0
тра по вертикали, поскольку в этом случае толщины фильтра не хватает для формирования слоя повышенной плотности, достаточной для реализации неустойчивости толщины. Этот эффект также иллюстрируется на рис. 6.
1.2-
0.4-
1: a=1 2: a=2 3: a=3 4: a=6 5: a=9
20
40
—I-1-r~
60 80
Rp
1.6
1.2-
' 0.8-
0.4
—I— 100
b = 1 b=3 b=5
120
20
"T" 40
I-1-r~
60 80
Rp
T
100 120
Рис. 6. Нейтральные кривые на плоскости параметров Яр, ^ построенные для различных значений параметров сорбции (значения параметров указаны в легенде). Значения числа Пекле и начальной концентрации выбраны следующим образом: Ре = 10, С0 = 10%. Значение параметра десорбции для верхнего рисунка Ь = 3, значение параметра адсорбции для нижнего рисунка а = 6. Неустойчивость реализуется в области выше кривых при указанных значениях параметров
На рис. 6 представлены нейтральные кривые на плоскости параметров (Яр, С для различных значений параметров сорбции. Из рис. 6 (сверху) видно, что увеличение параметра адсорбции может приводить как к стабилизации течения, так и к дестабилизации. При увеличении а до значения а « 3.9 наблюдается стабилизация, обусловленная тем, что интенсифицируется переход примеси в немобильную фазу и смесь обедняется, в результате чего жидкость становится легче. При дальней-
шем увеличении параметра адсорбции десорбция «не справляется» с отводом примеси из немобильной фазы, в результате чего происходит ее накопление в немобильной фазе. Поскольку скорость перехода примеси в мобильную фазу пропорциональна ее концентрации в немобильной фазе, немобильная примесь становится источником и начинает уже обогащать смесь у верхней границы области (где при продвижении фронта происходило интенсивное оседание примеси). В результате жидкость становится более тяжелой, однако этот процесс требует длительного времени, что объясняет рост критического времени при росте параметра адсорбции. Влияние параметра десорбции в целом обратно, однако при достаточно больших значениях параметра не наблюдается интенсификации перехода примеси из немобильной фазы, поскольку преобладает десорбция и в немобильной фазе примесь практически отсутствует.
4.4. Карты устойчивости
Как уже было замечено выше, неустойчивая стратификация, соответствующая неустойчивости Рэлея-Тейлора, при некоторых условиях не может сформироваться в принципе. Эта ситуация соответствует малым значениям числа Рэлея-Дарси, на нейтральных кривых наименьшее его значение, при котором может наблюдаться неустойчивость, соответствует обрыву кривой слева. Из рис. 5 и 6 видно, что положение точки обрыва кривых зависит от параметров задачи, такая зависимость в пространстве параметров задачи представляет собой карту устойчивости.
Карты устойчивости, изображённые на плоскостях различных параметров, представлены на рис. 7. На рис. 7, а представлены карты устойчивости на плоскости параметров (Pe, Rp) при различных значениях начальной концентрации. Видно, что повышение концентрации приводит к дестабилизации системы. Поскольку с ростом начальной концентрации проницаемость уменьшается, возмущения «запираются» внутри исследуемой полости, а перепад плотности смеси растет. По мере роста числа Пекле, характеризующего безразмерную скорость фильтрационного потока в основном состоянии, при его малых значениях наблюдается дестабилизация, что связано с размытием диффузионного фронта в основном состоянии. При больших значениях числа Пекле наблюдается стабилизация, связанная с выносом возмущений из фильтра. Такие же выводы можно сделать из анализа рис. 7, б.
На рис. 7, б изображены карты устойчивости на плоскости параметров (C0, Rp) при различных значениях числа Пекле. Рост начальной концентрации дестабилизирует конвекцию, при этом дестабилизация тем сильнее, чем больше значение числа Пекле.
0
0
160 -I
120 ■
80-
40-
100-1
80-
60-
40-
20
60 -,
50-
40-
30-
и—1—Г 46
Pe
—г 8
1: Pe=1 2: Pe=5 3: Pe=10 4: Pe=15 5: Pe=20
—1 10
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
в
b=1 b=3 b=6
H-1-r
46
a
I
10
Рис. 7. Карты устойчивости на различных плоскостях параметров задачи: а -карта устойчивости на плоскости (Яр, Ре) при различных значениях начальной концентрации и значениях параметров сорбции а = 3, Ь = 6; б - карта устойчивости на плоскости (Яр, С0) при различных значениях числа Пекле и значениях параметров сорбции а = 3, Ь = 6; в -карта устойчивости на плоскости (Яр, а) при различных значениях параметра десорбции и Ре = 10, С0 =10%. Неустойчивость реализуется в области выше кривых
Рис. 7, в содержит карты устойчивости на плоскости параметров (a, Rp) при различных значениях параметра десорбции. Зависимости (рис. 7, в) немонотонны, при малых значениях a происходит стабилизация течения при увеличении параметра адсорбции, связанная с интенсификацией перехода примеси в немобильную фазу, что приводит к обеднению мобильной фазы и уменьшению перепада плотности смеси. Если значение параметра адсорбции достаточно велико, то дальнейшее его увеличение приводит к дестабилизации конвекции, что связано с накоплением примеси в немобильной фазе. Поскольку скорость притока примеси в мобильную фазу линейно зависит от ее концентрации в немобильной фазе, то немобильная фаза становится источником примеси. Примесь накапливается там в процессе формирования неустойчивой стратификации, а при наступлении неустойчивости достаточно мощный источник примеси дестабилизирует конвекцию. Концентрация примеси в немобильной фазе, которая соответствует основному состоянию, тем больше, чем меньше значение коэффициента десорбции. Поэтому при увеличении коэффициента десорбции величина эффекта уменьшается.
5. Заключение
Исследована устойчивость плоского диффузионного фронта, равномерно распространяющегося вдоль вертикальной оси в ограниченном пористом фильтре по отношению к двумерным возмущениям с учетом осаждения примеси на твердый скелет пористой среды и ее закупорки. Выяснено, что основным механизмом неустойчивости является неустойчивость Рэлея-Тейлора. Неустойчивость Рэлея-Тейлора развивается не сразу, а только по прошествии некоторого критического времени, за которое успевает сформироваться неустойчивая стратификация смеси.
Задача решена в предположении квазистатичности основного состояния сформировавшегося слоя смеси большей плотности, находящейся над жидкостью меньшей плотности. Предполагается, что характерное развития неустойчивости Рэлея-Тейлора намного меньше, чем время формирования неустойчивой стратификации. Оценка времени формирования приведена в п. 3, оно составляет т = L2/ D « 104 ч. Оценку времени развития неустойчивости Рэлея-Тейлора можно произвести на основе выражения для числа Рэлея-Дарси. Поскольку Rp ~L, а минимальное критическое значение minify?,, < 10, оно определяет характерную толщину вязкого слоя, в котором развиваются возмущения. Пусть толщина такого слоя l, тогда L = l min Rpc, а для времени развития возмущений получим tr = т / (min Rpc)2 > 0.01 т. Это означает, что характерное время развития неустойчивости в
1: C= 1%
а
2: C„=5%
0
0
б
0
100 раз меньше, чем время формирования неустойчивой стратификации. Эти оценки оправдывают использование квазистатического подхода.
В рамках такого подхода были получены нейтральные кривые и карты устойчивости в пространстве параметров задачи. Выяснено, что основное состояние, соответствующее неустойчивости Рэлея-Тейлора, не может сформироваться при значении числа Рэлея-Дарси меньше некоторого минимального критического. Построены карты устойчивости, представляющие собой зависимости минимального критического значения числа Рэ-лея-Дарси от параметров задачи.
Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для молодых российских учёных (грант МК-6851.2015.1)
Список литературы
1. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromag-netic stability. Oxford: Clarendon, 1961. 704 P.
2. Hattori F., Takabe K, Mima K. Rayleigh-Taylor instability in a spherically stagnating system // Physics of Fluids. 1986. Vol. 29. N. 5. P. 17191724.
3. Sharma R. C., Sunil J. Thermal instability of a compressible finite-Larmor-radius Hall plasma in a porous medium // Journal of Plasma Physics. 1996. Vol. 55. N. 1. P. 35-45.
4. Yang J., D'Onofrio A., Kalliadasis S., De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of reaction-diffusion acidity fronts // Journal of Chemical Physics. 2002. Vol. 117. N 20. P. 9395-9408.
5. Voltz C., Pesch W., Rehberg I. Rayleigh-Taylor instability in a sedimenting suspension // Physical Review E. 2001. Vol. 65, 011404.
6. Lima D., van Saarloos W., De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of pulled versus pushed fronts // Physica D. 2006. Vol. 218. N 2. P. 158-166.
7. Bratsun D. A., Shi Y., Eckert K., De Wit A., Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by external localized cooling // Europhysics Letters. 2005. Vol. 69, N. 5. P. 746-752.
8. NieldD. A., Bejan A. Convection in Porous Media. New York: Springer, 2006. P. 654.
9. Latrille C., Cartalade A. New experimental device to study transport in unsaturated porous media / in: Birkle P., Torres I. S. (Ed). Water-Rock Interaction // Leiden: CRC Press, 2010. P. 299-302.
10. Agaoglu B., Scheytt T., Copty N. K., Laboratory-scale experiments and numerical modeling of cosolvent flushing of multi-component NAPLs in saturated porous media // Journal of Contaminant Hydrology. 2012. Vol. 140. P. 80-94.
11. Van Genuchten M. Th., Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media I. analytical so-
lutions // Soil Science Society of America Journal.
1976. Vol. 40. P. 473-480.
12. Shamir U. Y., Harleman D. R. F. Dispersion in layered porous media // Journal of Hydraulic Division: Proceedings of American Society of Civil Engineers. 1967. N. 93. P. 237-260.
13. Lindstrom F. T., Haque R., Freed V. H., Bo-ersma L. Theory on movement of some herbicides in soils: Linear diffusion and convection of chemicals in soil // Environmental Science and Technology. 1967. N. 2. P. 561-565.
14. Barry D. A., Parker J. C. Approximations for solute transport through porous media with flow transverse to layering // Transport in Porous Media. 1987. Vol. 2. N. 4. P. 65-82.
15. Bosma W. J. P., van der Zee S. E. A. T. M. Analytical approximations for nonlinear adsorbing solute transport in layered soils // Journal of Contaminant Hydrology. 1992. Vol. 10. N. 2. P. 99-118.
16. Selim H. M., Davidson J. M., Rao P. S. C. Transport of reactive solutes through multilayered soils // Soil Science Society of America Journal.
1977. Vol. 41. N. 1. P. 3-10.
17. Wu Y. S., Kool J. B., Huyakorn P. S An analytical model for nonlinear adsorptive transport through layered soils // Water Resources Research. 1997. Vol. 33, N. 1. P. 21-29.
18. Deans H. A. A mathematical model for dispersion in the direction of flow in porous media // Society of Petroleum Engineers Journal. 1963. N. 3. P. 4952.
19. Bromly M., Hinz C. Non-Fickian transport in homogeneous unsaturated repacked sand // Water Resources Research. 2004. Vol. 40, W07402.
20. Selim H. M., Amacher M. C. Reactivity and transport of heavy metals in soils. Boca Raton: CRC Press, 1997. 240 P.
21. Leij F. J., Dane J. H., Van Genuchten M. Th. Mathematical analysis of one-dimensional solute transport in a layered soil profile // Soil Science Society of America Journal. 1991. Vol. 55. N. 4. P. 944-953.
22. Liuzong Zh., Selim H. M. Solute transport in layered soils: nonlinear and kinetic reactivity // Soil Science Society of America Journal. 2001. Vol. 65. N. 4. P. 1056-1064.
23. Kozeny J. Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden // Sitzungsber Akademie der Wissenschaften. 1927. Vol. 136. P. 271-306.
24. Gruesbeck C., Collins R. E. Entrainment and deposition of fine particles in porous media // SPE Journal. 1982. Vol. 22. P. 847-856.
25. Maryshev B., Cartalade A., Latrille C., Joelson M., NeelM.-Ch. Adjoint state method for fractional diffusion: parameter identification //
Computers and Mathematics with Applications. 2013. Vol. 66. N 5. P. 630-638.
26. Riaz A., Hesse M., Tchelepi H. A., Orr F. M. Onset of convection in a gravitationally unstable diffusive boundary layer in porous media // Journal of Fluid Mechanics. 2006. Vol. 548. P. 87-111.
27. Rees D. A. S., Selim A., Ennis-King J. P. The instability of unsteady boundary layers in porous media / In: Vadasz P. (Ed.) Emerging topics in heat and mass transfer in porous media. New York: Springer, 2008. P. 85-109.
28. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. New Jersey: Prentice Hall, 1977. P. 270.
References
1. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromag-netic Stability. Oxford, England: Clarendon Press, 1961. 704 p.
2. Hattori F., Takabe K, Mima K. Rayleigh-Taylor instability in a spherically stagnating system. Physics of Fluids. 1986, vol. 29, no. 5, pp. 1719-1724.
3. Sharma R. C., Sunil J. Thermal instability of a compressible finite-Larmor-radius Hall plasma in a porous medium. Journal of Plasma Physics. 1996, vol. 55, no 1, pp. 35-45.
4. Yang J., D'Onofrio A., Kalliadasis S., De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of reaction-diffusion acidity fronts. Journal of Chemical Physics. 2002, vol. 117, no. 20, pp. 9395-9408.
5. Voltz C., Pesch W., Rehberg I. Rayleigh-Taylor instability in a sedimenting suspension. Physical Review E. 2001, vol. 65, 011404.
6. Lima D., van Saarloos W., De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of pulled versus pushed fronts Physica D. 2006, vol. 218, no. 2, pp. 158-166.
7. Bratsun D. A., Shi Y., Eckert K., De Wit A. Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by external localized cooling. Europhysics Letters. 2005, vol. 69, no. 5, pp. 746-752.
8. Nield D. A., Bejan A. Convection in Porous Media. New York, USA: Springer, 2006, 654 p.
9. Latrille C., Cartalade A. New experimental device to study transport in unsaturated porous media. In: Birkle P., Torres I. S. (Eds.) Water - Rock Interaction. Leiden, Netherlands: CRC Press, 2010, pp. 299-302.
10. Agaoglu B., Scheytt T., Copty N. K. Laboratory-scale experiments and numerical modeling of cosolvent flushing of multi-component NAPLs in saturated porous media. Journal of Contaminant Hydrology. 2012, vol. 140, pp. 80-94.
11. Van Genuchten M. Th., Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media I. analytical solutions. Soil Science Society of America Journal. 1976, vol. 40, pp. 473-480.
12. Shamir U. Y., Harleman D. R. F. Dispersion in layered porous media. Journal of Hydraulic Division: Proceedings of American Society of Civil Engineers. 1967, no. 93, pp. 237-260.
13. Lindstrom F. T., Haque R., Freed V. H., Boersma L. Theory on movement of some herbicides in soils: Linear diffusion and convection of chemicals in soil. Environmental Science and Technology. 1967, no. 2, pp. 561-565.
14. Barry D. A., Parker J. C. Approximations for solute transport through porous media with flow transverse to layering. Transport in Porous Media. 1987, vol. 2, no. 4, pp. 65-82.
15. Bosma W. J. P., van der Zee S. E. A. T. M. Analytical approximations for nonlinear adsorbing solute transport in layered soils. J. Contam. Hydrol. 1992, vol. 10, no. 2, pp.99-118.
16. Selim H. M., Davidson J. M., Rao P. S. C. Transport of reactive solutes through multilayered soils. Soil Science Society of America Journal. 1977, vol. 41, no. 1, pp. 3-10.
17. Wu Y. S., Kool J. B., Huyakorn P. S. An analytical model for nonlinear adsorptive transport through layered soils. Water Resources Research. 1997, vol. 33, no. 1, pp. 21-29.
18. Deans H. A. A mathematical model for dispersion in the direction of flow in porous media. Society of Petroleum Engineering Journal. 1963, no. 3, pp. 49-52.
19. Bromly M., Hinz C. Non-Fickian transport in homogeneous unsaturated repacked sand. Water Resources Research. 2004, vol. 40, W07402.
20. Selim, H. M., Amacher M. C. Reactivity and Transport of Heavy Metals in Soils. Boca Raton, USA: CRC, 1997. 240 p.
21. Leij F. J., Dane J. H., Van Genuchten M. Th. Mathematical analysis of one-dimensional solute transport in a layered soil profile. Soil Science Society of America Journal. 1991, vol. 55, no. 4, pp. 944-953.
22. Liuzong Zh., Selim H. M. Solute Transport in Layered Soils: Nonlinear and Kinetic Reactivity. Soil Science Society of America Journal. 2001, vol. 65, no. 4, pp. 1056-1064.
23. Kozeny J. Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden. Sitzungsber Akademie der Wissenschaft. 1927, vol. 136, pp. 271-306.
24. Gruesbeck C., Collins R. E. Entrainment and deposition of fine particles in porous media. SPE Journal. 1982, vol. 22, pp. 847-856.
25. Maryshev B., Cartalade A., Latrille C., Joelson M., Neel M.-Ch. Adjoint state method for fractional diffusion: parameter identification. Computational and Mathematics with Applications. 2013, vol. 66, no. 5, pp. 630-638.
26. Riaz A., Hesse M., Tchelepi H. A., Orr F. M. Onset of convection in a gravitationally unstable dif-
fusive boundary layer in porous media. Journal of Fluid Mechanics. 2006, vol. 548, pp. 87-111.
27. Rees D. A. S., Selim A., Ennis-King J. P. The instability of unsteady boundary layers in porous media. In: P. Vadasz (Ed.) Emerging topics in heat
and mass transfer in porous media. New York, USA: Springer, 2008. pp. 85-109. 28. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. New Jersey, USA: Prentice Hall, 1977. 270 p.
Mixture filtration through porous enclosure with presence of pore clogging
B. S. Marysheva,b
a Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Koroleva St. 1, 614013, Perm email: bmaryshev@mail.ru
b Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm
The considered problem is the stability of slow homogeneous flow of mixture into the vertical porous filter with taking into account the pore blockage effect. This filtration generates the transition layer between pure fluid and mixture because of the diffusion phenomena. The depth of this layer increases with time. When this depth reaches the critical value, the flow becomes unstable and the Rayleigh-Taylor fingering instability is observed. The solute transport in porous media is complicated by the immobilization of solute. The immobilization slows down the diffusion process and the porosity of media decreases because of clogging of media by the immobilized solute particles. These two effects lead to increase in the critical time which is needed to form unstable transition layer. The work is devoted to solving of linear stability problem in described system. The instability conditions are investigated. The neutral curves, critical times and stability maps are obtained.
Keywords: transport in porous media; pore clogging; Rayleigh-Taylor instability
