CC BY
25
УДК 621.791.763.26
С. М. Фурманов, А. Ю. Поляков, Д. Н. Юманов, А. Н. Кухарев
О ФАЗОВОМ РЕГУЛИРОВАНИИ МОЩНОСТИ ТЕПЛОВЛОЖЕНИЯ В МЕЖЭЛЕКТРОДНУЮ ЗОНУ ПРИ КОНТАКТНОЙ СВАРКЕ
UDC 621.791.763.26
S. M. Furmanov, A. Y. Polyakov, D. N. Yumanov, A. N. Kukharev
ON PHASE CONTROL OF HEAT INPUT IN THE INTERELECTRODE SPACE DURING RESISTANCE WELDING
Аннотация
Разработан математический аппарат, позволяющий с помощью высокопроизводительных вычислительных средств осуществлять фазовое регулирование действующего значения мощности тепловложения в межэлектродную зону при контактной сварке путем изменения длительности открытого состояния одного из включенных встречно-параллельно тиристоров в течение полупериода сетевого напряжения. Предложена методика расчета коэффициента регулирования мощности тепло-вложения на сварочном участке «электрод-электрод» в последующем периоде сетевого напряжения на основании расчета действующих значений вторичного тока и напряжения на электродах, активного сопротивления участка «электрод-электрод» и коэффициента мощности cos<p контактной сварочной машины в течение предыдущего периода.
Ключевые слова:
контактная точечная и рельефная сварка, фазовое управление действующим значением мощности тепловложения, коэффициент регулирования мощности тепловложения, параметры машины для контактной сварки, коэффициент мощности.
Abstract
A mathematical tool was developed that allows the use of high-performance computing to perform phase control of the effective value of heat input in the interelectrode space in resistance welding process by means of changing the duration of the conducting state of one of inverse-parallel connected thyristors during one half-cycle of the mains voltage. A procedure is proposed for calculating the heat input control coefficient in the inte-relectrode space in the subsequent cycle of the mains voltage based on the calculation of effective values of the secondary current and the electrode voltage, the ohmic resistance in the interelectrode space, and the power factor cos<p of the resistance welding machine during the previous cycle.
Key words:
resistance spot and projection welding, phase control of effective value of heat input, heat input control coefficient, resistance welding machine parameters, power factor.
В большинстве случаев системы автоматического управления процессом контактной точечной и рельефной сварки являются стабилизирующими, при этом стабилизируемым параметром выступает действующее значение сварочного тока. Однако практический интерес имеют регистрация и измерение мощности, выделяющейся в свариваемом соединении. Для измерения этого
параметра недостаточно только информации о сварочном токе, необходимо знать, каково значение сопротивления участка «электрод-электрод» и каково падение напряжения на этом участке. Мощность тепловложения в свариваемые детали достаточно полно характеризует протекание процесса сварки и позволяет прогнозировать качество выполняемого соединения.
© Фурманов С. М., Поляков А. Ю., Юманов Д. Н., Кухарев А. Н., 2018
При активном контроле процесс контактной рельефной сварки прекращается по достижении определенным параметром изначально заданного значения. Таким параметром может быть, например, количество вложенной энергии в зону сварки [1] или достигнутое перемещение подвижного электрода.
В корректирующих системах процесс управления осуществляется таким образом, чтобы изменение во времени контролируемого параметра соответствовало некоторой «идеальной» кривой, которую снимают в эталонных условиях сварки. При этом наиболее эффективными будут те системы, которые адаптируются к различным ситуациям и способны изменять параметры закона управления в ходе процесса [2].
В качестве такой корректирующей системы авторами предложена система автоматического регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону при контактной точечной и рельефной сварке (рис. 1). Измеренная с помощью блока вычислений БВ, датчика тока ДТ и датчика напряжения ДН
мощность Рээизм сравнивается с заданной Р'ээ.зад, по результатам сравнения производится коррекция воздействия на тиристорный контактор КТ через фазосдвигающее устройство ФСУ. Датчик перемещения подвижного электрода ДП служит для измерения деформации рельефа при рельефной сварке или для определения величины внедрения электродов в детали при точечной сварке, что является необходимым для определения момента выключения сварочного тока. Датчик ДП с помощью преобразователя сигнала перемещения ПСП воздействует на заданное значение мощности тепловложения Рээ.зад через коэффициент Кдп. датчика перемещения. Значение угла управления тиристорами а корректируется в каждом периоде сетевого напряжения с учетом заданной циклограммы мощности Рээг и энергии Qээi тепловложения. Значение энергии тепловложения Qээ,изм определяется также с помощью блока вычислений БВ.
Рис. 1. Система автоматического регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону при контактной сварке
Фазовое регулирование переменного напряжения при контактной сварке базируется на управлении действующим значением переменного напряже-
ния на нагрузке путем изменения длительности открытого состояния одного из включенных встречно-параллельно тиристоров в течение полупериода
частоты сети (рис. 2, а).
Для вычисления тепловыделения на сварочном участке «электрод-электрод» необходимо иметь информацию о действующем значении вторичного тока 12 и сопротивлении Яээ участка «электрод-электрод». Полное сопротивление 22 контактной машины, являющееся суммой активного и индуктивного
а)
сопротивлений вторичного контура Я2 и X2 и приведенных к вторичному витку активного и индуктивного сопротивлений первичной обмотки Я'\ и XI, определяет ток п во вторичном контуре в соответствии с известной схемой замещения сварочного трансформатора (рис. 2, б) [2, 3].
б)
X Ri R[ X'
Рис. 2. Электрическая схема контактной сварочной машины (а) и схема её замещения (б)
Фазовое управление действующим значением мощности тепловложения в межэлектродную зону при контактной сварке должно опираться на математический аппарат, позволяющий с помощью высокопроизводительных вычислительных средств осуществлять расчет параметров регулирования (угла а открытия тиристоров, времени тсв протекания сварочного тока) на основании измерения параметров машины для контактной сварки (сетевого напряжения uc, коэффициента трансформации Кт на выбранной ступени, активного и индуктивного сопротивлений сварочного контура R2k = R'i + R2 и Xik = Xi + X2 (см. рис. 2, б), активного сопротивления Rээ сварочного участка) и параметров режима сварки (тока сварки /2, длительности включенного состояния тиристоров А, напряжения на электродах U2, мощности P2 и энергии Qээ тепловложения).
Для упрощения расчетов за начало отсчета времени t = 0 принимаем мо-
мент включения тиристоров контактора (рис. 3). Тогда напряжение т, подаваемое на первичную обмотку сварочного трансформатора (см. рис. 2, а), будет задаваться как
их{г)« ис(0 при 0 < Ш < А . (1)
При этом нужно учитывать, что напряжение и1 будет несколько ниже напряжения сети ис в связи с падением напряжения на входных сетевых кабелях и на тиристорном контакторе. Поэтому напряжение и1 будем измерять непосредственно на входных клеммах первичной обмотки трансформатора.
На выводы схемы замещения контактной машины в режиме холостого хода подается переменное синусоидальное напряжение и20, равное ЭДС вторичной обмотки трансформатора в2 (см. рис. 2, б):
и20 = е2 = и1/КТ . (2)
Рис. 3. Временные диаграммы тиристорного преобразователя переменного напряжения с индуктивностью в цепи нагрузки
Коэффициент регулирования действующего значения напряжения холостого хода определяется по формуле
к --и20
а
20П
1
2Х+бш (2а) - эт (2а+2Х)
2п
,(3)
где Ою - действующее значение напряжения холостого хода на вторичной обмотке трансформатора; а20П - действующее значение напряжения холостого хода на вторичной обмотке трансформатора при его полнофазном включении [4].
При сварке полное сопротивление 22 сварочного контура контактной машины включает в себя также
электрическое сопротивление лей Кээ (см. рис. 3):
2 2 -
((
К2К + Кээ
)2 + Х
2
2К .
дета-
(4)
После замыкания педали сварочной машины реальный ток '2 во вторичном контуре будет складываться из принужденного iпp и свободного 'с токов, '2 - iПР + 'с (см. рис. 3) [2-5]. Принужденный ток iпp - это установившийся полнофазный ток. Свободный ток ic
обусловлен изменением энергии магнитного поля индуктивного элемента. Действующее значение полнофазного сварочного тока /ш рассчитывается в зависимости от полнофазного напряжения холостого хода Оюоп сварочного трансформатора:
12п - 020п12 2 .
(5)
Момент естественного прекращения протекания тока ('2 = 0) и продолжительность X его включения определяются равенством абсолютных величин токов 'пр и 'с (см. рис. 3). При этом длительность включения тиристоров находят как первый ненулевой корень уравнения '2 (ю?) = 0, т. е.
8т(Х + а - ф)/8т(а -ф) -
- ехр( - X ■ С^ф), (6)
где а, X, ф - углы в радианах.
При включении контактной сварочной машины через тиристорный контактор с углом включения тиристоров а > ф (см. рис. 4) действующие значения реального тока /2 и полнофазного тока /2П связаны между собой через коэффициент кт регулирования
сварочного тока [2-5] к = 12
I
2П
V
X этХ
• соб
п ПСОБф
(2а + ф + X ). (7)
Значение коэффициента мощности соБф изменяется при варьировании активного и индуктивного сопротивлений сварочного контура Яж и Х2К и активного сопротивления Яээ участка «электрод-электрод». Поэтому при построении систем автоматического управления требуется отслеживать изменение соэф в реальном времени с помощью высокопроизводительных вычислительных средств.
Для построения системы автоматического регулирования процесса контактной сварки необходимо знать зависимости мощности, потребляемой машиной из сети, от сварочного тока и сопротивления деталей. Коэффициент кз регулирования полной мощности, потребляемой сварочной машиной из сети, можно определить из (3) и (7) по сле-
дующему выражению:
и
= ки ' к1 =
20
и20П 12 П
2Х + эт (2а ) - эт (2а + 2Х ) 2п
[X —втХ _ со8(2а + ф + X). (8) V п ПСОБф
Расчеты по формуле (8) представляют собой зависимость коэффициента кз от параметров фазового регулирования а при заданном соэф (табл. 1, рис. 4).
Функция кз = / (а) может быть аппроксимирована нелинейной зависимостью
к8 = I (а ) = А3 • а3 +
+ А2 • а2 + А1 • а + Л1
0 '
(9)
где А0, А1, А2, А3 - коэффициенты, зависящие от коэффициента мощности соэф.
Табл. 1. Значения коэффициента к$ регулирования полной мощности в зависимости от параметров фазового регулирования а при заданном соэф
СОЭф Коэффициент регулирования полной мощности к$
Угол открытия тиристоров а, град
60 70 80 90 100 110 120
0,2 - - 0,962 0,729 0,520 0,344 0,208
0,3 - - 0,845 0,646 0,465 0,311 0,190
0,4 - 0,937 0,757 0,583 0,423 0,286 0,177
0,5 1,000 0,848 0,690 0,535 0,392 0,267 0,167
0,6 0,915 0,781 0,639 0,499 0,367 0,252 0,159
0,7 0,851 0,730 0,601 0,471 0,350 0,243 0,154
0,8 0,805 0,694 0,574 0,454 0,339 0,237 0,153
совф = 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
ЙО 70 30 90 100 110 120
а -
Рис. 4. Зависимость коэффициента к$ регулирования полной мощности от параметров фазового регулирования а при заданном соБф
Использование сварочной машины по установленной мощности и ее производительность зависят от настройки регулятора цикла сварки на коэффициент мощности соБф цепи нагрузки. В зависимости от типа машины, диапазонов свариваемых толщин и марок материалов соБф может составлять 0,2...0,8 [6]. Кроме того, стабильный и рациональный режим работы тиристорного контактора обеспечивается при выполнении условия ф + 5° < а < ф + 60° [2, 4].
Определим значения коэффициентов А0, А1, А2 и Аэ для заданных значений соБф = 0,2.0,8. Каждому значению совф = [0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8] сопоставим систему нелинейных уравнений:
/(а3) - А3 ■ а3 + А ■ а3 + А ■ а3 + А;
/ (а2) - А3 ■а3 + а ■а 2 + А ■ а2+А;
/(а1) - А3 ■ а3 + А2 ■ а2 + А1 ■ а1 + А0;
/ (а0 ) - А3 ■ а0 + А2 ■ а0 + А1 ■ а0 + А0.
(10)
Для заданного диапазона изменений угла регулирования а = 60.120° (см. табл. 1, рис. 4) определим узлы ин-
терполяции а3, а2, а1 и а0, исходя из условия минимизации погрешности интерполяции [2, 7, 8]:
а + Ь Ь - а
ат =■
+
-соэ
2т +1 2п + 2
-п
, (11)
где а, Ь - границы отрезка интерполяции [а; Ь] = [60°; 120°]; п - максимальный номер узла интерполяции, п = 3; т - номер узла интерполяции, т = 0, 1, 2, 3.
Результаты расчета по формуле (11) представлены в табл. 2. С учетом выбранных узлов интерполяции а3, а2, а1 и а0 решаем семь систем уравнений (10) и определяем значения коэффициентов А3, А2, А1 и А0. Значения функций / (а3), / (а2), / (а1) и / (а0) вычисляем по формулам (6) и (8). Результаты расчета сводим в табл. 3.
Если представить значения коэффициентов А3, А2, А1 и А0 в виде графиков (показано на рис. 5 штриховыми линиями), то становится возможной аппроксимация этих графиков многочленами четвертой степени:
А = /0 ( соэф ) = В4соэ4ф + В3соз3ф + В2соб2 ф + ^соэф + В0; А1 = /1 ( соэф ) = С4соэ4ф + С3соэ3ф + С2соб2ф + С1соэф + С0; (12)
А2 = /2 ( соБф ) = ^4соэ4ф + ^3соэ3ф + £2соэ2ф + Дсоэф + В0; А3 = /3 ( соэф ) = Е4соб4ф + £3соэ3ф + Е2соэ2ф + £1соэф + Е0.
Табл. 2. Определение границ отрезка интерполяции [а, Ь] и узлов интерполяции а3, а2, а1; а0 для заданных значений соБф
соБф а, град Ь, град аэ, град а2, град а1, град а0, град
0,2.0,8 60 120 117,72 101,48 78,52 62,28
Табл. 3. Вычисление семейства аппроксимирующих функций для коэффициента регулирования полной мощности кзп = / (а)
соБф а3, рад а2, рад а1, рад а0, рад / (а3) / (а2) / (а1) / (а0) А3 А2 А1 А00
0,2 2,055 1,771 1,37 1,087 0,236 0,491 0,999 1,398 0,340 -1,230 0,064 2,344
0,3 2,055 1,771 1,37 1,087 0,215 0,441 0,876 1,211 0,286 -1,066 0,134 1,958
0,4 2,055 1,771 1,37 1,087 0,2 0,401 0,783 1,072 0,266 -1,023 0,284 1,631
0,5 2,055 1,771 1,37 1,087 0,187 0,372 0,714 0,966 0,247 -0,990 0,417 1,364
0,6 2,055 1,771 1,37 1,087 0,179 0,349 0,66 0,886 0,232 -0,948 0,474 1,192
0,7 2,055 1,771 1,37 1,087 0,173 0,333 0,62 0,825 0,217 -0,903 0,510 1,060
0,8 2,055 1,771 1,37 1,087 0,17 0,323 0,592 0,781 0,204 -0,866 0,533 0,963
На отрезке соБф = 0,2...0,8 узлы интерполяции зададим, исходя из условия минимизации погрешности интерполяции [2, 7, 8]:
а + Ь Ь - а (2т +1 ^
ат ^ I ---п I, (13)
2 2 ^ 2п + 2 )
где а, Ь - границы отрезка интерполяции [а; Ь] = [0,2; 0,8]; п - максимальный номер узла интерполяции, п = 4; т - номер узла интерполяции, т = 0, 1, 2, 3, 4.
Решая уравнение (13) для т = 0, 1, 2, 3, 4, получим соБф = 0,79; 0,68; 0,50; 0,32; 0,21. С учетом выбранных узлов интерполяции из (12) получим четыре системы уравнений для получения искомых коэффициентов В0-В4, С0-С4, ^0-^4 и Е0-Е4. Результаты расчетов представлены в табл. 4. Графики аппроксимирующих функций коэффициентов А00 = /0(соБф), А1 = /1(соБф), А2 = /2(соБф), А3 = /¡(соБф) показаны на рис. 5 сплошными линиями.
2,5 2,1 1,7 1,3 0,9 0 5
-0,9
А2
0,2 0,3
-0,8
0,4
0,5 со.з <р
0,6
0,7
А1
0,8
0.4 0.38 0.36 0.34 0.32 0.3 0.28 А3 ::< 0.24 0.22 0.2
0,2 0,3
0,4 0,5 0,6 СОЙ (р -*■
0,7
Рис. 5. Графики функций коэффициентов А00 = /0(со8ф), А1 = /¡(со8ф), А2 = />(со8ф),
А3 = /э(СOSф):----- по расчетным значениям (табл. 3); - по аппроксимирующей зависимости
0
Табл. 4. Расчет искомых коэффициентов В0-В3, С0-С3, £0-^3 и Е0-Е3
Значение функций А0-А3 Узел интерполяции совф Значение коэффициента
0,79 0,68 0,5 0,32 0,1 £4 £3 В2 £1 £0
А0 0,975 1,08 1,364 1,89 2,29 -10,482 20,631 —11,149 -1,322 2,889
С4 С3 С2 С1 С0
А1 0,53 0,50 0,41 0,16 0,065 21,885 -46,53 33,79 -8,801 0,811
£4 £3 £2 А £0
А2 -0,87 -0,91 -0,99 -1,055 -1,205 —15,402 34,185 -27,444 9,8 -2,339
Е4 Е3 Е2 Е1 Е00
А3 0,205 0,22 0,249 0,282 0,334 3,521 -8,013 6,685 -2,577 0,648
Таким образом, получаем систему уравнений для расчета приближенного
значения коэффициента ка регулирования полной мощности:
к5А - / (а, соэф) - А3 ■ а3 + А2 ■ а2 + А1 ■ а + А0;
А -/0 ( соБф ) - - 10,842соБ4ф + 20,631соБ3ф - 11,149соБ2ф - 1,322соБф + 2,889; А -/ ( соБф ) - 21,885соБ4ф -46,53соБ3ф + 33,79соБ2ф -8,801соБф + 0,811; А2 - /2 ( соБф ) - - 15,402соБ4ф + 34,185соБ3ф -27,444соБ2ф + 9,8соБф -2,339; А3 -/3 ( собк ) - 3,521соБ4ф -8,013соБ3ф + 6,685соБ2ф -2,577соБф + 0,648.
(14)
Относительная погрешность вычислений определялась как
ка А (а, соэф) -ка (а, соэш) ,..
ю% —Л—^-11100 %, (15)
ка(а, соэф)
где коэффициент к3 А (а, соэф) вычислялся по аппроксимирующей зависимости (14), а ка (а, соэф) - по формуле (8) [2].
Для области определения коэффициента соБф = 0,2.0,8 и угла регулирования а = 60.120° относительная погрешность аппроксимации по формуле (15)
составляет не более 3,3 % (табл. 5).
Коэффициент регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону приблизительно равен коэффициенту регулирования мощности, потребляемой сварочной машиной из сети: кр « кв.
В корректирующей системе автоматического регулирования мощности тепловложения выбор угла ап+1 открытия тиристоров в (п + 1)-м периоде зависит от измеренных параметров в п-м периоде (рис. 6).
Табл. 5. Относительная погрешность аппроксимации ю% коэффициента ка
совф Относительная погрешность аппроксимации ю%
Угол открытия тиристоров а, град
60 70 80 90 100 110 120
0,2 - - 0,842 0,998 0,702 0,336 3,3
0,3 - - 0,013 0,152 0,276 0,539 2,636
0,4 - 0,307 0,134 0,011 0,223 0,188 2,374
0,5 0,601 0,739 0,626 0,634 0,391 0,012 2,565
0,6 0,705 0,876 0,805 0,736 0,402 0,214 3,043
0,7 0,288 0,413 0,46 0,281 0,07 0,541 3,143
0,8 0,471 0,456 0,478 0,475 0,462 0,369 0,946
Рис. 6. Время измерения параметров 1изм и время расчета Цасч корректирующего воздействия при автоматическом регулировании процесса контактной сварки
Перед началом сварки необходимо определить коэффициент трансформации установленной ступени трансформатора, действующее значение напряжения холостого хода на вторичной обмотке трансформатора при его полнофазном включении Ц20П, активное Я2к и индуктивное Х2К сопротивления сварочной машины в режиме короткого замыкания. Кроме того, задается требуемая мощность тепловложения Р2ЗАД, которую должна обеспечить машина в (п + 1)-м периоде.
Время ^зм измерения выходных параметров процесса контактной рельефной сварки совпадает со временем включенного состояния тиристора Хп в п-м периоде. В начале сварки ток должен устанавливаться минимальным при максимальном угле регулирования тиристоров ап = атах. Заданная задержка включения тиристоров ап вводится в положительном и отрицательном полупериодах. За время Хизм происходит измерение параметров, характеризующих процесс сварки: времени включенного состояния тиристора Хп, действующих значений сварочного тока /2, напряжения на электродах и и напряжения Ц/1, подаваемого на первичную обмотку
сварочного трансформатора.
В течение оставшегося до конца п-го периода времени (расч производится вычисление задержки включения тиристоров ап+1 для (п + 1)-го периода. Для этого последовательно вычисляется ряд параметров.
1. Мощность Р2 = и2 • /2 и энергия тепловложения Qээ = Р2Т за период Т.
2. Сопротивление участка «электрод-электрод» Яээ = и / /2.
3. Коэффициент мощности сварочной машины соБфп в зависимости от длительности включенного состояния тиристоров Хп и угла включения ап по формуле (6).
4. Коэффициент регулирования сварочного тока к для заданного угла включения тиристоров ап по формуле (7) в зависимости от Хп и соБфп и ток полнофазного включения /2П = /2 / к\.
5. Мощность тепловложения при полнофазном включении с учетом сопротивления Яээ, рассчитанного в п. 2, Р2П = / 22п Яээ.
6. Требуемый коэффициент регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону в (п + 1)-м периоде крп+1 = Р2ЗАД / Р2П, равный коэффициенту регулирования мощности, по-
требляемой сварочной машиной из сети,
крп+1 ~ кап+1.
7. При известном коэффициенте квп+1 производится вычисление задержки включения тиристоров ап+1 для (п + 1)-го периода по формулам (14). С учетом коэффициента мощности соБфп (п. 3) вычисляются коэффициенты А0 = /0(со8фп), А1 = /1(соБфп), А2 = /2(соБфп), А3 = /¡(соБфп) и затем составляется кубическое уравнение, которое нужно решить относительно ап+1:
А3 ■ ап + 1 + А2 ^а2 + 1 + + А1 ■ап+1 + А0 - ка,п+1 - 0. (16)
Таким образом, разработанная авторами корректирующая система автоматического управления процессом контактной сварки позволяет вычислять коэффициент регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону в последующем периоде сетевого напряжения на основании измерения параметров машины для контактной сварки и параметров режима сварки в течение предыдущего периода.
Выводы
1. Разработана корректирующая система автоматического управления процессом контактной сварки, базирующаяся на фазовом регулировании действующего значения мощности тепло-вложения в межэлектродную зону путем изменения длительности открытого состояния одного из включенных встречно-параллельно тиристоров в течение полупериода сетевого напряжения.
2. В теории обосновано, что мощность тепловложения в свариваемые детали на участке «электрод-электрод» достаточно полно характеризует протекание процесса сварки и позволяет прогнозировать качество выполняемого соединения.
3. Вычисление коэффициента регулирования мощности тепловложения в межэлектродную зону в последующем периоде сетевого напряжения осуществляется на основании измерения параметров машины для контактной сварки и параметров режима сварки в течение предыдущего периода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляков, А. Ю. Система автоматического управления процессом контактной рельефной сварки / А. Ю. Поляков, С. М. Фурманов, Т. И. Бендик // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2013. - № 4. -С. 75-84.
2. Климов, А. С. Контактная сварка. Вопросы управления и повышения стабильности качества / А. С. Климов. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 216 с.
3. Рыськова, З. А. Трансформаторы для электрической контактной сварки / З. А. Рыськова, П. Д. Федоров, В. И. Жемерева. - Лениниград : Энергоатомиздат, 1990. - 423 с.
4. Глебов, Л. В. Устройство и эксплуатация контактных машин / Л. В. Глебов, Ю. И. Филиппов, П. Л. Чулошников. - Ленинград : Энергоатомиздат, 1987. - 312 с.
5. Патон, Б. Е. Электрооборудование для контактной сварки. Элементы теории / Б. Е. Патон, В. К. Лебедев. - Москва : Машиностроение, 1969. - 440 с.
6. Оборудование для контактной сварки : справочное пособие / Под ред. В. В. Смирнова. - Санкт-Петербург : Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отд-ние, 2000. - 848 с.
7. Амосов, А. Л. Вычислительные методы для инженеров : учебное пособие / А. Л. Амосов, Ю. Л. Дубинский, Н. В. Копченова. - Москва : Высшая школа, 1994. - 544 с.
8. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов : учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. -Москва : Высшая школа, 2002. - 840 с.
Статья сдана в редакцию 6 декабря 2017 года
Сергей Михайлович Фурманов, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: furm@mail.ru.
Андрей Юрьевич Поляков, канд. техн. наук, Белорусско-Российский университет. E-mail: mortis2008@mail.ru.
Дмитрий Николаевич Юманов, аспирант, Белорусско-Российский университет. E-mail: oitsp.dmitriy.y@gmail.com.
Андрей Николаевич Кухарев, студент, Белорусско-Российский университет. Тел.: 8-029-544-90-67.
Sergey Mikhailovich Furmanov, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: furm@mail.ru.
Andrey Yuryevich Polyakov, PhD (Engineering), senior lecturer, Belarusian-Russian University. E-mail: mortis2008@mail.ru.
Dmitry Nikolayevich Yumanov, PhD student, Belarusian-Russian University. E-mail: oitsp.dmitriy.y@gmail.com. Andrey Nikolayevich Kukharev, student, Belarusian-Russian University. Phone: +375 29-544-90-67.
