О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ ТРИКОМИ И ФРАНКЛЯ НА ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 517.956.6

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 43

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ ТРИКОМИ И

ФРАНКЛЯ НА ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

Эргашева Сарвиноз Бахтияровна, доктарант sarvinozergasheva96@mail. ru Термезский государственный университет,

Термез, Узбекистан

Аннотация: Для уравнения (signy)\y\muxx + иуу — т(2у)~1иу = 0, где т> 0, рассматриваемого в некоторой смешанной области, доказаны теоремы единственности и существования решения краевой задачи с аналогами условий Трикоми и Франкля на одной граничной характеристике.

Ключевые слова: уравнения смешанного типа, сингулярный коэффициент, граничная характеристика, недостающее условие Трикоми, аналог условия Франкля.

ON THE UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF THE PROBLEM WITH TRICOMI AND FRANKL CONDITIONS ON ONE BOUNDARY CHARACTERISTIC FOR ONE

CLASS OF MIXED TYPE EQUATIONS

Ergasheva Sarvinoz Bakhtiyarovna, doctoral student sarvinozergasheva96@mail. ru Termez State University, Termez, Uzbekistan

Abstract: For the equation, (signy)\y\muxx + иуу — т(2у)_1иу = 0, where т> 0, considered in some mixed domain, we prove uniqueness and existence theorems for a solution to a boundary value problem with analogues Tricomi and Frankl conditions on one boundary characteristic.

Keywords: equations of mixed type, singular coefficient, boundary characteristic, missing Tricomi condition, analogue of the Frankl condition.

1. Постановка задачи Трикоми-Франкля (TF).

Пусть D — конечная односвязная область комплексной плоскости С = {z = х + iy], ограниченная при у > 0 нормальной кривой

<т0(у = а0(х)):х2 + 4 (ш + 2)~2ут+2 = 1, с концами в точках А(—1,00), В(1,0), а при у < 0 характеристиками АС и ВС уравнения

(signy)\y\muxx + иуу - т(2у)~1иу = 0, (1)

где т — положительная постоянная.

Обозначим через D+ и D~ части области D, лежащие соответственно в полуплоскостях у > 0 и у < 0, а через А1 и А2 точку пересечения характеристики АС с характеристиками уравнения (1), выходящими из точек Е1(—с, 0) и Е2(с, 0), где 0 < с < 1. J = (—1,1) — интервал оси у = 0.

В задаче Трикоми [1,^29] во всех точках характеристике А С задается значения искомой функции. В данной работе исследуется корректность задачи, котороя отличается от задачи Трикоми тем, что куски А А 1 и А2С, характеристики А С освобождены от локального краевого условия, и это недостающее условие Трикоми заменено аналогами условиями Франкля [2]-[4] на АА 1 с А С и А2С с А С, и на сегментах А£1 и Я2В отрезка АА.

Задача ( ГТ) . Требуется найти в области й функцию и ( х,у) £ С ( удовлетворяющую следующим условиям:

1) функция и ( х,у) принадлежит С 2 (й+) и удовлетаоряет уравнению (1) в области

2) функция и ( х,у) является в области обобщенным решением класса И 1 [ 5, с. 1 0 4; 6, с. 3 5 ] уравнения (1) (и ( х,у) £ И, если в формуле Даламбера т'(х) , у (х) £ Я (см.ниже (8));

3) на интервале вырождения А В имеет место условие сопряжения

ди ди

Ит (-у)~т/2 — = Ит у~т! — х Е /, (2)

у—>—о ду у->+о ду

причем эти приделы при могут иметь особенности порядка ниже единицы;

4) и ( х, у) удовлетворяет краевым условиям

и(.Х,у)\ао = (р{х), X е [-1,1], (3)

и(.х, у) \А1А2 = гр(х), х £ [-(1 + с)/2, -(1 - с)/2], (4)

и[0(х)] - и[0(-х)] = р(х), х £ [-1, -с], (5)

и(х, 0) — и(—х, 0) = /(х), х £ [—1, — с], (6)

2/(771 + 2)

-Л,Л I 1И I М ^ I ЛЛ I

0(хо) =

4

аффикс точки пересечения характеристики с характеристикой

исходящей из точки

Заданные функции <р (х) , ^ (х), р (х) , /(х) — непрерывно дифференцируемы в замыкании множества их определения, причем

Заметим, что условия (5) и (6) являются аналогами условия Франкля [2] соответственно на участках и характеристики и на частях и отрезка вырождения А В. Обозначим и (х, 0 ) = т (х) , тогда условие (6) примет вид

т(х) - т(-х) = /(х), х £ [-1, -с]. (6*)

Задача при значение параметра переходит в задачу Трикоми, а при в задачу с аналогами условия Франкля на характеристике и на отрезке 2. Единственность решения задачи ГТ .

Теорема 1. Решение задачи ТР при однородных краевых условиях: ^ (х) = 0 , р (х) = 0, f (х) = 0 , своего наибольшего положительного значения (НПЗ) и наименьшего отрицательного значения (НОЗ) в области Б+ принимает только в точках кривой а к или в точках и

Доказательство. Решение видоизмененной задачи Коши с начальными данными

- ди

и (х, 0 ) = т (х) , х £ / ; И т (—у) 2 — = у (х) , х £ /, ( 7 )

у->-0 оу

дается формулой Даламбера [9]

1

и(х,у) =-

( I 771+24 / I 771 + 24

(х—;г+2(—у) 2 )+чх+;;г+2(—у) 2)

771 + 2 1

(-у) 2 Г / 2t ™+2\

- Л о I v(х + -—^(—у)—)dt. №

т +2 ) \ т +2 /

-1

В силу (8) из краевого условия (5) нетрудно получить соотношение

т'(х) + т'(-х) - т/(х) - т/(-х) = 2р'(х), х£(-1,-с). (9)

С учетом ( 6 * ) соотношение (9) преобразуем к виду

т/(х) + т/(-х) = /'(х)-2р'(х), х £ (-1,-с). (10)

Теперь в силу краевого условия (4), с учетом (8) нетрудно получить следуюшее соотношение

т'(х)-т/(х) =1//((х-1)/2), х £ (-с, с), (11)

Заметим, что соотношения (10) и (11) являются основными функциональными соотношениями между неизвестными функциями т (х) и V (х) привнесенными из области соответственно на промежутки и оси

Пусть искомая функция и(х,у) своего НПЗ в области Б+ достигает в точке (х0,у0), в силу принципа Хопфа [10,^25] эта точка не находиться внутри области Б+, т.е.

Теперь допустим, что искомая функция своего НПЗ достигает в

точке интервала т.е. Здесь рассмотрим три случая возможного

расположения точки на интервале

1. Пусть тогда в силу соответствуюшего однородного условия (с

), искомое решение своего НПЗ достигает и в точке т.е.

тогда в силу принципа Заремба-Жиро [10,^26] в этих точках V(х0) < 0 , V(—х0) < 0 , следовательно

у(х0) + т/(-х0) < 0. (12)

Неравенство (12) в силу (2) противоречит соответствующему однородному равенству (10) (с ['(х) = 0, р'(х) = 0), в силу которого должно быть V(х0) + V(—х0) = 0, полученное противоречие доказывает, что следовательно, в силу (с

) эта точка не находиться и на интервале

2. Пусть х0 Е (—с, с), тогда в этой точке в силу соответствуюшего однородного соотношения (11) (с гр'((х — 1)/ 2) = 0) следует, что V(х0) = 0, а это согласно (2) противоречит известному принципу Заремба-Жиро в силу которого V(х0) < 0 [10,с.26], следовательно

Таким образом, функция удовлетворяющая условиям теоремы 1 своего НПЗ

в области Б+ достигает в точках нормальной кривой а0 или в точках Е1(—с, 0 ), Е2(с, 0 ).

Анологичным методом как и выше можно показать, что решение и (х,у) задачи ТF удовлетворяюшее условиям теоремы 1 своего НОЗ так же достигает в точках нормальной кривой Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Задача Т Р имеет не более одного решения.

Доказательство. В самом деле, в силу теоремы 1 решение однородной задачи ТЕ своего НПЗ и НОЗ в области Б+ достигает в точках кривой а0 или в точках Е1(—с,0), Е2( с,0) отрезка А В. В силу соответствуюшего однородного (с (р (х) = 0 ) условия (3) тогда эти значения достигаются в точках и и в этих

точках в силу соответствуюшего однородного (с ) условия (6) они равны, тогда

и (х,у) = С, V (х,у) Е В + . Так как и (х,у) \ а = 0 , тогда С = 0. Отсюда следует, что

и ( х,у) = 0 всюду в замкнутой области И + . Тогда 1 1 т и (х,у) = 0 , 1 1 т у 2 у дц(х'У) = 0 и в

у-> + 0 у —>—О оу

силу непрерывности решения в смешанной области и условия сопряжения (2) следует, что 1 1 ти (х, у) , 1 1 т(—у) 2 у д м(х'у ) = 0 . Отсюда в силу соответствующих однородных

у->-0 у —>—0 оу

начальных данных (7) (с т ( х) = 0 , у (х) = 0 ) из (8) следует, что и ( х, у) = 0 . Следовательно, и во всей смешанной области й . Следствие 1 доказана.

Литература

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М. -Л., 1947, 192 с.

2. Франкль Ф.И. Обтекание профилей газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчиваюшейся прямым скатком уплотнения. // Прикладная математика и механика. 1956, том 20 №2, С.196-202.

3. Девингталь Ю.В. О сушествовании и единственности решения одной задачи Ф.И.Франкля. // Известия вузов.Математика. 1958, том 2 №3, С.39-51.

4. Линь Цзянь-бин. О некоторых задачах Франкля. // Вестник ЛГУ. Математика механика астрономия.

1961, том 3 №13, С.28-39.

5. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа . М., 1985,-304c.

6. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент 2005 "Университет" -224 с.

7. Жегалов.В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии.// Ученные записки.Казанский университет. Россия.

1962, том 22, КНЗ. С.3-16.

8. Нахушев А.М. К теории краевых задач для вырождаюшихся гиперболических уравнений. // Сообщения АН.ГССР.,1975,том 77 №3, C.545-548.

9. Мирсабурова У.М. Задача со смещением на внутренных характеристиках в неограниченной области для уравнения Геллерстедта с сингулярными коэффициентами. // Известия вузов.Математика. 2022, № 9, c. 70-82.

10. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981,-448c.