О единственности решения одной обратной узловой задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом q/in l{p}[0,Pi] Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

А. Ю. Трынин

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ

УЗЛОВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА^ЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ д е Ьр[0,п]

Достаточно полный обзор результатов, полученных в области изучения обратных задач Штурма Лиушыля. можно найти в известных монографиях [1-3].

В работе [4] получены некоторые дифференциальные соотношения в терминах дифференциалов Гато для узловых точек регулярной задачи Штурма Лиушыля с произвольными краевыми условиями третьего рода.

Теорема 1 [4]. Пусть д, и е Ь[0,п], тогда дифференциал Гато функционала хк,п[д] (п е Мм 0 < к < п) при приращении и удовлетворяет соотношению

1 ГП

Вхкп[<1,ы] = —-ы{т)у2(г,д,Лп)вк,п(т) (1)

[у'(хк,п,Я,Хп)\ ¿0

где

п ( \ Г 1 - ак,п, если т е [0,Хк,п], Гк,п л и

Замечание. В случае, когда хотя бы одно краевое условие принимает, вид условий Дирихле: а = 2п1, или в = 2п1, I е Ъ, т.е. х0,п[д] = 07 или, хп,п[д] = п, соответствующий дифференциал Гато для любых д, и е Ь[0, п]

Вх0п[д,и] = 0 ил и Лжп,п[д,и] = 0.

С помощью этого дифференциального соотношения в работе [5] предложено решение некоторой обратной задачи Штурма Лиушыля. позволяющее определять потенциал и краевые условия дифференциального оператора по значениям дифференциалов Гато одного из нулей Хк,п[д] е (0,п) некоторой собственной функции у(х, д, Лп[д]) при приращении и из множества Ш. В качестве Ш в [5] рассмотрены некоторые множества классических и обобщённых функций.

В настоящей работе изучаются некоторые условия единственности решения предложенной в [5] обратной узловой задачи Штурма Лиушыля.

Пусть q Е Lp[0,n] и Лп = Лn[q] - n-e собственное значение задачи Штур-ма^Лиувилля

У" + [Л - q]y = 0,

sin ш/(0) + cos ay(0) = 0, (2)

sin вУ(п) + cos /у(п) = 0,

где а, / Е R, a y(x, q, Лп) = yn(x) есть соответствующая ему ортонорми-рованная собственная функция этой задачи ||y(-, q, Лп) ||Lp[0,n] = 1- Изменение потенциала q Е Lp[0, п] задачи (2) на аддитивную константу q + C приводит к сдвигу спектра Л = {Лп}^=1 на ту же константу {Лп + C. Поэтому считаем, что выполнено условие нормировки

РП

/ q(x) dx = 0. (3)

о

Будем нумеровать нули функции yn таким образом 0 < x0,n < xi,n < < • • • < xn,n < п. Зафиксируем некоторыеn Е N и 0 < k < n, k Е Z. Обозначим через Xk,n[q] функционал, ставящий в соответствие потенциалу q k + 1-й нуль слева n-й собственной функции y(x,q, Лn[q]). Договоримся обозначать через

J t^o t

дифференциал Гато функционала ф : Lp[0,n] ^ R при приращении w Е Е Lp[0, п].

Через Wp, [0, п] обозначим множество определённых па отрезке [0,п] функций, непрерывно дифференцируемых и имеющих вторую производную, суммируемую с р-й степенью, на [0,п].

Теорема 2. Пусть 1 < р < yn u ym, n,m Е N, - некоторые собственные функции двух задач Штурма—Лиувилля с потенциалами из Lp[0,^; удовлетворяющими условиям нормировки (3), вида (2) и

y" ± [Л - q~]y = 0,

sin áy/(0) ± cos ау(0) = 0, (4)

sin/Лу/(п) ± cos /у(п) = 0

имеют общий нуль x*7 т. е. найдутся такие 0 < k < n, 0 < l < m, n,m Е N чтo x* = xk,n = x/,m Е (0,п)7 и дифференциалы Гато этого нуля совпадают для любого приращения w Е Wp[0,п]7 т. е.

Dxk,n[q, w] = Dx/?m [Л, w] для любо го w Е W^ [0,п]. (5)

Тогда д = д почти всюду на [0, п]7 Лп = Лт и а = а, Л = в-

Доказательство. Пусть при некоторых 0 < к < п, 0 < I < т, п,т е М, ж* = жк,п = ж/,т е (0,п) общий нуль рассматриваемых в теореме (2) задач Штурма Лиувилля. тогда из теоремы (1) и (5) для любого и е [0,п] имеем равенство

0 = Лжк,п[д,и] - ЛЖ/,т[д,И =

= / и(т)\ —у2(т,д,Лп)вк,п(т)- (6)

Jo Ц?/(ж*,д,Лп)]

1

У (т, д, Лт)А,т(т) > ¿т.

[У/(ж*,д,Л т)

2

В силу (1) функция

2д, Лп)вк,п(т) - ^-—^^С^ Л, Лт)вЛ1,т(т)

(ж*, д, Лп)] ' [у//(ж*,Л, Лт)]

принадлежит множеству Шр [0,п]. Взяв в качестве приращения обоих дифференциалов Гато функцию

и(т) = ^-1 Л ,т2У/2(т,д,Лп)вк,п(т)-^-1 Л -, 2Лт)вЛ1,т(т),

|У(ж*,д,Лп)] [у//(ж*,д,Лт)]

из (6) получим соотношение

/ {^—1 Л ,-2у2(т,д,Лп)вк,п(т)-Jo Цу//(ж*,д,Лп)]

1 I2

--^Т-2^(т, Л, Лт)/Л/,т(тП ¿т = 0. (7)

[у/(ж*,д,Л т)] )

Так как подынтегральная функция неотрицательна, то в силу теоремы 1 имеем представление

У(т,Л,Лт )П= { С1У(т,д,Лп)^рИт е|0,ж1], С = 0, г = 1, 2. (8) уу т) \ С2у(т,д,Лп), при т е (ж*, п], ' '

Соотношение С = 0, г = 1, 2 следует из условия ж* = жк,п = Х/,т е е (0,п), и, значит, вк,п(т) = 0 А,т(т) = 0- В силу того, что у и у/ есть решения дифференциальных уравнений задачи (2) при соответствующих собственных значениях Лп, Лт и потенциалах д и д, получаем

/ N Л п.В. У///(т,д,Лп) П.В. ^ Лт) П.В. ч Л /ГЛч

д(т) - Лп = -Т7-^ = ~ . = д(т) - Лт. (9)

У/(т,д,Лп) У/(т, д, Лт)

Проинтегрировав по т полученное соотношение в пределах от 0 до п с учётом нормировки (3), получим Ап = Ат.

Соотношения а = а, ^ = в также следуют из (2), (4) и (8).

Теорема доказана.

Обозначим через С2[0, п] множество функций пространства С1 [0, п] дважды непрерывно дифференцируемых на каждом из сегментов [0,£) и (£,п]. В точке £ Е [0,п] вторые производные элементов множества С2[0,п] могут иметь разрыв первого рода. Для классических решений уравнения задачи Штурма Лиувилля (2) справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть некоторые собственные функции уп и ут7 п,т Е Е N двух задач Штурма^Лиувилля с непрерывными потенциалами, удовлетворяющими условиям нормировки (3), вида (2) и (4) имеют общий нуль х*, т. е. найдутся такие 0 < к < п, 0 < I < т, п,т Е Е N что х* = хк,п = х/,т Е (0,п)7 и дифференциалы Гато этого нуля совпадают для любого приращения w Е С2* [0,п]7 т. е.

= ^х/,т [д, w] для, любо го w Е С2* [0,п].

Тогда, д = д всюду на [0, п]7 Ап = Ат и а = а7 Р = в-

Доказательство. Для того чтобы установить истинность теоремы 3 в доказательстве теоремы 2 доопределим потенциалы д и д в соотношении (9) по непрерывности.

Теорема доказана.

Работа выполнена при, финансовой поддержке Минобрнауки, РФ (проект 1. Ц36.20ЦК).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Марченко В. А. Операторы Штурма—Лиувилля и их приложения. Киев : Наук, думка, 1977. -329 е.

2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма—Лиувилля. М, : Наука, 1984. -240

е.

3. Левитан Б. Л/.. Саргсян И. С. Операторы Штурма—Лиувилля и Дирака. М, : Наука, 1988. 432 е.

4. Трынин А. Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма—Лиувилля // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, вып. 4. С. 133-143.

5. Трынин, А. Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма— Лиувилля // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, вып. 4. С. 116-129.