О двусторонней оценке корня системы нелинейных конечных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция теоретических основ радиотехники

УДК 621.382.012.712

В.Н. Бирюков, А.А. Шипитько ДВУХУЗЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА

Самым распространенным элементом электронных цепей является полупроводниковый диод. Модель каждого транзистора включает в себя не менее двух диодов, поэтому время и точность анализа таких цепей существенно зависят от свойств математической модели диода. Практически во всех схемотехнических САПР математическая модель имеет вид

и=</Лп(1//0+1)+Ш, (1)

где К, 10 и (р - параметры аппроксимации, причем схемная модель состоит из последовательно соединенных нелинейного и линейного сопротивлений, ВАХ которых описываются соответственно слагаемыми в правой части (1). Схемной моделью (1) может служить и источник напряжения, управляемый собственным током, однако в наиболее распространенном базисе узловых напряжений можно использовать лишь управляемые источники тока, для реализации которых необходима математическая модель г(и) в явном виде. Поскольку время анализа сложных цепей зависит только от их размерности, представляется актуальным создание схемной модели диода, не имеющей промежуточного узла.

Известно, что при приближенном решении алгебраических или дифференциальных уравнений решение удобно искать в виде произведения приближенного решения, известного из физических соображений, и степенного ряда. Если принять (1) за первое приближение и ограничиться единственным новым параметром, то выражение для ВАХ диода можно представить в виде

г=/0[ехр(ы/^)-11(1+ам*), (2)

где к = {1, 2, ... п}. Для выбора оптимального значения к была исследована экспериментальная зависимость от к среднеквадратичной относительной погрешности моделирования кремниевых диодов разных типов. Экспериментальная проверка показала, что погрешность (2) минимальна при к = 3, причем погрешности (1) и (2) оказались соизмеримыми. Общие параметры моделей (1) и (2) имеют одинаковый физический смысл, поэтому обе модели с одинаковой точностью описывают зависимость ВАХ от температуры.

УДК 681.3 (075.8)

А.Н. Орличенко

О ДВУСТОРОННЕЙ ОЦЕНКЕ КОРНЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНЕЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Распространяется метод двусторонней оценки системы нелинейных конечных уравнений (СНКУ) [1] на случай корней любой кратности и доказываются свойства (1)-(6).

Матричная запись левой части СНКУ относительно искомого вектор-столбца представляется в виде произведения квадратной матрицы коэффициентов (т.е. деленных на факториальный множитель частных производных каждой из функций по одной из всех неизвестных, вычисленных в точке корня) на диагональную, элемент которой есть разность между переменной с индексом, равном номеру строки, и неизвестным с тем же индексом, причем это матричное произведение умножается справа на произведение вектора-столбца, равного вектору неизвестных за вычетом вектора-корня, на вектор-столбец произвольных функций, корень которых, что очевидно, не совпадает с искомым кратным корнем.

Для липшиц-непрерывных функций с ограниченным модулем непрерывности можно указать область, в которой произвольная функция-множитель постоянна. Установлены свойства:

» 1. На некоторой итерации ньютоновская поправка для абсолютного

критерия равна отношению вектора неизвестных, за вычетом вектора-корня, к кратности корня.

2. Точное значение корня равно текущему приближению плюс ньютоновская поправка, умноженная на кратность корня.

3. Окаймляющее приращение для знакового критерия выполняется из точки, координаты которой равны текущему приближению плюс ньютоновская поправка, умноженная на удвоенную кратность корня.

4. Окаймляющее приращение равно ньютоновскому, взятому с обратным знаком, а точное значение корня находится посередине между приближениями, даваемыми ньютоновским и окаймляющим приближениями.

5. Значения вектор-функции, в указанных выше точках равны с точностью до знака, что важно для автоматической проверки.

6. Установлена область допустимых отклонений производных функций-множителей, в которой предложенным методом находится интервальная оценка корня.

ЛИТЕРАТУРА

Орличенко А.Н. Интервальная оценка решения системы нелинейных конечных уравнений: Тр. 2-й Международн. НТК "Актуальные проблемы фундаментальных наук". М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. С. А-93 - А-96.