О двух максимальных мультиклонах и частичных ультраклонах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 4. С. 46-53

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 519.716

О двух максимальных мультиклонах и частичных ультраклонах *

В. И. Пантелеев

Восточно-Сибирская государственная академия образования

Аннотация. Рассматриваются мультифункции на конечном множестве. Описаны некоторые максимальные клоны таких функций относительно суперпозиции, определенной двумя способами.

Ключевые слова: клон; максимальный клон; мультиклон; частичный ультраклон; суперпозиция; замкнутое множество; мультифункция.

В теории дискретных функций наряду с всюду определенными функциями рассматриваются и функции, определенные не на всех наборах, при этом особое внимание уделяется функциям на конечных множествах. Для таких функций имеются различные уточнения понятия неопределенности и соответствующие определения суперпозиции. При этом важным и интересным является построение и анализ порождающих множеств и проблема эффективных критериев полноты.

В предлагаемой работе неопределенность понимается как некоторое подмножество основного множества значений функции. Для таких функций операция суперпозиции определяется двумя различными способами: в основе первого лежит объединение подмножеств, в основе второго — пересечение. При этом суперпозиция, определенная первым способом, рассматривается уже достаточно долго (см., например, [4]), а вторая была введена в работе автора [1]. Множества функций, замкнутые относительно суперпозиций, называются мультиклонами и частичными ультраклонами, соответственно. Результатом заметки является описание двух максимальных частичных ультраклонов, которые также являются и максимальными мультиклонами. Этот результат обобщает

Введение

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 12-01-00351-а.

соответствующие утверждения для мультифункций на 2-элементном множестве [1, 2].

1. Основные понятия и определения

Пусть, как обычно, |А| — мощность множества А, 2А — множество всех подмножеств А и Ек = {0,— 1}. Определим следующие множества функций:

Р!и = {I I I : ЕП ^ 2Ек}, Р* = у Р*

к 7 } к кп^

п

Р*п = [/ I / Є Ріп и I/ (й)\ < 1 для всех а Є ЕП}, Р* = и Р*

п

Рк,п = [/ \ / є Р*п и \/(а)\ = 1 для всех а Є ЕП}, Рк = У Рк

п

*

Функции из Рк называют функциями й-значной логики, из Р* — частичными функциями, из Р* — мультифункциями.

Замечание 1. В дальнейшем договоримся не различать одноэлементные множества и элементы этого множества и, кроме того, для пустого множества будем использовать обозначение *, а для множества Ек будем использовать обозначение —.

Для того, чтобы суперпозиция

/ (Іі(хі, ..., Хт), ..., /п(Х1, ..., Хт))

с внешней мультифункцией /(хі, ...,хп) и внутренними мультифункциями /1(х1, ...,хт),..., /п(х1, ...,хт) определяла некоторую мультифункцию д(хі, ...,хт), необходимо определить значение мультифункции на наборах из подмножеств множества Е .

Будем рассматривать два варианта (совпадающие в случае функций й-значной логики). Если (а]_,..., ат) Є Еп, то, соответственно,

д(аі,...,ат)= и / (ві,...,вп); (1)

^/і(аі,...,а

т )

П / (ві ,...,вп), если это

віЄ/і(а1,...,ат')

пересечение не равно 0; (2)

и /(ві,...,вп), иначе.

^ віЄ/і(а1,...,ат')

g(аl, . .., ат) — <

Замечание 2. Определения (1) и (2), приведенные выше, фактически задают два разных вложения множества Р* в множество Р2Ек.

Пример 1. Рассмотрим мультифункцию / (х, у), определенную на множестве Е2 и заданную таблицей:

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

f * 1 0 —

Этой мультифункции соответствует две (в соответствии с определениями суперпозиции) функции 4-значной логики — /1 и /2:

x 0 0 1 1 * * * * 0 1 — 0 1 — — —

y 0 1 0 1 0 1 — * * * * — — 0 1 —

fi * 1 0 — * * * * * * * 1 — 0

f2 * 1 0 — * * * * * * * 1 0 0 1 —

Замечание 3. Суперпозиция мультифункций на Е^ не совпадает с суперпозицией соответствующих им функций на множестве 2е.

Пример 2. Рассмотрим 3 функции на множестве из 4 элементов, соответствующие мультифункциям на множестве Е2.

x 0 0 1 1 * * * * 0 1 — 0 1

y 0 1 0 1 0 1 — * * * * 0 1 —

f 1 1 1 0 * * * * * * * 1 — 1 —

fi 1 — — 0 * * * * * * * — — — — —

f2 1 0 0 — * * * * * * * — — — — —

Пусть g(x,y) = f (fi(x,y),f2(x,y)). Тогда значение g(x,y), рассматриваемой как функция на множестве из 4-х элементов, на наборе (—, 1) равно f (fi(—, 1), f2(—, 1)) = f (—, —) = —. Но, в соответствии с определением (1) суперпозиции получаем

g(—, 1) = g(0,1) U g(1,1) = f (fi(0,1), f2(0,1)) U f (f1(1,1), f2(1,1)) = f (—, 0) U f (0, —) = f (0,0) U f (1,0) U f (0,1) = 1.

и, соответственно, для суперпозиции (2)

g(—, 1) = g(0,1) П g(1,1) = f (fi(0,1), f2(0,1)) n f (fi(1,1), f2(1,1)) = f (—, 0) П f (0, —) = f (0, 0) П f (1, 0) П f (0,1) = 1.

Замечание 4. Значение на наборах элементов множества E k суперпозиции мультифункций совпадает со значением на наборах из одноэлементных подмножеств множества Ek соответствующих функций на множестве 2е.

Функции f : (ai,..., an) ^ {ai} называются селекторными.

Определение 1. Клон — множество функций k-значной логики, замкнутое относительно суперпозиции и содержащее все селекторные функции.

Определение 2. Мультиклон — множество мультифункций, замкнутое относительно суперпозиции (1) и содержащее все селекторные функции.

Определение 3. Частичный ультраклон — множество мультифункций, замкнутое относительно суперпозиции (2) и содержащее все селекторные функции.

Несложно заметить, что Pk — клон, P* — мультиклон и частичный ультраклон.

В дальнейшем клоны, мультиклоны и частичные ультраклоны, в случаях не вызывающих недоразумений, будем называть клонами.

Пусть К — клон и К\ — его подклон, К\ называется максимальным подклоном в К тогда и только тогда, когда [Ki U {f}] = К для любой f Е К \ Ki. Если К совпадает с Pk или P*, то соответствующий клон будем называть просто максимальным.

Справедливы следующие утверждения о максимальных клонах.

Теорема 1. [Критерий Слупецкого] Если множество M — множество функций k-значной логики (k > 2) содержит все одноместные функции и существенную функцию, принимающую все k значений, то единственным клоном, содержащим M является клон Pk [5].

Пусть * — множество всех мультифункций, принимающих только одно значение — *.

Теорема 2. [6] Единственными мультиклонами, содержащими Pk, являются только Pk U* и P*.

Это утверждение остается справедливым, если множества Pk, Pk U * и P * рассматривать как частичные ультраклоны. Идеи доказательства можно посмотреть в [3]

Пусть m-местный предикат Rm на множестве 2Ek имеет вид

R — { (a11j ...j a1m)j (a21j ■■■! a2m) j ■■■) (ap1 j ■■■) ®pm) } ■

Будем говорить, что функция f (ж1, ..., xn) сохраняет Rm, если для любых n наборов (fin, ■■■jPim,)...(en1, ..., f3nm) из предиката набор

(f (вш ...,вп1), ...j f (@1mj ...j Pnm))

принадлежит предикату.

Обозначим через Pol(Rm) множество мультифункций, сохраняющих предикат Rm.

Можно заметить, что множество функций k-значной логики, сохраняющих некоторый предикат, замкнуто относительно суперпозиции, а множество мультифункций, сохраняющих некоторый предикат, не обязательно замкнуто относительно суперпозиции (задаваемой формулой (1) или (2)).

Пример 3. Рассмотрим мультифункции g(x,y) = (0110) и g(x) = (01), заданные на множестве {0,1}. Несложно проверить, что они сохраняют предикат R2 = {(0—)}. Но функция h(x) = g(f (x), f(x)) этот предикат уже не сохраняет.

Но для мультифункций справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Пусть задан т-местный предикат Rm на множестве 2Ek. Пусть наборы (а11,..., ami),...,(ain,..., amn) принадлежат предикату и содержат только одноэлементные подмножества. Пусть мультифункция g(xi, ...xn) является суперпозицией f (fi,..., fs) мультифункций f, fi,...,fs, сохраняющих предикат Rm. Тогда набор

(g(аll, ..., аml'), ..., g(аln, ..., amn))

принадлежит предикату.

2. Основной результат

Определим m-местный предикат Rm на множестве 2Ek следующим образом:

Rm = {(ai,..., am) \ vi(ai = *) ^ ViVj(i = j ^ ai = aj&\a,i\ = 1)} Справедлива

Теорема 3. 1) Pol(Rm) — частичный ультраклон;

2) Pol(Ri) = P*k;

3) При 1 < n < k + 1 выполняется PolRn С PolRn+i, а при n > k выполняется PolRn = P£;

4) PolRk — максимальный частичный ультраклон.

Доказательство. 1) Если некоторый набор содержит *, то функция возвращает набор, содержащий *. Все остальные наборы являются наборами одноэлементных множеств и справедливость утверждения следует из леммы.

2) Pol(Ri) — множество функций, которые на любом наборе одноэлементных множеств возвращают * или одноэлементное подмножество. А по определению это множество P .

3) Заметим, что в соответствии с определением предиката, любой набор длины большей к обязательно должен содержать *. А тогда любая функция будет возвращать набор, содержащий *. Оставшаяся часть утверждения доказывается несложным образом.

4) Для доказательства этого утверждения, заметим что множество Ро1(Як) содержит а) одноместные функции, принимающие все к значений, б) одноместные функции, возвращающие не менее одной *, в) функции вида

где ф(х, у) — произвольная двухместная функция.

Пусть функция д(х\, ...,хп) принадлежит множеству Р^. \ Ро1(Як). Тогда выполняется

но при этом все наборы (ац,...,акг), 1 < г < п принадлежат Як. Рассматривая наборы (ац,...,акг) как одноместные функции, получим одноместную функцию ф(х) = (в\, ..., вк) и при этом среди вj (1 < ] < к) во-первых, нет * , во-вторых, встречаются два одноэлементных подмножества, или неодноэлементное подмножество.

Рассмотрим случай, когда среди вj (1 < .] < к) встречаются два одинаковых одноэлементных подмножества, пусть это {5}. Пусть {^} — одноэлементное подмножество, которое не встречается среди вj (1 < ] < к). В множестве Ро1(Як) выберем одноместную мультифункцию ф(х) такую, что ф(ч) = *, ф(а) = 5, а = 7. Суперпозиция ф(ф(х)) определяет одноместную функцию-константу 5.

По (3) можно получить любую одноместную функцию и существенную функцию, принимающую к различных значений, а следовательно по теореме 1 и любую функцию из Рк .А дальше можно воспользоваться замечанием б) и теоремой 3.

Случай, когда среди среди вj (1 < .] < к) встречается неодноэлементное подмножество рассматривается аналогично.

(3)

/ /(ап ... а!,п)\ ( ві\

Вк,

\ / (ак і ... ак ,п) ) \вк )

□

Повторив рассуждения, получим

Теорема 4. 1) Для любого т множество Ро1(Ят) является мультиклоном;

2) Ро1Як — максимальный мультиклон в Р£.

Теорема 5. Пусть предикат Я2 определяется следующим образом:

Уг(хг = 0) ^ х1 = 0&х2 = к — 1.

Тогда Ро1Я2 является максимальным частичным ультраклоном и максимальным мультиклоном.

Доказательство. Пусть функция f (х1, ...,хп) € Р^\Ро1Я2. Отождествлением переменных из f можно получить одноместную функцию д(х) такую, что д(0) = А = 0 или д(к — 1) = А = к — 1. Рассмотрим первый случай, второй случай рассматривается аналогично. Очевидно, что функция Н(х, у) такая, что Ь(к — 1,к — 1) = к — 1, а при остальных значениях переменных она равна 0, принадлежит множеству Ро1(Я2). Суперпозиция Н(д(х),х) порождает константу 0. А теперь воспользуемся тем, что функция

, . | у(х, у), если г = 0;

и(х,у,г) = <

I *, иначе

принадлежит множеству Ро1(Я2). П

Список литературы

1. Пантелеев В. И. Критерий полноты для доопределяемых булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонаучн. сер. - 2009. -№ 2 (68). - С. 60-79.

2. Пантелеев В. И. Критерий полноты для недоопределенных частичных булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2009. - Т. 9, вып. 3.- C. 95-114.

3. Пантелеев В. И. Специальные представления недоопределенных частичных булевых функций / В. И. Пантелеев // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. - 2009.- Сер. Физ.-мат. науки. - Т. 151, кн. 2. - С. 114-119.

4. Тарасов В. В. Критерий полноты для не всюду определенных функций алгебры логики / В. В. Тарасов // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1975. - Вып. 30. - С. 319-325.

5. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику : учеб. пособие для вузов / С. В. Яблонский ; под ред. В. А. Садовничего. - 3-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2001. - 384 с.

6. Doroslovacki R. One interval in the lattice of partial hyperclones / R. Doroslovacki, J. Pantovic, G. Vojvodic // Chechoslovak Mathematical Journal. - 2005. -N 55(130). P. 719-724.

V. I. Panteleyev

The article is about maximum multi and partial ultraclones.

Abstract. Multifunctions on the finite set are regarded. A number of maximum clones of such functions relative to the superposition which is defined of two methods are described.

Пантелеев Владимир Иннокентьевич, доктор физико-математических наук, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, ул. Н. Набережная, 6, тел.: (3952) 240435 ([email protected])

Panteleyev Vladimir, East Siberian State Education Academy, 6, N. Naberezhnaya St., Irkutsk, 664011, ([email protected])