О достаточных условиях равенства числа вершинной независимости и минимального размера кликового покрытия для одного класса графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

Е. В. Просолупов

О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАВЕНСТВА ЧИСЛА ВЕРШИННОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ И МИНИМАЛЬНОГО РАЗМЕРА КЛИКОВОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ГРАФОВ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Для обыкновенного графа улучшены достаточные условия для того, чтобы равенство числа вершинной независимости и минимальной размерности ортонормального помечива-ния графа влекло равенство числа вершинной независимости и минимального размера кликового покрытия. Для формулировки этого условия рассмотрен класс графов, имеющих определенную структуру. Пусть W — граф «колесо» с нечетным количеством вершин n ^ 5. Удалим каждое второе ребро от центральной вершины графа. Таким образом будет получена структура, состоящая из последовательности циклов C4 без ребер с общей вершиной и общим ребром для каждой последовательной пары циклов. Исследованы некоторые свойства такой структуры. Доказано, что каждый граф H, для которого выполняется а(Н) = d(H) < х(Н), содержит указанную структуру. Значит, если для некоторого графа число вершинной независимости равно минимальной размерности ортонормального поме-чивания графа G и граф G не содержит описанной структуры, то число вершинной независимости графа G равно минимальному размеру кликового покрытия графа G. Рассмотрена степень улучшения условий в сравнении с ранее известными условиями. Библиогр. 17 назв. Ил. 10.

Ключевые слова: граф, ортонормальное помечивание, ранг, минимальный ранг, симметричные матрицы, клика, независимое множество, минимальный размер кликового покрытия, число вершинной независимости, минимальная размерность ортонормального помечи-вания.

Prosolupov E. V. On sufficient conditions for equality of the independence number and the clique cover number for a class of graphs // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 90—103.

For a simple graph sufficient condition are improved to ensure that equality of the independence number and the smallest dimension of orthonormal labeling of graph result in equality of the independence number and the clique cover number. To formulate that condition a class of graphs with certain structure is described. Let W be a wheel-graph with odd number of vertices n ^ 5. Then delete every second edge from center vertex of the graph. This results in obtaining a structure of sequence of chordless cycles C4 with a common vertex and common edges in pairs. Some properties of such a structure are examined. It is proved that every graph H with property a(H) = d(H) < x(H) is characterized by this structure. So, if for some graph G independence number is equal to smallest dimension of orthonormal labeling of G and the graph G is free of the described structure, then independence number of G is equal to clique cover number of G. It discusses how the conditions have been improved in comparison with previously known conditions. Bibliogr. 17. Il. 10.

Keywords: graph, orthonormal labeling, rank, minimal rank, symmetric matrices, clique, independent set, clique cover number, independence number, smallest dimension of orthonormal labeling.

1. Введение. Рассматривается обыкновенный граф G (неориентированный, без петель и кратных ребер) с множеством вершин V(G) и множеством ребер E(G). Пусть для определенности \V(G)| = n и V(G) = {1, 2, ...,n}.

© Е. В. Просолупов, 2014

Подграфом графа G, порожденным множеством вершин U С V, называется граф G[U] с множеством вершин U и множеством ребер {{v, w} : {v,w} G E(G), v,w G U}. Термин «подграф» в рамках статьи используется в смысле «порожденный подграф».

Проблема исследования минимума ранга на классах матриц, ассоциированных с графом, встречается в разных вариантах в зависимости от того, как именно задается класс матриц. Обозначим Sn множество всех вещественных симметричных матриц n х n, а S+ - множество положительно полуопределенных матриц из Sn. Для любой матрицы X G Sn обозначим G(X) граф с множеством вершин {1, ...,n} и множеством ребер {{i,j} : xi}j = 0, 1 ^ i < j ^ n}. Диагональ матрицы X в определении G(X) игнорируется.

Для данного графа G обозначим S(G) множество всех симметричных матриц X, для которых G(X) = G:

S(G) = {X G Sn : G(X) = G}.

Минимальный ранг (minimum rank) графа G определяется как

mr(G) = min{rank X : X G S(G)}.

Проблема нахождения минимального ранга графа - предмет постоянного внимания и рассматривается в том числе над полями, отличными от поля вещественных чисел, а также для классов графов, отличных от обыкновенных (см., например, [1-4], обзоры [5, 6], а также сайт [7]).

Другая широко известная функция, которая может быть выражена в терминах ранга на множестве матриц, связанных с графом, - минимальная размерность орто-нормального помечивания графа. Ортонормальным помечиванием графа G называется такое отображение

f : V(G) ^ Rk,

что выполняется

\\fCv)|| = 1 Vv G V(G),

и

{u, v} G E(G) ^ f (u) ■ f (v) = 0.

Минимальную размерность к пространства Rk, для которого существует ортонормаль-ное помечивание графа G, обозначают d(G).

Стоит отметить, что по данному определению отсутствие смежности вершин влечет ортогональность соответствующих векторов. Можно встретить определения орто-нормального помечивания, сопоставляющие ортогональные вектора именно смежным вершинам [8]. Очевидно, одно из этих определений сводится к другому путем рассмотрения дополнения графа.

Можно показать (см., например, [9]), что функция d(G) также может быть выражена в терминах минимума ранга на множестве матриц, ассоциированных с графом. Пусть

^q(G) = {X : X G S+, I - Ag < X < I + AG}.

Здесь Ag - матрица смежности графа G, I - единичная матрица, символ ^ для матриц означает поэлементное сравнение. Тогда

d(G) = min{rank X : X G Лм0}. (1)

Множество вершин U С V (G) называется независимым множеством графа G, если никакие две вершины u\ G U и U2 G U не смежны в G. Другими словами, независимым называется множество U, которое порождает пустой подграф. Числом вершинной независимости a(G) называется наибольшее количество вершин в независимом множестве графа G.

Кликой графа G называется полный подграф Gi графа G (т. е. любые две вершины смежны в Gi). Минимальное число клик, которые покрывают все вершины графа G, обозначают x(G)- Это значение совпадает с хроматическим числом дополнения графа G.

Для данного графа G рассмотрим значение

$(G) = min max

/ ¿еу(о) (еь/(0)2'

где минимум берется по всем ортонормальным помечиваниям / графа G; е\ - орт пространства размерности, соответствующей /. Здесь ) - широко известная д-функция Ловаса [10], которая является верхней границей для числа вершинной независимости а(^). Эта функция имеет ряд эквивалентных определений и играет важную роль при изучении комбинаторной оптимизации и аппроксимационных алгоритмов [11-13].

В работе [10] Ловас показал, что функция д(^) и минимальная размерность орто-нормального помечивания графа связаны соотношением

а{С) < < <1{С) < х{С). (2)

Также известно, что в интервале [а(С),х(С)] кроме функций и ¿(С) лежат

функции т(^) и

т^) = тт{гапк X : X € А^)}, (3)

где А^) = {X : X € Бп, I - Ло < X < I + Ло};

т+ = min{rank X : X € А^о(G)}, (4)

где А^) = {X : X € Бп, I < X < I + Ло}.

Обзор результатов, связанных с функциями (1), (3) и (4), можно найти в [9]. В частности, известны следующие соотношения:

а(С) < г(С) < г+(С) < х(0), а{С) < г(С) < <1{С) < х{С).

В работе [14] доказана:

Теорема 1. Для любого графа С верно, что а(С) = г+(С) влечет а(С) = х(С). В статье [15] показано, что результат теоремы 1 нельзя полностью перенести на функции т^) и ¿(^), поскольку существует такой граф Г, что

а(Г) = г(Г) = <Г) = 3, г+(Г)=х(Г) = 4.

Более того, в статье [16] доказано, что для любого натурального к существует такой связный граф С, что а(С) = ¿(С) и а(С) + к ^ х(0).

Тем не менее в некоторых частных случаях закономерность, подобная утверждению теоремы 1, существует и для функций т(^) и ¿(^). В статье [15] доказана

Теорема 2. Если в графе О нет двух циклов С4 без хорд с общим ребром, то равенство а(С) = г(С) влечет а(С) = х(С).

Нужно уточнить, что «два цикла С4 без хорд с общим ребром» в теореме 2 являются не описанием конкретного порожденного подграфа, а некоторой подструктурой. Из доказательства теоремы видно, что про смежность некоторых вершин указанных циклов мы ничего не знаем. На рис. 1 приведены оба возможных варианта таких двух циклов. Пунктиром выделены ребра, которые могут присутствовать или отсутствовать. Ребра между вершинами 1 и 3 на рис. 1, б быть не может, что видно из доказательства данного утверждения в [15]. Таким образом, речь в теореме идет про исключение 10 различных порожденных подграфов.

а б

»2

/ 3

Рис. 1. Два цикла С4 без хорд с общим ребром Объяснение в тексте.

Доказательство теоремы 2 опирается на неявно сформулированную лемму: Лемма 1. Рассмотрим систему {п1,и2, ненулевых векторов в к-мерном

пространстве. Обозначим е1, ...,е^ орты этого пространства.

Для любых Уг, ] € {1, ...,1}, У1 € {1,..., к} из в1 ■ щ = 0, в1 ■ п^ = 0, щ ■ и^ = 0 следует, что существует такое т €{1,..., к}, т = I, что ет ■ щ = 0, ет ■ и^ =0.

Еще одна лемма, которая пригодится в наших рассуждениях, доказана в статье [17]. Лемма 2. Для каждого графа О равенство а(О) = г (О) влечет а(О) = ¿(О). 2. Анализ исключаемой подструктуры. Цель данной статьи - усиление теоремы 2 путем уточнения класса исключаемых графов и тем самым расширения множества графов, для которых условия теоремы выполняются. Для начала изучим свойства предлагаемого класса графов.

Определение. Интересующая нас далее структура представляет собой систему из I (I ^ 2) циклов С4 без хорд с общей вершиной V и общими ребрами {и,и\}, {и,и2}, ..., выходящими из этой вершины: (v,u1,v1,u2), (v,u2,v2,uз), ...,

^1). Дополнительно известно, что вершины u1,...,u^ образуют независимое множество.

Пример такой системы для I = 5 иллюстрирует рис. 2.

То есть можно думать о рассматриваемой структуре как о графе класса «колесо»

где каждое ребро цикла С) разбито на две части дополнительной вершиной ^^

на рис. 2), или как колесо W<2^+1, в котором удалено каждое второе ребро - «спица».

1

Обозначим для удобства дальнейших рассуждений такую структуру \У021+1.

Рис. 2. Пример структуры

Другими словами, в структуре с множеством вершин {г>, и\,..., щ, г'1,..., гц}

обязательно присутствуют все ребра, образующие циклы (у,и\,у1 ,и2), (у,п2,у2,п3), ..., (^,и;_1,^;_1,и;), (у,щ,у1 ,и-\), и отсутствуют ребра {v,v¿}, г € {1,...,/}, и {щ,щ}, г, у € {1,..., /}. На смежность прочих сочетаний вершин условий не наложено. То есть можно предположить, что любые вершины v¿ и Vj, г,] € {1,..., /}, г = ], могут быть смежны. Также любая вершина щ потенциально может быть смежна любой вершине vj, г,3 €{1,...,/}.

Обозначим

IV 2 (/) множество всех графов с 2/ +1 вершиной, имеющих структуру

1 Г 1 1

\¥>+1. На рис. 3, а показан граф из класса IVз (/) с минимальным количеством ребер,

а на рис 3, б -с максимальным.

»/ щ

Рис. 3. Минимальный (а) и максимальный (б) наборы ребер в графах из класса (7)|

В наименьшем случае (1 = 2) графы из множества IV з (2) будут представлять два цикла С4 без хорд с двумя общими ребрами (см. рис. 1, а). Всего найдутся два таких графа: с ребром между v1 и v2 и без него.

Лемма 3. Для любого графа С € Т¥^{1) выполняется

I < а(С) < х{С) < /+ 1.

Доказательство. I ^ а(О), поскольку вершины -ь^, ...^I образуют в О независимое множество.

х(О) ^ I + 1, поскольку каждая us смежна vs и для покрытия вершин V1, ...^I, ul, ...^I достаточно I клик; плюс одна клика для вершины v. □

Следует заметить, что в условиях леммы 3 значение а(О) = I +1 достигается только, если вершины v, Vl,..., Vl составляют независимое множество, т. е. когда независимое множество составляют вершины Vl,..., Vl.

Х(О) = I достигается, если для некоторого в € {1, ...,1} подграф О, порожденный вершинами VI,..., VI, ul,..., us-l, us+l,..., щ, можно покрыть I — 1 кликой, например если вершины Vl,..., VI и и8 порождают полный граф К+1.

Графы класса Т¥%(1) могут быть как совершенными, так и несовершенными. В подтверждение этого рассмотрим две следующие леммы.

Лемма 4. Пусть I ^ 2 и граф О с множеством вершин V = {V, 'о^,..., щ, v1,..., vl}

принадлежит классу

причем вершины проименованы также, как при опи-

сании структуры \¥,22г+1 (т. е. вершины порождают I циклов (-у, и\, VI, и^), ■■■, (v,ulбез хорд с общей для всех вершиной V и общими для каждой последовательной пары циклов ребрами {v,u1}, ..., {v,ul}).

Пусть дополнительно известно, что никакие две вершины VI и ^и^ не смежны, Уг, з €{1,...,1}, г = з.

Тогда граф О - совершенный.

Доказательство. Такой граф - двудольный, поскольку множество вершин распадается на два независимых множества ...,Vl} и {ul, ...^щ,}. Значит, как любой двудольный граф, граф О - совершенный.

Лемма 5. Пусть I ^ 3 и граф О с множеством вершин V = {V, u1,..., щ, v1,..., vl} принадлежит классу Т¥%(1)

причем вершины проименованы так же, как при опи-

сании структуры ¥/221+1.

Пусть дополнительно каждая вершина uk имеет степень 3, к € {1,...,1} (т. е.

1

смежна только с вершинами V, и V]--!, как указано в описании

Тогда, если вершины VI и 'и^ смежны для каких-нибудь г,з € {1, ...,1}, г = з, то граф О - несовершенный.

Доказательство. Чтобы доказать, что граф О - несовершенный, достаточно показать, что у него есть несовершенный подграф. Найдем в графе О цикл С5 без хорд. Не умаляя общности г < з,

а) если г = 1 и з = I, рассмотрим цикл (V, Vl, Vl, щ,);

б) если 1 <г <з = I, рассмотрим цикл (v,ui,vi,vl,u1);

в) если з < I, рассмотрим цикл (v,ui,vi,vj,щ+{).

Во всех случаях ребра, составляющие представленные циклы, присутствуют в гра-

1

фе С. По определению структуры И/22г+1 в графе С есть ребра {г;, ад^}, {г^,?^} и {иь^((ь+ц тоё о}, к € {1,...,1}. Ребро ^.¡^и^} присутствует в графе О по условиям леммы. 1

Осталось убедиться, что в этих циклах нет хорд. По определению структуры ¥г221_1_1

вершина v не смежна вершинам vi и Vj, а также никакие ui, ui+i, Uj, Uj+i попарно не смежны.

Остаются возможные ребра между некоторыми us и vt. С учетом того, что по условию леммы l ^ 3 и us не смежна vt при t = s и t = ((s — 1) mod l), граф G

а) не содержит ребер {u2,vl} и {ui,v\};

б) не содержит ребер {ui,vl} и {u\,vi}, если 1 < i < l;

в) не содержит ребер {ui,vj} и {uj+\,vi}, если i < j < l.

Таким образом, граф G включает несовершенный граф C5 в качестве порожденного подграфа, а значит, G не является совершенным. □

Рассмотрим более подробно один пример графа из класса Wi(l) (рис. 4).

Лемма 6. Для графа G, изображенного на рис. 4, выполняются следующие равенства:

a(G) = l,

r(G) =d(G) = x(G) = 1+1-

»1 "l

Доказательство.

1). а(О) = I, поскольку единственное возможное независимое множество мощности I + 1 состояло бы из вершин V, VI, ..., VI, но смежны вершины VI и V3.

2). х(6?) = / + 1, поскольку в графе 21 + 1 вершина, а размер максимальной клики равен 2.

3). Таким образом, с учетом фоpмулы (2) I ^ ¿(С) ^ I +1. Предположим, что ¿(О) = I. Пусть существует ортонормальное помечивание / : V ^ Мг. Не умаляя общности, полагаем, что /(ии) = еи, к = 1, 2,..., I.

Поскольку вершина VI не смежна вершинам из,..., и\, то

ек • / (VI) =0, к = 3, 4,...,1.

Поскольку вершина из не смежна вершинам ul,u2,u5, ...,щ, то

ей ■ IЫ = 0, к =1, 2, 5,..., I. Рассмотрим скалярное произведение векторов I(и1) и I(и?,):

l

IV) ■ I(из) = ^(еь ■ I(и1)) ■ (еь ■ IЫ) =

к=1

2 4 l

= ^(ек ■ IЫ) ■ 0 + ^,0 ■ (ек ■ I(из)) + ■ 0 = 0.

к=1 к=3 к=5

То есть помечивание I отображает вершины и1 и из в ортогональные вектора.

Теперь изучим граф О1 на рис. 5. Он отличается от графа О только отсутствием ребра между и1 и из. Значит, помечивание I также является правильным ортонормаль-ным помечиванием размерности I графа О1. Отсюда ¿(О{) = I.

»1 «1

Но нетрудно видеть, что вершины V, V!, ..., Vl графа О1 образуют независимое множество. Тогда для этого графа а(О1) = I + 1 и отсюда ¿(О1) = I + 1. Противоречие. Противоречие вызвано предположением, что ¿(О) = I. Таким образом, ¿(О) = I + 1. 4). Из леммы 2 известно, что а(О) = г (О) ^ а(О) = ¿(О). Для рассматриваемого графа ¿(О) > а(О), а значит, и г(О) > а(О). То есть г(О) = I +1. □

3. Достаточные условия.

Лемма 7. В любом графе О, для которого выполняется

а{С) = с1{С) <

найдется такой порожденный подграф Г, что для некоторого I, 2 ^ I ^ а(О), верно

^ € \wiil) .

Доказательство. Пусть множество вершин графа V(О) есть {1, 2,...,п}. Не умаляя общности, положим, что множество {1, 2,..., а(О)} является независимым множеством графа О.

Пусть а(О) = ¿(О) = а. Значит, существует ортонормальное помечивание ]: V(О) ^ Ма графа О. Не умаляя общности, вершинам независимого множества 1, 2,..., а ортонормальное помечивание сопоставляет орты пространства Ка - е\,е2, ...,еа соответственно.

Построим разбиение VI и V2 и ••• и Vq, ц ^ а, множества V(О) по следующим условиям:

1) У1 € {1,..., а}, выполняется I € V;

2) У1 € {1, ..., а} Уг € V верно, что /(г) • е\ =0;

3) У1 € {1,..., ц} Уг,з € V, вершины г и з смежны в О;

4) У1 € {1,..,д} множество V не может быть расширено с сохранением условий 1-3 за счет какой-либо вершины из множеств V\+l .

Такое разбиение для некоторого ц обязательно существует. Для его построения достаточно поместить вершину I в множество V для всех I € {1, ...,а}, а затем добавлять в каждое V, I = 1, 2,..., максимальное по включению множество вершин графа с сохранением условий 2 и 3.

Поскольку по условиям а(С) < х(С), а каждое Т7^, г € {1,..., </}, порождает полный подграф в О, то очевидно а(О) < ц.

Рассмотрим произвольную вершину V из множества Поскольку ](V) есть

ненулевой вектор пространства Ка, существует такое и\ € {1,..., а}, что f (V) • еи1 = 0.

Опишем итерационный процесс нахождения новых вершин для искомой структуры. Пусть в = 1. В начале каждой итерации дано такое и8 € {1,..., а}, что ](V) • еи& = 0.

а). Поскольку и8 € {1,..., а(О)}, по условию 4 построения разбиения известно, что множество VUs не может быть расширено за счет вершины V. Следовательно, существует V8 € VUs: V и V8 не смежны.

б). По лемме 1 из /(V) • еив = 0, /• еив =0 и /(V) • /V) = 0 следует, что

существует и8+1 € {1,..., а}, и8+1 = ив: /(V) • е^+1 = 0, /• е^+1 = 0.

8 + 1 1- «8- ) • ^иа + 1 -Г J • и3 + 1

в). Если и8+1 / {и1,..., ия_1}, положим в = в + 1 и перейдем к шагу а).

Как только для некоторого з € {1,..., в — 1} вершина и^ совпадет с и8+1, получим, что вершины V, и^, Vj, и^+1, Vj+l, ..., и8, V8 образуют структуру, показанную на рис. 6.

Про эту структуру известно следующее:

• очевидно в — з + 1 ^ 2, так как в > з. Поскольку все вершины uj, uj+l,..., и8 различны и принадлежат независимому множеству {1, 2, ...,а}, выполняется неравенство в — з + 1 ^ а(О). Таким образом,

2 < в — з + 1 < а(О);

• вершины Uj,Vj,Uj+l,Vj+l, ...,us,vs образуют цикл длины 2(в — з + 1), причем в — з + 1 ^ 2, поскольку УЬ € {1, ..., в} : иг = иг+1;

• вершина V смежна всем вершинам Uj,...,и8 и не смежна ни одной из вершин

Vl,

• каждая вершина ии не смежна щ, Ук, Ь € {з,з + 1,..., в}, поскольку эти вершины принадлежат независимому множеству графа О.

Таким образом, каждый набор вершин v,Uk,ии,ии+1 образует цикл С4 без хорд и все такие циклы соединены общими ребрами. То есть подграф, порожденный множеством вершин ..., иа, г^}, принадлежит классу — 3 + 1) . □

Рис. 6. Структура

Обозначим \wi~l =и^2 \wiil) Теорема 3. Если у графа О не существует такого порожденного подграфа Г, для

которого бы выполнялось Г €

IV ъ

то а(С) = ¿(С) влечет а(С) = х(С?). Доказательство теоремы 3 следует из леммы 7. Из теоремы 3 и леммы 2 непосредственно вытекает

Следствие. Если у графа О не существует такого порожденного подграфа Г,

для которого бы выполнялось Г €

\У 4

, то а{С) = г{С) влечет а{С) = х(С?).

4. Степень усиления достаточных условий. Как уже было упомянуто в п. 1, согласно теореме 2 из статьи [15], если в графе О нет двух циклов С4 без хорд с общим ребром, то равенство а(С) = г(С) влечет а(С) = х{С). Очевидно, теорема 3 и следствие к ней дают более сильные условия, поскольку любой граф из Н € содержит два

цикла С4 без хорд и с общим ребром, но обратное неверно.

Усиление условий, таким образом, состоит в расширении множества рассматриваемых теоремой графов на множество всех графов, которые содержат два цикла С4 без хорд с ровно одним общим ребром (см. рис. 1,б), но не содержат подграфы из класса

IV ^

Рис. 7. Последовательность циклов С4 с общими ребрами

Можно привести примеры бесконечных классов таких графов. К самым очевидным из них относится класс графов, представитель которого изображен на рис. 7. Каждый

такой граф с п вершинами состоит из ^^ циклов С4 с общими ребрами. Для такого графа верно а(С) = х(С) = ^.

Чуть более сложный граф, не исключаемый по следствию к теореме 3, иллюстрирует рис. 8. Очевидно, графы состоят из циклов С4 только для наглядности. Существует также большое количество графов с более сложной структурой.

Тем не менее условия теоремы 3 далеки от необходимости. Несложно привести бесконечное множество графов, которые исключаются по условиям этой теоремы, но для которых выполняется ее утверждение. Например, теорема 3 исключает граф, изображенный на рис. 9, поскольку он содержит в качестве подграфа граф из IV 2 (4) .В то

же время этот граф является совершенным, и, следовательно, для него выполняется равенство а.(С) =х(С)-

5. Заключение. В настоящей статье улучшены полученные ранее в [15] достаточные условия истинности предиката

а{С)=г{С) =Ф а{С)=х{С),

а также изучен ряд свойств графов, которые играют ведущую роль в формулировке этих условий.

Тем не менее класс исключаемых по новым условиям графов очень велик. Неслож-

но убедиться, что мощность множества

]¥Ц1)

растет экспоненциально от I. Хотя

стоит учитывать, что нужно проверять не столько каждый граф из множества Ш 2 (/)

сколько единую для всех таких графов структуру Ш,22+1.

Необходимо рассмотреть возможность сокращения размера множества исключаемых графов. В частности, можно сократить варианты выбора числа I для множеств исключаемых графов ТУ 2 (/) в зависимости от свойств конкретного графа.

Из формулировки леммы 7 видно, что для графа О с известным числом вершинной независимости а(С) достаточно исключать только графы из и^? . По наше-

му мнению, в дальнейшем удастся доказать, что достаточно рассмотреть для графа О

только исключение подграфов из

. В частности, можно ожидать, что нет

необходимости рассматривать подграфы из класса

ТИ(2) . Это кажется вероятным,

так как известно (см. [9]), что любой граф, для которого а(О) = ¿(О) = 2, является дополнением к двудольному графу, а значит, совершенным графом. То есть не существует графа С, для которого бы выполнялось а(С) = ¿(С) = 2 < х(С)- Для графов, для которых а(С) = (¿(С) ^ 3, можно ожидать присутствия подграфа из ТУз (/) для I > 3.

В качестве примера можно рассмотреть наименьший известный на данный момент граф, для которого а(С) = ¿(С) = 3 < х(С). На рис. 10, /изображен упомянутый в п. 1 данной статьи граф Г (см. [15]). В качестве центральной вершины, от которой строится структура ТУ ^, была выбрана вершина а. Жирными линиями выделены ребра между вершинами а, е\, е2, ез, Ъ\, порождающими подграф из (3) .

Конечно, выбор центральной вершины V при выделении структуры имеет большое значение. На рис. 10, II изображен тот же граф Г, но в качестве центральной вершины выбрана вершина в\, а независимое множество - вершины 62, С2 и е^. В этом случае не получилось подграфа из класса

Требуется дальнейшая работа по выделению ключевой структуры, которая является критической для возможности графа иметь число вершинной независимости, совпадающее с минимальной размерностью ортонормального помечивания, но при этом отличающееся от минимального количества клик, которые покрывают все вершины графа.

/

Рис. 10. Граф Г с вершиной a (I) и e1 (II) в центре

Литература

1. AIM Minimum Rank - Special GraphsWork Group: Barioli F., Barrett W., Butler S., Cioaba S. M., Cvetkovic D., Fallat S. M., Godsil C., Haemers W., Hogben L., Mikkelson R., Narayan S., Pryporova O., Sciriha I., So W., Stevanovic D., van der Holst H., Meulen K. V., Wehe A. W. Zero forcing sets and the minimum rank of graphs // Linear Algebra Appl. 2008. Vol. 428. P. 1628-1648.

2. Berman A., Friedland S., Hogben L., Rothblum U. G., Shader B. Minimum Rank of Matrices Described by a Graph or Pattern over the Rational, Real and Complex Numbers // Electron. J. Combinat. 2008. Vol. 15, R25. 19 p.

3. Lio,ng-Ho,o Huang, Gerard J. Chang, Hong-Gwa Yeh. On minimum rank and zero forcing sets of a graph // Linear Algebra Appl. 2010. Vol. 432. P. 2961-2973.

4. Lio,ng-Ho,o Huang, Gerard J. Chang, Hong-Gwa Yeh. A note on universally optimal matrices and field independence of the minimum rank of a graph // Linear Algebra Appl. 2010. Vol. 433. P. 585-594.

5. Fallat S. M., Hogben L. The minimum rank of symmetric matrices described by a graph: a survey // Linear Algebra Appl. 2007. Vol. 426. P. 558-582.

6. Hogben L. Minimum rank problems // Linear Algebra Appl. 2010. Vol. 432. P. 1961-1974.

7. Webpage for the 2006 American Institute of Mathematics workshop, Spectra of families of matrices described by graphs,digraphs, and sign patterns, // URL: <http://aimath.org/pastworkshops/matrix spectrum.html>.

8. Briet J., Buhrmon H., Gijswijt D. Violating the Shannon capacity of metric graphs with entanglement // Proc. of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS). 2012. Publ. online ahead of print doi:10.1073/pnas.1203857110.

9. Добрынин В. Ю. О классификации графов, основанной на минимальном ранге матрицы, ассоциированной с графом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 3. С. 30-38.

10. Lovasz L. On the Shannon capacity of graphs // IEEE Trans. Inform. Theory. 1979. Vol. 25. P. 1-7.

11. Jethava V., Martinsson A., Bho,tto,cho,ryya C., Dubhashi D. P. The Lovasz i9 function, SVMs and finding large dense subgraphs // Advances in Neural Information Processing Systems. 2012. Vol. 25. P. 1169-1177.

12. Duan R., Severini S., Winter A. Zero-Error Communication via Quantum Channels, Noncom-mutative Graphs, and a Quantum Lovasz Number // IEEE Trans. Inform. Theory. 2013. Vol. 59. P. 11641174.

13. Goemans M. X. Semidefinite programming in combinatorial optimization // Math. Program. 1997. Vol. 79. P. 143-161.

14. Dobrynin V. Yu. On the function "sandwiched" between a(G) and x(G) // Electron. J. Combinat. 1997. Vol. 4, R19. 3 p.

15. Dobrynin V., Pliskin M., Prosolupov E. On the functions with values from \a(G), x(G)] // Electron. J. Combinat. 2004. Vol. 11, N 5. 5 p.

16. Просолупов Е. В. О разрыве между минимальной размерностью ортонормального помечива-ния и размером наименьшего кликового покрытия графа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 4. С. 51-57.

17. Dobrynin V. On the rank of a matirx associated with graph // Discrete Mathematics. 2004. Vol. 276, N 1-3. P. 169-175.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Просолупов Евгений Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: e.prosolupov@spbu.ru

Prosolupov Evgenii Viktorovich - candidate of physical and mathematical sciences, reader, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: e.prosolupov@spbu.ru