О допустимых тензорных структурах на неголономном многообразии Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VII Междунар. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. Казань, 1939. С. 195-262.

2 Галаев С. В., Гохман А. В. Гамильтонова система в неголономном случае. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.99. № 928-В99.

УДК 514.764

С. В. Галаев, В. Т. Челышев

О ДОПУСТИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ СТРУКТУРАХ НА НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ

На неголономном многообразии X" введено понятие допустимой финслеровой структуры и строится дифференциально-геометрический объект соот ветствующей ей финслеровой связности. Используя X'" как базу, можно построить ещё одно неголо-номное многообразие Х^т, на котором индуцируется допустимая риманова структура. Получены коэффициенты соответствующей римановой связности.

An admissible Finsler structure on a nonholonomic X™ is introduced and the differential-geometric object of Finsler connection is. Using X™ as the base, it is possible to construct another nonholonomic manifold X^m with the inducing admissible Riemannian structure . The object of the connection generated with this structure is obtained.

Неголономное многообразие X" и его оснащение Х"~т (см. [1]) -

7С

это векторные подрасслоения касательного расслоения ТХ->Х - Хп,

причём ТХ = X" ® Х"'т. Пусть на X существует атлас из таких карт

к(х) = [ ха } , что у „ I - базис слоя \Х"~т I . Закон преобразо-^ Лх=1 {/dxpx)p=m+l

вания таких карт:

ха' =ха'(ха\ хр' = ХР'(ха ,ХР\ а,*т 1.....т, р.р' = т + 1,...,п. (1)

Пусть еа = да - Трдр- поля векторов, допустимых для X*, причём dxa(eb)=8%, какв [2]. Тогда [еаеь\ = М phd р * 0, так как X™ неголономно.

Карта к определяет на X™ карту (ха,х"+а), где 1; = х"+аеа.

, дха

Тогда (1) дополняется формулой х"+а =--.

дха

Пусть теперь Ох- образ нулевого векторного поля и на X™ \ Ох задана такая дифференцируемая функция I, что

2)Ь2 ьЕ,аЕ,а ш———тЪ"$а>0\/$*0. ; дхп+адхп+ь

Назовём Ь финслеровой структурой на X™. При т = п получаем X" = ТХп и Ь совпадает с финслеровой структурой, введённой в [3].

Пусть Г а^ёа\дсЬ\х^с-дь1г), Т^Таь=Т°Ьсх\

Гр=0. Полученный геометрический объект (Г£ ,Г°) назовём объектом допустимой инфинитезималъной связности на X™. Он даст следующее поле неголономного репера на базе X™:

ъа~Неа гадр - гадп+ь> гР="дР(горизонтальные лифты),

гп+а=уеа (вертикальные лифты). При этом [^'¿ь]=МРьдр+ЯсаЬд„+с, где М>л « -2(з[вГ^ + дчЦ ■ Г*]),

Кь = -2(д[аГь"(с + дчТ^ ■ Г^ + 5„+,Г^ ■ Г^ , [£адп+ь}=11ьдп+с, где ЬсаЬ = дп+ьТ"+с.

Подсистемы этого базиса задают распределения на X™: (ев+а)- вертикальное УТ = Уг(х™)=уХ? и {^лЬг^^У^голономное Хг™т=нХтп ®уX™.

На X™ существует допустимая риманова метрика g = gabфa ® с1хь +сЬса+" <8)с1хь+"), а также может быть рассмотрена почти комплексная структура J - 8ьа(с/хп+а ®гь -йха ®еА+п), относительно которой метрика почти эрмитова. Наконец, определим почти сим-плектическую структуру т(с,, г,) = 7т)).

Введённая выше допустимая финслерова связность на X™ согласована с метрикой § и не имеет кручения, т.е. для допустимых векторных полей ^ и т)

^ = 0, ?„1<\-У%£, = 2£>а{д[аг\ь)дь],

= о, У^п - = 2Г (аий К].

Пусть VE<je¿ = Tcabec, У&п+аеь = Ccabec, тогда

Гab =^gCd(ZaZdb +48da ~^dgab), Cab = ^g^igdb-a + gda-b ~ gab-d)-

Теперь рассмотрим на связность без кручения для допустимых полей, согласованную уже с римановой структурой g:

Vg = 0, VeA ев = r¿B£c, А,В,С = l..m,(n + l)...n + m . Её коэффициентами будут

с п+с с

ГоА = ТСаЬ , Tab = -~gcd[gab.d-Sdf^ab )' Га'П+Ь = \sCd{sda-b + gbfR-dX

п+с с

Ta,n+b =ГаС„ +~gCd(gdfBfab-ghfB}ad\ T„+a,b =~gCd{gbd-a + gaf4d)>

n+c n+c

г n+a,b =-\gcd{gfaBfbd+gafBi), Тп+а,п+ь = Ccab, где В'л=ил-Гл.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VII Междунар. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. Казань, 1939. С. 195-262.

2 Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в «-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М : ГТТИ, 1941. Вып. 5. С. 173 - 225

3. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука,

1981.

УДК 517.984

О. Б. Горбунов

О СИСТЕМЕ ДИРАКА С НЕИИТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

Рассмотрим систему Дирака вида

ВУ'+ (Р(х)+Р0(х))У = - со < * < +со, (1)

где