О ДЛИНЕ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ СО СМЕШАННЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ В УСЛОВИЯХ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. .V 3. С. 54 59 Ьошоповоу СотргЛа^опа! Matllematics аш! CyЬorllotics Лоигпа!

УДК 519.21

А.К. Берговин1, В.Г. Ушаков2

О ДЛИНЕ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ СО СМЕШАННЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ В УСЛОВИЯХ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ

В работе изучена одпокапальпая система массового обслуживания с тремя иуассоиовскими входящими потоками. Времена обслуживания требований каждого потока имеют произвольное абсолютно непрерывное распределение. Требования первого потока имеют относительный приоритет перед требованиями второго потока и абсолютный приоритет с обслуживанием заново перед требованиями третьего потока. Требования второго потока имеют относительный приоритет перед требованиями третьего потока. Найдено предельное распределение числа требований третьего потока в системе при одновременном стремлении загрузки к единице, а времени к бесконечности.

Ключевые слова: пуассоповский поток, смешанный приоритет, относительный приоритет, абсолютный приоритет, длила очереди, критическая загрузка.

Б01: 10.55959/М8и/0137 0782 15 2024 47 3 54 59

1. Введение. Исследования систем с приоритетами находят приложения как в различных технических системах (передачи и обработки информации, вычислительных и т.п.), так и в различных системах обслуживания (транспортные, медицинские и т.п.). Введение приоритетов означает разбиение поступающих на обслуживание требований на классы. Требования, принадлежащие каждому классу, характеризуются своими параметрами обслуживания и правилами поступления на обслуживание из очереди. В большинстве исследований предполагается, что эти правила однотипны для каждой пары классов требований. Наиболее часто применяются правила относительного и различных разновидностей абсолютного приоритета. В работе [1] предложены смешанные приоритеты. В этом случае при поступлении нового требования принимается решение, какую дисциплину, относительный или абсолютный приоритет с дообслуживанием, использовать не только сравнением классов, которым они принадлежат, но и временем, которое уже находилось на приборе обслуживаемое требование. В работе [2| изучена система с другими разновидностями смешанных приоритетов: а) выбирается либо относительный, либо абсолютный с обслуживанием заново прерванного требования; б) выбирается абсолютный приоритет либо с потерей, либо обслуживанием заново прерванного требования. Выбор приоритета производится только на основании сравнения классов поступающего и находящегося на приборе требований.

В настоящей работе исследуется поведение длин очередей при одновременном стремлении времени к бесконечности и загрузки системы к единичной. Такая постановка задачи была предложена в [3]. В системах с относительным приоритетом и пуаееоновекими входящими потоками аналогичные предельные теоремы были получены в [4,5], а с гиперэкепоненциальными в [6,7].

2. Описание системы обслуживания. Рассматривается последовательность систем массового обслуживания (схема серий) с неограниченным числом мест для ожидания. Опишем систему с номером ш: в нее поступает три пуассоновских входящих потока с интенсивностями а^™, аОГ"^, а^™ соответственно. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины с функциями распределения в1т) (ж), вВ™^ (ж), вВ^1 (ж) и плотностями распределения ь1т)Ьз™(ж)- Между требованиями первого и второго потоков, как и между

1 Факультет ВМК МГУ. асс.: Московский центр фундаментальной и прикладной математики, матем.. е-шаП: alexey.bergovinOgmail.com

" Факультет ВМК МГУ. проф.: Институт проблем информатики ФИЦ ИУ ГАН. ст. науч. сотр.. д.ф.-м.п.. е-шаП: vgusliakovOmail.ru

требованиями второго и третьих) потоков, действует дисциплина относительного приоритета, а требования первого потока имеют абсолютный приоритет с обслуживанием заново над требованиями третьих) потока.

Введем обозначения:

в (s) — преобразование Лапласа-Стильтьеса функции bmi(x), i = 1, 2, 3;

ßj^ — j-й момент случайной величины с функцией распределения Bmj(x), i = 1, 2, 3;

¿3(t) — число требований третьего потока в системе в момент времени t.

В данной работе будет исследовано распределение длины очереди третьих) потока (наименее приоритетный класс) в случае, когда одновременно t ^ то и р ^ 0, где

р = 1 - aißn ~ a2ß2i ~ — ■

ai вз(ai)

Исследование проводится в следующих предположениях:

1) существуют первые два момента длительностей обслуживания требований каждого приоритета, причем

в (m)

ßlm)(s) = 1 - ßlT]s + &-S* + om(s2),t = 1,2,3, где om(s2)/s2 ^ 0 при s ^ 0 равномерно по m;

(m) (m) (m) (m) (m) a(m) i — ß(m) (a(m)) (m)

2) для любого натурального m: p\ = a\ Ж, 4-aX ffi. 4—fcy — Л < 1. lim p\ = 1;

a1 ß3 (a1 ) m—yoo

3) существуют пределы Jim a(m) = a*, Jim ßj1^ = вг*7-, i = 1,2, j = 1,2, lim e(m)(s) =

™ ™ j j'

3(

e*(s).

Для предельных значений функций от aim), ej"^, e3m) (s) будем использовать те же обозначения, чт0 и для допредельных, но с дополнительным верхним индексом *.

m lim

lim

m—oc

3. Предварительные результаты. Положим

0

Из результатов работы [2| можно получить следующую формулу:

P(zs,s) =

1 — 2з

1 Н--/З3(« + а-1 + а,3 - а,3г3) • р3(,г3,0,

8 + аз — аз2з [ £з

где рз(2з, 0,8) определяется из следующего соотношения:

¿3(^12(23,8),П22(£з,8),£з,8)рз(£з, 0,8) =1 — (8 + СТ — а1П12(2з,«) — а2П22(^з,^) — аз2з) Ро(^),

, , . -1Д , , . 1 — вз + Ст — а222 — аз£з)

03(21, ¿2, 23, в) = 1 - г3 р3(8 + а- а,2г2 - а3г3) - а^!----,

з 8 + ст — а222 — аз2з

ст = а1 + а2 + аз, ро(^) = (« + ст — а^з^) — а2П2з(з) — азпзз^))-1.

Решениями ¿з(21,22, 2з,8) = 0 являются п1(«) := п1з(з),п2(з) := п2з(з),пз(з) := пзз(з). Из [2]

получаем следующую систему для п^(«), ^ = 1, 2, 3 :

П1(8) = в1 (8 + Ст — а1П1(8) — а2П2(8) — азпз(«)), (1)

П2(з) = в2 (8 + СТ — а1П1(8) — а2П2(8) — азпз(«)), (2)

/Л Я/ , /Л / \\ , (\ ( \ 1 — вз + Ст — а2п2(8) — азпз(8))

7Гз(«) = /Зз (5 + а - а27Г2(8) - а37Г3(5)) + а17Г1(5)7Г3(5)----------• (3)

8 + Ст — а2П2(з) — азпз(8)

Обозначим:

ui(s) = ai(ni(s) - 1) + ö2(п2(s) - 1) + аз(пз(з) - 1) = aini(s) + a2^(s) + a3^(s) - а,

U2(s) = й>2 (n2 (s) - 1) + аз(пз(з) - 1).

Основная цель работы — найти lim P (pYL(t/pa) < x) при любом а > 0. Так как

то

J е~**Е ^exp ^—upJL dt = pap(e~up\spa),

0

то достаточно найти lim pap(e-upT , spa) и воспользоваться теоремами непрерывности для преобразований Лапласа (см. [8]).

Определим y следующим образом:

f а/2, а < 2, 7 [1, а > 2.

4. Вспомогательные разложения и преобразования.

Лемма 1. Справедливо следующее асимптотическое разложение для ui(spa):

¡S Ü. /ÜN

-у-р2 + °(р2 )> а < 2,

Mi(spa) = 1 - vi + 4ш

-—--Р + о(р), а = 2,

k-spa-i, а > 2,

где

/aißi2 + a2ß29 (1 - aißn)ß3(ai)ai + (1 - aißnß3(ai))(1 - ß3(ai))\

v=\—2—+03--) ■

Доказательство. Складывая уравнения (1) (3), получаем следующее уравнение:

ui(spa) = aißi (spa - ui(spa)) - ai + a2ß2 (spa - ui(spa)) - a2-

__(spa - ui(spa))(l - ß3 (spa + a.i - u2(spa)))

Ö3s - m + (a,\ + m(spa) - u2(spa))ß3 (spa + ai - u2(spa))'

Пусть ui(s) = ci(s) ■ pY + C2(s) ■ p2Y + o(p2Y), U2(s) = di(s) ■ pY + d2(s) • p2Y + o(p2Y).

Подставляя данные представления в уравнение (4) и пользуясь тем, что

1 - ß3 (ai - di (s)pY)

-С1(в)(р^) + (й1 + (С1(в) - ¿1(в))рТ)вз (й1 - )

1 — , ч 7 (1 - а.1/?ц)/?з(0.1)0.1 + (1 - а-1/311/Зз(а-1))(1 ~ /?з(Д1>) , 7ч

" а,А(а.1) +С1(')Р Х а2/?2(а.1) + °(Р }

получаем уравнение относительно Ь = С1^)р7:

■иЬ2 — р ■ Ь — зра + о(шах(§ра,Ьр)) = 0.

Из т01х), что

1=р~л/р2 + 4тра +0(р"<),

следует утверждение леммы.

Положим ф(е-щр7,8ра) = а1(^1(в-ир7,8ра) — 1) + а2(^2(е-ирТ,8ра) — 1).

Лемма 2. Справедливо следующее асимптотическое разложение:

-ир^вра) = _агирЦафп + а2р21) + ^ _ ^ + о(тах(/Л ^ 1 — а1Р11 — а2в21

, _ а>1рп + а-2/^21 д о,_27 + + «2/^21 аз-»2 + 0-1/^12 + 0-2/^22_а-!-»2__

1 - афп - а2/321^ 1 - - а2/?21 2 2(1- оц/Зп - а2[321)3'

Доказательство. Рассматривая уравнения (1) и (2), имеем

ф(е-ир7,8ра) = а1в1 — ф(е-ир7,8ра) + аз — азв-ир7) — а1+

+ а2в2 (8ра — ф(е-ир7, 8ра) + аз — азе-ир7) — а2. (5)

Выделяя главную часть порядка р7, получаем

±/ -ир'1 а\ аз^р7 (а1^11 + а2 в21 ^ I 2-1,/ /а 27\\ <а\

ф(е Р,зр) =--1 _ ^ _ ^ + 0 • р 7 + о(тах(р , р 7)). (6)

Подставляя (6) в (5), находим ф в указанном в формулировке леммы виде.

Следствие. Асимптотическое разложение для а2(22(е-ир7,зра) — 1) имеет вид

аф2(е-^,врП - 1) = - + . р27 + о(тах(р« р27)))

1 — а1Р11 — а2 Р21

^ ___0-2^21_вр"-21 Н__а2/^21_А-ЗЦ2 ^

1 — а1^11 — а2^21 1 — а1 ви — а2^21 2

0-1/^12 + а>2р22 (12^21__а-2/^22

2 1 - аг/Зц - а,2/?21 2

Лемма 3. Справедливо следующее асимптотическое разложение:

4(п1(е-ир7 ,зра),П2(е-ир7,8ра), е-ир7,8ра) =

Шз112ра +о(ра), а <2,

аз^2

(1 — а1ви — а2в21)2'

= вз (а1) х <

аз (1 — а1ви — а2в21)2

2 2 2 2

вр ир па-^и р 2\ 2

а3 1 - а,1/3ц - а2/?21 (1 - а^п - а2/?21)2

2 2 2

ир2 -иаз-и2р2 , 2.

Р н + о(р2), а >2.

, 1 — а1ви — а2 в21 (1 — а1ви — а2в21)2

Доказательство. Перепишем ¿з(21, 22,2з, в) в виде

¿з(21,22,2з,8) = вз (8 + СТ — а2^2 — аз2з) X

Л -1 , 1 — вз (8 + Ст — а222 — аз2з) , , ч

х 1-23 +-—----—---{з + а - а.ггг - а2г2 - а3г3)

V (8 + Ст — а222 — аз2з)вз (8 + Ст — а222 — аз2з)

Учитывая, что

1 - Рз (,вра + <Т- а2г2{е-иР1, ,вра) - а3е («р" + сг- а2г2(е-иР~<, зра) - а3е"г^7)/33 (зра + а - а2г2(е~иР"', вра) - а3е"г^7) ~

+ [,р«+а2-а222(е-^7,,р-)+а3-а3е-^7]+о(тах(р«,р27)).

а1вз(а1) \а1 в3(а1) а2вз(а1) /

Так как

зра + а2 ~ а2г2(е-ир\8ра) + а3 - а3е~ирп = зра + _ ^+

1 — 01^11 — 0-2,021

т аз^р + а,3ир <--—

2р27

= вра +

а3мр7 (1 — а1 в11) 1 — 01^11 — 02^21

— ^2 +

а3м2

~1Г

р27 + о(шах(ра,р27)),

то разложение для ¿з(е ир'1, 0, ) имеет следующий вид (из которого следует утверждение лем-

вз(а1)

зр" аз

ир

,7+1

■гоз и2 р27

1 — 01^11 — 02^21 (1 — 01^11 — а2 в21 )2.

+ о(шах(ра ,р7+1 ,р27)).

5. Предельная теорема. Преобразуем искомый предел:

11ш рар(е—ир7,вра) =

= Иш

ра

вра + 0з(1 — е-щР7)

1 +

1 - е~иР1

е-ир'у

вз(зра + 01 + 0з(1 — е-ир7)) ■ рз(е-ир7, 0, зра)

0з

где рз(е щр7, 0,8ра) можно определить из следующего соотношения:

¿з(п1(е-ир',зра),П2(е-ир',зра),е—ир',зра)) ■ рз(е—ир',0,зра) =

_ а^е-^',зра)-7п(8ра)} + а2[тг2(е-иР' ,зра)-1г2(зра)} + аз[е~ир1 - тг 3(зр°)] + а,1 - а^^р0") + а2 - а2тт2(8ра) + а,3 - азттз^р0)

Переписывая правую часть данного соотношения через ранее введенные функции, получим:

,вра + ф(е~ир ,вра) + аз(е~ир - 1) - щ(зр°) — ^(вр")

(7)

Используя результаты лемм 1 и 2, получаем разложения для (7):

0зи

V 1 — 01,011 — 02^21

-1

+ о(1), а < 2,

(8)

0зи

1 — 01^11 — 02,021

2и

-1

, 1-уТ+4^ ^1- уТ+4^у +-,-)х(---\ +о(1), а = 2,

0зи

1

1 — 01,011 — 02^21 зр'

Го+о(р2~а), а >2.

а-2

(9) (10)

Используя лемму 3 и разложения (8) (10), выполнив стандартные преобразования, находим интересующий нас предел:

Иш ра^^'рз{е-ир\ 0, вра)

0з

1 + 1 + в ( 1 +

1 — 0* ,01*1 — 02^2*1

-1

2-и*

1 + VI + 1 - аЩг - а*ф*21 „.2 „2„. \ 1 —1

1 — 02,0*1 — 02^*1

—1

а < 2,

а = 2, а > 2.

Тогда, обращая преобразования Лапласа, получаем утверждение следующей теоремы.

х

з

з

з

Теорема. При m ^ то существует, предел t

lim Р р7 ■ L3

ра

< x =

=

1 -

1 - e-

е 2 cl.y, а < 2,

а > 2,

л/п

e y dy, а = 2,

где.

*

w =

1 - а*в*1 - а*в*1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Джой су о л И. Очереди с приоритетами. М.: Мир. 1973.

2. Б е р г о в и и А.К.. Ушаков В.Г. Исследование систем обслуживания со смешанными приоритетами // Информатика и ее применения. 2023. 17. Вып. 2. С. 57 61.

3. Прохоров Ю.В. Переходные явления в процессах массового обслуживания // Литовский математический сборник. 1963. 3. № 1. С. 199 206.

4. Д а н и е л я н Э.А. К асимптотике периода занятости и времени ожидания приоритетных систем Mr|Gr |1|то при критической загрузке // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1975. X. № 3. С. 272-287.

5. Даниелян Э.А., Земляной Н. С. К асимптотике длины очереди систем Mr |Gr |1|то в условиях критической загрузки // ДАН Арм. ССР. 1978. LXVI. № 4. С. 193 196.

6. Ушаков A.B.. Ушаков В.Г. Предельное распределение времени ожидания при критической загрузке в системе с относительным приоритетом // Востн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киборн. 2012. № 4. С. И 16.

7. Ушаков A.B. Анализ системы обслуживания с гиперэкспоненциальным входящим потоком в условиях критической загрузки // Информатика и ее применения. 2012. 6. Вып. 3. С. 114 118.

8. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.

2

—w x

e

a*v

*

3

Поступила в редакцию 19.02.24 Одобрена после рецензирования 26.02.24 Принята к публикации 26.02.24