О ДИСКРЕТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 28, № 142

2023

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ

© Васильев В.Б., Машинец А.А., 2023

https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-169-181

OPEN,

8

I ACCESS

УДК 517.95+517.983

О о «-»

дискретном краевой задаче в четверти плоскости

Владимир Борисович ВАСИЛЬЕВ, Анастасия Александровна МАШИНЕЦ

ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный

исследовательский университет» (НИУ «БелГУ») 308015, Российская Федерация, г. Белгород, ул. Победы, 85

Аннотация. Мы изучаем разрешимость дискретного аналога модельного псевдодифференциального уравнения в четверти плоскости в дискретных пространствах Соболева-Сло-бодецкого. Используя понятие периодической волновой факторизации для эллиптического периодического символа, мы описываем условия разрешимости этого уравнения и одной связанной с ним краевой задачи. В частности, для определенных значений индекса периодической волновой факторизации получена формула общего решения модельного дискретного псевдодифференциального уравнения, в котором содержатся некоторые произвольные функции. Для их однозначного определения вводятся дополнительные условия — дискретный аналог интегральных условий на сторонах угла. Доказана теорема существования и единственности полученной дискретной краевой задачи и получены априорные оценки решения. Дается также сравнение дискретных и непрерывных решений краевых задач при специального выбора дискретных объектов.

Ключевые слова: эллиптический символ, обратимость, дискретный псевдодифференциальный оператор, дискретное уравнение, периодическая волновая факторизация

Для цитирования: Васильев В.Б., Машинец А.А. О дискретной краевой задаче в четверти плоскости // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. № 142. С. 169-181. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-169-181

SCIENTIFIC ARTICLES

© V.B. Vasilyev, A. A. Mashinets, 2023

https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-169-181

my

OPEN,

Q

IACCESS

On a discrete boundary value problem in a quarter-plane

Vladimir B. VASILYEV, Anastasia A. MASHINETS

Belgorod National Research University 85 Pobedy St., Belgorod 308015, Russian Federation

Abstract. We study the solvability of a discrete analogue of a model pseudo-differential equation in a quarter-plane in discrete Sobolev-Slobodetskii spaces. Using a concept of periodic wave factorization for elliptic periodic symbol, we describe solvability conditions for the equation and for a certain boundary value problem related to this equation. In particular, for certain values of the index of periodic wave factorization, a formula for a general solution of the model discrete pseudo-differential equation is obtained, there are some arbitrary functions in the formula. For their unique determination, we introduce certain additional conditions such as a discrete analogues of integral conditions on angle sides. The existence and uniqueness theorem for the stated boundary value problem is proved and a priori estimates for the solution are obtained. A comparison between discrete and continuous solutions for a special choice of discrete objects is also given.

Keywords: elliptic symbol, invertibility, digital pseudo-differential operator, discrete equation, periodic wave factorization

Mathematics Subject Classification: 35S15, 65T50.

For citation: Vasilyev V.B., Mashinets A.A. On a discrete boundary value problem in a quarter-plane. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:142 (2023), 169-181. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-142-169-181 (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Мы изучаем дискретные псевдодифференциальные уравнения и их разрешимость в соответствующих дискретных функциональных пространствах. Существуют определенные подходы к исследованию дискретных краевых задач для уравнений в частных производных, в том числе метод конечных разностей и метод разностных потенциалов (см. [1,2]), однако они неприменимы к изучению дискретных краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. С учетом этого факта первый автор с коллегами начал развивать дискретную теорию эллиптических псевдодифференциальных уравнений [3]. Мы начали исследование с модельных операторов и канонических областей. Первые результаты были связаны с дискретным т -мерным пространством и полупространством, здесь мы рассматриваем дискретный квадрант.

1. Дискретные операторы и уравнения

Пусть К = {х = (х^х2) € К2 : Х1 > 0,Х2 > 0} — первый квадрант, Ъ2 — целочисленная решетка на плоскости, Ка = НЪ2 П К, Н > 0, па(X), X = (Х1,Х2) € НЪ2 — функция дискретной переменной.

Обозначим Т2 = [—п,п]2, К = К-1. Функцию, определенную в КГ2, мы трактуем как периодическую функцию в К2 с основным квадратом периодов КТ2.

Можно определить дискретное преобразование Фурье для функции па

(^)(£) = Па(£) = ^ е-^«па(Х)Н2, £ € КТ2,

х&НЪ2

если последний ряд сходится и Па(£) — периодическая функция в К2 с основным квадратом периодов КТ2. Это дискретное преобразование Фурье сохраняет все свойства интегрального преобразования Фурье, а обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид

(^-1Па)(Х) = / е^X € НЪ2.

КТ2

Дискретное преобразование Фурье осуществляет взаимно однозначное соответствие между пространствами Ь2(НЪ2) и Ь2(КТ2) с нормами

1/2 /г \ 1/2

, 1М2 у М£)|2^ .

5ейТ2

Нам понадобятся более общие дискретные функциональные пространства, которые мы введем, используя разделенные разности [1].

Разделенные разности первого порядка выглядят следующим образом

(А(11)па)(Х) = Н-1(па(Х1 + Н,Х2) - па(ХьХ2)), (Д2^па)(Х) = Н-1(па(ХьХ2 + Н) - па(ХьХ2)), а их дискретные преобразования Фурье даются формулами

(Ак1)па)(£) = Н-1(е-^ - 1)пй(£), к = 1, 2.

Разделенная разность второго порядка — это разделенная разность первого порядка от разделенной разности первого порядка

(Д12)па)(Х) = Н-2(па(Х1 + 2Н,Х2) - 2п^(Х1 + Н,Х2) + пл(ХЬХ2)),

па||2 = V] |па(Х)|2Н2

(Д2 = Ь 2(м^(Х1,Ж2 + 2Ь) - + Ь) + пл(ХьХ)),

с преобразованием Фурье

(Д^ХС) = Ь-2(е-^ - 1)^(0, к = 1, 2.

Дискретный аналог оператора Лапласа имеет следующий вид

(Д^)(£) = (Д12)и^)(Х) + (Д22)^)(Х),

так что его преобразование Фурье выглядит как

(Д^)(0 = Ь-2((е-^ - 1)2 + (е-^«2 - 1)2)п*(£).

Мы используем эти дискретные объекты для построения дискретных пространств Со-болева-Слободецкого для изучения широкого класса дискретных уравнений.

Сначала введем дискретный аналог пространства Шварца Б (Ь^2) как набор дискретных функций с конечными полунормами

М = 8пр(1 + |Х|)г|Д(к)п^(Х)| для произвольного I Е N к = (к1, к2), кг Е М, г = 1, 2,

Д(к)мх) = Дк1 Дк2 ^(х).

Определение 1.1. Дискретной обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал, определенный на пространстве Б(Ь^2).

Множество таких дискретных обобщенных функций будем обозначать через Б'(Ь^2), и значение дискретной обобщенной функции / на тестовой дискретной функции п^ Е Б(Ь^2) будет обозначаться (/,п^). Аналогично [4] мы можем определить стандартные операции в пространстве Б'(Ь^2), но дифференцирование будет заменено на разделенную разность первого порядка. Эти операции подробно описаны в [3], под сходимостью понимается слабая сходимость в пространстве Б'(Ь^2).

Пусть (2 = Ь,-2((е-л'?1 - 1)2 + (е-г^2 - 1)2). Введем следующее определение.

Определение 1.2. Пространство Н 5(Ь^2) состоит из (обобщенных) функций дискретного аргумента и является замыканием пространства Б(Ь^2) относительно нормы

I (1 + К 21ГЫ01Ч)1/2. (1.1)

'кг2

Изменяя параметр Ь в (1.1), мы получим различные нормы, которые эквивалентны Ь2 -норме, но константы в этой эквивалентности зависят от Ь. В наших конструкциях ниже все константы не зависят от Ь — это важный факт для сравнения дискретных и непрерывных решений.

Определение 1.3. Пространство Н5(К) состоит из дискретных (обобщенных) функций из Н5(Ь^2) таких, что их носители принадлежат множеству К. Норма в пространстве Н5 (К) индуцируется нормой пространства Н5(Ь^2). Пространство Н0(К) состоит из дискретных (обобщенных) функций / Е Б'(ЬК2) с носителями внутри К, и

эти дискретные (обобщенные) функции должны допускать продолжение в пространство ). Норма в пространстве Н^(К^) задается формулой

ll/d 11+ = inf ll/dIU, где инфимум берется по всем продолжениям £

Фурье образ пространства Hs(Kd) будет обозначаться Hs(Kd).

Пусть Aid (С) —измеримая периодическая функция R2 с основным квадратом периодов KT2. Такие функции мы называем символами.

Определение 1.4. Дискретным псевдодифференциальным оператором Ad с символом Ad (С) в дискретном квадранте Kd называется оператор следующего вида

(AdUd)(x) = ^ h2 j Aid(£)ei(x-^Ud(C)dC, x £ Kd.

jiehZ2 ЙТ2

Мы говорим, что оператор Ad является эллиптическим, если

ess inf |Ad(C)| > 0.

Мы рассматриваем символы, удовлетворяющие условию

ci(1 + |Z2|)a/2 <|Ad(C)|< C2(1 + |Z2|)a/2 (1.2)

с константами c1,c2, не зависящими от h. Число а £ R называется порядком дискретного псевдодифференциального оператора Ad.

Легко доказывается следующий простой результат.

Лемма 1.1. Дискретный псевдодифференциальный оператор Ad с символом Ad(£) является линейным ограниченным оператором Hs(hZ2) ^ Hs-a(hZ2) с нормой, не зависящей от h.

Далее мы исследуем разрешимость дискретного уравнения

(AdUd)(x) = Vd(x), x £ Kd, (1.3)

в пространстве Hs(Kd) при условии, что vd £ (Kd).

Мы будем использовать некоторую специальную область в двумерном комплексном пространстве C2. Область типа 7h(K) = KT2 + iK называется трубчатой областью над квадрантом K, и будем рассматривать аналитические функции /(x+ir) в области 7h(K). Введем периодическое ядро Бохнера аналогично [4]

Bh(z) = ^ e^(i+iT>h2, С £ KT2, т £ K, и соответствующий интегральный оператор

(Bhud)(c) = lim j Bh(c + iT - n)ud(n)dn.

t^0,TeK 4n2 J

KT2

Лемма 1.2. Для квадранта K оператор Bh имеет следующий вид / n ~ h2 [ „ . . ih Г h(6 — ni + ¿n) „ , N ,

(Bhud)(4) = ud(n)dn + — / ctg-2-ud(n)dn

T2 T2

+Ä ¿Уctg h(6—22+iT2) Ud(n)dn

T2

— Ä ^ / ctg "Ki — 21 + iTi) cot ^ — П2 +

T2

и Bh — линейный ограниченный оператор в Hs(CT2) ^ Hs(CT2) для |s| < 1/2. Более того, оператор Bh является проекцией iis(hZ2) ^ iis(Kd).

Доказательство. Соответствующие вычисления для одномерного дискретного конуса были проведены в [5]. Мы используем эти результаты, адаптируя их к нашему двумерному случаю. Поскольку

£ h = h — ¿h cot h|k, zfc = & + irfc, k = 1, 2,

Xk€hZ+

то, перемножая e-XT с Ud(X) и применяя соответствующее свойство преобразования Фурье о произведении и свертке образов Фурье, получаем утверждение.

Ограниченность одномерного оператора с ядром h ctg hf для | s | < 1/2 доказывается переходом к ядру Коши с помощью экспоненциальной замены и использованием соответствующего результата из [6]; двумерный случай получается повторным применением этих рассуждений. □

Отметим, что оператор Bh является так называемым периодическим бисингулярным оператором. Используя классические результаты для интеграла типа Коши [7,8], можно аккуратно вычислить граничное значение, но в данном исследовании это не играет принципиальной роли. Поскольку формулы довольно громоздки, можно сделать некоторые упрощения, не теряя общности. Так, например, мы можем рассмотреть пространство Si(hZ2) С S (hZ2) с нулевыми значениями на осях координат и ввести пространство Hs(hZ2) как замыкание множества Si(hZ2). В этом случае первые три слагаемые в выражении для Bh будут равны нулю.

Лемма 1.3. Если |s| < 1/2, то пространство HP(hZ2) однозначно представляется в виде прямой суммы

H s(hZ2) = Hs (Kd) е H s(hZ2 \ Kd).

Доказательство. Это простое следствие леммы 1.2. Действительно, единственное представление функции f Е H(hZ2) будет выглядеть следующим образом

/ = Bhf + (I — Bf

Единственность такого представления возможна только при |s| < 1/2. □

Для описания картины разрешимости дискретного уравнения (1.3) понадобятся некоторые дополнительные элементы многомерного комплексного анализа. Мы рассмотрим эти вопросы в следующем разделе.

2. Периодическая волновая факторизация

Рассматриваемое здесь понятие является периодическим аналогом волновой факторизации [9]. Некоторые первые предварительные соображения и результаты были описаны в [10-13].

Определение 2.1. Периодической волновой факторизацией эллиптического символа € называется его представлением в виде

Д*(е ) = л^олие),

где сомножители А^,= (е), ) допускают аналитическое продолжение в трубчатые об-

ласти 7^(К), 7^(—К), соответственно, с оценками

С1(1 + К2|)? <|А,= (е + ¿Г)|< с1(1 + |С2|)*,

С2(1 + 1с21) 3-5 < |л,=(е - ¿т )1 < с2(1 + |с21) ^,

и константами с1,с'1 ,с2,е'2, не зависящими от Л, где

С2 = К2 ((е-Л(«1+гГ1) - 1)2 + - 1)2) , е = (6^2) € КТ2, т - (Т1, Т2) € К.

Число ж € К называется индексом периодической волновой факторизации.

К сожалению, у нас нет алгоритма построения такой факторизации. Но есть некоторые примеры периодических символов, которые допускают такую факторизацию. Приведем один из них.

Пусть / — произвольная функция дискретной переменной, / € 5(Л^2), зирр / С К и (-К^). Тогда имеем

/ = Х+/ + Х-Л

где Х± является характеристической функцией квадранта ±К^. Применяя дискретное преобразование Фурье, получаем представление / = /+ + /-, и функции /± допускают аналитическое продолжение в 7^(±К) согласно лемме 1.2. Таким образом, можем записать ехр / = ехр /+ • ехр /-, и мы получаем периодическую волновую факторизацию с нулевым индексом для функции ехр /.

Везде ниже предполагается существование такой периодической волновой факторизации для символа Л^(е) с индексом ж.

Сейчас мы рассмотрим наиболее простой случай, когда решение уравнения (1.3) существует и единственно.

Теорема 2.1. Пусть |ж - з| < 1/2. Тогда уравнение (1.3) имеет единственное решение для произвольной правой части г^ € Н-а(К^); решение дается формулой

ме) = л-=(№ (л-=(е)(й)(е)), (2.1)

где ¿г^ — произвольное продолжение г^ в Н5-а(Л^2).

Доказательство. Пусть ¿г^ — произвольное продолжение г^ € Н^-а(К^) в Н5-а(Л^2). Введем функцию

^(х) = (¿г^)(Х) - (А^)(Х),

так, что и'(ж) = 0 для X € К.

Теперь запишем (1.3) в виде

(Л^)(ж ) + ^(Х ) = (¿ш)(ж), X е ,

и после применения дискретного преобразования Фурье и периодической волновой факторизации получаем

Л^еЫе) + л-=(0^(0 = л-=(ОЙЖО, е е ЯТ2. (2.2)

Имеем следующие включения согласно лемме 1.1 и лемме 1.2

лыеме) е н -в(кй), л-=(е«е) е н-\ к), л-д^сйхе) е ^2),

и тогда по лемме 1.3 правая часть уравнения (2.2) однозначно представима суммой

л-=(е )(й)(е ) = /+(е) + /- (е),

где

/+(е) = в^(л-=(е)(((е)), /ле) = (I - ^)(А-=(е)((е)).

Далее перепишем равенство (2.2) в виде

А,=(е ые) - /+(е) = /-(е) - л-=(е«е)

и, используя единственность представления в виде прямой суммы

Нф Н\ к),

получаем, что и левая, и правая части должны быть равны нулю. Таким образом, справедливо равенство (2.1). □

3. Дискретная краевая задача

В этом разделе мы рассмотрим более интересный случай, когда уравнение (1.3) имеет множество решений. Здесь будут использованы некоторые результаты из [3] относительно формы дискретной (обобщенной) функции, сосредоточенной в начале координат.

Теорема 3.1. Пусть ж — 5 = п + п е N |£| < 1/2. Тогда общее решение уравнения (1.3) имеет следующий вид

• n_ 1

) = ¿_=(£)Qn(£WQ-^A-^O^XO) + ¿_=(£) ( £4(6)<2 + 4(6)Ck

fc=Q

где дп(е) — произвольный многочлен степени п от переменных ^ = Я(е-г^ — 1), к = 1,2, удовлетворяющий условию (1.2) с а = п; с^(е1) и (е2) — произвольные функции из Н^(^Т), = 5 — ж + к + 1/2, к = 0,1, ■ ■ ■ , п — 1. Имеет место априорная оценка

< ||+_а + £([ck]Sfc + [4]Sfc^ ,

fc=Q

гс?е [-]Sfc обозначает норму в HSk (hR), и const не зависит от h.

Доказательство. Начнем с уравнения (2.2). Пусть (е) — произвольный многочлен степени п от переменных = К(е-г^ - 1), к =1, 2, удовлетворяющий условию (1.2) с а = п. Умножим уравнение (2.2) на О-1 (е)

о-Че) л,=(е«е) + о-1(е)л-=(е«е) = о-1(ем-дю^хе), е € кт2. (3.1)

По лемме 1.1 имеем

о-1(е)л-,=(е )((е) € я—+^2),

а так как в - ж + п = - то по лемме 1.3 запишем единственное разложение

о-1(е )л-=(е)(((е) = #(е) + те,

где

^+(е) = ад-1 (е)л-=(е)((е)), ^-(е) = (/ - ^холе)Л-,=(е)((е)).

Учитывая данный факт, перепишем равенство (3.1) в виде

л,=(е )^(е) + л-,=(е«е) = ад^ле) + оле

далее,

л,=(е)^(е) - о(е)^+(е) = о^егае) - л-,=(е«е).

Поскольку ) € Н5-ш+га(К), ^-(е) € Н5-ш+га(^2 \ К), то по лемме 1.1 выполнено Оп(е(е) € ), О4е(е ) € \ к). Применяя обратное дискретное

преобразование Фурье получаем равенство для двух дискретных (обобщенных) функций. Левая часть обращается в нуль при одном из условий Х1 < 0 или Х2 < 0, а правая часть обращается в нуль при условии Х1 > 0,Х2 > 0. Таким образом, это должна быть дискретная (обобщенная) функция, сосредоточенная на сторонах дискретного квадранта {(х1,х2) € Ы? : {х1 > 0,Х2 = 0} и {Х1 = 0,Х2 > 0}}. Используя соответствующий результат из [3], мы получаем следующий вид этого распределения

га-1

^ (с* (Х1)(Д2^ )(Х2) + 4 (х2)(Д(1к)^ )(Х1)) , *=0

где все слагаемые должны быть элементами пространства Н5-Ш(Л^2).

Остается уточнить, сколько слагаемых нам нужно в правой части. Исходим из того, что каждое слагаемое должно принадлежать пространству Н5(КТ2).

Рассмотрим слагаемое с*(е1)С2 . Учитывая, что порядок (е) равен -ж, нам нужно проверить конечность Н5-ш -нормы для с*(еОС*. Имеем

||с* (Д2к) & )!2- = / (1 + к21Пск (е1)ск 1^е

кт2

= /(1 + 1С21Г1с* (е1)121ск ^е < а1к2(*--+к+1/2) у |с* (ео^

кт2 кт

< а^ (1 + |С12|)^--+к+1/2 |с* (е1)|2^е1,

кт

и константы а1, а2 не зависят от Л.

Последнее слагаемое должно быть (п — 1) -м, потому что для п -го слагаемого мы получаем положительный рост: для к = п имеем

= 5 — ж — п + 1/2 = —п — 8 + п + 1/2 = —8 + 1/2 > 0. Априорные оценки можно получить так же, как описано в [3]. □

Теперь рассмотрим для уравнения (1.3) случай п =1, т. е. ж — 5 = 1 + 8, |8| < 1/2. Из теоремы 3.1 следует, что общим решением уравнения (1.3) является

ике ) = л-=(е )(го(ео + &&)), (3.2)

где с0, ¿0 е Н5-ш+1/2(Ж) являются произвольными функциями. Для их однозначного определения добавим к уравнению (1.3) следующие условия

£ и^(х1,Х2)^ = /¿(£2), £ и^(х1,Х2)^ = ^ (£1), £ М^(£1,£2)^2 = 0. (3.3)

¿Ё1€Ш+ ¿Ё2€Ш+ ¿Ё€Ш+ +

Эти дополнительные условия помогут однозначно определить неизвестные функции е0,^0 в решении (3.2). Действительно, с помощью дискретного преобразования Фурье перепишем условия (3.3) в виде

^(о,е2) = /ы, «¿(6,о) = &(е1), «¿(о,о) = о. (3.4)

Теперь подставим формулы (3.4) в (3.2). Первые две формулы дадут равенства

Ud(0,6) = A_=(0,6)(CQ(0) + do(6)) = /(6), 1

ud(6, 0) = A_=(Ci, 0)(Cq(^I) + dfQ(0)) = gd(6).

Из этих равенств, согласно третьему условию, следует соотношение /(0) = gd(0), из которого получаем cQ(0) + dQ(0) = 0, и, значит, cQ(0) = dQ(0) = 0. Таким образом, получаем

Ud(C) = A_ =(0 (Ad,= (6,0)gd(€i) + Ad,= (0,C2)/d(6)) . (3.5)

Остается сформулировать и доказать следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть /d,gd £ Hs+i/2(hZ), vd = 0. Тогда дискретная задача (1.3), (3.3) имеет единственное решение, которое дается формулой (3.5). Справедлива априорная оценка

||Ud||s < const( || /d || s+i/2 + || gd || s+i /2) ,

где const не зависит от h.

Доказательство. Нам нужно доказать только априорную оценку. Рассмотрим первое слагаемое

||A_=(0Ad,= (6,0)gd(6)||2 = / |A_=(6,6)Ad,= (6,0)gd(€i)|2(1 + K2|)sd«2

ST2

TTn

< CT2s j |gd(€i)|2d^ < CiT2s+^ |gd(Ci)|2d^i

ST2 _ Tn

Tin

< C2 / |gd(^i)|2(1 + ICi2|)s+i/2dCi = ||gd||2+i/2.

_ Tin

Второе слагаемое оценивается аналогично. □

4. Сравнение дискретных и непрерывных решений

Непрерывный аналог дискретной краевой задачи (1.3), (3.3) описан в [14]. Здесь мы рассматриваем однородное дискретное уравнение (1.3), vd = 0.

Пусть A —псевдодифференциальный оператор с символом A(£), £ = (£ь£2), удовлетворяющим условию

ci(1 + 1£1Г <|A(£)|< С2(1 + |£|)а

и допускающим волновую факторизацию по квадранту K с индексом œ. Рассмотрим уравнение

(Au)(x) = 0, x G K, (4.1) со следующими дополнительными условиями

У u(x1,x2)dx1 = f (x2), J u(x1,x2)dx2 = g(x1), J u(x)dx = 0. (4.2)

0 0 -K

Решение задачи (4.1), (4.2) разыскивается в пространстве Hs(K) [9], а граничные функции берутся из пространства Hs+1/2(R+). Такая задача рассматривалась в [14], она имеет решение

ЭД = A=1(£) (a=(6,0)g(6) + A=(0,6)/(6)) (4.3)

при условии, что символ A(£) допускает волновую факторизацию [9] относительно K

A(£) = A=(£ )A=(£ )

с индексом œ таким, что œ — s = 1 + |$| < 1/2.

Для построения дискретной краевой задачи, которая является достаточно точным приближением к (4.1), (4.2), следует выбрать Ad(£) и fd,gd специальным образом. Введем оператор ¿h, который действует следующим образом. Для функции u, заданной на R, берется ее преобразование Фурье U, затем его сужение на KT и периодическое продолжение на R. Наконец, берется его обратное дискретное преобразование Фурье и получается функция дискретного переменного (Zhu)(x), x G hR. Таким образом,

fd = lhf, gd =

Далее, аналогично строим символ дискретного оператора Ad. Если имеется волновая факторизация символа A(£), мы определяем сужения сомножителей на KT2 с последующим периодическим продолжением на R2, а периодический символ Ad(£) является произведением этих сомножителей. Для таких fd , gd и символа Ad(£) получаем следующий результат.

Теорема 4.1. Пусть f, g G S (R), œ > 1. Тогда имеем следующую оценку для решений u и ud непрерывной задачи (4.1), (4.2) и дискретной задачи (1.3), (3.3)

|u(x) — ud(x)| < C(f,g)he,

где константа C(f, g) зависит от функций f, g, число в > 0 может быть произвольным.

Доказательство. Нам нужно сравнить две функции (3.5) и (4.3), точнее их обратное дискретное преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье в точках X € К^. Имеем

± (

Ud(x) - u(x) = ¿2 ( / е"'5 -J еа-< Й« )df)

ЙТ2

¿2 / (a=(6,0)Ш + A=(0,6)/(6))

R2\ST2

так как, согласно нашему выбору А^, /¿, д^, функции и и совпадают в точках £ € КТ2. Оценим одно слагаемое. Так как д € £(К) имеем

1 Г A=1(C)A=(£b0)g(6R

4пМ =

£ cf (T+wW f |fi|-7dfi-

К2\ЙТ2 Йп Йп

Отсюда следует требуемая оценка. □

5. Заключение

В этой статье мы рассмотрели только двумерный конус и специфические граничные условия, однако авторы продолжают работу в этом направлении и намерены рассмотреть дискретные краевые задачи с классическими условиями Дирихле и Неймана.

В качестве первых практических приложений авторы планируют изучить дискретный вариант задачи в четверти плоскости, возникающей в теории дифракции и теории упругости [9], в надежде, что это будет полезным следствием разработанной теории.

References

[1] А. А. Самарский, Теория разностных систем, Наука, М., 1977; англ. пер.:А. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes, CRC Press, Boca Raton, 2001.

[2] В. С. Рябенький, Методы разностных потенциалов и его приложения, Физматлит, М., 2010; англ. пер.:У. S. Ryaben'kii, Method of Difference Potentials and its Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2002.

[3] A. Vasilyev, V. Vasilyev, "Pseudo-differential operators and equations in a discrete half-space", Mathematical Modelling and Analysis, 23:3 (2018), 492-506.

[4] В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, Наука, М., 1978; англ. пер.У. S. Vladimirov, Generalized Functions in Mathematical Physics, Mir Publ., Moscow, 1979.

[5] A. Vasilyev, V. Vasilyev, "Discrete singular operators and equations in a half-space", Azerbaijan Journal of Mathematics, 3:1 (2013), 84-93.

[6] Г. И. Эскин, Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, Наука, М., 1973; англ. пер.:С.1. Eskin, Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferential Equations, AMS, Providence, 1981.

[7] Ф.Д. Гахов, Краевые задачи, 3-е изд., Наука, М., 1977; англ. пер.:Е^. Gakhov, Boundary Value Problems, 3rd ed., Dover Publications, Mineola, 1981.

[8] Н.И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд., Наука, М., 1968; англ. пер.^. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations, 3rd ed., North Holland, Amsterdam, 1976.

[9] V. B. Vasil'ev, Wave Factorization of Elliptic Symbols: Theory and Applications, Kluwer Academic Publ., Dordrecht-Boston-London, 2000.

[10] V. Vasilyev, "The periodic Cauchy kernel, the periodic Bochner kernel, discrete pseudodifferential operators", AIP Conference Proceedings, Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applications (ICNAAM-2016) (Rhodes, Greece, September 19-25), 1863, AIP Publishing, New York, 2017, 140014.

[11] V. Vasilyev, "Discrete equations and periodic wave factorization", AIP Conference Proceedings, Proceedings of the Third International Conference on Analysis and Applied Mathematics (ICAAM 2016) (Almaty, Kazakhstan, September 7-10), 1759, AIP Publishing, New York, 2016, 020126.

[12] V. Vasilyev, "On discrete boundary value problems", AIP Conference Proceedings, Proceedings of the International Conference "Functional Analysis in Interdisciplinary Applications" (FAIA2017) (Astana, Kazakhstan, October 2-5), 1880, AIP Publishing, New York, 2017, 050010.

[13] V.B. Vasilyev, "Discreteness, periodicity, holomorphy, and factorization", Integral Methods in Science and Engineering. V. 1: Theoretical Technique, eds. C. Constanda, M. Dalla Riva, P.D. Lamberti, P. Musolino, Springer International Publ., New York, 2017, 315-324.

[14] V.B. Vasil'ev, "On Some new boundary-value problems in nonsmooth domains", Journal of Mathematical Sciences, 173:2 (2011), 225-230.

Информация об авторах

Васильев Владимир Борисович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики и компьютерного моделирования. Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9351-8084

Машинец Анастасия Александровна, аспирант, кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования. Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2440-8556

Конфликт интересов отсутствует.

Для контактов:

Васильев Владимир Борисович E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 19.04.2023 г. Поступила после рецензирования 31.05.2023 г. Принята к публикации 09.06.2023 г.

Information about the authors

Vladimir B. Vasilyev, Doctor of Physics and Mathematics, Head of Applied Mathematics And Computer Modeling Department. Belgorod National Research University, Belgorod, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9351-8084

Anastasia A. Mashinets, Post-Graduate Student, Applied Mathematics and Computer Modeling Department. Belgorod National Research University, Belgorod, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2440-8556

There is no conflict of interests.

Corresponding author:

Vladimir B. Vasilyev E-mail: [email protected]

Received 19.04.2023 Reviewed 31.05.2023 Accepted for press 09.06.2023