CC BY
38
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 140-147
Механика =
УДК 531.01
О дискретности трехмерного векторного пространства главных напряжений
Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Показано, что векторное пространство главных напряжений состоит из шести независимых сегментов. Отсюда следуют шесть вариантов представления вектора напряжения в трехмерном векторном пространстве главных напряжений.
Ключевые слова: векторное пространство главных напряжений, главные ранжированные напряжения, инварианты ранжированных напряжений, фазовый инвариант, параметр Лоде.
1. Деформируемое твердое тело отнесем к лабораторной системе декартовых координат Xi (г = 1,2,3). Напряженное состояние элемента сплошной среды характеризуется симметричным тензором напряжений ст^. Если известны компоненты тензора напряжения , то значения главных напряжений Л находятся посредством решения характеристического уравнения [1-3]
Л3 - /1Л2 - 12Л - 1з = 0, (1.1)
где
^1 = аii, ^2 = (а1] аггаЦ)/2, ^3 = \аij1 (1-2)
— первый, второй и третий инварианты тензора напряжения.
Решая кубическое уравнение (1.1) найдем значения ранжированных напряжений
атах, аmed, ат^
где атах, стт^, атт — максимальное, промежуточное (медианное) и минимальное главное напряжение. Условие ранжирования задается
неравенствами атах ^ ат^ ^ атщ.
Пример 1. Пусть известны компоненты тензора напряжений стц = 96.1, а22 = 73.18, а33 = 1.64, а12 = 27.78, а13 = -21.66, а23 = 36.44. Напряжения отнесены к величине о = 1МПа.
По формулам (1.2) вычислим Д = 170.92, /2 = -4741.46, /3 = -195526.6. Решая уравнение (1.1), получим
0тах = 114.75, сттеа = 78, сттіп = -21.84. (1.3)
Поскольку значениям ранжированных напряжений соответствуют шесть различных сочетаний главных напряжений
01 ^ 02 ^ 03, 02 ^ 01 ^ 03, 02 ^ 03 ^ 01,
03 ^ 02 ^ 01, 03 ^ 01 ^ 02, 01 ^ 03 ^ 02, (1.4)
то по результатам решения уравнения (1.1) имеется шесть вариантов представления вектора напряжений в векторном пространстве главных напряжений.
2. Напряженное состояние в элементе сплошной среды также будем характеризовать тройкой главных напряжений 01, 02, 03 и триэдром углов, задающих их направление по отношению к лабораторной декартовой системе координат. Введем прямоугольную систему координат 0^ (і = 1, 2, 3). Пусть І1, І2, І3 — правая тройка ортогональных единичных векторов, характеризующих направления главных напряжений 0^.
Вектор напряжения £ в трехмерном векторном пространстве главных напряжений определим соотношениями
£ = 0тах + 0теа + 0тіт £ = у/^ах + ^её + ^іп = \/02 + 02 + 03. (2Л)
Выделим плоскость, проходящую через начало координат и имеющую одинаковые наклоны к координатным осям
01 + 02 + 03 = 0. (2.2)
Плоскость, соответствующая уравнению (2.2), называется девиаторной плоскостью.
Пусть единичный вектор т 1 является нормалью этой площадки. Направляющие косинусы вектора т 1 по отношению к координатным осям одинаковы
т 1 = (І1 + І2 + Ї3)^л/3.
Ось, задаваемая направлением т 1, называется гидростатической осью.
Так как гидростатическая ось равно наклонена к направлениям главных напряжений, то проекция вектора напряжения £ на гидростатическую ось определяется соотношением
£1 = £ ■ т 1 = (0тах + 0теё + 0тіп) ■ т 1 = (01 + 02 + 03)/л/3 = л/30,
где а = (ст1 + а2 + а3)/3 — гидростатическое напряжение.
Таким образом, составляющая вектора напряжения £, направленная вдоль вектора т 1, будет
£ 1 = Е1Ш1 = £1(^1 +?2 + ?з)/л/3. (2.3)
Составляющая вектора напряжений £ 1 не зависит от выбора сектора векторного пространства главных напряжений.
3. Проекции главных напряжений на девиаторную плоскость обозначим а^ = л/2/3аг. Положительно направленные проекции главных осей оа^ расположены на девиаторной плоскости под углом 2п/3.
Если через ось гидростатического давления и направления главных осей провести плоскости, то пространство главных напряжений разделится на шесть сегментов с раствором угла п/3, а девиаторная плоскость, соответственно, разделится на шесть равных секторов. Биссектриса каждого из секторов является линией сдвига. Арабскими цифрами (п = 1,..., 6) введем нумерацию секторов (сегментов). Отсчет секторов будем проводить против хода часовой стрелки от оси оа1.
В каждом из сегментов под номером п связь между неупорядоченными главными напряжениями а1, а2, аз и главными ранжированными напряжениями атах, атеа, ат;п представлена в виде таблицы:
п неравенства 7тах 7теё 7тіп
1 <?1Ч > <7 ™ > ^((1) ст(1) 411 41’
2 42) 7(2)
3 43) > 43) > 7<3) 7(3) 7.33' 7(3)
4 7(4) > 44) > 7(4) 7(4) 441 7(4)
5 ^ > 7і5) > ^ 45’ 7(5’ 7(') 72
6 ^ > 4'И > ^ 7(6) 72
Так как пространство главных напряжений состоит из шести
независимых сегментов, то в векторном пространстве главных напряжений
имеется шесть вариантов представления вектора напряжений £
£(п) = ^ + 4га) + 4га). (3.1)
Разложим вектор главных напряжений £(п) на две составляющие: £ і — проекцию £(п) на ось гидростатического давления и £^га) — проекцию £(п) на девиаторную плоскость.
Для каждого из сегментов вектор главных напряжений определяется соотношением
£ (п) = £ і + £ <п). (3.2)
4. Рассмотрим тригонометрическую форму решения уравнения (1.1) [3]
01 = 0 +У2 s d cos Vo, 02,3 = 0 + Y3 C°^ Vo ^ 2 (4.1)
где 0 = 1i/3 — гидростатическое давление, Ed = \//2 +/2/3 — модуль девиаторных напряжений, vo — фаза тензора девиаторных напряжений. Из соотношений (4.1) следует выражение для вычисления фазового инварианта [1]
3 2/3 + 9/1/2 + 27/з (42)
C°S3Vo = 2(/2 + 3/2)3/2 • ^
Для вычисления фазы воспользоваться тождеством
3 3 1
cos vo — 4 cos vo — 4 c°s3^o = 0. (4.3)
Решением уравнения (4.3) являются три значения функции cos vo: (cos V0)l, (cos V0)//, (cos V0)///. Поскольку функция cos V0 является четной, то результатом решения уравнения (4.3) будет шесть значений фаз:
Vo^ ^ Vo2) ^ ^ Vo6). Каждое значение фазы соответствует одному
из сочетаний главных напряжений и определяет положение вектора девиаторных напряжений на девиаторной плоскости.
Каждая из фаз vOn) задает ориентацию вектора Еdn) на девиаторной плоскости. В соответствии с (4.1) положительное направление отсчета угла
(га)
Vo на девиаторной плоскости направленно в сторону против часовой стрелки от положительного направления оси 00^. В зависимости от выбора
значения фазы, т.е. назначения сочетания главных напряжений, вектор
(n)
девиаторных напряжений Еd может располагаться в одном из шести секторов. Таким образом, каждому из сочетаний главных напряжений соответствует свой сектор с соответствующим значением фазы.
Главные напряжения в каждом из сегментов вычисляются по формулам
а! = а +у2Е dcos<^n), а2,3 = а + у 2Е dcos ^^4га) + 3п
Пример 2. Для напряженного состояния, характеризующегося тензором напряжений, компоненты которого приведены в примере l, значение фазового инварианта вычисленного в соответствии с рекомендацией (4.2) будет cos3^4n) = -0.7073. Подставляя значение фазового инварианта в уравнение (4.3) найдем шесть значений угла ^4n): ^4i) = 45°, ^42) = 75°, <^3) = 1650, <^4) = — 1б50 = 1950, ^5) = -750 = 2850, <^6) = -450 = 3150.
Вектор тензора девиаторных напряжений £^га) задается модулем девиаторных напряжений £ ^ = л/^2 +I2/3 и фазой тензора напряжений
(га)
5. Биссектриса каждого из секторов является линией сдвига. Угол
£\ (п)
между вектором £^ и линией сдвига, называется углом вида напряженного состояния [3, 4]. Положительное направление отсчета угла вида
напряженного состояния в каждом из секторов производится от сдвиговой линии в сторону минимального напряжения.
Исследуя влияния промежуточного главного напряжения на пластические деформирование металлов, В. Лоде [5] ввел параметр
2а2 — а1 — а3 /г
= -------------. (5.1)
а1 - аз
При этом В. Лоде рассматривал напряженное состояние, относящееся к первому сектору. Параметр Лоде изменяется в диапазоне —1 ^ ^ 1.
При одноосном напряжении = —1, при одноосном сжатии = 1, а при
кручении = 0.
Для напряженного состояния, характеризующегося ранжированными главными напряжениями
а(1) = атах = 114.75, а21) = атеа = 78, а(1) = атт = —21.84,
получим = 0.464.
Зависимость между углом вида напряженного состояния и параметром Лоде записывается в виде
шо
= tg ^ /л/3. (5.2)
Из зависимости (5.2) следует, что параметр Лоде представляет собой нормированное значение параметра вида напряженного состояния шо = = tg .
Несложно показать, что в числовом примере имеем
= 0.464, = аг^ шо = 60° — = 15°.
А.А. Ильюшин [2] предложил универсальную формулу для вычисления параметра Лоде
2атеа атах атт /г о\
= ---------------------. (5.3)
атах ат1п
(2)
Рассмотрим второй вариант — = 75°. Вектор интенсивности
девиаторных напряжений расположен во втором секторе. Поскольку во втором секторе а2 ^ а1 ^ аз, то из соотношений (1.3) следует
а2 = атах = 114.75, а1 = атеа = 78, аз = атт = —21.84. (5.4)
Параметр Лоде в секторе 2 вычисляется по формуле
2а1 — а2 — аз , .
Ма = ----------------. (5.5)
а2 — аз
Для напряженного состояния, характеризующегося главными
напряжениями (3.6) получим = 0.464.
Зависимость между углом вида напряженного состояния и
параметром Лоде сохраняется в виде в (5.2). Тогда
= аг^(Мо/У3) = 90° — ^02) = 15°.
Следовательно, во втором секторе положительное направление отсчета угла задается от линии сдвига в направлении по ходу часовой стрелки.
Рассмотрим третий вариант — = ^4з) = 165°. Так как для третьего
сектора справедливо неравенство а2 ^ аз ^ а1, то
а1 = а тт = —21.84, а2 = атах = 114.75, аз = атеа = 78. (5.6)
Параметр Лоде в секторе 3 вычисляется по формуле
2аз — а2 — а1
Ма = -----------------------. (5.7)
а2 - а1
Для напряженного состояния, характеризующегося главными
напряжениями (5.6) из (5.7) получим м = 0.464. Вычислим угол вида
напряженного состояния
= аг^(мО/л/3) = ^0з) — 150 = 15°.
В третьем секторе положительное направление отсчета угла задается от линии сдвига в направлении против хода часовой стрелки.
В монографиях [1, 8] формула для вычисления параметра Лоде в секторе 3 записана в виде
МО =2аз~ а2— а1 . (5.8)
а1 — а2
Сравнение формул (5.7) и (5.9) показывает, что в выражении (5.8) допущена ошибка. Действительно, для любого из секторов девиаторной плоскости параметр Лоде вычисляется по формуле А.А. Ильюшина (5.3). В секторе 3: а1 = ат;п — минимальное главное напряжение, а2 = атах — максимальное главное напряжение, аз = атеа — промежуточное главное напряжение. Соотношение (5.8), записанное через ранжированные главные напряжения атах, атеа, ат;п имеет вид
* 2атеа атах ап
Мо
(7
ат1п атах
По механическому смыслу параметра Лоде в формуле (5.8) в знаменателе должна быть записана разность максимального и минимального главного ранжированного напряжения, однако, в (5.8) фигурирует разность минимального и максимального ранжированного главного напряжения. Следовательно, в монографиях [1, 8] допущена ошибка. Причем первоначально ошибка была допущена в монографии [8], а затем повторена в монографии [1]. В соотношении (3.9) нарушено правило знаков, установленное соотношением А.А. Ильюшина (5.3).
Сопоставляя построение вектора тензора девиаторных напряжений, можно установить зависимость между фазовым инвариантом и углом вида напряженного состояния ш* для каждого из секторов
ш* = [(2п — 1)п/6 — ^п)](—1)п
или
<^п) = (2п — 1)п/6 — (—1)пш*,
где п — номер сектора.
Обратим внимание на то, что в нечетных секторах девиаторной плоскости положительное направление угла вида напряженного состояния ш* совпадает с ходом часовой стрелки, а в четных секторах направлено против хода часовой стрелки.
Так как при переходе из одного сектора в другой изменяется направление положительного отсчета угла вида напряженного состояния, то это указывает на сингулярность пространства главных напряжений.
Выводы
1. В трехмерном векторном пространстве главных напряжений имеется шесть вариантов независимого представления вектора девиаторных напряжений. Отсюда следуют шесть вариантов представления вектора напряжений в векторном пространстве главных напряжений.
2. Если заданы значения инвариантов а, £ ^ и угол ^*га) (п = 1,... ..., 6), то вектор напряжения £ (п) однозначно представляется в векторном пространстве главных напряжений.
3. Если же заданы значения инвариантов а, £ и ш*, то для представления вектора напряжения £ (п) в векторном пространстве главных напряжений, необходимо еще указать и номер сектора.
Список литературы
1. Джонсон У. Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.:
Машиностроение, 1979. 567 с.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.
3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов //
Теория пластичности. М.: Гос. издат. иностранной литературы, 1948. С. 168-205.
4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
711 с.
5. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 с.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
About discontinuity of three-dimensional vector space of the
main stress
Y. Y. Kuznetsov, N.M. Matchenko
Abstract. It is shown, that the vector space of the main stress consists of six independent segments. From here follows six variants of representation of a vector of a stress in three-dimensional vector space of the main stress.
Keywords: vector spaces of the main stress, main arrange stress, invariants, parameter Lode.
Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Matchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 10.04-2013
