О диофантовых последовательностях, содержащих бесконечное количество простых Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)

Труды Международной научно-практической конференции Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,

посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина

О диофаитовых последовательностях, содержащих бесконечное количество простых

Ильясов И. И. (Актобе)

После доказательства Дирихле бесконечности простых в арифметических прогрессиях со взаимно простыми первым членом и разностью встала задача обнаружения других последовательностей натуральных чисел, обладающих указанным свойством. До сих пор не известно существуют ли многочлены степени ^ 2, содержащие бесконечное количество простых. Известна некоторая последовательность, обладающая этим свойством, построенная в работе [3].

В представляемом докладе строится последовательность натуральных чисел, связанная с диофантовами свойствами иррационального числа, содержащая бесконечное количество простых. Пусть 0 < 9 < 1 — иррациональное число. Введем обозначения ш-1 = 1, ш0 = 9. И пусть шг-1 = шгаг+1 — шг+1, 0 < шг+1 <

шг, аг+1 — натуральные, г = 0,1, 2,...

Ж Х0 = 1, Х1 = а1, . . . , Хг+1 = аг+1Хг — Хг-1, . . . , г =1, 2, ..

Последовательность {п9} , п = 0,1, 2,... обозначается Я (9,1), где {х} —

Х.

Лемма 1. Каждое число А Е Я (9,1) единственным образом представляется

В ВИД6

А = Шоtl + Ш1^2 + • • • + ^к+1

с условиями

1.9 ^ и ^ Рг р = аг — 1), г = 1, 2,..., к + 1, 4+1 = 0

2. для любых г,] : 1 ^ г < ] ^ к + 1

(и, и+1, . . . ,1—1,^) = (Рг,Рг+1 — 1,... ,'Рз-1 — 1,Рз)

62

И. И. ИЛЬЯСОВ

Лемма 2. Всякое число А Е Я (9,1) меньше шг-1 тогда и только тогда когда оно имеет вид

Шг иг+1 + • • • + Шк ик+1

с условиями 1) и 2) леммы 1.

п

СТсШЛЯбТСЯ В ВИД6!

п = Хои + Х^2 +-----+ ХкЬк+1, и,к+1 > 0

с условиями 1) и 2) леммы 1. Причем

{9 (хои1 + Х1и2 + • • • + Хкик+1)} = Ш0и1 + Ш1и2 + • • • + Шкик+1.

Доказательство этих утверждений содержится о работе [4] стр. 44-48.

При фиксированном г и произвольном к ^ г обозначим через Мг множество чисел виды хги г+1 + хк¿к+1;; г = 0,1, 2,... с условиями 1) и 2) леммы 1. Теорема 2. Множество Мг содержит бесконечное количество простых. Доказательство. Известно, что последовательность {р9} , где р пробегает все простые числа, равномерно распределенная в [0 . 1). ([1], [2].) Следовательно, для бесконечного количества простых имеем, что {р9} < шг-1 и они по лемме 2 имеют вид:

Шг ^т+1 + • • • + Шк ¿к+1

с условиями 1) и 2) леммы 1. Тогда по лемме 2

{9 (хги г+1 + • • • + Хкик+1) } Шгиг+1 + • • • + Шкик+1

и выше указанные простые числа по теореме 1 имеют вид:

Хги г+1 + • • • + Хк ик+1

с условиями 1) и 2) леммы 1.

Теорема доказана.

Замечание. Легко видеть, что на самом деле верно более общее предложение: если множество {9/ (п)} всюду плотное в [0 . 1), где f (п) пробегает подпоследовательность натуральных чисел, то Мг содержит бесконечное количество / (п) .

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

9р

бранные труды. Издательство АН СССР. Москва 1952. Стр. 329 - 330.

О ДИОФАНТОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ,

63

[2] Хуа Ло - ген. Распределение одной функции, аргумент которой пробегает последовательность простых чисел. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. Издательство Мир Москва 1964. Стр. 145

_ Мб.

[3] Гельфонд А.О., Линник Ю.В. О простых числах в последовательностях несколько более общих, чем прогрессии. Элементарные методы в аналитической теории чисел. Издательство физ - мат. литературы. Москва 1962. Стр. 89 - 96.

[4] Ильясов И.И. О структуре последовательности {п9}. Теория нерегулярных кривых в различных геометрических пространствах. Алма - Ата 1979. Стр. 44 -48.

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова Поступило 13.06.2011