CC BY
43
УДК 534.26
Л.А. Толоконников, д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 41 -33-11, tol-la@tula.net (Россия, Тула, ТулГУ),
Ю.М. Филатова, асп., (4872) 33-36-96, yumff@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
О ДИФРАКЦИИ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕКОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ
Получено строгое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической цилиндрической полостью.
Ключевые слова: звуковая волна, упругий цилиндр, дифращия звука, идеальная жидкость.
Дифракция звуковых волн на упругих сплошных цилиндрах и цилиндрических оболочках исследовалась во многих работах [1-6]. Причем при решении задач дифракции звука на цилиндрических оболочках, как правило, использовалась теория оболочек в предположении, что оболочки являются тонкими. Ряд работ посвящен решению задач дифракции звуковых волн на упругих цилиндрических оболочках произвольной толщины, т.е. на полых цилиндрах [7,8]. При этом полагалось, что цилиндры имеют концентрические цилиндрические полости. В настоящей работе рассматривается дифракция плоской волны на упругом цилиндре с произвольно расположенной цилиндрической полостью.
Рассмотрим бесконечный изотропный однородный упругий цилиндр с внешним радиусом Ri, имеющий произвольно расположенную цилиндрическую полость с радиусом R2. Оси цилиндра и полости являются параллельными.
Будем считать, что окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности pi,P2 и скорости звука с,с2 соответственно.
Свяжем с цилиндрическим телом и его полостью прямоугольные системы координат xi,yi,zi и x2,У2,z2 таким образом, чтобы ось zi совпадала с осью цилиндра, а ось z2 - с осью полости.
Пусть из внешнего пространства на упруги цилиндр, имеющий плотность р и упругие постоянные X,д, вдоль оси xi падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой
^j =Aj exp[i(kixi -G)t)],
7 ю
где Aj - амплитуда волны; ki = — - волновое число во внешней среде;
ci
ю - круговая частота; t - время.
В дальнейшем временной множитель ебудем опускать.
Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом цилиндре.
Для решения задачи введем цилиндрические системы координат П,Ф1,г\ и Г2,Ф2,г2, связанные с цилиндром и его полостью соответственно.
В системе координат т\,Ф1,г\ потенциал скоростей падающей волны Т = АI ехр^'к^соБФ1) может быть представлен в виде [9]
О
Т = А (1 Ут<Ф, (1)
П =-00
где Зп - цилиндрическая функция Бесселя порядка п .
В установившемся режиме колебаний задача определения акустических полей вне цилиндра и внутри его полости заключается в нахождении решений уравнения Гельмгольца [10]
ДЧ, + *12Ч1 = 0; (2)
Д^2 + ¿2 Ч2 = 0, (3)
где Ч - потенциал скоростей полного акустического поля во внешней среде; ^2 - потенциал скоростей акустического пол в полости цилиндра; , ю
¿2 =-----волновое число жидкости в полости цилиндра.
с2
В силу линейной постановки задачи
4 = 4 + 4, (4)
где Ту - потенциал скоростей рассеянной звуковой волны.
Тогда из (2) получаем уравнение для нахождения :
ДЧу + к2 Т =0. (5)
Уравнения (5) и (3) запишем в цилиндрических системах координат П,Ф1,zl и Г2,Ф2,г2 соответственно.
Отраженная волна должна удовлетворять условиям изучения
на бесконечности [10], а звуковая волна в полости цилиндра 4*2 - условию о грант енности.
Поэтому потенциалы и будем искать в виде
0
Чу = XАпНп (1 )е'ПФ1; (6)
п =-00 0
42 = ХВ„Нп(¿2Г2)е,пФ2 , (7)
п = -00
где Нп - цилиндрическая функци Ханкеля первого рода порядка п.
Скорости частиц жидкости и акустические давления вне ( = 1) и внутри ( = 2) цилиндра определяются по следующим формулам соответственно:
Vj = gradТу; pj ='руюТу ( = 1,2). (8)
Распространение малых возмущений в упругом теле для установившегося режима движения частиц тела описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [10]:
ДЧ + к|т = 0; (9)
ДФ + ¿4 Ф = 0, (10)
где ¿3 и ¿4 - волновые чела продольных и поперечных упругих волн со-
ответственно; Т и Ф - скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно.
При этом вектор смещения и представляется в виде:
и = grad Т + го1 Ф. (11)
Волновые поля в упругом теле, как и акустические поля, не завися от координаты 2. Причем
Ф = ф(г,Ф)е2 , (12)
где е2 - орт координатной оси 2.
Тогда векторное уравнение (10) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(г,ф):
ДФ + ¿2ф = 0 (13)
Уравнения (9) и (11) запишем в основной ?1, Ф1,21 и в дополнительной Г2,Ф2,22 системах координат.
Поле продольных волн будем искать в виде
Т = Т(1) + Т(2), (14)
а поле поперечных волн - в виде
Ф = Ф(1) + Ф(2), (15)
где
'(1) = ХСЛ (¿31 )пФ1; Ф(1) = ХЕ^п (¿41 )еШФ1;
п= -о п= -о
о о
(16)
Т(2) = ХОЛ (¿312 У"Ф2; Ф(2) = (¿412 У"Ф2
п=-о п=-о
Коэффициенты разложений Ап, Вп, Сп, Оп, Еп,Еп подлежат определению из Граниных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях полого цилиндра; равенстве на них нормального
напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:
при г = Щ - тиг = у\г; агг = -р\; агф = 0;
при г2 = Щ2 - Шг = у2г; агг = -2; агф = °
(17)
ат
где V г =
7
радиальная компонента скорости частиц в / -й жидкости
7г дг
(7 =1,2).
В цилиндрической системе координат компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты вектора смещения еле дующим образом [10]:
агг = ( + 2\і)ддг + X дг
1 ди
ф иг
г дф г
а
При этом
и
ат 1 ао
■+
^1 диг дф иф
г аф дг г у
1 ат ао
(18)
и
иг =°.
л ^ ^ ф ^ ^ ()
дг г аф ^ г аф дг
Подставим в граничные условия раложения (6), (7) и (16) и воспользуемся теоремами сложения для цилиндрических волновых функций [9]:
/ \ ' О / \
Нп (р )еШфр = ЕНп-т (( )т ( )
І(п-т) фрд +ітф
'д.
т =-оо о
Уп (р )іпфр = ЕЛ,-т (к/ )т (*гд )і( п ~т) фрд +ітф;
т=-оо
р, д = 1,2,
где / - расстояние между осями ¿1 иг 2; фрд - полярный угол начаа д -й системы координат в р -й системе.
В результате приходим к бесконечной системе уравнений относительно неизвестных Ап, Вп, Сп, Вп, Еп, Гп:
Екі) 4, + Р( і) Вп + •/°С,, + 11(І) Оп + т(,) Е„ + а(і> ^ )= /(і),
п =—00 і = 1,2,...,6,
где а
1
пт
&птк1Нт(к1Щ1); Р^гт _ °; Упт = —nmi®k3J т(к3Щ1X
1 = k X • 1 _5 «m т (k R ) 1 « m
nnm = i« k3 Xmn3; Tnm ~5nm r> J m\k4Rl); G
R
nm
R
Xmn4;
fm k1 4mJm (k1R1) anm 5nmi p1 « Hm (k1R1) ßnm 0; fm 0;
„2 Л
У nm = 2 ^5
nm
V Rí J
2
Jm (k3R1) + k3 Jm (k3 R1) R1
2m ak3 -
k
З
2 = 2^im я
Tnm = ñ 5nm
V ""І У
Í
Xmn3+ „ Xmn3 R1
R
1
R
Jm (k4 R1)
V Ri
k4 J^ (k 4 R1)
\ 2 =2^im A
; Gnm =
У
R
1
Xmn4
Ri
k4 Xmn 4
ЗЗЗ anm = 0; ßnm = 0; Ynm =
5M™ im
'nm
R1
k 3Jm (k 3R1)-
Jm (k3R1)
R1
З im 4nm = —T~ R1
k3 ~mn3'
Xmn3
Ri
; T =5
nm nm
22 k4 m
T- R2 J
k
Jm (k4R1) + r, J^ (k4R1) R1
G
nm
22 k4 m
2
R1
X k4X' ; f 3 =
Xmn4 + n Xmn4; fm = 0; R1
anm 0; ßnm 5nmk2Jm (k2R2) Y«m i« k3Xmn3; fm 0;
nwm = 5nmi« k3Hm (k 3R2 ) T
4
nm
4
Xmn4; Gnm = 5nm
m
Hm (k4 R2 );
anm = 0; ßnm = 5nmi p2« Jm (k2 R2 ); fm = 0;
Y
nm
2
2m
ak
V
3 2
R22
k3 '
Xmn3+ n Xmn3 R2
nnm _ 2 ^5
nm
2m ak3 - —; R
2
k
Hm (k3 R2 )+ „ Hm (k3 R2 )
2J
R
Tnm =
R2
Xmn4
Ri
k4 Xmn4
5 2 H5//mim Hm (k4R2 ) - k^H ' (k4^ )
R1 V R1
; Gnm =
а
nm
0; ß^?m _ 0; Ynm
im
k 3 Xmn3
Xmn3
R-2
П = =пт іт 1\пт ~
Я
2
кзНт (к3«2)- Нт ^Х
'к?
тпт =
т
Я
4 ' .
Хшп4 + Т- Хшп 4;
Я1
— X ®пт = Опт
(к±
2
т
Я2
Нт (4 Я2 )+к4 Нт (4 Я2 Є
Я1
• /6 “О'
т
Хтпв Уп -т (вЩ)е
і( п-т)ф
рд
Нт (вЯ1); а 1 +
2
р<д н» ((Я])
Хтп5 = Уп-т (вЯ) " _Ш)ф
Уп-т (кЩ){т-)фр ,1т (Я );
X
тпв
Хтт =Уп-тМ) (Ш"п)фдрУтМ2), в = 3,4.
Для регуляризации бесконечной системы линейных уравнений (20) выполним замену неизвестных по формулам [9]
Ап = АпУ п (1Я1Х Вп = ВпУп (3 Я2 )>
Вп = ВпУп (к2 Я2 Х Еп = ЕпУп (к4 Я1Х
Сп = СпУп (3 Я1Є; Рп = РпУп (к4Я2 )•
В результате получена система может быть рарешена методом
усечения [11].
Рассмотрим даьнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу при к^ >> 1
______ /, лп л
^ і| кщ -
Нп (к1г1Х
К
2
24
из выражения (6) находим
Я1
2 г
ехр
Лп
к1П
л
4
где
Р (ф1 Є =
2
о
Е(-< УЧе
іпф1
л1^к1 Я1 п =-оо
С помощью выражения для амплетуды рассеяния в дальней зоне поля (ф1 ) строится диаграмма направленности рассеянного поля.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (№2 проекта
09 -01-97504-Р-центр).
Список литературы
1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23. № 4. P. 405-420.
2. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. Выр. 1. С. 58-63.
3. Лямшев Л.М. Дифракция звука да бесконечной тонкой цилиндрической оболочке // Акустический журда. 1958. Т. 4. Выр. 2. С. 161-167.
4. Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акустический журна. 1963. Т. 9. Вып. 2. С. 222-230.
5. Lee F.A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. № 3. P. 26-31.
6. Borovikov V.A., Veksler N.D. Scattering of sound wave by smooth convex elastic cylindrical shell // Wave motion. 1985. V. 7. P. 143-152.
7. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн традсверсаьдо-изотропдым неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. Вып. 1. С. 134-138.
8. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн да неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонда техника. 1998. №2 4-5. С. 11-14.
9. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн да двух телах. Минск.: Наука и техника. 1968. 584 с.
10. Шен деров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение. 1972. 348 с.
11. Кадтооович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анаиза. М.: Физматгиз. 1962. 708 с.
L. Tolokonnikov, Yu. Filatova
About diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with inconcentric cavity
In this paper strict solution of problem of diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with inconcentric cavity is obtained.
Получено 19.01.09
