CC BY
9
2008
Доклады БГУИР
январь- март
№ 1 (31)
УДК 517.977
О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Л И. МИНЧЕНКО, С М. СТАХОВСКИЙ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 27 сентября 2007
Рассматриваются параметрические задачи квадратичного программирования с необязательно выпуклой целевой функцией, и доказывается существование первых и вторых производных функции оптимального значения.
Ключевые слова: функция оптимального значения, параметрические задачи, производные по направлениям.
Введение
Рассмотрим параметрическую задачу квадратичного программирования Р(х), в которой требуется минимизировать целевую функцию fx, y) по переменной y на множестве
F(x) = {y e Rm | h (x, y) < 0 i e I },
где xeRn, yeRm, z(x, y), I={1, ...,р}, f(z)=<c, z)+(z, Qz), h, (x, y)=<a,, y)+<b,, x)+d, i=l, ...,p, ceRn+m, Q — квадратная матрица порядка n+m.
В данной задаче F — многозначное отображение, ставящее в соответствие каждому вектору параметров xeR" замкнутое множество F(x)R"c.
Обозначим через dom F и gr F соответственно область определения и график много -значного отображения F, т.е.
domF = {x e Rn | F(x) ^0}, grF = {(x, y) | y e F(x), x e Rn}.
Введем функцию оптимального значения 9(x)=min{fx, y)lyeF(x)} и множество оптимальных решений задачи Р(х):
ш(x) = {y e F(x) 1 f(x y) = 9(x)} .
Будем в дальнейшем предполагать, что многозначное отображение F равномерно ограниченно в окрестности точки x0edom F в том смысле, что существуют окрестность X0 точки x0 и компакт Y0cRm такие, что F(X0)cY0. Очевидно при сделанных предположениях ю(х) является компактным множеством.
Производные по направлениям функции оптимального значения играют важную роль в исследовании устойчивости задач оптимизации относительно возмущений параметров, в построении методов решения минимаксных задач, в квазидифференциальном исчислении и при-
ложениях негладкого анализа. Исследованию дифференцируемости функций оптимального значения посвящена обширная литература [1-11].
Пусть х е Я". Для функции оптимального значения ф введем производную по направлению х в точке х0:
ф'(х0;х) = 1 (ф( х0 + гх) - ф( х0)).
Пусть х1, х2 е Я". Следуя [12], определим производную второго порядка функции ф в точке х0 по направлениям х1, х2 как
__ 2 _ _ ф"(хс; х1, х2) = к™ (ф( х0 + х +г2 Х2) - ф( х0) - гф'(х; х1)).
Вторые производные функции оптимального значения изучались в работах [2, 3, 10, 11], где при различных предположениях получены достаточные условия их существования и формулы для их вычисления. Так в работах [2, 3] показано, что существование ф''(х0; х1, х2) обеспечивается условиями R-регулярностью задачи (или более жестким условием регулярности Мангасаряна-Фромовица) и дополнительным требованием выполнения сильного достаточного условия строгого минимума. Целью данной заметки является получение более результата, дополняющего [2, 3] для случая задачи квадратичного программирования.
Первые и вторые производные функции оптимального значения
Следуя [3], введем нижнюю и верхнюю производные Дини многозначного отображения ¥ в точке 2 = (х, у) е gr ¥ по направлению х :
П+ ¥(г; х) = {у е Ят | 3о(г) такое, что у + (у + о(г) е ¥(х + 1х) V! > 0} ,
¥ (г; х) = {у е Ят | 3гк I 0 и ук ^ у такие, что у + гкук е ¥ (х + гкх) к = 1,2,...} .
Вследствие свойств топологических пределов множества П+¥(г; х) и П+ (г; х) являются замкнутыми, причем П+ ¥(х) с П+¥(х) .
В случае, когда П+¥(2; х) = П+¥(2; х) будем их общее значение называть производной многозначного отображения ¥ в точке 2 = (х, у) е gr ¥ по направлению х и обозначать П¥(2; х). При этом будем говорить, что многозначное отображение ¥ дифференцируемо в точке 2 по направлению х .
Пусть ¿=(х, y)еgr ¥. Следуя [3], введем вторые нижнюю и верхнюю производные Дини многозначного отображения ¥ в точке 2 = (х,у) при 21 = (х1,у1) е grП¥(20,.)
по направлениям х1, х2 е Я":
П+ ¥(2,21; х2) = {у2 е Ят 13о(г) такое, что у+у +г2у2 + о(г2) е ¥(х+Щ +г2х2) V! > 0}, П+2¥(2,21;х2) = { еЯ 13оЦ) и 3к I0 такие, что у + гку + г2ку2 + о(г2) е ¥(х+^ + г^) }.
Если вторые нижняя и верхняя производные Дини П+¥(2,21; х2) и П+2¥(2,21; х2) совпадают, их общее значение будем обозначать П2 ¥ (2,21; х2) и называть второй производной многозначного отображения ¥ в точке 2 = (х, у) при 21 = (х1, у1) по направлениям х1, х2 е Я" и обозначать П2¥(2,21; х2).
Пусть р(x, C) = inf x — y, где \y\ — евклидова норма вектора, В — открытый единич-
yeC 1 '
ный шар с центром в 0 в пространстве Rm.
Определим также множество индексов ограничений типа неравенства, активных в точке z:
I(z) = {i e I\ht (z) = 0}.
Лемма 1 [13]. Пусть a1eRm, b7eR при 1=1, ..., p. Тогда множество C={yeRm | (а7,y)+b7 <0 7=1, ...,p} R-регулярно в каждой точке y0eC в том смысле, что существует число а>0 такое, что p(y, С)<а max{0, (а7, y)+b7 7=1, ..., p} для всех y e Rm. Пусть z0 = (x0, y0 ) e gr F, Z = (x, y ) . Введем множество
r(z0;x) = {y e Rm \ (Щ(z0),z) < 0 i e I(^)} .
Полагая z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2), 12(z0,z1) = {i e 1 (^| (Vhi(z0), zx) = 0}, где y e Г(z0 ; x1), введем множество
r2(z0, z1; x2) = {y e Rm \ (Vhi (z0), z2 ) + 2 (z1, V2h (z0)z, )< 0 i e I\z0,
Для задачи P(x) введем функцию Лагранжа L(z, Л) = f (z) + (Л, h(z)) , где z = (x, y), Л = (Л1,..., Л ), h = (hj,..., hp ) и множество множителей Лагранжа в точке z
Л(z) = { Àe Rp \ VyL(z, Л) = 0, À7 > 0 и À1hi (z) = 0, i e I } . Пусть
z0 = (x0.y0\ z = Q^iЛ z1 = Л z2 = (x2.
Г*(z0; x1) = { yer(z0; x1)\ (Vf (z0),(^ y1))= min_ )(Vf (z0),(x1. y))}
yer (z0;x1)
ф( z0, z;, z2) = ( Vf ( u z2 )+2 ( z1, V2 f ( z; ), Л2(z0; x) = { Л e Л((VXL(zQ, À), x) = max (VXL(zQ, À),x)}.
ÀeA ( z0)
Лемма 2. Пусть z0 = ( x0, y0) e gr F, Y1 = ( x1, Jj). Для задачи Р(х) справедливы следующие утверждения:
1) если Г(z0; x) , то многозначное отображение F дифференцируемо в точке z0
по направлению x и DF(z; x) = Г(z0; x) ^ 0;
2) если y er(z0; x1) и Г2(z0, z1 ; x2 ) ^ 0 , то для многозначного отображения F существует в точке z0 вторая производная D2F(z, z1; x2) по направлениям x1, x2, причем D2 F ( z, zx; ~x2 ) = Г 2( z0, zx; ~x2 ) *0.
Лемма 3. Пусть Г( z0; x) ^ 0 . Тогда Г* ( z0; x ) Ф0 .
Доказательство. Покажем, что (Vyf (z0), y ) ограничена снизу на Г(z0; x ). Действительно, рецессивный конус 0+Г(z0; x) многогранного множества Г(z0; x) совпадает с T(z0; 0)=DF(z0; 0) и, следовательно, для любого y e Г(z0;0) существует функция o(t) такая, что y0 + ty + o(t) e F(x0) и, значит, f (x0, y0 + ty + o(t)) — f (x0, y0) > 0, откуда
111
(Vyf (z0), y ) > 0 на множестве r(z0; 0). Поскольку многогранное множество является суммой
ограниченного многогранника и своего рецессивного конуса ([5]), последнее означает ограниченность (Vyf (z0), y ) на множестве Г(z0; x).
Теорема 1. Для задачи Р(х) справедливы следующие утверждения.
1) пусть Г(z0; x) в любой точке z0 = (x0, y0) такой, что y0 ёй(x0). Тогда функция ф дифференцируема в точке x0 направлению x , причем
ф'(х0;x) = min) mm (Vf(z0),z)= min) max (V xL(z{),X),x); (1)
y0effl(x0) yer (z0;x) y0effl(x0) ХеЛ( z0)
2) пусть в любой точке z0=(x0, y0) такой, что у0ею(г0) выполнены условия Г(z0; x1) ^ 0 и Г 2(z0, z1; x2) ^ 0 для всех zj = (xj, y1) таких, что yj е Г*( z0; xj) . Тогда существует конечная вторая производная функции ф в точке x0 по направлениям xj, x2 е Rn, причем
ф'Х^; ^ x2) = min) miri_) min 2Ф(zo, ^ z2) =
y0effl(x0) yier(z0;xi) y2eF2(z0,zj;x2)
V /
= min _min_ imax {2(VxL(z0,X),x2) + (zj,V2L(z0,X),zj).
У0е®(x0) Ле®(xo,xl) Л2(z0;x)
Доказательство. 1) Справедливость первого утверждения следует из основного результата работы [7].
2) Пусть j0era(x0), z0=(x0,У0), zj = (xj,yj), z2 = (x2,y2). В силу леммы 2 DF(z0;xj) = Г(z0;xj) ^0 и D2F(z,zj;x2) = Г2(z0,zj;x2) ^0 . Кроме того, Г*(z0;xj) ^0 по лемме 3.
Пусть y еГ*(z0;xj), y2 еГ2(z0,zj;x2) . Тогда по определению производной D2F(z, zj;x2) найдется функция o(t) такая, что y0 + tyj + t2y2 + o(t2) е F(x0 + Щ + t2x2) при всех t > 0. Следовательно,
ф(x0 + x +12x2) - ф(x0) -1ф'(_0; xj) <
< f (x0 + Щ + 12x2, y0 + tyj + 12y2 + o(t2 )) - f (x0 , y0) - tф'(_0 ; xj) <
= t (Vf (z0), zj) +12 (Vf (z0), z2) + 2 (zj, V2f (z0), zj) + o(t2) - tф'(_o; xj) = (3)
= 12Ф( z0, zj, z2) + o(t2),
откуда переход к пределу при t X 0 дает
_ _ 2 _ _
D2+Ф(_0 ; xj, x2) = liin sup — (ф(x0 + txj + 12x2 ) - ф(x0 ) - tф'^0 ; xj)) < 2Ф (z0 , Zj, z2),
или с учетом произвольности выбораy0era(x0), yj е Г*(z0;xj) ,
D2^;x2) < inf inf inf 2Ф(¿0,zj,z2). (4)
У0е®(x0) леГ (z0;xj) У2еГ (z0,zj;x2)
__ 2 _ _ Пусть D^(x0; xj, x2) = lim inf — (ф(x0 + txj +12x2) - ф(x0) - tф'(_0; xj)) достигается
t
на последовательности tk X 0 . Пусть xk = x0 + tkxj + t2kx2, yk е ш(xk) . Не ограничивая общности, можно считать, что yk ^ y0, причем в силу замкнутости многозначного отображения F
в рассматриваемой задаче справедливо включение y0eF(x0). С другой стороны в силу (3) lim sup ф(x0 + Щ +12 x2) <ф(х0) и, следовательно, переход к пределу в равенстве
ф(х0 + tkxi + tk2х2) = f(хо + tkxi + tk2Х2' Ук) дает ф(х0) = f (xo,Уо), откуда с Учетом JoeF(xo) следует y0era(x0).
Положим Ук = tk\yk -У0). Легко видеть, что Г^;x)={y I (a,,Я>+(Ь,^><0 iе%)}, h(zk)-hi(Z0) = {ai,Ук -У0>+(b,,xk -x0><0 при i e /(zй), откуда
(a,, Ук > + {bi, xi > < -tk {bi, x2 > i e 1 (Z0) . (5) Возьмем у еГ*((x0, У0); x1). Тогда ф(xk) -ф(x0) = f (zk)-f (Z0) =
= (Vf (z0), Zk -Z0 {zk -z0.v2f (Z0)(Zk -z0)> и в силу (3) ф(xk ) -ф(x0) <tkф'К; xi) +
+M 1tk2, где M1 = const > 0 .
Отсюда получаем (Vf (z0), zk - z0 > < tk9'(x0; xi) + M2tk, M2 = const > 0, или
(Vyf (Z0),^k> + (Vxf(z0),xi> < _ 111 in_)(Vf (Z0),(x1,У> + M2tk. (6)
У еГ (Z0;xi)
Из последнего неравенства и (5) в силу леммы 1 следует, что
р(jPk.Г*(z0;xi))<аmax{ ° (a,,%> + (b,,x> ie/(z0),
(Vyf (Z0), yk > + (Vxf (Z0), xi >- _ minx )(Vf (Z0), (x, У> }.
У e Г (Z0;xi)
Следовательно, принимая во внимание оценки (5) и (6), окончательно получаем р(Ук,Г*(Z0;xi)) <M3tk, M3 = const > 0.
Тогда существует У1к е Г*(z0; xi) такой, что Ук = У1к + tkqk, У1к ^ 0, где последовательность {qk } ограничена. В таком случае, не убавив общности, можно считать, что qk ^ У2
и % = У1к + tJ2 + o(tk ) . Полагая zik = (xi, У1к ) , при i е 12 (Z0 . Z1k ) получим
0 > h(zk) -h(Z0) = (a,Ук -У0> + (b,,xk -x0> = tk [(a,,У1к> + (b,,xi>] + t2k [(a,,У2> + (b,,x2>] + o(t2k\
откуда (ai,У2> + (bi, x2>< 0, т.е. У2 e r2(Z0, %;x2). Тогда ф(xk) -ф(x0) =
1 2
+1 (Z1k , V2f (Z0 )Z1k > ] + o(tk X где Z1k = (xi, У1к X Z2 = (x2 , У2 ) .
= f i Zk )-f i Zo) = {Vf i Zo), Zk-Zo ) + -{Zk-Zo, V2f i Zo)iZk-Zo)) = tk {Vf iZo), Ylk ) + tk2[{Vf i Zo), Z2 ) +
Отсюда ф( xk ) - ф( xo) - tk ф'(_0 ; _ ) > tk [{Vf i Zo ), Z2 ) 2 2 {Zlk, V2 f ( Zo ) zxk ) ] + o(t2k ) =
= t2k4z Yk, Z2) 2 o(tk2) > tt2 inf 2inf Фiz0, Z2) 2 o(tk2) и, след0вательн0,
УGГ iZo;_l)УkGГ iZo,Zl;X2)
D>i_o; _l, _2 ) ^ inf _ _ jnf__2Ф i Zo, Yl, Y2),
У1G Г (zo;xl) У2G Г (zo-zi;x2)
откуда окончательно получаем
D+2Фixo ; _l, _2) > inf 2Ф ( zo, Y1, z2) .
У0 G ® ( x0) У1 G Г i Zo ;_1 ) У2 G Г i Zo,Zl;X2)
Сравнивая с оценкой (4), получаем, что производная ф"(хо; х1, х2) существует, причем ф"(Хо;XI,х2) = ^ _ _ тГ__ 2Ф(Го,51,12).
Уое®(хо) леГ (го;Х[) У2еГ (го^х»)
Применение леммы о двойственности [3, 11] позволяет утверждать о равносильности данной формулы и двойного равенства (2).
Теорема 2. Пусть в задаче Р(х) выполняется условие хоет1 ^т Г. Тогда для любых направлений х е Я" и Х1, х2 е Я" существуют конечные производные ф'(хо; X) и ф"(хо; Х1, Х2),
для которых справедливы формулы (1) и (2).
Доказательство. Следуя [3], можно показать, что при сделанных предположениях многозначное отображение Г Я-регулярно в любой точке го=(хо, y0)еgr Г в том смысле, что найдутся числа а>0, 51>0, 52>о такие, что р(у, Г(х))<а тах{о, Ь(х,у) /еТ) для всех хехо+515, уеуо+52£. В таком случае, согласно [3] БГ(го; х) = Г(го; х) ^ 0 и Б2Г(г, 51; х2) = = Г2(го, Г1; х2) ^ 0 для любых направлений х е Я" и х1, х2 е Я" . Далее следует повторить доказательство теоремы 1.
ON DIFFERENTIABILITY OF VALUE FUNCTION IN PARAMETRIC QUADRATIC PROGRAMMING PROBLEMS
L.I. MINCHENKO, S.M. STAKHOVSKI Abstract
Parametric quadratic programming problems are studied and the existence of the first and the second directional derivatives for value function are proved.
Литература
1. ДемьяновВ.Ф., РубиновА.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М., 1990.
2. Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbations analysis of optimization problems. Springer-Verlag, New York, 2000.
3. Luderer B., Minchenko L., Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Kluwer Acad Publishers. Dordrecht/Boston/London, 2002.
4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М., 1988.
5. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М., 1973.
6. Минченко Л.И., Волосевич АА. // Докл. НАН Беларуси. 2003. Т. 47, № 3. С. 28-32.
7. Минченко Л.И., Сацура Т.В. // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37, № 1. С. 18-22.
8. Minchenko L, TarakanovA. // Optimization. 2005. Vol. 54. P. 433-442.
9. Минченко Л.И., Тараканов А.Н. // Докл. НАН Беларуси. 2004. Т. 48, № 4. С. 24-28.
10. Ralph D., Dempe S. // Mathematical Programming. 1995. Vol. 70. P. 159-172.
11. Auslender A., Cominetti R. // Optimization. 1990. Vol. 21. P. 240-258.
12. Ben-TalA., Zowe J. // J. Optimiz. Theory and Appl. 1985. Vol. 47. P. 493-490.
13. Федоров В.В. Численные методы решения максиминных задач. М., 1979.
