CC BY
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
Научная статья УДК 539.3; 577.1
doi: 10.18522/1026-2237-2024-2-21-32
О ДЕФОРМИРОВАНИИ РЕШЕТЧАТОЙ ПЛАСТИНКИ ГЛАЗА
Александр Ованесович Ватульян1, Иван Сергеевич Козаченко 22Я
12 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1 aovatulyan@sfedu.ru 2ikozachenko@sfedu.ru в
Аннотация. Рассмотрено несколько задач о деформировании круглой упругой изотропной пластины переменной жесткости при наличии упругого опирания на краю. В первой рассматривается модель Тимошенко. Во второй изучается деформирование многослойной пластины с кусочно-постоянными по толщин-ной координате коэффициентами Ламе, которые принимаются постоянными внутри одного слоя. Для моделирования применяется гипотеза ломаной нормали (Zig-zag-method). Для построения решения обеих задач использован вариационный принцип Лагранжа для пластины. Численное решение построено с помощью метода Ритца. В ходе работы сравнивались прогибы и точки перегиба решетчатой пластинки здорового глаза и больного (различные стадии первичной открытоугольной глаукомы) как для постоянных коэффициентов Ламе, так и для их экспоненциально убывающего в радиальном направлении распределений. Исследовано влияние внутриглазного давления на прогиб решетчатой пластинки. Решена задача о прогибе решетчатой пластинки глаза при учете преламинарного слоя на основе гипотезы ломаной нормали. Решение задачи сравнивалось для здорового и больного глаза.
Ключевые слова: решетчатая пластинка глаза, модель Тимошенко, гипотеза ломаной нормали, метод Ритца, деформирование многослойной пластины, первичная открытоугольная глаукома
Для цитирования: Ватульян А.О., Козаченко И.С. О деформировании решетчатой пластинки глаза // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 2. С. 21-32.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
ABOUT THE DEFORMATION OF THE LAMINA CRIBROSA OF THE EYE
Alexander O. Vatulyan1, Ivan S. Kozachenko2M
12 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
1 aovatulyan@sfedu.ru
2 ikozachenko@sfedu.ru M
Abstract. Several problems pertaining to deformation of the circular elastic isotropic plate of variable rigidity in the presence of elastic support on the edge were study. In the first problem Timoshenko model was considered. In the second problem the deformation of a multilayer plate with piecewise constant Lame coefficient along the thickness coordinate which are assumed to be constant within one layer was researched, the Zig-zag method is used for modeling. The basis for constructing a solution for both problems is the use of Lagrange's variation principle of plates, numerical solution constructed using the Ritz method. During the research work the deflection and inflection points of the lamina cribrosa were compared for a healthy eye and for an eye with different stages ofprimary open-angle glaucoma for constant Lame coefficient as well as for their exponentially decreasing above. The problem of deflection of the lamina cribrosa when tacking into account the prelaminar layer was solved based on the Zig-zag method, the solution to this problem was also compared for a healthy eye and for an eye with various stages of primary open-angle glaucoma.
Keywords: lamina cribrosa of the eye, Timoshenko model, Zig-zag method, Ritz method, deformation of the multilayer plate, primary open-angle glaucoma
© Ватульян А.О., Козаченко И.С., 2024
For citation: Vatulyan A.O., Kozachenko I.S. About the Deformation of the Lamina Cribrosa of the Eye.
Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(2):21-32. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
В последние годы задачи о моделировании деформирования различных тканей глаза имеют широкий спектр применения в офтальмологии. Отметим, что уже сейчас на основе некоторых биомеханических моделей и соответствующих решений можно диагностировать и предупреждать ряд болезней глаза, что способствует своевременному принятию мер по их лечению.
Рассматриваются уточнённые модели деформирования решетчатой пластинки глаза. Этой теме посвящено большое количество работ. Так, в [1] сравниваются две модели. В структуру первой входит только решетчатая пластинка глаза, а во вторую также включается склера. Сравнивается влияние увеличения внутриглазного давления (ВГД) на диаметр склерального кольца. Анализируется действие деформации склеральной оболочки глаза на прогиб решетчатой пластинки. Сделан вывод, что учет склеры мало влияет на деформирование, и, следовательно, деформация решетчатой пластинки может быть проанализирована отдельно от деформации склеральной оболочки.
В [2] рассматривается модель решетчатой пластинки глаза как круглой пластины заданного радиуса с кольцевым отверстием в центре. Нижняя и верхняя поверхности пластины нагружены равномерным ВГД и внутричерепным давлением соответственно. С помощью теории С.А. Амбарцумяна построено общее уравнение для определения смещения пластины. Изучено влияние ВГД на его решение.
В [3] исследовано деформирование двух сопряженных оболочек (склеры и решетчатой пластинки). Декомпрессионная операция для снижения прогиба решетчатой пластинки моделируется как срез слоя склеры недалеко от точки сопряжения с решетчатой пластинкой. Для упрощения расчетов использовалась полусфера. Сравнивались решения поставленной задачи до де-компрессионной операции и после нее при нормальном ВГД и повышенном. Проведён анализ зависимости прогиба решетчатой пластинки от геометрических параметров среза склеры.
В [4] решетчатая пластинка глаза рассматривается как многослойная оболочка вращения. Предполагается, что слои могут проскальзывать относительно друг друга. В ходе решения получены графики прогиба до и после нагружения верхней и нижней частей решетчатой пластинки для случая трехслойной структуры.
В [5] получено решение задачи о прогибе решетчатой пластинки с использованием геометрически нелинейной обобщенной теории С.А. Амбарцумяна и уточненной итерационной теории Родионова - Титаевой - Черных. Оно сравнивалось с численным решением трехмерной задачи теории упругости, полученным методом конечных элементов.
В [6] решетчатая пластинка глаза моделируется как пластина с упруго опертым краем, для которой выполняются кинематические гипотезы Эйлера - Бернулли. Решён ряд обратных задач по восстановлению параметров модели. Продолжением этой статьи выступает [7], где в дополнение к предыдущим результатам решена задача о реконструкции трех параметров и исследовано влияние упругой заделки на деформирование.
В [8] обсуждаются некоторые вопросы моделирования решетчатой пластинки: удерживается ли решетчатая пластинка только вдоль границы раздела со склерой или существуют дополнительные ограничения на вращение вдоль этой линии; необходимо ли учитывать эффект предварительного натяжения из-за расширения склеры; анализ жесткостей решетчатой пластинки при растяжении и при изгибе; пространственная неоднородность биомеханических свойств решетчатой пластинки; определяющие соотношения материала решетчатой пластинки.
В [9] решетчатая пластинка глаза моделируется как нелинейно-упругая однородная изотропная круглая пластинка, внутренняя поверхность которой подвергается ВГД, тогда как задняя поверхность - ретроламинарному тканевому давлению.
В [10] решетчатая пластинка глаза рассматривается как пороупругая среда, состоящая из эластичного твердого вещества и сосудистого порового пространства, заполненного кровью, которая моделируется как ньютоновская жидкость. В предположении, что решение осесиммет-рично, описана взаимосвязь между механическими деформациями и кровотоком в решетчатой
пластинке, а также получено численное решение для поставленной задачи. Отличительной особенностью этой статьи является использование гипотезы ломаной нормали [11] для определения прогиба решетчатой пластинки глаза.
Постановка задач
Отметим, что модели, описывающие деформирование решетчатой пластинки глаза, постоянно совершенствуются и уточняются. Первые работы были выполнены в рамках моделей типа Кирхгофа с переменной жесткостью. Уточнение в последние годы идёт в нескольких направлениях, среди которых важную роль занимают модели, в которых происходит учет касательных напряжений в пластине, поскольку именно они играют важную роль в ослаблении нервных окончаний. Среди таких моделей отметим модели типа Тимошенко и ломаной нормали, поскольку реальная решетчатая пластинка глаза состоит из достаточно большого числа слоев, между которыми располагаются фрагменты нервных окончаний. В настоящей статье решетчатая пластинка глаза моделируется как круглая изотропная упругая пластина радиусом а и толщиной 2h, упругое опи-рание - двумя упругими связями на краю. В рамках осесимметричной постановки будем считать, что на пластину действует распределенная нагрузка .
Модель 1 (Тимошенко). Будем считать, что для пластины выполняются гипотезы Тимошенко, в рамках которых ur = zв(г), и^ = 0, uz = W(r), где ur, и^, uz - перемещения в цилиндрической системе координат; 9 - угол поворота; W - прогиб. Ненулевые компоненты тензора дефор-
диг , lduv Ur иг гв 1( duz диг\ 1 . , Л
мации имеют вид £r = — = zQ, Еу = + - = - = - £rz = -2{— + —) = 1 (W +в) .
Предполагается, что sz Ф 0, но при этом осевое напряжение oz = 0, откуда в силу закону Гука
для изотропного материала oz = X{sr + е^ + £z) + 2^.sz = 0 , £z = — {zr + £cp).
Здесь Л, ^ - коэффициенты Ламе материала пластинки, зависящие от радиальной координаты. Далее находим ненулевые напряжения:
аг = —---+ —-- , ат = —--\----—, аГ7 = u(W + о).
r À+2р г(Л+2р)' V À+2р r(A+2p) ' J
Выпишем функционал энергии для пластинки: F = If? [f(r) {в'2 + £) + rdr + f0ap(r)(W' + e)2rdr —
— tfqWrdr + — W2(a) + ?f62 (a) . (1)
Здесь введены следующие функции: f(r) = ^J^-*^; 9(r) = ^i+'-ly P(r) = h"; 9i, 92 -
коэффициенты упругости при учете упругого опирания на краю. Нетрудно заметить, что если положить в = —W', толщину пластины взять равной h и перейти от коэффициентов Ламе к модулю Юнга и коэффициенту Пуассона, то приведенный выше функционал совпадет с функционалом, полученным в [2].
Приведем задачу к безразмерному виду, вводя
г = в(а%) = 9(0, W(aÇ) = aW(Ç), f(0 = 9(0 = ^
ггл _ Р(аО „ _ qa3 _ g^a2 с _ 92___а2р(0) , .
P(V= «0 = WrSl = 7(0),5- = m7 = "TûT (2)
В соответствии с преобразованиями (2) функционал (1) с точностью до множителя примет вид
F = -fo1 [f(0 (в'2 + £) + щ + у fHp(0(W' + e)2ïdt —
— fi q oWÇdt + SfW2(l) + s-в2 (1). (3) Отметим, что функционал (3) соответствует приведенному в [12].
Модель 2 (многослойная пластина в рамках гипотезы ломаной нормали). Будем рассматривать пластинку как многослойную и введем обозначения:
h(k) - половина толщины к -го слоя;
¡л(к) - модуль сдвига к--го слоя.
Опираясь на модели в [11], перемещение к--го слоя представим следующим образом:
( )
(г,г) = и(г) + г в(г) + (у(+ £>( ^ г) ър(г), и2(г) = Ш (г), где и (г) - среднее смещение верхней и нижней границ пластины; гр(г) - функция, отвечающая за зигзагообразный сдвиг;
y(k\ f3(k^ - кусочно-постоянные функции, постоянные внутри каждого слоя: f3(k^ = -щ — 1, где
ИИ = Y(k) = 2 iï=1h(»f](» — fl(k)zk.
Здесь z^ - толщинная координата, отсчитываемая от верхней границы k-го слоя. Далее имеем
#) = ^ = и' + zg' + (у(Ю + , $) = + иШ = ^ = ^Чу^^Ш
дг ^ ' ' ™ г дф г г г '
= ф + д-Цт) = +д + Р(к)*)-
Предполагается, что Ф 0, но при этом осевое напряжение о^ = 0, откуда аналогично
(к) Л(к) С (к) . (к)\
описанному выше случаю имеем = — ^к)+2^к) (£г + £ф )■
Далее находим ненулевые компоненты тензора напряжений:
°г = Л(к)+2ц(к) + г(Л(к)+2ц(к)) '
(к) = 2ц (к)Л(к){ и'+гв'+(у (к)+р(к) г)-ф') + 4ц (к^(Л (к^+ц Ю)( и+г в+(у Ю+р(к) г)ф) °Ф = Жк )+2ц (к) + г (Л (к)+2ц (к)) ' (4)
а(к) = ju(k)(W + в+/3(к) хр).
Функционал энергии для этой модели после обезразмеривания и введения новых функций принимает вид
и(г) = аи(0, ф(г) = ф(0, ^(0 = ^ 1 = 1...6, Сг(0 = 1 = 7...10,
(п = С1(аО а2 = „ = „ = д¡а? , = 8к3ц (1\Л (1)+ц(1))
Ь1 (^)_ Г(0) ' 1 11...15' ° 3 Г(0у Г(0)' ' з(Л(1)+2ц(1)) '
Р = /о1 с±(0 ( е'2 + £) щ + £ С2(0 (е'гр' + еф) V { + СзЮ (ц>'2 + £) { + + /0 с4 (Овв'<ц + /¿с5(0(вф' + е'фщ + /¡с6(ом'Ц + /¡с7(0 (и'в' + + + /01 С8 (О (и'Ц)' + щ + /01 с9 (0(и'е + ив' щ + /01 Сю(0(и'Ф + иущ + +/01 Сц(0 (и'2 + щ + /01 с^оии'^ + /01 С1з(0№' + в)2щ +
+ /01 С14^ЖМ' + в)Щ+/1 С1ь(0^2г(1г — /01 Ч0Ш^йг + 3-^ш2(1) +
+2в2(1)+^2а)+5-^и2(1).
Отметим, что нахождение прогиба пластинки в рамках описанных выше моделей осуществляется на основе вариационного принципа Лагранжа и сводится к отысканию минимума приведенных выше функционалов энергии, которые будем находить с помощью метода Ритца.
Численное решение задач с помощью метода Ритца
Модель 1 (Тимошенко). Неизвестные функции аппроксимируются следующим образом: в = £]11=1а1 (ф1 (, Ш = ^=1а21<р21; % г, а2(, Ь = 1 ... N, - неизвестные константы, подлежащие определению; ф1 ( = г21-1, Ф21 = г2( 1-1 - координатные функции. Такой выбор координатных функций продиктован нечетностью в и четностью Ш по радиальной координате.
Используя необходимое условие экстремума, получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов % г, а21: (КЦ ^0.11 + К121]й-2 ( = 0, {К211]0,11 + К22( = //, где коэффициенты системы и правые части имеют громоздкий вид и в работе не приводятся.
Модель 2 (многослойная пластина в рамках гипотезы ломаной нормали). Неизвестные функции аппроксимируются следующим образом: в = £11=1а1 (ф1 (; Ш = ^=1а21ф21; тр = Т4=1а31ф31; и = £11=1а4(; % (, а2(, а3(, а4(, 1 = 1. N, - неизвестные константы, подлежащие определению; ф 1 ; = г21-1, ф21 = г2( 1 -1), ф31 = г21-1, ф41 = г21-1 - координатные функ-
ции. Подставляя в формулу (4) вместо неизвестных функций их аппроксимации и используя необходимое условие экстремума, приходим к системе уравнений для определения коэффициентов разложений агt, а2i, а31, а41, i = 1... N :
К11 ija1 i + ^12 ij a2 i + ija3 i + ija4 i = 0
К21 ija1 i + K22 ija2 i + &23 ija3 i + К24ija4 i = fj (5)
K31 ija1 i + K32ija2i + K33ija3i + K34ija4i = 0 '
K41 ija.11 + K42 ij a-2 i + К4з ^0.31 + K44 ij a41 = 0
причем коэффициенты системы представлены в виде однократных интегралов.
Найдя решение системы (5), получим значения искомых постоянных, при помощи которых определяется прогиб в центре пластины и через него - точки перегиба.
Задание параметров системы
В [13] приведены модули сдвига решетчатой пластинки и преламинарного слоя для здорового глаза, а также при различных заболеваниях (глазная гипертензия (ГГТ), первичная открытоуголь-ная глаукома (ПОУГ), первичная закрытоугольная глаукома (ПЗУГ)), полученные в ходе эксперимента на испытуемых, достигших 50-летнего возраста, без внутриглазных операций. В ходе эксперимента глаза испытуемого обрабатывали 1%-м тропикамидом, затем измеряли базовое ВГД и объем c помощью тонометра Tonopen, после производилось мягкое вдавливание на височную сторону нижнего века офтальмодинамометром с силой 0,64 Н, затем снова измерялись ВГД и объем глаза. Данные о модулях сдвига взяты из [13] и представлены в табл. 1.
Таблица 1 / Table 1
Модуль сдвига для решетчатой пластинки и преламинарного слоя здорового глаза и с различными заболеваниями, МПа / Shear modulus for the lamina cribrosa and prelaminar layer, healthy eye and with various diseases, MPa
Структура глаза Здоровый ГГТ ПЗУГ ПОУГ
Преламинарный слой 0,056±0,037 0,082±0,040 0,058±0,025 0,062±0,038
Решетчатая пластинка 0,057±0,043 0,079±0,046 0,080±0,051 0,078±0,050
В табл. 2 приведены коэффициенты Ламе, используемые при расчетах, модули сдвига брались как среднее значение модуля сдвига из табл. 1. Коэффициенты Ламе А найдены из предположения, что коэффициент Пуассона равен 0,49 как для решетчатой пластинки, так и для преламинарного слоя.
Таблица 2 / Table 2
Коэффициенты Ламе для решетчатой пластинки и преламинарного слоя глаз, здорового и с различными заболеваниями, принимающиеся в качестве расчетных, МПа / Lame coefficient for the lamina cribrosa and the prelaminar layer of the eye, healthy and with various diseases, accepted as settlement, MPa
Структура глаза Здоровый ГГТ ПЗУГ ПОУГ
Преламинарный слой 0,056 0,082 0,058 0,062
À 2,744 4,018 2,842 3,038
Решетчатая пластинка V 0,057 0,079 0,08 0,078
À 2,793 3,871 3,92 3,822
В [14] приведены данные о величине толщины решетчатой пластинки и преламинарного слоя для здорового и больного глаза (с различными стадиями ПОУГ), полученные в ходе эксперимента на 39 пациентах, возраст которых варьировался от 62 до 83 лет. Измерения проводились методом стандартной автоматизированной периметрии на приборе Тотеу АР-3000.
В [15] указаны данные о толщине решетчатой пластинки для здорового и больного глаза с различными стадиями ПОУГ, полученные в ходе эксперимента на 30 пациентах с глаукомой. Всем пациентам было проведено комплексное офтальмологическое обследование, включающее измерение остроты зрения с наилучшей коррекцией, биомикроскопию с использованием щелевой лампы, гониоскопию, аппланационную тонометрию по Гольдману, расширенное стереоскопическое ис-
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
следование головки зрительного нерва и глазного дна, а также ахроматическую автоматизированную периметрию с использованием стандартной программы Swedish Interactive Threshold Algorithm 30-2. Средние данные о толщинах, основанные на результатах [14, 15], приведены в табл. 3.
В [16] отмечено, что диаметр решетчатой пластинки варьируется от 1,2 до 1,7 мм, в расчетах будем принимать его равным 1,45 мм.
Таблица 3 / Table 3
Толщина решетчатой пластинки и преламинарного слоя глаз (здорового и с различными стадиями ПОУГ), мм / The thickness of the lamina cribrosa and the prelaminar layer of the eye (healthy and with various stages of primary open-angle glaucoma (POAG)), mm
Структура глаза Здоровый Стадия ПОУГ
1-я 2-я 3-я
Преламинарный слой макс. 0,334 0,205 0,175 0,121
Преламинарный слой мин. 0,238 0,158 0,084 0,075
Решетчатая пластинка 0,244 0,198 0,182 0,130
Определение оптимального количества координатных функций в методе Ритца
Согласно [17], прогиб, полученный с помощью метода Ритца, монотонно возрастает с увеличением числа координатных функций, при этом приближенное решение стремится к точному. В качестве параметров системы выбраны значения из табл. 2, 3, соответствующие здоровому глазу. Расчет произведен для двухслойной пластины, у которой нижний слой - преламинарный, а верхний - решетчатая пластинка. Толщина для модели 2 определялась как сумма толщин всех слоев,
u(Dh(D+u (2)h(2) Ä^h^+Ä (2)h(2) а коэффициенты Ламе - по формулам /л =-h1)+h2-, ^ =-hM+h2-. Полученный результат показал, что значение прогиба в центре пластины стабилизируется при N=13.
Результаты
На рис. 1 показан прогиб решетчатой пластинки здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ. В качестве параметров системы взяты значения из табл. 2, 3; коэффициенты Ламе полагаются равными для всех стадий ПОУГ. Все дальнейшие расчеты ведутся для радиуса пластины 0,725 мм при среднем нормальном ВГД [13], равном 19,1 мм рт.ст., что приблизительно соответствует 0,0025 МПа.
На основе рис. 1 делается вывод, что при ПОУГ прогиб решетчатой пластинки заметно увеличивается, при этом первая и вторая стадии ПОУГ имеют незначительные изменения в прогибе друг относительно друга, однако при третьей стадии ПОУГ прогиб заметно увеличивается. Также важную роль играют точки перегиба прогиба. Они приведены в табл. 4 для здорового глаза и для глаз с различными стадиями ПОУГ.
Таблица 4 / Table 4
Точки перегиба решетчатой пластинки для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ / The inflection points of the lamina cribrosa for a healthy eye and with various stages POAG
Решетчатая пластинка глаза Здоровый Стадия ПОУГ
1-я 2-я 3-я
Точка перегиба 0,б57 0,б31 0,б23 0,б01
Как видно из табл. 4, местоположение точки перегиба смещается ближе к центру пластины при увеличении стадии ПОУГ, при этом максимальное изменение происходит при переходе от здорового глаза к первой стадии ПОУГ. Во многих работах также отмечается, что модуль Юнга не постоянен по радиальной координате, а убывает в направлении от виска к носу [17]. Для учета этого фактора положим, что модуль Юнга является экспоненциально убывающей функцией от радиальной координаты. Так как коэффициенты Ламе зависят линейно от модуля Юнга, то они будут экспоненциально убывающими функциями. Возьмем коэффициенты Ламе в виде Ье-Г, где Ь - значение из табл. 2. На рис. 1 сравниваются графики прогиба для здорового глаза,
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
а также для глаз с различными стадиями ПОУГ при экспоненциально убывающем распределении по радиальной координате коэффициентов Ламе.
На рис. 1б видно, что характер изменения прогибов друг относительно друга схож с полученным при постоянных коэффициентах Ламе (рис. 1а), это же можно сказать о точках перегиба. В табл. 5 приведены точки перегиба для здорового глаза и глаз с различными стадиями ПОУГ при экспоненциально убывающем распределении для коэффициентов Ламе. Как и в табл. 4, различие в точках перегиба графика прогиба для здорового глаза и с разными стадиями ПОУГ мало, а максимальное различие достигается при переходе от здорового глаза к первой стадии ПОУГ. Зачастую ПОУГ сопровождается повышением ВГД [19]. Предположим, что при первой и второй стадиях ПОУГ происходит умеренное повышение ВГД. Согласно [19], умеренно повышенным считается ВГД от 21 до 32 мм рт.ст. Возьмем среднее значение умеренно повышенного ВГД (26,5 мм рт.ст.), что приблизительно соответствует 0,0035 Мпа. В третьей стадии ПОУГ происходит высокое повышение ВГД (свыше 32 мм рт.ст). Примем его равным 34 мм рт.ст., что приблизительно соответствует 0,0045 МПа. Результат расчетов представлен на рис. 2.
N. • . \ N ■. \
. N V. Ч-.
Х-.
ч.
N. \ N \
■ ----— 4 \
" ■ —. ч \
ч \
ч \
^ ^ ч\
Ч\
\\
\\\
ч\
_ Здоровый глаз Глаз со второй стадией ПОУГ
____Глаз с первой стадией ПОУГ
____Глаз с третьей стадией ПОУГ
а/а
б/b
Рис. 1. Прогиб в рамках модели Тимошенко для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ: а - при постоянных коэффициентах Ламе; б - при экспоненциально убывающем законе распределения коэффициентов Ламе / Fig. 1. Deflection within the framework of the Timoshenko model for the healthy eye and with various stages of POAG: a - with constant Lame coefficients; b - with exponentially decreasing distribution of Lame coefficients
Таблица 5 / Table 5
Точки перегиба решетчатой пластинки для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ при экспоненциально убывающем распределении коэффициентов Ламе / The inflection points of the lamina cribrosa for a healthy eye and with various stages POAG with exponentially decreasing
distribution of Lame coefficients
Решетчатая пластинка глаза Здоровый ПОУГ1 ПОУГ2 ПОУГ3
Точка перегиба 0,942 0,937 0,928 -
Учет повышения ВГД слабо влияет на характер изменения прогибов при различных стадиях ПОУГ в отношении к здоровому глазу, однако стоит отметить общее увеличение прогиба, что закономерно в силу увеличения нагрузки.
Из табл. 2, 3 следует, что ПОУГ оказывает значительное влияние не только на решетчатую пластинку глаза, но и на преламинарный слой. Зачастую принимается [20], что преламинарный и ре-троламинарный слои являются частью решетчатой пластинки глаза. Рассмотрим её как двухслойную структуру, нижним слоем которой является сама решетчатая пластинка, верхним - прелами-нарный слой, толщина которого имеет линейно убывающий характер и вычисляется по формуле Ртах — (.Ртах — Ртт)£, где ртах, Ртт - максимальная и минимальная толщина соответственно.
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
- Здоровый глаз -----Глаз с первой стадией ПОУГ
Глаз со второй стадией ПОУГ-------Глаз с третьей стадией ПОУГ
Рис. 2. Прогиб в рамках модели Тимошенко для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ при экспоненциально убывающем законе распределения коэффициентов Ламе
с учетом повышения ВГД / Fig. 2. Deflection within the framework of the Timoshenko model for the healthy eye and with various stages of POAG with exponentially decreasing distribution of Lame coefficients, taking into account the increase in intraocular pressure
Сравним решения, построенные на основе двух описанных выше моделей, принимая за параметры системы для метода, построенного на основе гипотезы ломаной нормали, значения из табл. 2, 3 для глаза с первой стадией ПОУГ (без учета повышения ВГД), а для модели Тимошенко - толщину пластины, равную общей толщине решетчатой пластинки и преламинарного слоя. Коэффициенты Ламе при этом усреднены по толщине, и для них по-прежнему полагается экспоненциально убывающая зависимость вида Ь е -г. Максимальная относительная разница между двумя моделями достигается в центре пластины и равна 5 %.
Графики прогиба для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ, построенные в рамках предположения, что прела-минарный слой является частью решетчатой пластинки глаза, при учете повышенного ВГД (рис. 3 а) и при нормальном ВГД (рис. 3б), позволяют увидеть картину, схожую с полученной при рассмотрении модели 1, однако стоит отметить большее расхождение между здоровым глазом и ПОУГ первых двух степеней. Для случая без учета ВГД первая стадия ПОУГ заметно ближе к здоровому глазу, нежели к ПОУГ второй стадии.
— Здоровый глаз ■ Глаз со второй стадией ПОУГ
а/а
- Глаз с первой стадией ПОУГ ■ - Глаз с третьей стадией ПОУГ
б/Ь
Рис. 3. Прогиб в рамках модели ломаной нормали для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ при экспоненциально убывающем законе распределения коэффициентов Ламе: а - с учетом ВГД; б - без учета повышения ВГД / Fig. 3. Deflection within the framework of the broken normal model for a healthy eye and with various stages of POAG with an exponentially decreasing law of distribution of Lamé coefficients: a - taking into account intraocular pressure; b - without taking into account the increase in intraocular pressure
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
В табл. 6 приведены точки перегиба для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ при учете преламинарного слоя как части решетчатой пластинки.
Таблица 6 / Table 6
Точки перегиба решетчатой пластинки для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ для модели 2 / The inflection points of the lamina cribrosa for a healthy eye and with various stages POAG for model 2
Решетчатая пластинка глаза Здоровый ПОУГ1 ПОУГ2 ПОУГ3
Точка перегиба без учета повышения ВГД — 0,938 0,87 0,784
Точка перегиба с учетом повышения ВГД - 0,895 0,866 0,788
Касательные напряжения, полученные в рамках модели ломаной нормали, демонстрируют существенное различие между слоями при ПОУГ, что может свидетельствовать об их проскальзывании друг относительно друга. Это приводит к передавливанию нервных окончаний, что способствует повышению ВГД (рис. 4).
-0,020
-0.02-
-0.06-
а/а
-0.10-1
б/b
в/с
- Решетчатая пластинка
г/d
Преламинарный слой
Рис. 4. Касательные напряжения, полученные в рамках модели ломаной нормали: а - здоровый глаз; б - 1-я стадия ПОУГ; в - 2-я стадия ПОУГ; г - 3-я стадия ПОУГ / Fig. 4. Shear stresses obtained within the framework of the broken normal model: a - healthy eye; b - 1st stage of POAG; c - 2rd stage; d - 3rd stage
В табл. 7 приведены значения разницы касательных напряжений на краю между слоями для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ, округленные до 0,0001.
Касательные напряжения, полученные в рамках модели Тимошенко, приведены на рис. 5. При всех стадиях ПОУГ наблюдается линейно убывающий характер касательных напряжений, их значения на краю тем меньше, чем выше стадия ПОУГ.
Таблица 7 / Table 7
Значения разницы касательных напряжений на краю между слоями для здорового глаза и с различными стадиями ПОУГ/ Values of the difference in shear stress at the edge between layers for a healthy eye and with different stages of POAG
Модель ломаной нормали Здоровый ПОУГ1 ПОУГ2 ПОУГ3
Разница касательных напряжений на краю 1,754386 20,5128191 20,5128182 20,5128174
0.05-
0.04-
0.03-
0.02
0.01 -
0.2
0.4
0.6
0.8
- Здоровый глаз -----Глаз с первой стадией ПОУГ
.....Глаз со второй стадией ПОУГ-------Глаз с третьей стадией ПОУГ
Рис. 5. Касательные напряжения, полученные в рамках
модели Тимошенко, для здорового глаза и при всех стадиях ПОУГ в условиях повышенного ВГД / Fig. 5. Tangential stresses obtained within the Timoshenko model for a healthy eye and for all stages of POAG, subject to increased intraocular pressure
Заключение
В рамках рассмотренных моделей найдены прогибы решетчатой пластинки здорового глаза и с ПОУГ, вычислены точки перегиба и посчитаны касательные напряжения. Полученные результаты свидетельствуют о том, что прогиб в центре пластины увеличивается при ПОУГ с ростом ее стадии. Найденные точки перегиба прогибов показали тенденцию к смещению к центру решетчатой пластинки в рамках обеих моделей, при этом в модели 2 при учете преламинарного слоя точка перегиба прогиба для здорового глаза отсутствовала. Касательные напряжения в рамках модели 1 показали окололинейный убывающий характер, при этом значение на конце уменьшалось с ростом стадии ПОУГ. Для модели 2 расхождение касательных напряжений между нижней границей решетчатой пластинки и верхней границей преламинар-ного слоя увеличивалось с увеличением стадии ПОУГ. Это может свидетельствовать о передавливании слоями сосудов, что приводит к росту ВГД.
Список источников
1. Bauer S.M., Romanova A.A., Smirnov A.L. On formulation of the problem on deformation on the lamina cribrosa // Russian J. of Biomechanics. 2001. Vol. 5, № 3. Р. 18-22.
2. Bauer S.M., Voronkova E.B. On the deformation of the lamina cribrosa under intraocular pressure // Russian J. of Biomechanics. 2001. Vol. 5, № 1. Р. 73-82.
3. Краковская Е.В. Об изменении деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после де-компрессионных операций // Рос. журн. биомеханики. 2008. Т. 12, № 2(40). С. 55-59.
4. Золотухина Л.А. О деформации многослойной решетчатой пластинки диска зрительного нерва // Рос. журн. биомеханики. 2008. Т. 12, № 4(42). С. 40-46.
5. Бауэр С.М., Воронкова Е.Б. Модели теории оболочек и пластин в задачах офтальмологии // Вестн. СПбГУ. Серия 1. 2014. Т. 1(59), вып. 3. С. 438-458.
6. Ватульян А.О., Потетюнко О.А. О колебаниях неоднородной пластины с упруго опертым краем // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 2. С. 35-40.
7. Ватульян А.О., Потетюнко О.А. К оценке деформативности решетчатой пластинки глаза // Рос. журн. биомеханики. 2017. Т. 21, № 1. С. 8-17.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
8. Newson T., El-Sheikh A. Mathematical modeling of the biomechanics of the lamina cribrosa under elevated intraocular pressures // J. of Biomechanical Engineering. 2006. Vol. 128. Р. 496-504.
9. Guidoboni G., Harris A., Carichino L., Arieli Y., Siesky B.A. Effect of intraocular pressure hemodynamics of the central retinal artery: a mathematical model // Mathematical Biosciences and Engineering. 2014. Vol. 11, № 3. Р. 523-546.
10. Gausin P., Guidoboni G., Harris A., Prada D., Sacco R., Terragni S.A. Poroelastic model for the perfusion of the lamina cribrosa in the optic nerve head // Mathematical Biosciences. 2014. Vol. 257. Р. 33-41.
11. Di Sciuva M., Cherlone M., Tessler A.A. Robust and consistent first-order zigzag theory for multilayered beams // Solid Mechanics and Its Applications. 2009. Vol. 168. Р. 255-268.
12. VatulyanA.O., Potetyunko O.A., BogachevI.V., Modeling of an inhomogeneous circular Timoshenko plate with an elastically supported boundary // Recent Approaches in Theory of Plates and Plate-Like Structures. 2021. Ch. 21. Р. 277-286.
13. Zhang L., Beotra M., Baskaran M., Tun T.A., Wang., X., Perera S.A., Strouthidis N.G., Aung T., Boote C., Girard M.J.A. In Vivo measurements of prelamina and lamina cribrosa biomechanical properties in humans // Investigative Ophthalmology & Visual Science. 2020. Vol. 61(3), art. 27. Р. 10.
14. Арутюнян Л.Л., Анисимова CM., Морозова Ю.С., Анисимов С.И. Биометрические и морфометри-ческие параметры решетчатой пластинки у пациентов с разными стадиями первичной открытоугольной глаукомы // Нац. журн. глаукома. 2021. Т. 20, № 3. С. 11-19.
15. Inoue R., Hangai M., Kotera Y., Nakanishi H., Mori S., Morishita S., Yoshimura N. Three-dimenthional high-speed optical coherence tomography imaging of lamina cribrosa in glaucoma // Ophthalamology. 2009. Vol. 116, № 2. Р. 214-222.
16. Бегун П.И., Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике. М.: Высшая школа, 2004. 389 с.
17. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
18. Иомдина Е.Н., Бауэр С.М., Котляр К.Е. Биомеханика глаза: теоретические аспекты и клинические приложения. М.: Реал Тайм, 2015. 208 с.
19. НестеровА.П. Глаукома. М.: Медицина, 1995. 360 с.
20. Ho Cho K., Sato N., Yamamoto M., Watanabe G., Taniguchi S., Murakami G., Abe S. Histology of the optic nerve head with special reference to the layer-specific distribution of composite fiber at and near the lamina cribrosa: An immunohistochemical study using specimens from elderly donated cadavers // Annals of Anatomy. 2023. Vol. 247. Р. 152051.
References
1. Bauer S.M., Romanova A.A., Smirnov A.L. On formulation of the problem on deformation on the lamina cribrosa. Russian Journal of Biomechanics. 2001;5(3):18-22.
2. Bauer S.M., Voronkova E.B. On the deformation of the lamina cribrosa under intraocular pressure. Russian Journal of Biomechanics. 2001;5(1):73-82.
3. Krakovskaya E.V. On the change in the deformation of the lamina cribrosa of the optic disc after decompression operations. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2008;12(2):55-59. (In Russ.).
4. Zolotukhina L.A. On the deformation of a multilayer lamina cribrosa of the optic disc. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2008;12(4):40-46. (In Russ.).
5. Bauer S.M., Voronkova E.B. Models of the theory of shells and plates in the problems of ophthalmology. Vestnik SPbSU = Bulletin of Saint Petersburg University. Series 1. 2014;1(3):438-458. (In Russ.).
6. Vatul'yan A.O., Potetyunko O.A. On vibrations of an inhomogeneous plate with an elastically supported edge. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2016;(2):35-40. (In Russ.).
7. Vatul'yan A.O., Potetyunko O.A. To assess the deformability of the lamina cribrosa of the eye. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2017;21(1):8-17. (In Russ.).
8. Newson T., El-Sheikh A. Mathematical modeling of the biomechanics of the lamina cribrosa under elevated intraocular pressures. Journal of Biomechanical Engineering. 2006;128:496-504.
9. Guidoboni G., Harris A., Carichino L., Arieli Y., Siesky B.A. Effect of intraocular pressure hemodynamics of the central retinal artery: a mathematical model. Mathematical Biosciences and Engineering. 2014;11(3):523-546.
10. Gausin P., Guidoboni G., Harris A., Prada D., Sacco R., Terragni S. A. Poroelastic model for the perfusion of the lamina cribrosa in the optic nerve head. Mathematical Biosciences. 2014;257:33-41.
11. Di Sciuva M., Cherlone M., Tessler A.A. Robust and consistent first-order zigzag theory for multilayered beams. Solid Mechanics and Its Applications. 2009;168:255-268.
12. Potetyunko O.A., Bogachev I.V., Vatulyan A.O. Modeling of an inhomogeneous round Timoshenko plate with an elastically supported boundary. Recent approaches in theory of plates and plate-like structure. 2021;(21):277-286.
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
13. Zhang L., Beotra M., Baskaran M., Tun T.A., Wang X., Perera S.A., Strouthidis N.G., Aung T., Boote C., Girard M.J.A. In vivo measurements of prelamina and lamina cribrosa biomechanical properties in humans. Investigative Ophthalmology & Visual Science. 2020;61(3):10.
14. Arutyunyan L.L., Anisimova S.Yu., Morozova Yu.S., Anisimov S.I. Biometric and morphometric parameters of the trellis plate in patients with different stages of primary open-angle glaucoma. Nats. zhurn. glaukoma = National Glaucoma Journal. 2021;20(3):11-19. (In Russ.).
15. Inoue R., Hangai M., Kotera Y., Nakanishi H., Mori S., Morishita S., Yoshimura N. Three-dimensional high-speed optical coherence tomography imaging of lamina cribrosa in glaucoma. Ophthalmology. 2009;116(2):214-222.
16. Begun P.E., Afonin P.N. Modeling in biomechanics. Moscow: Vysshaya shkola Publ.; 2004. 390 p. (In Russ.).
17. Mikhlin S.G. Variational methods in mathematical physics. Moscow: Nauka Publ.; 1970. 512 p. (In Russ.).
18. Iomdina E.N., Bauer S.M., Kotlyar K.E. Biomechanics of the eye: Theoretical aspects and clinical provisions. Moscow: Real Taim Publ.; 2015. 208 p. (In Russ.).
19. Nesterov A.P. Glaucoma. Moscow: Meditsina Publ.; 1995. 360 p. (In Russ.).
20. Ho Cho K., Sato N., Yamamoto M., Watanabe G., Taniguchi S., Murakami G., Abe S. Histology of the optic nerve head with special reference to the layer-specific distribution of composite fiber at and near the lamina cribrosa: An immunohistochemical study using specimens from elderly donated cadavers. Annals of Anatomy. 2023;247:152051.
Информация об авторах
А.О. Ватульян - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
И.С. Козаченко - студент, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the authors
A. O. Vatulyan - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Head of Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
I.S. Kozachenko - Student, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer science of the Southern Federal University.
Статья поступила в редакцию 14.02.2024; одобрена после рецензирования 03.03.2024; принята к публикации 24.05.2024. The article was submitted 14.02.2024; approved after reviewing 03.03.2024; accepted for publication 24.05.2024.
