О деформации упругого тонкого диска при сферическом движении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А.Ю . Карпачев

О ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОГО ТОНКОГО ДИСКА ПРИ СФЕРИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ

Изложен математический аппарат анализа напряженно-деформированного состояния тонких круглых пластин (дисков), находящихся в сложном движении, при котором относительное и переносное движение — вращение вокруг пересекающихся взаимно перпендикулярных осей. Приведены результаты численных экспериментов.

E-mail: a-karpachev@mail.ru

Ключевые слова: круглая пластина, диск, сложное движение, вращение.

Особенности поведения тонкой круглой пластины, находящейся в сложном движении, учитывают при моделировании работы основных конструктивных элементов реальных машин. Наглядное представление о характере возникающих при этом деформаций можно получить на примере сферического движения упругого диска, когда его относительное и переносное движения есть вращение вокруг взаимно перпендикулярных пересекающихся осей (рис. 1).

Рис. 1. Схема сложного движения диска

Качественную картину деформированного состояния упругого диска в сферическом движении можно наблюдать на установке, представленной на рис. 2, подробное описание конструкции которой приведено в [1, 2]. Сферическое движение диска обеспечивают два независимо управляемых электромотора, причем блок управления позволяет изменять значения переносной и относительной скоростей вращения. В связи с этим возникает задача определения напряженно-деформированного состояния диска, зависящего от кинематических характеристик указанного движения.

Основные допущения и постановка задачи. Для теоретического осмысления представленной на рис. 2 качественной картины деформированного состояния диска обратимся к рис. 3.

Рис. 2. Демонстрационная установка

Рис. 3. Кинематическая схема и выбранная система координат

Предположим, что относительное движение диска есть его вращение с постоянной угловой скоростью юг вокруг оси у, а переносное движение происходит с постоянной угловой скоростью сое вокруг оси г. При вращении диск деформируется так, что каждая его частица смещается в направлении, противоположном ускорению:

a = ar + ae + aK,

где ar — относительное ускорение; ae — переносное ускорение; ах — ускорение Кориолиса. Последняя составляющая ускорения (см. рис. 3.) определяется известной формулой

ax = 2 (Юе х Vr ),

где vr — относительная скорость.

Такое движение приводит к растяжению и изгибу диска.

Расчет деформаций рассмотренного тела с позиций двухмерной геометрически нелинейной теории круглых пластин [3] может оказаться слишком трудоемким. Решение вопроса усложняется нелинейным характером зависимостей ускорений, а следовательно, и вызывающих эти ускорения сил, от порождающих их деформаций.

Обратимся к допущениям, которые позволяют исследовать деформацию диска на основе решения одномерной краевой задачи с использованием линеаризованных уравнений [4, 5].

Пусть перемещения W точек срединной поверхности диска в направлении нормали к ней малы по сравнению с его радиусом с. Используемые линеаризованные соотношения построим в предположении, что напряженное состояние диска состоит из основного и дополнительного. Первое вызвано растяжением диска в его плоскости и обусловлено относительным ускорением ar = aП = a}r, второе — изгибом плоскости диска, как следствие проявления ускорений ax = 2aearr cos в и ae = аП = a|W.

Рассмотрим случаи, когда «a2, а относительная скорость меньше критической частоты вращения диска. При выполнении этих условий основное напряженное состояние диска можно считать осесимметричным. Действием аэродинамических сил на диск пренебрегаем.

Для решения задачи о расчете основного напряженного состояния воспользуемся основными соотношениями теории растяжения пластин в виде системы из двух дифференциальных уравнений и алгебраического уравнения [6, 7]:

du 2. Nr и

— = (1 -—/'

dr Kh r (1)

dNr j и Nr j q r

—— = kh — - (1 - /и)—— khqrT,

dr r r

Ne= khU + /Nr, (2)

r

где переменные параметры представлены в безразмерной форме и имеют вид

U = СПu, N(ro0) = ППтr = -

Щ ЕЩ С

qr =

rjc

pcor (n = 12(1 - ß2)), h = khh,

Ыг и N9 — силы в сечениях, отнесенные к единице длины сечения (рис. 4, а); И0 — некоторая характерная толщина профиля диска; р — плотность материала диска; и — перемещение точек вдоль радиуса; Е — модуль Юнга; / — коэффициент Пуассона.

Щйг

qrrdddr

(Nr + dNr)(r + dr)de

Ngdr

q"rd6d{ (Mre + dMr6)dr

{Qr + dQr)(r + dr)de

Qedr

(Me + dMe)dr

MrQ rdd

(Mr+dMr)(r + dr)de

Mrßdr

{Мгв + dMrß)(r + dr)d6

Mgdr

Рис. 4. Схема систем сил, приводящих к растяжению пластины (а) и ее изгибу (б)

Соотношения (1)—(3) позволяют найти основное напряженное состояние пластины переменной толщины при известных граничных условиях и угловой скорости вращения.

Для проведения расчетов систему уравнений (1), (2) запишем в матричной форме:

^ {X} = [А]{ X} + {О}, (4)

где {X} = (х1, х2)т (х1 = и, х2 = Йг); [А] — 2 х 2-матрица переменных коэффициентов:

ß

(1 -ß2)

a11 = —Г", a12 = ,

r kh

_kh a21 = "32, a22 = ■

(1 — ß).

г- г

[О] = (gl, g2)т — вектор правых частей (gl = 0, ^2 = -Щ^).

Решение уравнения (4) подчиняется двум условиям на границах интервала интегрирования: г = к, г = 1, где к = Ь/с (Ь — радиус зажимных фланцев диска). Дифференциальные уравнения, описывающие движения элемента пластины при ее изгибе, имеют вид [4]

^^ + мгв + M - fr = 0,

dr в дв

^^ - ыв + дМв-Qrr = 0,

dr в дв

(5)

d(rQr) dQe ЛГ d2W f d2W 1 dW) , dW n

v ^ ' + + qnr + Nrr—— + NerI 2—2 +--I-qrhr-= 0,

dr дв dr V r дв r dr J dr

где W = W(r, в).

Уравнения (5) получены добавлением в уравнения равновесия выражения для распределенной инерционной силы, рис. 4, б:

qn = ph (2aearr cose + a 2w ).

Первые два уравнения (5) соответствуют уравнениям моментов, причем изгибающие моменты (Mr, Me) и момент кручения (Mre) в сечениях пластины связаны с ее прогибом соотношениями упругости; третье уравнение соответствует уравнению проекций поперечных сил (Qr,Qe) на нормаль к деформированному элементу пластины.

При деформации пластины наблюдается ее перегиб или образование формы деформирования с одним узловым диаметром, перемещения точек которого W = 0.

Переменные, входящие в уравнения (5), представим следующим образом:

w = w cose, Mre = h sine, Mr = M cos e, Qr = Vr cos e, Me = L cos e, Qe = Ve sin e, Q = V cos в. Введем безразмерные параметры:

w = vnw, ü = CVñ^, MM = M (M о h, L),

ho ho Eh4

3/2

Q = cE^r Q (Q о Vr, Ve),

Eho4

с5 n3/2 _ c5 n3/2 2 ^

qK = Eh3 2p roeMr, qe P Ю2,

dw=9

dr

После пребразований, аналогичных приведенным в работе [4], полную систему уравнений представим в виде одного уравнения:

ddz{Y} = [B]{Y} + {D}, (7)

где {Y} = (yi, y2, уз, У4)т (yi = w; у2 = 9, уз = M, у4 = V); [B] — 4 х 4-матрица следующих переменных коэффициентов:

bii = 0, bi2 = 1, bi3 = 0, ¿14 = 0, ¿21 = Ц / r2, ¿22 = -Ц / r, ¿23 = — 1/k3, ¿24 = 0, ¿3i = k3(3 + ц)(1 - ц)/г3, ¿32 =-k3(i-ц)(3 + ^)/f2,

¿33 =-(1 - ц)/Г, ¿34 = 1,

¿41 = [k3(1 - Ц)(3 + ц) / r2 - (цЛ^ - NNe)] / r2 - khqe, ¿42 = khqrf + (^NNr - NNe)/ r - kj3(1 - ц)(3 + ц) / r3, ¿43 = ц / r2 + NNr / kh, ¿44 = -1/ r; {D} = (0, 0, 0, -hqkr)т.

(8)

Решение уравнения (7) должно удовлетворять граничным условиям

я = 0, $ = 0 при г = к; ММ = 0, V = 0 при г = 1. (9)

Метод расчета и его реализация. Рассмотрим численное решение сформулированной задачи исследования деформаций диска при его сферическом движении. Для этого воспользуемся методом начальных параметров (НП) [8].

Поясним алгоритм проведения расчета указанным методом. Задав исходные данные, решим краевую задачу на основе векторно-матричных уравнений (4). Граничные условия для расчета основного напряженного состояния пластины примем, исходя из того, что внешний контур пластины свободен от напряжений: Ыг(1) = 0, а

внутренний контур жестко закреплен й(к) = 0. Тогда, полагая нулевыми компоненты вектора [О], проинтегрируем уравнение (4) с учетом граничных условий: х1(к) = 0, Х2(к) = 1; второй раз интегрирование этого уравнения проведем с учетом компонент вектора [О], но при нулевых граничных условиях. Искомую силу на внутреннем контуре определим как Йг (к) = х2(к) = -х2(1)/ х2 (1), где х2(1), х2(1) —

значения компоненты Х2 на внешнем контуре, полученные в результате первого и второго интегрирований соответственно. Затем после интегрирования уравнений (4) с такими граничными условиями

х^ к) = 0, х2(к) = Йг (к), определим значения радиальных, а используя выражение (2) — окружных распределенных сил.

Далее последовательно определеним непосредственно прогибы пластины на основе решения краевой задачи с использованием уравнения (7) и граничных условий (9). Для этого необходимо, принимая

{0} = (0, 0, 0, 0)т, дважды проинтегрировать уравнение (7) с граничными условиями вида

(Y }о =

Третий раз следует проводить интегрирование, учитывая, что в уравнении (13) [П} = (0,0,0, - к^к?)т и при граничном условии

{У} = (0, 0, 0, 0)т. После определения вектора констант из уравнения,

составленного таким образом, согласно методу НП, еще раз проинтегрировав неоднородное дифференциальное уравнение (7) при найденных граничных условиях, получим решение вида

{у} = [7 } + [У ]{С}.

В ходе проведения указанной процедуры решения искомые силовые факторы на внутреннем контуре диска равны найденным константам

Cз, С4:

м (к) = Сз = 4; V (к) = С4 = ^, а а

f 0 1 f 01

0 , (Y }0 = 0

1 0

10 11J

где

d1 =

d2 =

(—Я)Л ( —

ук — уз)

у4(—у4)

= (—узз)у4—(—у4)уз2; = у1( — у4)—у4(—Уз3);

d =

1 2 узуз

1 2 у4 у4

13 12

= уз у4 — у4 уз.

Значения прогибов и внутренних силовых факторов диска, найденные с учетом и без учета его растяжения, приведены ниже:

С учетом растяжения

г .............. 0,25 0,325 0,4 0,475 0,55 0,625 0,7 0,775 0,85 0,925 1,00

Nг ........... 8,65 7,44 6,61 5,9 5,2 4,48 3,71 2,89 2,00 1,03 0

л„........... 4,32 5,02 5,19 5,12 4,89 4,55 4,13 3,63 3,06 2,42 1,72

Мг........... -129 -76,2 -48,5 -31,7 -20,6 -12,9 -7,4 -3,58 -1,14 0,0421 0

Ме........... -64,5 -52,2 -40 -30,2 -22,6 -16,7 -12,2 -8,72 -6,21 -4,57 -3,77

м>, мм 0 0,582 1,944 3,74 5,8 8 10,28 12,56 14,84 17,1 19,32

Без учета растяжения

г .............. 0,25 0,325 0,4 0,475 0,55 0,625 0,7 0,775 0,85 0,925 1,00

Мг........... -280 -177 -120 -82,5 -56,1 -36,2 -21,4 -10,6 -3,6 -0,0655 0

Ме........... -140 -120 -96,5 -75,5 -58 -43,6 -32 -22,9 -16,1 -11,7 -9,61

м>, мм -0 1,20 4,4 8,6 13,48 18,78 24,2 29,8 35,4 41 46,4

Определители, составленные из компонент вектора состояния {У} на внешнем контуре диска, получены трехкратным интегрированием уравнения (7) (каждому из которых соответствуют верхний индекс). Искомое напряженно-деформированное состояние можно определить по результатам четвертого уравнения (7).

Как следует из проведенных расчетов, напряжение максимально на внутреннем контуре диска. Его значение можно вычислить по известной формуле [9], полученной с учетом выражений (3) и (6):

g »

Nr (к) 6Mr (к)) Eh2

3/2

n n

с2

Результаты проведенных расчетов. Для исследования деформации диска на лабораторной установке с помощью предложенной модели предварительно были установлены характеристики материала диска (см. (14)): E = 3,5 МПа, /л = 0,5, р = 280 кг/м3; его геометрические параметры: с = 160 мм, ho = 6 мм, kh = 1. Расчет проводили при значении относительной угловой скорости a>r = 40 рад/c, постоянном значении переносной угловой скорости a>e = 4 рад/с. На рис. 5 представлена зависимость максимальных значений прогибов диска от его радиуса, построенная по результатам расчета.

W, мм

Рис. 5. Изменение максимальных значений прогибов диска вдоль радиуса

Прогиб диска, наблюдаемый в проведенных опытах на лабораторной установке, показан на рис. 6. Частота собственного вращения диска в эксперименте составляла 6,5 об/с, скорость переносного вращения изменялась в диапазоне значений 0.. .5 рад/ с. Сопоставляя теоретические и экспериментальные данные максимальных значений перемещений точек диска, можно выявить предельные кинематические характеристики вращения диска, при превышении которых использование предложенной математической модели для анализа поведения диска становится невозможным. В рассматриваемом случае значение угловой переносной скорости не должно быть более 3 рад/с.

4P"

ш ч-

■ т

я г см

* ■ ^

о'т

Рис. 6. Определение максимальных прогибов диска на лабораторной установке

Таким образом, предложенный метод исследований позволяет определить влияние каждой из составляющих аг, ае, ак ускорения ее точек на прогиб пластины. Применение описанной лабораторной установки создает условия для экспериментальных исследований кинематических границ применимости принятых допущений и использования предлагаемой математической модели. На основе решения поставленной задачи можно также существенно снизить риск возникновения высоких переменных напряжений и обусловленных ими усталостных разрушений.

Исследования проведены при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ №НШ-4748.2012.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Динамика: метод. указания по проведению практических занятий с использованием моделей и приборов по курсу «Теоретическая механика». Ч. II. / Под. ред. Г. Д. Блюмина. М.: МВТУ, 1988.

2. Карпачев А. Ю., Небесный М. В., Овчинников В. А. К исследованию динамического поведения систем с распределенными параметрами на ЭВМ// Изв. вузов. Машиностроение. 2007. № 5. С. 3-12.

3. Коваленко А. Д. Круглые пластины переменной толщины. М.: Физмат-гиз, 1959.

4. Карпачев А. Ю. Собственные динамические характеристики вращающихся круглых пил при неравномерном нагреве // Вестник машиностроения. 2006. № 5. С. 32-36.

5. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк., 1980.

6. Карпачев А. Ю. Влияние остаточных напряжений на устойчивость круглых пластин при неравномерном нагреве // Изв. вузов. Машиностроение. 2006. № 9. С. 3—13.

7. Демьянушко И. В., Биргер И. А. Расчет на прочность вращающихся дисков. М.: Машиностроение, 1978.

8. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977.

9. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумна, 2007.

Статья поступила в редакцию 14.09.2012