CC BY
52
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том V Ї974
№ 5
УДК 533.6.011.3/55:629.7,025,1
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОГО ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ АТАКИ
А. П. Базжин, И. Ф. Челышева
Рассматривается обтекание плоских треугольных крыльев малого удлинения сверхзвуковым потоком невязкого газа при малых углах атаки. Для численного решения задачи используется принцип установления конического течения по времени с применением конечноразностной схемы Маккормака. Рассчитано несколько вариантов течений. Обсуждается структура конического поля течеиия около крыла.
1. В статье рассматривается задача о плоском треугольном крыле, обтекаемом сверхзвуковым потоком газа под небольшим углом атаки. Из нескольких возможных режимов обтекания таких крыльев [1] наиболее интересны два. Первый режим относится к случаю крыла со сверхзвуковой передней кромкой, когда течения над и под крылом не зависят одно от другого. На втором режиме крыло имеет дозвуковую переднюю кромку, коническая ударная волна присоединена лишь к вершине крыла, и течения над и под крылом в общем случае зависят одно от другого. Картина течения около крыла на этом режиме может быть различной ([2, 3]) в зависимости от значений числа М набегающего потока, угла стреловидности крыла и угла атаки. При больших углах стреловидности и малых углах атаки линия растекания на крыле будет расположена в непосредственной окрестности передней кромки.
Решению первой задачи о крыле со сверхзвуковой кромкой было посвящено значительно большее число работ, чем решению второй. Из последних работ, в которых решалась первая задача, можно назвать, например, работы [4—7]. В этих четырех работах были использованы различные численные методы. Особенно привлекательным по своей простоте и достигаемым результатам является метод, использованный в работе [7]. Этот метод аналогичен тому, что был ранее предложен Маккормаком [8]. Успешное
решение первой задачи во многом обусловлено тем, что в ней из рассмотрения исключена передняя кромка крыла, в окрестности которой течение известно. Это течение используется в качестве •одного из краевых условий.
Во второй задаче такого краевого условия нет, передняя кромка находится внутри потока, течение в ее окрестности требуется определить вместе со всем потоком около крыла. Вторая задача частично была решена в случае обтекания треугольных крыльев под большими углами атаки, когда течение около нижней поверхности снова становится независимым [3], [9], [10]. Примененный для этого метод интегральных соотношений позволил рассчитать течение вплоть до передней кромки, правда, лишь около одной нижней поверхности.
Полного численного решения нелинейной задачи обтекания треугольного крыла с дозвуковой передней кромкой при малых углах атаки до сих пор получено не было.
Одной из основных сложностей в этой задаче является расчет течения около передней кромки. Можно легко себе представить, что достоверное численное определение течения в окрестности передней кромки крыла возможно лишь на очень тонкой счетной сетке. Но можно поставить вопрос иначе: если имеется решение задачи, полученное на некоторой равномерной сетке без специального выделения окрестности передней кромки, то сколь далеко простирается влияние погрешности, имеющейся в решении на передней кромке. Опыт работы [11) показывает, что такая погрешность в решении может остаться локальной.
Далее в статье изложен численный метод решения задачи обтекания плоского треугольного крыла без выделения окрестности передней кромки. Использована разностная схема Маккормака [8]. Решаются уравнения нестационарного ^ конического движения, решение достигается в результате установления течения во времени. Приведены примеры расчетов, дано сравнение с результатами работы [5] и данными, полученными по линейной теории.
2. Система газодинамических уравнений фиктивного неустановив-шегося конического течения газа была использована в следующей дивергентной форме:
— + — 4- —-• 4-И = 0 (1)
дТ ^ дц + дС ^ 1 '
где = С = -^х— нормиро-
ванные независимые переменные (*, у, г — декартовы координаты, см. фиг. 1), Т — безразмерное время, а пятикомпонентные векторы-столбцы Е, Р, в и Н имеют вид
Фиг. I
Е = {
в, ри vE, — rip
Ег pV v Е2 -f р
в3 - ■= . pw ; Е = vEs
в. р В — р v(Ej -j- р)
въ Р vEb .
шЕг — С/? j wE2 J
WE;, + P 'w(EjL-sr p) wE-
H
2
tgx
E\f Eb -+- p Ex E2/Eb E3/£b Ei(Ei + р)>Е-л
В этих выражениях ъ = (Е2—тфі)/Е5; да = (£3 — СЕг)/Еь; В = Н-\-+ (£? + Е\ + Ез)/2 Е\\ Н = Н(р, Еъ) — удельная энтальпия газа. Параметры течения: составляющие скорости и, V, ни в декартовой системе координат х, у, г, давление р, плотность р - определяются ^ерез компоненты вектор-функции Е;
и = EJE^, v = Ег/Еь, w = E-JEр = Еь.
(3)
При рассмотрении течений газа с учетом равновесных физико-химических превращений для определения давления р приходится, в каждый момент времени Т решать трансцендентное уравнение:
p = h(p, Е&) Еь -Е,,+ (Д + ЕІ + ЕІ); 2 Еь.
(4)
В случае совершенного газа для определения давления имеется простая формула
р = (1 — 1) Et - (7 - 1) (£. 4- 4+ ЕЇ)/2 £:„
(5)
Система уравнений (1) является Т-гиперболичной, для нее возможна корректная постановка смешанной задачи Коши. Решение, о котором заранее предположено, что оно может иметь разрывы, ищется в некоторой прямоугольной области ABDE плоскости х = 1 (фиг. 1). Течение предполагается симметричным относительно плоскости АЕ. Краевыми условиями являются: условие симметрии в плоскости АЕ, условие непротекания (равенство v = 0) на поверхности крыла FG, состояние набегающего потока на границах АВГ BD, DE. В начальный момент времени 7 = 0 в указанной области задано некое течение. Система (1) интегрируется затем по времени Т. Искомым решением является стационарное состояние потока, достигаемое при Т -> оо.
Интегрирование системы (1) производится численно с использованием конечноразностной схемы Маккормака [7, 8]. Область ABDE покрывается равномерной прямоугольной сеткой. Расчетными точками сетки являются точки пересечения координатных линий const и С = const. Размеры ячейки А-ц, ДС по направлениям т\ и С. в общем случае различны. На линии крыла FG, т. е. на отрезке 0-<£-<1, ч\ = 0, расчетные точки являются двойными, содержащими информацию о параметрах течения как на верхней, так и на нижней поверхностях крыла.
В двухшаговой разностной схеме Маккормака частные производные по т) и С в системе уравнений (1) заменяются несимметричными разностями. Например, на первом шаге для образования производных могут быть использованы значения функций из центральной точки и соседних точек сверху и справа (светлые точки на шаблоне а на фиг. 1). Тогда на втором шаге для этого используются значения функций из центральной точки и точек слева и снизу (черные точки на этом же шаблоне). Автор схемы и авторы работы [7] рекомендуют производить периодическую смену точек, используемых на первом и втором шаге. В наших расчетах использовался попеременно набор точек, показанных на шаблонах а и b (фиг. 1), с указанным назначением светлых и черных точек. Производная по времени Т на каждом шаге заменяется разностным отношением, взятым вперед.
Для применения схемы в точках плоскости симметрии АЕ требуется иметь еще один вертикальный ряд точек слева от АЕ. Значения вектора-функции Е в этом ряде переносятся из первого правого ряда с сохранением условия симметрии течения на DE. Та же ситуация возникает при расчете точек на крыле, однако здесь мы не вводим дополнительных рядов точек над и под крылом, а вычисляем нужный вектор в нужный момент, используя принцип отражения.
В данной постановке задачи мы не принимаем во внимание возможности появления дискретных вихрей над верхней поверхностью крыла. Вероятно, всегда найдется некоторый диапазон малых углов атаки, в котором такие вихри, если они возникнут, будут еще слабы и их влияние мало. Кроме того, основной целью этой работы является пока расчет течения около нижней поверхности крыла. Далее в статье приведены некоторые результаты расчетов, а также описан способ уточнения решения около нижней поверхности, опирающийся на знание приближенного решения относительно течения над верхней поверхностью.
3. В процессе отработки метода были проведены расчеты обтекания нескольких треугольных крыльев.
На фиг. 2 — 6 приведены расчетные данные, относящиеся к двум из них: крылу с углом стреловидности -/ = 70° при М^ = 6 и а=5° и крылу с углом -/ = 80° при тех же значениях числа М и угла атаки. В первом случае кромка крыла является сверхзвуковой, и имеется возможность сравнить наши результаты с данными работы [5].
На фиг. 2 приведено несколько кривых распределения давления по обоим крыльям. В случае крыла со сверхзвуковой кромкой (у — 70°) давление на обеих поверхностях крыла, полученное в наших расчетах, практически совпадает с данными работы [5]. Исключение составляет непосредственная окрестность передней кромки, где давление, полученное нами, сравнительно далеко от истинного, однако это не мешает совпадению давлений на остальной поверхности крыла. Хорошее совпадение результатов наблюдается и в глубине области возмущенного течения.
На фиг. 3 показаны профили давления в нескольких вертикальных сечениях С = const над и под крылом. (Эти кривые получены в результате применения одноразового сглаживания полу-
4—Ученые записки ЦАГИ № 5
49:
Фиг. 4
© Оерхняя »_
® по линейной теории
ченного решения, содержащего высокочастотные осцилляции. Для сглаживания использовались формулы:
fij= + 2/|/+/?+!./) и f ij = 1 /4 (//, /—1 + /,;■ + /;, /+0-
Приведены также данные из работы [5], относящиеся к плоскости симметрии, С = 0 (светлые точки). Результаты, полученные двумя разными методами, лучше совпадают в области разрежения над крылом. Ударная волна, образующаяся под крылом, в методе Маккормака получается размытой по меньшей мере на две-три счетные ячейки. Поэтому для сопоставления с результатами Г. П. Воскресенского приходится определять некое условное положение волны. В данном случае за место нахождения ударной волны в сечении С = const была взята точка, расположенная примерно на половине скачка давления в волне. На фиг. 3 все такие точки выделены как черные точки на ударных волнах в различных сечениях С = const.
Профили давления можно использовать и для приближенного определения верхней зоны возмущенного течения, которая также оказывается размытой при применении использованного метода. На фиг. 4 приведено сравнение положения ударной волны и границы верхней области (над крылом), полученных только что указанным способом, с этими же данными из работы [5]. Слева стрелкой с индексом со обозначен след характеристики набегающего потока, выходящей из вершины крыла, в плоскости симметрии течения. И здесь наблюдается хорошее совпадение наших численных результатов с данными Г. П. Воскресенского.
Из совпадения данных, наблюдаемого в распределении давления по крылу и в плоскости симметрии, а также хорошего совпадения формы областей возмущенного течения под и над крылом еще не следует вывод, что методом Маккормака можно рассчитывать течения около крыльев со сверхзвуковой кромкой, не используя в качестве граничного условия имеющееся точное решение в окрестности кромки. Но это хорошее совпадение результатов ■очень обнадеживает, так как можно рассчитывать получить достоверное решение в случае крыла с дозвуковой кромкой, особенно тогда, когда ударная волна не попадает в непосредственную окрестность кромки. Если волна попадает на переднюю кромку, как в только что рассмотренном случае крыла с / = 70°, то при применении метода сквозного счета фактически решается задача со слабо отошедшей и сильно искривленной около кромки ударной волной. В результате около тела может появиться тонкий слой газа с неправильным значением энтропии в нем. Этот эффект был рассмотрен ранее в работе [11].
Опишем теперь результаты, полученные при расчете крыла с //. 80°, передняя кромка которого при Мх, = 6 и а = 5° является дозвуковой. На фиг. 2 штриховой линией нанесено распределение давления по верхней и нижней поверхностям крыла и вдоль линии, являющейся продолжением крыла при С>1, т]=0. Распределение давления вдоль линии вне крыла представляет собой скачок давления в головной ударной волне, пересекающей эту линию. На верхней поверхности крыла существует узкая область резкого повышения давления, которая обычно отождествляется с внутренним скачком уплотнения.
На фиг. 4 нанесены границы области возмущенного течения в рассматриваемом случае крыла с / = 80°. Штриховой линией обо-
значен участок границы, который трудно даже приближенно определить по профилям давления в сечениях С = const. Впрочем, в таком способе определения границ области возмущенного движения едва ли есть необходимость.
Более полную информацию можно получить, например, из картины расположения изобар, показанной на фиг. 5. Здесь видны многие особенности изучаемого течения. Передняя кромка крыла изображается точкой С=1, т) = 0. В соответствии с принятой схемой расположения счетных точек в вырожденном треугольнике, составленном из двойной точки (С = 1, т) = 0) и точки (С = 1 + ДС, rj = 0), происходит весь сложный переход от состояния газа около передней кромки со стороны нижней поверхности к его состоянию после разворота около кромки. В этом вырожденном треугольнике пропадают изобары с высоким значением давления и возникают изобары с низким значением давления. Положение внутренней ударной волны над крылом вполне определяется пучком изобар, подходящих по нормали к крылу. Интенсивность этой волны быстро падает по мере удаления от крыла.
Для получения точного решения требуется использовать достаточно тонкую расчетную сетку. Расчет крыла с х = 70° был произведен на сетке размером 40XU0, т. е. на каждом слое ^ —const было сорок счетных точек, из которых двадцать шесть приходилось на крыло; таких слоев было сто десять. Размеры счетной ячейки были равны: ДС = 0,0400, Д-yj = 0,0125. Крыло с углом стреловидности £ = 80° было рассчитано на сетке ЗОХИО (двадцать
одна точка на крыле, ДС = 0,0500, Дт] = 0,0250). Так как в каждой счетной точке хранятся все пять компонентов вектор-функции Е и давление р, то общий массив хранимой информации занимает большую часть оперативной памяти машины БЭСМ-6. Дальнейшее существенное расширение счетной сетки затруднено.
Но можно отказаться от уточнения решения во всей области течения и вводить более тонкую сетку лишь в части области, используя на границах новой области решение, полученное на более грубой сетке. Прием такого рода был использован, например, в ра-^ боте [11]. Мы использовали этот способ для уточнения решения в области течения под крылом в случае /_ = 80°, Мсо = 6 и а. = 5°. Для этого в качестве верхней границы была использована одна из линий •»] =■ const над крылом (линия 7) = 0,250). Граничным условием на этой линии было решение, полученное на исходной сетке. Фиг. 5 Остальные границы были остав-
лены прежними с условиями набе-
гающего потока на них. Уменьшенная таким образом область была покрыта вдвое более частой расчетной сеткой (ДС=0,0250, Дт]=0,0125), имевшееся решение было интерполировано на узлы новой сетки, и расчет снова продолжен до установления.
На фиг. 2 крестиками нанесено распределение давления, полученное на более тонкой сетке. Как видно, отличия от прежнего решения наблюдаются в основном лишь в окрестности передней кромки и в месте расположения внутренней ударной волны на верх-
ней поверхности. Давление на нижней поверхности почти по всему размаху крыла (90%) осталось прежним, несмотря на его изменение в окрестности передней кромки. Отсюда можно заключить, во-первых, что исходная более грубая сетка уже была, по-видимому, достаточна для получения достоверного решения. И, во-вторых, что все изменения решения около передней кромки на самом деле остаются локализованными в ее окрестности; по крайней мере, это справедливо, если речь идет о давлении.
На этой же фиг. 2 нанесено распределение давления по крылу с •/_ = 80° при Моо = 6 и а = 5°, вычисленное по линейной теории [12]. Кроме количественного расхождения этих данных с результатами расчета, имеется и качественное расхождение: по линейной теории кромка крыла с у — 80° при Мсо = 6 является сверхзвуковой. В ее окрестности на крыле имеется область постоянного давления: р — 0,0625 при 0,959<С< 1. Таким образом, несмотря на сравнительно небольшое изменение энтропии в поле течения (около двух процентов), линейная теория оказывается в рассматриваемом случае неприменимой.
Применение более тонкой сетки существенно проясняет структуру поля течения, изображаемую с помощью изобар (фиг. 6). Головная ударная волна здесь узкая, четко выраженная зона больших градиентов давления; на передней кромке сверху течение близко к течению в центрированной волне разрежения. На этой
же фигуре показана картина линий тока около нижней поверхности крыла. В рассматриваемом случае разделяющая струйка тока R приходит на переднюю кромку крыла. Эта картина полностью отвечает имеющемуся представлению о течении.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черный Г. Г. Крылья в гиперзвуковом потоке. ПММ, т. 29, вып. 4, 1965.
2. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М., „Наука", 1970.
3. Б а з ж и н А. П. Расчет течения около нижней поверхности треугольных крыльев при больших углах атаки. Инж. журнал, т. IV, вып. 2, 1964.
4. Воскресенский Г. П. Численное решение задачи обтекания произвольной поверхности треугольного крыла в области сжатия сверхзвуковым потоком газа. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1968, № 4.
5. Воскресенский Г. П. Численное решение задачи обтекания верхней поверхности треугольного крыла в области расширения сверхзвуковым потоком газа. ПМТФ, № 6, 1973.
6. S о u t h Т. С. and К 1 u п k е г Е. В. Method for calculating nonlinear conical flows. NASA Sp-228.
7. Kutler P. and Lomax H. A systematic development of the supersonic flows fields over and behind wings. AIAA Paper № 71—99, 1971.
8. Maccormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact crateriny. AIAA Paper № 69 — ?54, 1964,
9. Базжин А. П. К расчету обтекания плоских треугольных крыльев при больших углах атаки. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966,
№ 5.
10. Kennel Н. The jn viscid hypersonic flow on the windward side of delta wing. IAS Paper, № 63 --55, 19o3.
И.Лапыгин В. H. Расчет сверхзвукового обтекания V-образных крыльев методом установления. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971,
№ 3.
12. Франк ль Ф. И., Карпович Е. А. Газодинамика тонких тел. М.—Л., ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.
Рукопись поступила 4/111 1974 г.
