О численном решении задач прикладной механики в инженерной практике Текст научной статьи по специальности «Физика»

OPTIMIZA TION OF PARAMETERS OF TECHNOLOGICAL PROCESS FROM THE STANDPOINT OF DECREASING WEAR RESISTANCE OF THE TOOL AND MINIMIZE

THE NUMBER

A.N. Baranov, E.M. Baranova, A.I. Titorov

The article presents the results of experimental determination of optimal parameters of technological operations polygonacea backward extrusion on the basis of maximize the wear resistance of the producing punching tools.

Key words: optimization, wear-resistance, tooling, process operation, extrude, gradient descent, gradient ascent, experiments, experiment.

Baranov Andrej Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, an111111 a mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Baranova Elizaveta Mihajlovna, candidate of technical sciences, docent, elisa-fine'a yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Titorov Aleksandr Igorevich, engineer, sitl38 a mail.ru, Russia, Tula, LLC «Solid

Sistems»

УДК 531.8

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ

Л. А. Белая, И.М. Лавит

Рассматривается компьютерное моделирование механических процессов -важная составная часть проектирования машин и аппаратов. Сложившаяся в последние десятилетия практика предполагает применение универсальных пакетов программ, предназначенных для решения широкого класса задач. Сложность использования этих пакетов иногда приводит к серьезным ошибкам в расчетах. Предлагается иной подход, суть которого в создании узконаправленных программ, ориентированных на типичные конструкции, разрабатываемые конкретным предприятием. Эксплуатация этих программ проста и не может быть источником ошибок. Приводится пример такой программы, реализующей прочностной расчет оболочки вращения.

Ключевые слова: проектирование, моделирование, численные методы, прочность, оболочка вращения.

1. Введение. Эффективное решение задач проектирования всегда включает в себя математическое моделирование тех или иных процессов, использующее методы механики, термодинамики и т. п. Математические модели получаются подчас весьма сложными. В докомпьютерную эпоху был возможен только один путь - упрощение модели до тех пор, пока

188

не удавалось получить аналитическое решение. При этом, однако, терялась точность моделирования, а иногда даже получались качественно неверные результаты.

В наше время математические модели, даже очень сложные, не нуждаются в упрощениях, так как разработаны надежные численные методы, позволяющие решать с использованием компьютера системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, моделировать ударные волны, турбулентность и др. Однако, применение этих методов к решению конкретных задач, то есть создание компьютерных программ, требует высокой научной квалификации. Поэтому инженерные предприятия вынуждены обращаться к рынку научной продукции. Там им предлагаются пакеты программ, способные, по мнению разработчиков, решать практически любую задачу. Это утверждение подкрепляется решением тестовых задач - простейших задач, легко решаемых аналитически. После покупки пакета инженеры-пользователи остаются один на один с трудностями, которых не было при решении тестовых задач, но которые всегда возникают при решении задач сложных. Из этого не следует, конечно, что упомянутые пакеты непригодны для инженерной практики. Но использовать их без риска серьезно ошибиться может только опытный специалист, хорошо разбирающийся и в создании математических моделей, и в используемых в том или ином пакете математических методах. Наличие или отсутствие таких специалистов означает серьезное влияние человеческого фактора на результат инженерных исследований, что недопустимо.

Поясним сказанное на примере прочностных расчетов. Как правило, расчет более 90% деталей можно выполнить, основываясь на расчетных схемах стержня, пластинки или оболочки. Конечно, всегда есть концентраторы напряжений: какие-либо отверстия, места крепления. Обычный подход заключается в двухэтапном расчете. На первом этапе рассчитываются так называемые номинальные напряжения по схемам без концентраторов напряжений. Второй этап - расчет влияния концентратора как возмущения в номинальном поле напряжений. Этот этап, как правило, не требует применения численных методов: достаточно обратиться к справочной литературе.

Реализовать такой двухэтапный расчет, используя универсальный пакет, и сложно, и долго. Да и зачем, если можно все рассчитать сразу, за один этап, задавая геометрию конструкции со всеми ее сложностями и формулируя задачу тем самым как трехмерную? Обычно так и поступают, и в этом - источник ошибок. Получаемые результаты - напряжения в зонах их концентрации - могут отличаться от правильных результатов в разы. Это объясняется тем, что используемый численный метод (а это, как правило, метод конечных элементов [1, 2]) решает задачу в перемещениях. Относительная погрешность решения оценивается по суммарному вкладу всех узлов расчетной сетки, из которых лишь небольшая часть попадает в

189

зону концентрации напряжений. Поэтому даже при малой общей погрешности решения погрешность в зоне больших градиентов перемещений -зоне концентрации напряжений может быть велика. Это один источник ошибок. Другой заключается в том, что напряжения - это результат дифференцирования перемещений, и, следовательно [3], даже небольшие ошибки в вычислении перемещений могут серьезно снизить точность определения напряжений.

Наряду с указанными объективными источниками ошибок появляются и субъективные, ибо, чем сложней конструкция, тем сложней и неоднозначней становится процесс задания граничных условий.

В качестве альтернативы универсальным пакетам предлагается подход, учитывающий специфику конструкторских задач того или иного предприятия. Основных программ, рассчитывающих номинальные напряжения, оказывается совсем немного. Если при этом они будут снабжены похожими интерфейсами, понятными инструкциями по вводу исходных данных и анализу результатов расчета, польза от их внедрения с лихвой окупит расходы на их разработку.

Ниже представлен алгоритм вычислений типичной такой программы, позволяющей рассчитать напряженное состояние и определить запас прочности оболочки вращения переменной толщины, нагруженной внутренним давлением. Такая задача с точки зрения фундаментальной науки не обладает научной новизной: и уравнения математической модели [4], и численные методы их решения [1, 2] известны. Но получение решения этими методами отнюдь не тривиально. Это задача прикладной науки. Решение такой задачи - компьютерная программа, удобная для применения в инженерной практике.

2. Алгоритм расчета напряженного состояния оболочки вращения. Рассматривается статическое осесимметричное нагружение осесим-метричной изотропной упругой оболочки. Срединная поверхность оболочки образована вращением некоторой непрерывной непересекающейся линии L вокруг оси аппликат (рис. 1).

Положение точек линии L определяется цилиндрическими координатами r, j, z, где

х = r cos j; y = r sin j.

В силу осевой симметрии задачи достаточно двух координат: r и z. При численном решении контур L аппроксимируется ломаной (рис. 1). Исходная оболочка рассматривается как совокупность последовательно соединенных конических оболочек - конечных элементов, вследствие чего для решения задачи необходимы лишь формулы, описывающие деформирование конической оболочки (рис. 2). Пусть M - произвольная точка образующей конечного элемента, отстоящая от узла 1 на расстоянии s. Ее координаты определяются формулами

г = г1 + я соб 9 2 = + я Бт 9

Рис. 1. Образующая срединной поверхности оболочки (на плоскости х = 0) и ее конечно-элементная аппроксимация

Рис. 2. Образующая конечного элемента: 1, 2 - номера начального и конечного узлов

Введем систему координат Г, 2, связанную с конечным элементом (рис. 2). Перемещение точки М под нагрузкой складываются из перемещения й (я) вдоль образующей и перемещения ^ (я) перпендикулярно образующей. Деформации в любой точке конечного элемента определяются, согласно гипотезам Кирхгофа-Лява, формулами [4]

ея я0 + ; еф=еф0 + ,

191

где es 0, ej0 - меридиональная и окружная деформации срединной поверхности; Ks, кф - приращения главных кривизн; ZG[_ V2; V2] - координата, определяющая положение точки по нормали к срединной поверхности; h - толщина оболочки (вообще говоря, переменная). Для конической оболочки справедливы соотношения [4]

du 1 _ _ . _ч d2w 1 dW _

eso =-r; ej0=-(ucos0-wsin0); к=^-TT; 4=—~Tcos0. ds r ds r ds

Меридиональное и окружное напряжения определяются формулами

[4]

E E

S = ^(es +nej); sj = J-^JK+ve),

где E - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона. Вариационное уравнение задачи (для одного элемента) имеет вид [1]

J + ^ф0гф) dV = J (рхЪй + pßw) dS, (1)

V S

где V - объем элемента; S - его поверхность, к которой приложена распределенная нагрузка; pt, pn - касательная и нормальная составляющая нагрузки. Будем рассматривать только один вид нагрузки - внутреннее давление p . При этом получается

Pt =0; рп = -р.

Цель дальнейших преобразований - сведение континуальной задачи к дискретной. Деформирование каждого конечного элемента определяется узловыми неизвестными: перемещениями Uk и Wk, а также углом поворота Ф k, где k = 1,2 - номер узла. Введем в рассмотрение новую переменную h, интерполяционные полиномы Лагранжа Lk (h) и Эрмита Hk (h), Gk (h):

heb1;1]; s = ^ + h); Li = -h); L = Jt1 + h);

Hi = 4(2-3h+h3); H2 = -4(2+3h-h3);

= \I1 -л-л2 +л3); о2=-4(-1 -л+л2 +л3)

Перемещения точки М (см. выше) представляются в виде [1, 2]:

и = ьк(л)йк; * = нк (л)Щ + ^ок (л)Фк,

где по повторяющемуся индексу производится суммирование от 1 до 2.

Теперь можно выполнить интегрирование в уравнении (1). Опуская громоздкие промежуточные преобразования, запишем конечный результат

V7 Б5У = Ст 5У, (2)

192

где индекс Т обозначает транспонирование матрицы и введены следующие обозначения

V =

N ■

' Ц Л

ф1

и_2

ъ

V ф 2 у

I

соб 9 т

1

Б = 11N Е^ л;

С

Р (1 -п2) I 1

-1

Е

| СЫ л;

С =

-1

2 1 0

к

I

в

У

н

0

0

0

бш 9

г

- т4 н'

2соб 9

0

I бШ 9

1г

Н"

2г 2

- 7е'

2соб 9

в1

в;

1 I

соб 9

г

0 0

т

0

бШ 9

г

К

4 и"

!2 2

V 2

0

I бШ 9

2г~ 2

--в;

I 2

в

2соб 9 1г

н 2

2соб 9

в2

Е

( И Ип 0 0 1

Ип И 0 0

0 0 И3 Иъп

12 12

0 0 И\ И3

V 12 12 У

Интегрирование выполняется численно методом Гаусса [3]. Далее необходимо преобразовать узловые перемещения, определенные в локальной, элементной системе координат Г, 2, к определенным

в глобальной системе координат г, г (рис. 2). Введем в рассмотрение матрицу-столбец этих перемещений Т и матрицу поворота Я:

Т =

Г Ц1 г соб 9 БШ 9 0 0 0 01

- БШ 9 соб 9 0 0 0 0

ф1 0 0 1 0 0 0

1 ; я =

и 2 0 0 0 соб 9 БШ 9 0

ж2 0 0 0 - БШ 9 соб 9 0

V ф 2 У V 0 0 0 0 0 1У

V = ЯТ

г

г

г

При этом уравнение (2) преобразуется к виду

Тт 85Т = К т 5Т,

где обозначено

8 = ЯтБЯ; К = ЯтС .

Далее вклады всех конечных элементов суммируются, при этом локальная нумерация узловых неизвестных заменяется глобальной. Условие произвольности вариаций узловых неизвестных приводит к системе линейных уравнений

АХ = В,

где X - матрица-столбец узловых неизвестных в глобальной нумерации. Граничные условия - шарнирное опирание или заделка - учитываются следующим образом [1]: обнуляются соответствующие строка и столбец матрицы А (за исключением диагонального элемента), а также соответствующий элемент матрицы В . При решении системы уравнений используются известные свойства матрицы А: она симметрическая, положительно определенная, ленточная; ширина ленты равна, как это следует из рис. 2, девяти. Порядок системы уравнений равен 3(п +1), где п - число конечных элементов.

Важный вопрос при проведении инженерных расчетов - это задание геометрических параметров оболочки и разбиение образующей на конечные элементы. Анализ конструкций показывает, что осесимметричные оболочки, применяемые в технике, состоят из участков, каждый из которых является либо цилиндрической оболочкой, либо конической, либо сферической, либо тороидальной. Образующие первых двух типов оболочек - прямые, вторых двух - части окружностей. Их разбиение на конечные элементы (равномерное или неравномерное по какому-либо закону) не составляет труда. Можно также задать закон изменения толщины.

Приведенный алгоритм представляет собой характерный пример отличия численного решения от аналитического. Результатом последнего, каким бы сложным оно ни было, является формула, которую легко использовать в инженерных расчетах. Численное решение - это алгоритм вычислений и численное решение инженерной задачи, что далеко не одно и то же, и переход от одного к другому представляет собой вполне достойную задачу прикладной науки.

3. Примеры расчетов. Рассмотрим вначале решение тестовой задачи. Сферическая оболочка (рис. 3), защемленная по параллели В, нагружена внешним давлением р. Сформулируем граничные условия задачи. В точке А образующей задаются условия симметрии: и = 0; Ф = 0, в точке В - условия защемления: и = 0;Ж = 0;Ф = 0.

194

Рис. 3. Образующая срединной поверхности сферической оболочки (на плоскости х = 0) - часть окружности

Расчет проводился при следующих исходных данных [2]: Я = 91,5мм; И = 3мм; р = 1 Н/мм2; а = 350; п = 0,2. На рис. 4 представлены результаты расчета при п = 1000 (относительная погрешность расчета составляет при этом менее 10-3) меридионального изгибающего момента в зависимости от угловой координаты Фе [ 0; а]:

^ ( ) и 2

Мя = (0я2 -0я1 ) ^

где о я1 - значение о я при ^ = - И/ 2; о я 2 - значение о я при ^ = И/ 2.

Графики, приведенные на рис. 4, свидетельствуют о достоверности результатов, получаемых изложенным методом. Этот вывод подтверждают и решения других тестовых задач.

Нмм

мм

20 10 0 -10

1 1 1 1 2 /

1

1 ♦ щ * *

0

10

20

30 9, град

Рис. 4. Зависимость Мя (Ф): 1-результаты расчета разработанным

методом; 2 - данные работы [2]

195

Рассмотрим теперь второй пример: решение задачи, поставленной инженерной практикой. Оболочка, образующая которой изображена на рис. 5, нагружена давлением р и защемлена по параллели Е.

Оболочка состоит из четырех участков. Участок АВ представляет собой цилиндрическую оболочку, участок ВС - тороидальную, участок СВ - коническую и ВЕ - тороидальную. Коэффициент Пуассона V = 0,3; количество конечных элементов п = 4000. Толщина оболочки постоянна и равна 6 мм.

Рис. 5. Образующая срединной поверхности оболочки (на плоскости х = 0): размеры по обеим осям даны в мм

Рис. 6. Графики напряжений по длине образующей срединной поверхности оболочки: 1 - меридиональное напряжение о3

при £ = - И/2 ; 2 - меридиональное напряжение оБ при £ = И/2 ;

3 - окружное напряжение оф при £ = - И/2;

4 - окружное напряжение оф при £ = И/2

196

На рис. 6 представлены результаты расчета напряжений на обеих поверхностях оболочки в зависимости от текущей длины образующей l*, отсчитываемой от точки A (рис. 5).

Рассчитанные значения напряжений могут быть непосредственно использованы в прочностном расчете, основанном на той или иной теории прочности, или рассматриваться как номинальные напряжения при наличии концентраторов напряжений.

4. Заключение. Как следует из описания алгоритма и примеров расчета осесимметричной оболочки, применение на практике изложенного метода требует и знания основ теории оболочек [4], и умения составлять расчетные схемы, то есть идеализировать конструкцию и нагрузку, отбрасывая второстепенные факторы. Есть еще несложная работа по подготовке исходных данных. А эффективная, то есть, прежде всего, безошибочная работа с универсальными пакетами предполагает не просто больший, а гораздо больший объем знаний и навыков. Универсальные пакеты сложны в эксплуатации в силу своей универсальности. Эффективное же использование основано на принципе «одна задача - одна программа». При этом, конечно, желательна максимальная близость интерфейсов программ и процедур подготовки исходных данных.

Список литературы

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

2. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. V. 2. Solid mechanics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 463 p.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2003. 630 с.

4. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 625 с.

Белая Лилия Александровна, канд. техн. наук, доц., bliliyayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лавит Игорь Михайлович, д-р физ.-мат. наук, проф., IgorLavitayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ON THE NUMERICAL SOL UTION OF APPLIED MECHANICS PROBLEMS IN

ENGINEERING

L.A. Belaya, I.M. Lavit 197

The computer modelling of mechanical processes is considered. It is significant component of designing of machinery and devices. Formed in latest ten years, practice supposes use of universal program packages that destine for solution of extensive class of problems. The complexity of use of these packages leads sometimes to serious mistakes in calculations. Other approach is proposed. Its essence is the creation of targeting computer programs that oriented to typical structural systems of concrete enterprise. The use of these programs is simple and cannot be source of errors. The example of this program that intends for strength analysis of shell of revolution is considered.

Key words: designing, modelling, numerical methods, strength, shell of revolution.

Belaya Liliya Alexandrovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Lavit Igor Mihailovich, doctor of physics and mathematics sciences, professor, Igor-Lavit@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 608.3

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ПАТЕНТНОГО ПОИСКА

С.Ю. Борзенкова, И.А. Шкиря

Разработан программный комплекс для хранения патентов, проведения патентного поиска по различным критериям и его анализа. Данный программный комплекс содержит базу данных, разработанной на основе системы управления базами данных Microsoft Officce Access. Разработанный программный комплекс позволяет представить результаты патентного поиска в виде текстового и графического представлений информации.

Ключевые слова: программный комплекс, патентный поиск, база данных.

В настоящее время наблюдается стремительное развитие новых объектов техники и технологий. При этом при их создании необходимо учитывать уровень техники и обеспечивать их патентную чистоту. Количество выданных патентов с каждым годом стремительно растет. Так, например, в Китае в среднем за год выдается более 1,5 млн патентов на изобретения и полезные моделей, в США более 1 млн, в России более 50 тыс., а в мире в целом более 3 млн. Ввиду этого появляется необходимость хранения и возможности проведения анализа всех ранее выданных патентов.