О численном решении линейных уравнений Вольтерра с частными интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

70 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 45А05

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ *)

В.А. Калитвин

Липецкий государственный педагогический университет, ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, РФ, e-mail: [email protected]

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, частные интегралы, компактные операторы.

В пространстве C(D) непрерывных на D = [a,b] х [c,d] функций рассматривается уравнение Вольтерра с частными интегралами

pt ps pt pd

x(t,s) = l(t,s,r)x(r,s)dr +/ m(t,s,a)x(t,a)da+ / n(t, s,r,a)x(r,a)drda+f (t,s),

J a Jc J a Jc

где (t,s) E D, l, m, n, f — заданные непрерывные на D х T, D х S, D х T х [c,d], D соответственно функции, T = {r : a < r < t < b}, S = [a : c < a < s < d}.

Отметим, что оператор V, определяемый суммой первых трех слагаемых правой части уравнения, не является компактным в C(D)^ одно из ядер l(t,s,r)

или m(t,s,a) принимает ненулевые значения [1].

Найти точное решение данного уравнения удается в редких случаях. Поэтому важное значение имеют численные методы построения его решений. При этом использование хорошо известных численных методов решения линейных интегральных уравнений второго рода (обоснование которых обычно использует компактность интегральных операторов [2,3]) для решения линейных уравнений с частными интегралами требует осторожности и обоснования; в частности, из-за отсутствия компактности у оператора V требуется обоснование применения метода механических квадратур.

Уравнение решается численно с применением квадратурных и кубатурной формул, изучается сходимость вычислительных процессов.

Отрезки [a, b] и [c, d] разобъем на части точками

tp = a + ph (p = 0,1,..., P, a + Ph < b < (P + 1)h),

sq =c + qg (q = 0,1,■■■,Q, c + Qg < d< (Q + 1)g)

соответственно. Полагая t = tp, s = sq и применяя квадратурные формулы

tp

l(tp, sq, r)x(r, sq)dr = h

i=0

E

apilpqi

x(ti, sq) + Tlpq,

*Работа поддержана Минобрнауки России (проект № 1.4407.2011)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 71

(tp, Sq, a)x(tp, a)da = g Pjqmv<iix(tp, si) + C

j=0

и кубатурную формулу

p Q

n(tp, sq, t, a)x(r, a)drda = hg EE Ipqijnpqijx(tij sj) + Г

i=0 j=0

n pqj

остатки

ГДе Ipqi l(tp j sqj ti) j 'mpqj 'm(tp, sq, sj ) , npqij n(tp j sq j ti j sj ) j rpq j r'pq№ r'p,

квадратурных и кубатурной формул, получим после отбрасывания остатков систему уравнений для приближенных значений xp0,x0q, xpq функции x в точках (tp, s0), (t0, sq),

(tpj sq) (p =lj...jP; q =lj...jQ).

Пусть 8p0, 80q, 8pq — погрешности в уравнениях с xp0, x0q, xpq. Тогда

p q

x00 f (a,c)j xp0 h ^ ^ apilp0ixi0 + fp0 + 8p0j x0q g ^ ' Pjqm0qjx0j + f0q + 80qj

i=0 j=0

s

x.

pq

jq mpqj xpj

p Q

+ hg EE Ipqij npqij xij + fpq + 8p i=0 j=0

(p lj---jP; q lj---jQ)^ ОД6 fp0 f (tpj s0) j f0q f (t0 j sq ) j fpq f (tpj sq) •

p q

h ^ ^ apilpqixiq + g ^ ^ Д i=0 j=0

Теорема. Если rlpq, r™ и r^q стремятся к нулю равномерно относительно p,q при h,g ^ 0; существуют такие числа A, B ,С, что \api \ < A < ж, \ejq \ < B < ж, \ypqij \ < С < ж; иогрешности 8p0, 80q, 8pq стремятся к нулю равномерно относительно p,q при h,g ^ 0, то при всех достаточно малых h н g приближенное решение xpq может быть найдено из последней системы, причем для любого заданного с > 0 найдутся такие h0 н g0, что при h < h0 н g < g0 будут выполняться неравенства

\xpq - x(tpj sq )\ <с (p =0, lj...jP; q = 0j lj...jQ)j

а последовательность функций

p q p Q

xpq (tj s) h ^ 1 apil(tj si ti)xiq+g ^ ^ Pjqm(tj s-, sj ')xpj + hg EE Ipqijn(tj s,tij sj ')xij + f (tj s)

i=0 j=0 i=0 j=0

равномерно сходится па D к решению x(t, s) при h ^ 0, g ^ 0.

Литература

1. Калитвин А.С., Калитвин В.А. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами / Липецк: ДГПУ, 2006. - 178 с.

2. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений / М.: Наука, 1969. - 456 с.

3. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2-е изд., перераб. и доп / С.-Петербург: БХВ-Петербург, 2006. - 288 с.

72 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

ABOUT NUMERICAL SOLUTION OF LINEAR VOLTERRA EQUATIONS

WITH PARTIAL INTEGRALS

W.A. Kalitvin

Lipetsk State Pedagogical University,

Lenin St., 42, Lipetsk, 398020, Russia, e-mail: kalitvinQmail.ru

Key words: integral Volterra equations, partial integrals, compact operators.