CC BY
27
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 123
2018
Б01: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-555-565 УДК 519.622.2
О ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ
НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
< А. Н. Пчелинцев
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет» 392000. Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 Е-таП: рсЬеНп^йеу[email protected]
Аннотация. В данной работе рассматривается модификация метода степенных рядов для численного построения неустойчивых решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений хаотического типа с квадратичными нелинейно-стями в общем виде. Найдена область сходимости рядов и предложен алгоритм построения приближенных решений.
Ключевые слова: хаос; система Лоренца; аттрактор; степенные ряды
Введение
Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
х = В0 + В1х + ф{х), (1)
где х{£) = . . . Ж(га)(£)'1Т - векторная функция времени t со значениями в про-
странстве Мт , Во и Мт - заданный вектор-столбец,
¥>(*) = ]*Р(1)(*) ---
^(р) (ж) = рх,х\ , В1 и (р = 1, ?77) - матрицы ( 777, Ото) действительных чисел. Анализ современной литературы показал, что формулы общего решения систем вида (1) в классе каких-либо известных функций пока не найдено.
Пусть в фазовом пространстве системы (1) имеется ограниченное множество (называемое аттрактором), к которому стремятся со временем все соседние фазовые траектории из некоторой области, называемой областью притяжения (см. [1, с. 31]). Следовательно, аттрактор определяет поведение близких ограниченных решений системы (1) при больших значениях £. Будем рассматривать такие решения на некотором заданном отрезке времени О, = [0; Т]. Заметим, что в простейшем случае аттрактором может быть, например, положение равновесия или цикл.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00801).
Однако в системе с т > 2 может существовать так называемый странный аттрактор, состоящий из всюду плотных седловых траекторий, вдоль которых близкие траектории экспоненциально разбегаются. При этом имеются области притяжения, возвращающие траектории к аттрактору. Это и создает их хаотическое поведение. Из-за неустойчивости хаотических решений на аттракторах системы (1) правильный численный прогноз их поведения на заданном отрезке времени важен в понимании, например, процессов эволюции (если рассматривается модель [2] роста раковых опухолей) и снижения неопределенности.
Таким образом, хаотическое поведение решений динамических систем вызывает трудности применения численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Многие исследователи используют разные числовые схемы, основанные на классических методах, например, сочетание явного метода Эйлера с центрально-разностной схемой [3], метод Адамса [4]. Рунге-Кутты 4-го порядка [5] и др. Однако указанные методы не могут быть применены в нашем случае, поскольку глобальная ошибка увеличивается с увеличением отрезка интегрирования [6, с. 78, 83; 7]. С. Стро-гац в книге [8, с. 320-323] привел оценку времени Тс, когда две близкие в начальный момент времени траектории системы (1) критически разбегаются для системы Лоренца. В работе [7] авторы приводят регрессионную зависимость момента времени Тс от шага интегрирования Дt и порядка ЛГ0 численной схемы
Тс(ЛГ0,Дг) е
для классических значений параметров системы Лоренца. Также авторы отмечают, что численное решение сходится к различным положениям равновесия при различных значениях шага At после переходных хаотических режимов.
Отметим, что численное решение не может быть улучшено за счет уменьшения шага интегрирования, поскольку ошибка интегрирования имеет экстремальный характер как функция от At. Эту проблему можно решить, используя высокоточные вычисления [9]. Однако данный подход ставит исследователя в жесткие рамки: во-первых, малая степень свободы для уменьшения ошибки интегрирования (изменение величины шага At и точности представления вещественного числа для управления вычислительным процессом), во-вторых, большой объем вычислений при очень малых At. Методы Рунге-Кутты высокого порядка могут быть применены для получения решений с большей точностью, но соответствующие формулы для ЛГ0 > 6 являются достаточно громоздкими (см., например, книгу [10]).
В статье |11| авторы описывают метод многоступенчатой спектральной релаксации, который отличается от методов, указанных выше. Они используют спектральный метод Чебышсва для решения системы (1) в форме Гаусса-Зейделя с помощью итерационной схемы на каждой части отрезка интегрирования. Преимущество состоит в том, что накопление ошибки не так велико, как в прямых методах.
Для нахождения приближенных решений систем дифференциальных уравнений иногда используется метод степенных рядов (или метод рядов Тейлора). В работах [12,13] этот метод используется как одна из разновидностей метода разложения Адо-мяна (МРА). В этих исследованиях авторы получают коэффициенты разложения реше-
ния в степенной ряд для разных систем вида (1) без нахождения радиуса сходимости. Ошибка приближенного хаотического решения сравнивается только с численными результатами методов Рунге-Кутты. П. Вадаш и С. Олек в работе |14] также изучили зависимость коэффициентов степенных рядов от числа членов в разложении.
В данной статье рассматривается модификация метода степенных рядов (аналогичная МРА) для системы (1). Преимущество перед общей схемой метода рядов Тейлора состоит в том, что коэффициенты разложения могут быть достаточно быстро вычислены по рекуррентным формулам для систем с квадратичной правой частью. Кроме того, получена оценка области сходимости степенного ряда. Недавно [15,16] такой подход был применен к системам Лоренца и Чена. Здесь обобщаются результаты для систем вида (1).
1. Примеры хаотических систем с квадратичными нелинейностями
Приведем два примера систем вида (1), для которых может быть применен рассматриваемый численный метод.
1. Система Лоренца [2]
(2) = ГХ( 1) Х(2) 37(1)^(3),
(3) = х(1)х(2) Ьх(зу
Для данной системы матрицы имеют вид:
а а О
О 0 1
В0 = 0, В1= г 1 0 ^ <5! = О, С}2 О О 6
0 0 о
0 0 о
0 1 о
С} 3= 0 0 0 0 0 0
2. Система Джафари-Спротта [17]
В этом случае
В0 =
О
о
вл =
0 1 о
1 О О С. (?!=(), <?2 =
О О 1
а 0 0 <Эз= О
О 0 0
ООО О 0 1 ООО
1 о ^
2. Численно-аналитическое решение системы дифференциальных уравнений
Система (1) имеет квадратичную правую часть по фазовым координатам. Это позволяет получить явную формулу для вычисления коэффициентов степенного ряда и оценку области сходимости. Пусть
Ф) =
(2)
г=0
где Л0 = ж(0) - вектор значений начальных условий для системы (1), Лг и Мт . Произведение степенных рядов в форме Коши в векторной форме имеет вид
<Р(р)(х)= Ф»(р)£\ Ф»(р) = )QJ)Л^,Лi_jр=1,т. 1=0 ^=0
Пусть
Заметим, что
Фг = ]Ф^1) ... Ф*
(т)'
Л! =Б0 + 51А0 + Фо.
(3)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим из системы (1) рекуррентное соотношение для вычисления векторов-коэффициентов степенного ряда при г « 2
Л* =-:-. (4)
г
Эта формула достаточно проста и быстро вычислима по сравнению с МРА, поскольку не содержит факториалов.
Хотя правая часть системы (1) является всюду аналитической, радиус сходимости ряда может быть ограниченной величиной и зависеть от Л0.
3. Алгоритм построения дуги траектории
Рассмотрим алгоритм построения дуги траектории на заданном отрезке времени длиной Т.
начало
1. Задать значения машинного эпсилон £т (для представления вещественного числа) и way (1 или 1).
2. Задать значения Т, £р и Ло.
3. £ := 0.
4. Вычислить значение At как функцию от Л0.
5. t:=t + At.
6. Если £ > Т, то flag := 1; At := At (t T) Иначе если t <Т, то flag := О
Иначе flag := 1.
7. р := 1; ¿:=0.
8. х := Ло .
9. г := г + 1; р := р xway хД£ .
10. Вычислить Лi по формулам (3) и (4).
11. X := X + Лг хр.
12. L := Ai >ф||.
13. Если L > £р, то перейти к шагу 9.
14. Л0 := х .
15. Вывод Ло -
16. Если flag = 0, то перейти к шагу 4. конец.
Переменная way обеспечивает численное интегрирование в обратном времени, когда ее значение равно 1 (в прямом направлении way = 1). На практике мы используем оба направления для проверки точности приближенного решения.
Рассмотрим более подробно процедуру построения дуги траектории. Пусть ti U fi, I = 1,N - индекс отрезков времени ; ij] , где ряд (2) сходится, N - количество таких отрезков, io = 0, t}\ = Т,
il=[ta;tiH ---( [tN-i]tN].
Зададим вектор Л0 значений начальных условий в момент времени £0 ■ Тогда векторы Л* ( г = 1,2,...) вычисляются по формулам (3) и (4) до тех пор, пока не будет верна оценка
Лг (5)
где £р - локальная точность вычислений, = ^ . Модуль в (5) используется в
случае отрицательных значений шага Atl.
Пусть (£) - ?77 -мерный полином 77] -й степени, который получается из оценки (Б) на первой стадии (/ = 1) вычислений. На следующей стадии (1 = 2) мы полагаем
Л0 :=ж;_1(Д£г_|)
и установим теперь уже начальный момент времени ^ равным нулю для упрощения вычислений, поскольку система (1) динамическая.
Если т\ - длина отрезка некоторого отрезка сходимости ряда (2), то значение At^ выбирается как
0 < Д£г < п П < Аи < 0.
4. Оценка длины отрезка сходимости степенного ряда в векторной форме
Оценка области сходимости ряда (2) важна, когда приближенные решения системы (1) вычисляются по алгоритму, описанному выше. Для этого введем следующие обозначения:
^i(Ao) = А0 , fi = m max Qp ,
p=l,m
B0 + ( Bi + 2fi)hi + fih^ если hv > 1,
МЛ o) = I
B0 + Bi + fi в противном случае.
(б)
Докажем, что ряд (2) сходится при t U ( т\; 7|) , где 7} = 1 /h2. Тогда число h-2 нужно выбрать так, чтобы h2 ||С|| < 1, и
¿Ait4> (h2W-
Тогда ряд (2) сходится. ^
Теорема 1. Неравенство
К > К (7)
справедливо для любого натурального г.
Доказательство. Будем использовать метод математической индукции. Рассмотрим случай, когда Н\ > 1.
Покажем, что (7) верно для г = 1 . Из формулы (3) и неравенства Коши-Буняковско-го имеем
Л! > В0 + В1 Ло +тшах |^<5РЛо,Л0|||>
р= 1 ,ш
> В0 + В1 > /4,
что доказывает справедливость (7) при г = 1.
Предположим, что (7) верно при г = к. Тогда оно верно для любого натурального 3 = 1, к , то есть
(8)
Aj > h{.
Докажем теперь, что неравенство (7) верно для г = к + 1. Оценим
r>fiA0 Ак + fi Ак Л0 +
f=0
V
Ч к-1
+fA Aj Л k-j > 2fthih.2+ з=i fc-i
+fi h?2hk2~j = 2/х/ц/^ + (к 1 )fihk.
3=1
Из формулы (4) и неравенств (8) мы получаем оценку (учтя, что Л; 1 and hy > 1)
By Ак + 2fihih.% к 1
Ak+i >
к + 1
+ у—> Ву hk+ к + Г 2 2
+ рЩ >( Во + Ву +2цк1+11)}1%> >к2Ък2=Ьк2+\
которая доказывает справедливость (7) для любого натурального г.
Теперь покажем справедливость другого случая - к2 > 1 , то есть по индукции выполнение неравенства (7) в данном случае. Для г = 1 мы имеем
Ау > В0 + Ву +¿¿ = /4,
откуда (7) верно.
Предположим, что (7) верно для г = к. Оценим
Р
С )QpAj,Ak4\ <?=о
2fihk2 + (к \){ihk2 = (к + 1 )(ih%.
Докажем справедливость (7) при г = к + 1 . Из формулы (4) и предположения справедливости
Л^+1 > —Щ—+ fih2 > By + fih% = к | 1
= ( By + fi)hk2 > h2hk = hk+\
что доказывает (7) для любого натурального г, когда > 1.
Из формулы (6) следует, что описанным методом можно численно построить и непродолжасмые решения системы (1): при приближении к вертикальным асимптотам решения значения фазовых координат увеличивается, а величина
уменьшается. Отмстим, что в работе [18] получена модификация метода Эйлера, позволяющая изменять значение Atl в зависимости от поведения фазовой координаты вблизи асимптоты.
1. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Книжный дом «Либроком», 2010. 552 с.
2. Llanos-Pérez J.A., Betancourt-Mar J.A., Cochob G., Mcm.silla R., Nieto-Villar J.M. Phase transitions in tumor growth: III vascular and metastasis behavior // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2016. Vol. 462. P. 560-568.
3. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20. № 2. P. 130-141.
4. Yorke J. A., Yorke E.D. Metastable chaos: The transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model // Journal of Statistical Physics. 1979. Vol. 21. № 3. P. 263-277.
5. Калошин Д. А. Поиск и стабилизация неустойчивых седловых циклов в системе Лоренца // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. Вып. 11. С. 1559-1561.
6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.
7. Teixeira J., Reynolds С.A., Judd К. Time step sensitivity of nonlinear atmospheric models: numerical convergence, truncation error growth, and ensemble design // Journal of the Atmospheric Sciences. 2007. Vol. 64. № 1. P. 175-189.
8. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications to Physics, Biology. Chemistry and Engineering. N. Y.: Perseus Books Publ., 1994. 498 p.
9. Sarra S.A., Meador C. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. 2011. Vol. 16. № 3. P. 340-352.
10. Хайрер Э., Hepcemm С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.
11. Motsa S.S., Dlamini P., Khumalo M. A new multistage spectral relaxation method for solving chaotic initial value systems // Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 72. № 1. P. 265-283.
12. Hashim I., Noorani M.S.M., Ahmad R.. Bakar S.A., Ismail E.S., Zakaria A.M. Accuracy of the Adomian decomposition method applied to the Lorenz system // Chaos, Solitons and Fractals. 2006. Vol. 28. № 5. P. 1149-1158.
13. Abdulaziz O., Noor N.F.M., Hashim I., Noorani M.S.M. Further accuracy tests on Adomian decomposition method for chaotic systems // Chaos. Solitons and Fractals. 2008. Vol. 36. № 5. P. 1405-1411.
14. Vadasz P., Olek S. Convergence and accuracy of Adomian 1s decomposition method for the solution of Lorenz equations // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2000. Vol. 43. № 10. P. 1715-1734.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
15. Пчелинцев А.Н. Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца // Сибирский журнал вычислительной математики. 2014. T. 17. Вып. 2. С. 191-201.
16. Lozi R, Pchelintsev A.N. A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25. № 13. DOI: 10.1142/S0218127415501874.
17. Jafari S., Sprott J.C., Nazarimehr F. Recent new examples of hidden attractors // The European Physical Journal Special Topics. 2015. Vol. 224. № 8. P. 1469-1476.
18. Жуковский Е.С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его приближенном построении // Известия высших учебных заведений. Математика. 1996. Вып. 4. С. 31-34.
Поступила в редакцию 18 апреля 2018 г.
Прошла рецензирование 23 мая 2018 г.
Принята в печать 19 июня 2018 г.
Пчелинцев Александр Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры коммерции и бизнес-информатики, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Пчелинцев А.Н. О численном методе построения неустойчивых решений динамических систем с квадратичными нелинейностями // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 123. С. 555-565. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-555-565
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-555-565
ON THE NUMERICAL METHOD OF CONSTRUCTION OF UNSTABLE SOLUTIONS OF DYNAMICAL SYSTEMS WITH QUADRATIC
NONLINEARITIES
A.N. Pchelintsev
Tambov State Technical University 106 Sovetskaya st.. Tambov 392000. Russian Federation El-mail: [email protected]
Abstract. In this paper, the author considers the modification of the method of power series for the numerical construction of unstable solutions of systems of ordinary differential equations of chaotic type with quadratic nonlinearities in general form. A region of convergence of series is found and an algorithm for constructing approximate solutions is proposed.
Keywords: chaos; Lorentz system; attractor; power series
REFERENCES
1. Landa P.S. Nelineynye kolebaniya i volny [Nonlinear Oscillations and Waves]. Moscow, Book House "Librokom" PubL, 2010, 552 p. (In Russian).
2. Llanos-Perez J.A., Betancourt-Mar J.A., Cochob G.. Mansilla R., Nieto-Villar J.M. Phase transitions in tumor growth: III vascular and metastasis behavior. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2016, vol. 462, pp. 560-568.
3. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 1963, vol. 20, no. 2, pp. 130-141.
4. Yorke J.A., Yorke E.D. Metastable chaos: The transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model. Journal of Statistical Physics, 1979. vol. 21. no. 3, pp. 263-277.
5. Kaloshin D.A. Poisk i stabilizatsiya neustoychivykh sedlovykh tsiklov v sisteme Lorentsa [Search for and stabilization of unstable saddle cycles in the Lorenz system]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 11, pp. 1559-1561. (In Russian).
6. Babuska I., Prager M., Vitasek E. Numerical Processes in Differential Equations. New York, Interscience Publishers John Wiley Sons, 1966. 351 pp.
7. Teixeira J., Reynolds C.A., Judd K. Time step sensitivity of nonlinear atmospheric models: numerical convergence, truncation error growth, and ensemble design. Journal of the Atmospheric Sciences, 2007, vol. 64, no. 1, pp. 175-189.
8. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. New York, Perseus Books PubL, 1994, 498 p.
9. Sarra S.A., Meador C. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2011, vol. 16, no. 3, pp. 340-352.
The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (project № 16-07-00801).
10. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Heidelberg, Springer, 1993, 528 p.
11. Motsa S.S., Dlamini P., Khumalo M. A new multistage spectral relaxation method for solving chaotic initial value systems. Nonlinear Dynamics, 2013, vol. 72, no. 1, pp. 265-283.
12. Hashim I., Noorani M.S.M., Ahmad R., Bakar S.A., Ismail E.S., Zakaria A.M. Accuracy of the Adomian decomposition method applied to the Lorenz system. Chaos, Solitons and Fractals, 2006, vol. 28, no. 5, pp. 1149-1158.
13. Abdulaziz O., Noor N.F.M., Hashim I., Noorani M.S.M. Further accuracy tests on Adomian decomposition method for chaotic systems. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, vol. 36, no. 5, pp. 1405-1411.
14. Vadasz P., Olek S. Convergence and accuracy of Adomian's decomposition method for the solution of Lorenz equations. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000, vol. 43, no. 10, pp. 1715-1734.
15. Pchelintsev A.N. Chislennoe i fizicheskoe modelirovanie dinamiki sistemy Lorentsa [Numerical and physical modeling of the dynamics of the Lorenz system]. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki - Siberian Journal of Numerical Mathematics, 2014, vol. 17, no. 2, pp. 191-201. (In Russian).
16. Lozi R., Pchelintsev A.N. A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2015, vol. 25, no. 13. DOI: 10.1142/S0218127415501874.
17. Jafari S., Sprott J.C., Nazarimehr F. Recent new examples of hidden attractors. The European Physical Journal Special Topics, 2015, vol. 224, no. 8, pp. 1469-1476.
18. Zhukovskiy E.S. O parametricheskom zadanii resheniya differentsial'nogo uravneniya i ego priblizhennom postroenii [On a parametric specification of the solution of a differential equation and its approximate construction]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika - Russian Mathematics, 1996, no. 4, pp. 31-34. (In Russian).
Received 18 April 2018 Reviewed 23 May 2018 Accepted for press 19 June 2018
Pchelintsev Alexander Nikolaevich, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Commerce and Business Informatics, e-mail: [email protected]
For citation: Pchelintsev A.N. O chislennom metode postroeniya neustoychivyh resheniy dinamicheskih sistem s kvadra-tichnymi nelineynostyami [On the numerical method of construction of unstable solutions of dynamical systems with quadratic nonlinearities]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 123, pp. 555-565. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-555-565 (In Russian, Abstr. in Engl.).
