CC BY
9
2018 Теоретические основы прикладной дискретной математики №41
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.115, 519.113.5, 512.624, 512.552.7
О ЧИСЛЕ ОДНОРОДНЫХ НЕВЫРОЖДЕННЫХ р-ИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ1
М. И. Анохин
Институт проблем информационной безопасности Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия
Пусть р — простое число, ^ = СР(р), УП — п-мерное векторное пространство над ^, е — базис пространства УП. Пусть также ^: Уп ^ ^. Функция ^ называется е-однородной, если ^>(х) = п^,е(х) для всех х € УП, где — однородный многочлен от п переменных над ^, имеющий степень не более р — 1 по каждой переменной, а х — набор координат вектора х в базисе е. Функция ^ называется невырожденной, если deg ^ ^ 1 и deg с^^ = (deg — 1 для любого V € УП \ {0}, где ^>)(х) = <^(ж + V) — <^(х) для всех V, х € УП. Получена формула для числа НМр(п, й) е-однородных невырожденных функций ^: Уп ^ ^, имеющих степень й (это число не зависит от е), а именно: если п ^ 1 и й € {1,... ,п(р — 1)},
п
k
то HNp(n,d) = Е (-1)кр(2)+{П^}р П = £ (-l)|S|/(S)-|S|+{n dS|}P, где k=0
SC{1.....n}
ъ
m \ — обобщённый биномиальный коэффициент порядка p d >p
k
— биномиаль-
р
ный коэффициент Гаусса; — сумма всех элементов множества 5. Доказано, что НМр(п, й) ^ р{л}р — 1 — (рп — 1) (р{ л }р — 1 | /(р — 1) для любых й ^ 1 и
п ^ й/(р—1). Используя эту оценку, получаем, что если й ^ 3, то ИМр(п, й) ~ р{л}р при п ^ то.
Ключевые слова: р-ичная функция, однородная функция, невырожденная функция, степень функции, формула обращения Мёбиуса, групповая алгебра, фундаментальный идеал, базис Дженнингса.
БСТ 10.17223/20710410/41/1
p
ON THE NUMBER OF HOMOGENEOUS NONDEGENERATE p-ARY FUNCTIONS OF THE GIVEN DEGREE
M.I. Anokhin
Information Security Institute, Lomonosov University, Moscow, Russia E-mail: anokhin@mccme.ru
1 Работа поддержана грантом РФФИ №16-01-00226.
Let p be a prime number and F = GF(p). Suppose Vn is an n-dimensional vector space over F and e is a basis of Vn. Also, let ^: Vn ^ F. The function ^ is called e-homogeneous if <^(x) = n^,e(x) for all x £ Vn, where is an n-variate homogeneous polynomial over F of degree at most p — 1 in each variable and x is the coordinate vector of x with respect to the basis e. The function ^ is said to be nondegenerate if deg ^ ^ 1 and deg dv^ = (deg — 1 for any v £ Vn \ {0}, where (dv<^)(x) = <^(x + v) — <^(x) for all v,x £ Vn. This notion was introduced by O. A. Logachev, A. A. Sal'nikov, and V. V. Yashchenko in the case when p = 2. Our main results are as follows. First, we obtain a formula for the number HNp(n,d) of e-homogeneous nondegenerate functions ^: Vn ^ F of degree d (this number does not depend on e). Namely, if n ^ 1 and d £ {1,...,n(p — 1)}, then HNp(n, d) =
n (-1)kр(2)+ГЛР M = £ , where |is the
fc=0 LkJ p SC{1.....n} I® J p
(k\ , (n-k
(-1)k p
k=0
generalized binomial coefficient of order p
is the Gaussian binomial coefficient,
p
and a(S) is the sum of all elements of S. The proof of this formula is based on the Mobius inversion. Previously, only formulas for HNp(n, 2) were known; unlike our formula, their forms depend on the parities of p and n. Second, we prove that
HNp(n, d) ^ p{d}p — 1 — (pn — 1) ( p{ d }p — 1 ) /(p—1) for any d ^ 1 and n ^ d/(p—1).
jnj
Using this bound, we obtain that if d ^ 3, then HNp(n,d) ~ p{d}p as n ^ to. For p = 2 the last two statements were proved by Yu. V. Kuznetsov. The proofs of our main results use a Jennings basis of the group algebra FGn, where Gn is an elementary abelian p-group of rank n.
Keywords: p-ary function, homogeneous function, nondegenerate function, degree of a function, Möbius inversion formula, group algebra, augmentation ideal, Jennings basis.
1. Определения, обозначения и необходимые факты
Фиксируем простое число р и обозначим через F поле из р элементов. В настоящей работе все объекты и понятия линейной алгебры рассматриваются над основным полем F. Для произвольного множества X через FX обозначается множество всех функций из X в F. Это множество является векторным пространством относительно поточечных операций сложения и умножения на элементы из F. Если Б — какая-либо система векторов произвольного векторного пространства, то (Б) обозначает линейную оболочку этой системы. Пусть также п — произвольное целое неотрицательное число и Уп — п-мерное векторное пространство (над полем F). Элементы множества FУп естественно назвать р-ичными функциями.
Выберем какой-либо базис е = (б1,...,бп) пространства Уп. Иногда будем выбирать этот базис некоторым специальным образом. Пусть также <р Е FУп. Тогда хорошо известно, что существует единственный многочлен = Е F[¿1,... , ¿п] (зависящий от (р и е), который имеет степень не более р — 1 по каждой переменной и удовлетворяет равенству
+ ... + Хпеп) = п1р,е(х1,... , Хп)
для любых х1,... ,хп Е F. Другими словами, если х — произвольный вектор из Уп и х — набор координат этого вектора в базисе е, то <^(х) = (х). Функция (р м-
(р € РУп) является изоморфизмом векторного пространства FУп на векторное пространство всех многочленов из Р[¿1,..., ¿п], имеющих степень не более р — 1 по каждой переменной.
Напомним, что производной функции р по направлению V € УП называется функция дур € РУп, определённая равенством (дур)(х) = р(x+v) —р(х) для каждого х € УП. Степенью функции р, обозначаемой deg р, называется степень многочлена п<,е. Считаем, что степень нулевого многочлена (а следовательно, и степень нулевой функции из РУп) равна —1. Определённая таким образом степень функции р не зависит от выбора базиса е, так как она совпадает с наименьшим целым числом й ^ —1, для которого дУ1 ... дУл+1 р = 0 при всех VI,... , € Уп [1, свойство В7]. Очевидно, что — 1 ^ deg р ^ п(р — 1) и что если deg р ^ 0, то deg дур ^ deg р — 1 для любого V € УЛ. Кроме того, если й € { — 1,... , п(р — 1)}, то множество ИМ^ = {ф € РУп : degф ^ й} является подпространством пространства РУп. Обозначение ИМ^ связано с тем, что именно так можно определить р-ичный код Рида—Маллера порядка й и длины рп.
Функция р называется е-однородной, если п<,е является однородным многочленом (к которым относится и нулевой многочлен). Очевидно, что всякая е-однородная функция степени не более р — 1 будет также е'-однородной для любого базиса е' пространства Уп. Поэтому можно говорить просто об однородных функциях степени не более р — 1. Однако в общем случае однородность функции р зависит от выбора базиса е. Например, пусть п = 2 и функция ф € РУ2 такова, что = ¿1 1 ¿2. Тогда если е' = (е1 + е2,е2), то Пф,е/ = ¿1 + ¿р-1£2. Таким образом, функция ф е-однородна, но не е'-однородна.
Замечание 1. Очевидно, что функция р представима единственным образом в виде р(о,е) + ... + р(^е), где й = degр, а р(г,е) —либо е-однородная функция степени г из РУп, либо нулевая функция из РУп (г € {0,... , й}), причём если й ^ 0, то р(^,е) = 0. Функция р(г,е) называется г-й е-однородной компонентой функции р.
Предположим, что deg р ^ 1 (это возможно, если и только если п ^ 1). Тогда полагаем
Ь(р) = {V € УП : degдур ^ deg р — 2}.
Легко видеть, что £(р) является собственным подпространством пространства УП. Можно также сказать, что £(р) —группа инерции смежного класса р + ИМ(аеё<)-2 в группе сдвигов пространства УП, если отождествить сдвиг х М- х + V на вектор V € УП с самим этим вектором. Очевидно, что ИМ^ для любого й € {—1,... , п(р — 1)} замкнуто относительно сдвигов аргумента функции. Будем пользоваться тем, что если р' € р + ИМ^<)-1, то Ь(р') = Ь(р). Функция р называется невырожденной, если Ь(р) = {0}, или, что эквивалентно, deg дур = deg р— 1 для любого V € УП\{0}. Понятие невырожденной функции введено в [2] в случае, когда р =2 (см. также [3, определение 3.5.2]). Основной смысл этого понятия состоит в следующей теореме (в случае р =2 см. [2, теорема3] или [3, теорема3.5.3]):
Теорема 1. Пусть р € РУп, причём deg р = й ^ 1. Предположим, что £(р) = = (ет+1,... , еп) для некоторого т € {1,... , п}. Тогда существуют функции р' € РУп и ф € РУп/Ь(<), удовлетворяющие следующим условиям:
1) deg р' ^ й — 1;
2) ф имеет степень й, (е1 + Ь(р),..., ет + Ь(р))-однородна и невырождена;
3) р(ж) = р'(х) + ф(х + Ь(р)) для всех х € УП.
Теорема 1 может быть легко доказана по схеме, описанной в [2] и [3, разд. 3.5] (хотя в обоих этих источниках подробное доказательство не приводится), а именно: пусть
<Р(с1,е) — ^-я е-однородная компонента функции ^ (см. замечание 1). Непосредственно проверяется, что многочлен не зависит от переменных £т+1,...,£п. Следова-
тельно, существует функция ф Е Гтакая, что ^(С,е)(х) = ф(х + для всех
х Е Уп .Из равенства
Пф,(в1+Ь(^),...,вт+Ь(^)) (£1, . . . = п^,е),е(£1, . . .
вытекает п. 2 теоремы 1. Поэтому ^ = ^ — <^(с,е) и ф удовлетворяют условиям этой теоремы.
Пусть d Е {1,...,п(р — 1)} (и, следовательно, п ^ 1). В связи с теоремой 1 представляет интерес нахождение числа е-однородных невырожденных функций из ГУп, имеющих степень d. Это число будем обозначать через НКр(п^).
Замечание 2. Пусть а Е (КМс/И,МС-1) \ {0}, где d Е {1,... , п(р — 1)}. Определим ¿(а) как Ь(х) для произвольной функции х из смежного класса а; корректность этого определения очевидна. Из замечания 1 следует, что в смежном классе а содержится ровно одна е-однородная функция, а именно d-я е-однородная компонента произвольной функции из этого смежного класса. Это показывает, что
Н^(п^) = |{а Е (ЯМс/ЯМс-!) \ {0} : Да) = {0}}|.
В частности, НКр(п, d) не зависит от выбора базиса е.
Легко видеть, что
р — 1 , если п = 1 , р , ^ (1)
10, если п ^ 2.
Приведём теперь формулы для НКр(п, 2). Пусть ^ — е-однородная функция степени 2 из ГУп. Тогда существует единственная ненулевая матрица размера п х п над Г с нулями под главной диагональю (а при р = 2 и на главной диагонали), такая, что п^,е = ¿А^,е£т. Здесь и далее £ = (£1,...,£п) —набор переменных, а верхний индекс «т» обозначает транспонирование. Непосредственно проверяется, что па.»(р,е = ^А^е + А^,е)£т + vA^,evт для любого V Е Уп, где V — набор координат вектора V в базисе е. Поэтому функция ^ невырождена тогда и только тогда, когда матрица + невырождена. Отметим, что + является матрицей симметричной билинейной формы (х,у) м <^(х + у) — <^(х) — <^(у) (х,у Е Уп), ассоциированной с ^ как квадратичной формой, в базисе е. Это показывает, что функция ^ невырождена в смысле настоящей работы тогда и только тогда, когда она невырождена как квадратичная форма (т. е. ассоциированная с ней билинейная форма невырождена).
Из этих рассуждений следует, что функция ^ м + инъективно отображает множество всех е-однородных невырожденных функций степени 2 из на множество всех невырожденных симметричных матриц размера п х п над Г (а при р = 2, кроме того, имеющих на главной диагонали лишь нули). Поэтому НКр(п, 2) равно числу таких матриц, которое давно известно. Это число можно найти, используя классификацию невырожденных симметричных (при р = 2) и симплектических (при р = 2) билинейных форм над Г и формулы для порядков линейных групп, сохраняющих эти формы. Однако удобнее воспользоваться формулами, приведёнными в теоремах 2 и 3 работы [4]. Таким образом, если д — нечётное простое число и т — целое положительное число, то
2 т-1 2 т-1
Ш,(2т — 1, 2) = -т П (?2г+1 — 1), НЫ,(2т, 2) = +т Ц (?2т — 1),
г=0 г=0 (2)
2 т-1 (2)
Ш2(2т — 1, 2) = 0, Ш2(2т, 2) = 2т -т П (22т — 1).
г=0
2. Формулировки основных результатов
Одним из основных результатов настоящей работы является формула для ИКр(п, й) (см. теорему 2 ниже). Эта формула доказывается с помощью формулы обращения Мёбиуса. В отличие от формул (2) для ИКр(п, 2), вид нашей формулы не зависит ни от чётности р, ни от чётности п. Введём некоторые обозначения. Пусть т — целое неотрицательное число. Положим
Jm = Шъ . . . , im) : jb . . . , jm е {0, . . . ,p - 1}}.
(3)
Для каждого ] € обозначим через ) сумму всех элементов набора Тогда
для произвольного целого числа k обобщённый биномиальный коэффициент,
m
порядка p определяется как |{j е Jm : a(j) = k}|. Отметим, что при k ^ 0
это число способов размещения к одинаковых предметов в т ячейках, в каждой из которых число предметов не может превосходить р — 1 [5, разд. 1.3]. Если к ^ —1, то
0. Очевидно, что функция (ji,... , jm) м- (p — 1 — ji,... ,p — 1 — jm) инъективно
отображает множество {j е Jm : a(j) = k} на множество {j е Jm : a(j) = m(p — 1) — k}. Поэтому
m
m( p — 1) — k
(4)
будем обозначать число
для любого целого числа к (см. также формулу (1.14) из [5
п
Кроме того, для произвольного к € {0, . . . , п} через
к
к-мерных подпространств пространства УП (биномиальный коэффициент Гаусса, или квантовый биномиальный коэффициент). Известно, что
k pn-i+1 _ 1
П—-1
/= p* — 1
П(рг — 1) i=1
k n-k
П (p — 1) П (рг — 1) i=1 i=1
(см. пример 2.64 и подразд. C разд. 1 гл. III (в частности, формулы (3.11) и (3.12) из [6], а также формулу (6.4) из [7] и формулы (1.5), (1.6) из [5]).
Теорема 2. Пусть n ^ 1 и d е {1,... , n(p — 1)}. Тогда
HNp
(n,d) = Е (—1)kp(2)+{n-fc}
k=0
= Е (—1)iV(SHS|+rf|}P, (6)
p SC{1,...,n}
где a(S) — сумма всех элементов множества S С {1,... , n}.
p
p
p
p
p
Формула (6) имеет не очень простой вид. Поэтому представляет интерес вопрос об асимптотике ИКр(п, /) при фиксированных р и / и при п ^ то. Случай, когда / = 1, тривиален ввиду формулы (1). Рассмотрим теперь случай, когда / = 2. Пусть, как и в формулах (2), д — нечётное простое число и т — целое положительное число. Нам потребуется понятие квантового символа Похгаммера: если 0 < а, Ь < 1, то
т— 1 те
(а; Ь)т = П (1 - аЬг) и (а; Ь)те = Иш (а; Ь)т = П(1 - аЬг).
¿=0 т^те ¿=0
Легко видеть, что бесконечное произведение в определении (а; Ь)те сходится, причём 0 < (а; Ь)те < 1. В частности,
т— 1 / 1 \ те / 1
(1/Р; 1/р2)т = П 1 - ЖТ и (1/р; 1/р2)те = П 1 - Р21+Г ¿=0 \ р / ¿=0 \ р
т— 1 т— 1
Из известного равенства ^ (2г + 1) = т2 следует, что П (р2г+1 - 1) = рт (1/р; 1 /р2)т.
¿=0 ¿=0 Используя последнее равенство и формулы (2), получаем
(2т - 1, 2) = д(2т) (1/д; 1/д2)т, ИЫ,(2т, 2) = д^+Ч (1/д; 1/д2)т,
И^(2т, 2) = 2(2т)(1/2;1/4)т.
Следовательно,
И^(п, 2) - д(п+1) (1/д; 1/д2)те и И^(2т, 2) - 2(2т) (1/2; 1/4),« (7)
при п ^ то и т ^ то соответственно. Здесь и далее — обозначает асимптотическую эквивалентность функций при стремлении к то некоторого указанного целого неотрицательного аргумента этих функций; при этом все остальные аргументы и параметры функций, если они есть, предполагаются фиксированными. Перейдём к случаю, когда / ^ 3. Теорема 3. Пусть / ^ 1 и п ^ //(р - 1). Тогда
рп - 1 Л. {п; 1>.. р - 1
Кроме того,
Шр(п, /) ^ р{п}р - 1 - р-1 (р{" <* 1}р - 1)
/ ^ 3 ИКр(п, /) - р{П}р при п ^ то. (9)
В случае р =2 теорема 3 доказана Ю. В. Кузнецовым в [8]. Доказательство теоремы 3 проводится по той же схеме, что и доказательство её частного случая в [8].
Пусть / € {-1,... , п(р - 1)}. Обозначим через Ир(п, /) число е-однородных функций из ГУп, имеющих степень / (как мы увидим ниже, это число не зависит от выбора базиса е). Легко видеть, что множество, состоящее из нулевой функции из ГУп и всех
е-однородных функций степени / из ГУп, является < > -мерным подпространством
р
пространства ГУп. Следовательно,
!1, если / = — 1,
{^ 1 ^П (10)
р - 1, если а ^ 0.
В частности, Ир(п, 0) = р - 1.
Предположим теперь, что й ^ 1. Тогда легко видеть, что
^ +œ при n ^ œ,
так как
nd/d! при n ^ œ. Поэтому
Id},
d ^ 1 Hp(n, d) ~ p|d}p при n ^ œ
f11)
ввиду формулы (10). Это вместе с некоторыми приведёнными выше формулами позволяет найти предел доли невырожденных функций среди е-однородных функций степени й из РУп (т. е. предел НКр(п, й)/Нр(п, й)) при п М то, если он существует, а именно: при й =2 и р =2 этого предела не существует, так как НК2(2т — 1, 2)/Н2(2т — 1, 2) = 0 при всех т ^ 2 (см. (2) и (10)) и НК2(2т, 2)/Н2(2т, 2) М (1/2; 1/4)^ > 0 при т М то
ввиду (7), (11) и очевидного равенства
n
. Во всех остальных случаях вы-
шеупомянутый предел указан в формуле
HNp(n,d) I ., , , 0ч lim „p( V = { (1/p; 1/p2)c
n^œ Hp(n,d)
1,
если й = 1, если й =2 и р =2, если й ^ 3,
n + 1 2
которая следует из формул (1), (7), (9) и (11), а также из того, чтс при р = 2.
3. Переход к групповой алгебре элементарной абелевой р-группы над Р
С этого момента вместо векторного пространства УП (в котором умножение на произвольный элемент основного поля Р выражается через сложение) будем иметь дело с элементарной абелевой р-группой СП ранга п. Для этой группы мы используем мультипликативную запись. Разумеется, группа СП изоморфна аддитивной группе векторного пространства УП. Поэтому переход от УП к СП представляет собой лишь смену обозначений. В частности, все понятия и объекты, определённые в п. 1 и относящиеся к РУп (например, производная функции, степень функции, пространства ИМ^ и Ь(р)), имеют естественные аналоги, относящиеся к РСп. Эти аналоги будут называться и обозначаться так же, как и исходные понятия и объекты. Подпространствам пространства УП соответствуют подгруппы группы СП, а размерностям этих подпространств — ранги соответствующих подгрупп.
Множество РСп является унитарным модулем над групповой алгеброй РСп, в котором действие продолжает по линейности действие группы Сп сдвигами аргумента, а именно
£ /а£ р (х) = £ Лр(х#)
у у йесп
для любых /а € Р (д € Сп), р € РСп и х € Сп. Такой подход используется в [9] (там рассматривается несколько другое действие, однако его отличие от действия настоящей работы не принципиально).
Обозначим через А фундаментальный идеал групповой алгебры РСп, т.е. идеал этой алгебры, порождённый множеством {д — 1 : д € Сп \ {1}} (легко видеть, что
p
p
2
2
это множество является также базисом А как векторного пространства). Другими словами,
Е f g е А ^ Е f = 0,
n n
где fg е F (g е Gn) (см. также теорему 1.2 из [10] или п. (а) леммы3.1.7 из [11]). Идеал А совпадает с радикалом Джекобсона (или, что в данном случае эквивалентно, с наибольшим нильпотентным идеалом) алгебры FGn (см. теорему 1.2 из [10] или п. (а) теоремы3.1.9 из [11]). Для целого положительного числа k через Ак обозначим k-ю степень идеала А; полагаем А0 = FGn. Известно, что Ап(р-1) = {0}, но Ага(р-1)+1 = {0} (см. теоремы6.2 (или 6.5) и 3.7 из [10], определение и теорему3.3.12 из [11], а также [12, разд. 1]). Отметим, что производная произвольной функции ^ е FGn по любому направлению g е Gn может быть записана как (g — 1)^. Поэтому
RMd = {^ е FGn : А^+1 ^ = {0}} (12)
для каждого d е { — 1,... , n(p — 1)}. Из этого, в частности, следует, что RMd является подмодулем FGra-модуля FGn.
Пусть b = (b1,..., bn) —базис элементарной абелевой р-группы Gn. Для каждого j = (j1,... , jn) е J„ положим
Jn
п, (Ь) = (Ь1 -1)*... (Ьга - 1)
Здесь множество определено в (3). Напомним также, что если ^ € то а ) — это сумма всех элементов набора ]. Тогда для любого целого неотрицательного числа к система (п,(Ь) | ] € , ) ^ к) является базисом векторного пространства Ак (см. теорему3.2 из [10], определение и теорему3.3.12 из [11] или [12, разд. 1]). Этот базис называется базисом Дженнингса. В частности,
а1ш(Ак/Ак+1) = | ^ , (13)
так как (п,(Ь) + Ак+1 | ] € </п, ) = к) —базис векторного пространства Ак/Ак+1 (см. теорему 3.6 из [10], цитируемую в [13] как теорема3). Очевидно также, что
п,М = если^+н(14)
0 в противном случае
для произвольных ' € , где + ]' вычисляется поэлементно. Здесь мы воспользовались тем, что (д - 1)р = др - 1 = 0 для любого д € Легко видеть, что функция
^ ^ Е ^(д)д—1 (^ € ГСп) (15)
деСп
является изоморфизмом ГСп на как Г^га-модулей. Пусть / € {-1,... , п(р - 1)}. Тогда ввиду равенства (12) ИМ^ отображается при изоморфизме (15) на аннулятор идеала в Известно, что этот аннулятор совпадает с Ап(р 1) " (основная
теорема из [13] или [11, теоремы4.2.2, 3.2.2]). Этим объясняется то, что в определении и теореме 3.3.12 из [11] Ап(р—1)—^ называется обобщённым кодом Рида — Маллера порядка / и длины рп. Следовательно, если / € {1,...,п(р - 1)}, то
ИКр(п, /) = |{а € (Ап(р—1)—^/Ага(р—1)—) \ {0} : Да) = {1}}| (16)
ввиду замечания 2. Здесь
L(f + An(p-1)-d+1) = L(f) = {g g Gn : (g - 1)f G An(p-1)-d+2}
для произвольного f G An(p-1)-d \ An(p-1)-d+1; корректность определения очевидна. Пусть d G {1,... , n(p — 1)} и H — подгруппа группы Gn. Положим
Yd(H) = |{a G (An(p-1)-d/An(p-1)-d+1) \ {0} : L(a) = H}|, rd(H) = |{a G (An(p-1)-d/An(p-1)-d+1) \ {0} : L(a) D H}|.
Вычислим rd(H). Выберем базис b = (b1,...,bn) элементарной абелевой р-груп-пы Gn так, чтобы bm+1,... ,bn порождали подгруппу H (m G {0, ...,n}). Пусть f G An(p-1)-d \ An(p-1)-d+1 и a = С + An(p-1)-d+1. Так как L(a) является подгруппой группы Gn, включение L(a) D H выполняется тогда и только тогда, когда (b — 1)f G An(p-1)-d+2 для всех i G {m + 1,... , n}. Непосредственно проверяется (с использованием равенства (14)), что последнее условие имеет место, если и только если f G U + An(p-1)-d+1, где
U = ({%(b) : j = OV . . ,jm,p — . . ^ — 1) G j1 + ... + = m(P — 1) — d}).
Сумма U и An(p-1)-d+1 прямая, поэтому отсюда следует, что rd(H) = |U| — 1. Кроме
того, dim U = < m , r = ^ m< (см. формулу (4)). Таким образом, Im(P — 1) — d) p ldJ p
{n —rank H \
rd(H )= p d }p — 1. (17)
4. Доказательства теорем 2 и 3
Через S(Gn) будем обозначать частично упорядоченное по включению множество всех подгрупп группы Gn.
Доказательство теоремы 2. Пусть n ^ 1 и d G {1,..., n(p — 1)}. Очевидно,
что
Td(X) = Е Yd (Y)
Y€6(Gn) | YDX
для любого X G S(Gn). Поэтому ввиду формулы (16) и формулы обращения Мёбиуса [6, утверждение 4.18, п. (ii)] получаем равенство
HNp(n,d) = Yd({1})= Е M{1},X)rd(X), (18)
X €6(Gn)
где ^ — функция Мёбиуса [6, подраздел B раздела 1 главы IV] частично упорядоченного множества S(Gn). Известно, что
^({1},X ) = (—1)rank X p(ran" X) (19)
для каждого X G S(Gn) [6, предложение4.20, п. (iii)]. Следовательно,
HNp(n, d) = E (— 1)kP(2) (р{П<г'}р — 1) fc=0 ^ '
согласно формулам (17)-(19). Кроме того,
(20)
fc=0
n (k\ П _
E(—1)fcp(a) k = £ MW,x) = o (21)
L -1 p xe6(Gn)
p
ввиду (19) и [6, предложение4.6] (напомним, что п > 1). Первое равенство в (6) непосредственно вытекает из равенств (20) и (21), второе следует из того, что
= Е р^Ь (к+1)
р 5С{1,...,п}||5|=А:
для любого к € {0,... , п}, где а (Б) — сумма всех элементов множества Б С {1,... , п} [7, теорема 6.1]. При доказательстве второго равенства в (6) используется также оче-
(к + 1\ (к\ .
видное свойство I „ = I „ + к. ■
22
Доказательство теоремы 3. Пусть / > 1 и п > //(р - 1). Пусть также а € (Ап(р—1)—^/Ага(р—1)—й+1) \ {0}, причём Ь(а) = {1}. Тогда Ь(а) содержит некоторую подгруппу ранга 1. Используя это замечание, а также формулы (4), (13), (16), (17) и (5), получаем
р{п}Р -1 - икр(п,а) = р{п(р -">-а}р -1 - икр(п,а) = |(Ап(р—1)—7Ага(р—1)—) \ {0}|-- |{а € (Ап(р—1)—^/Ага(р—1)—й+1) \ {0} | Да) = {1}}| <
< Е ГДЯ)
Яеб(Сп) | гапк Я=1
р{П А 1}Р - = р-1 (р{П А 1}Р - 1
откуда непосредственно следует неравенство (8).
Предположим теперь, что / > 3. Из (8) и (10) вытекает, что
1 _ _ (рп - 1)(р{п А 1}р -1) < иКр(п,а) < 1 (22)
|п| |п| < |п| < . V !
р{Л}р (р - 1)р{А}р р{А}р
Мы уже видели при доказательстве формулы (11), что < > ^ +то при п ^ то.
р
Поэтому
1
--> 0 при п ^ то. (23)
р { А } р
Кроме того, непосредственно проверяется, что
И /п - 1\ = у!/ п - 11 >Г п - 11 > /п - 1
4р I а ]р = Ы а - ^р >1 а - 1/р > 1а -1
|п| | п — 1 |
(см. также [5, формула (1.13)]). Поэтому | - | ^ | - п ^ +то при п ^ то, так
как ( ) - п — 1 /(а - 1)! при п ^ то (напомним, что а - 1 > 2). Следовательно,
\а - V
(рп _ 1)(р{П А 1}р - 1) 1
(р-^- — гП г!_п п ^ 0 при п ^ то. (24)
р {А} р р } р { ^ }р
Из (22)-(24) вытекает теперь, что ИКр(п, а)/р{А}р ^ 1 при п ^ то. Таким образом, ИКр(п, а) — р{Л}р при п ^ то. ■
Автор благодарит анонимного рецензента, отзыв которого побудил автора к существенной переработке первоначальной версии настоящей работы.
р
ЛИТЕРАТУРА
1. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С. 22-33.
2. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Невырожденная нормальная форма булевых функций // Доклады РАН. 2000. Т. 373. №2. С. 164-167.
3. Логачев О. А., Сальников А. А, Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: ЛЕНАНД, 2015.
4. MacWilliams J. Orthogonal matrices over finite fields // Amer. Math. Monthly. 1969. V. 76. No. 2. P. 152-164.
5. Бондаренко Б. А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фракталы, графы и приложения. Ташкент: Фан, 1990.
6. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
7. Кац В. Г., Чен П. Квантовый анализ. М.: МЦНМО, 2005.
8. Кузнецов Ю. В. О числе невырожденных булевых форм // Труды лаборатории МГУ по математическим проблемам криптографии. 2000. С. 78-80.
9. Анохин М. И. О некоторых множествах групповых функций // Матем. заметки. 2003. Т. 74. №1. С. 3-11.
10. Jennings S. A. The structure of the group ring of a p-group over a modular field // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. V. 50. No. 1. P. 175-185.
11. Циммерман К.-Х. Методы теории модулярных представлений в алгебраической теории кодирования. М.: МЦНМО, 2011.
12. Берман С. Д. К теории групповых кодов // Кибернетика. 1967. №1. С. 31-39.
13. Hill E. T. The annihilator of radical powers in the modular group ring of a p-group // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V.25. No. 4. P. 811-815.
REFERENCES
1. Cheremushkin A. V. Additivnyy podkhod k opredeleniyu stepeni nelineynosti diskretnoy funktsii [An additive approach to defining the degree of nonlinearity of a discrete function]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2010, no. 2(8), pp. 22-33. (in Russian)
2. Logachev O. A., Sal'nikov A. A., and Yashchenko V. V. Nevyrozhdennaya normalnaya forma bulevykh funktsiy [The nondegenerate normal form of Boolean functions]. Doklady RAN, 2000, vol.373, no.2, pp. 164-167. (in Russian)
3. Logachev O. A., Sal'nikov A. A., Smyshlyaev S. V., and Yashchenko V. V. Bulevy funktsii v teorii kodirovaniya i kriptologii [Boolean Functions in Coding Theory and Cryptology]. Moscow, LENAND Publ., 2015. (in Russian)
4. MacWilliams J. Orthogonal matrices over finite fields. Amer. Math. Monthly, 1969, vol.76, no. 2, pp. 152-164.
5. Bondarenko B. A. Generalized Pascal triangles and pyramids, their fractals, graphs, and applications. Santa Clara, CA, The Fibonacci Association, 1993.
6. Aigner M. Combinatorial Theory. Berlin et al., Springer Verlag, 1979.
7. Kac V. and Cheung P. Quantum Calculus. New York et al., Springer Verlag, 2002.
8. Kuznetsov Yu. V. O chisle nevyrozhdennykh bulevykh form [On the number of nondegenerate Boolean forms]. Trudy laboratorii MGU po matematicheskim problemam kriptografii, 2000, pp. 78-80. (in Russian)
9. Anokhin M. I. O nekotorykh mnozhestvakh gruppovykh funktsiy [On some sets of group functions]. Matem. Zametki, 2003, vol.74, no. 1, pp.3-11. (in Russian)
10. Jennings S. A. The structure of the group ring of a p-group over a modular field. Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol.50, no. 1, pp. 175-185.
11. Zimmermann K.-H. Beiträge zur algebraischen Codierungstheorie mittels modularer Darstellungstheorie. Bayreuther mathematische Schriften, Heft 48, 1994. (in German)
12. Berman S. D. K teorii gruppovykh kodov [On the theory of group codes]. Kibernetika, 1967, no. 1, pp. 31-39. (in Russian)
13. Hill E. T. The annihilator of radical powers in the modular group ring of a p-group. Proc. Amer. Math. Soc., 1970, vol.25, no. 4, pp. 811-815.
