CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 2
Физико-математические пауки
2009
УДК 519.172.1
О ЧИСЛЕ НЕЗАВИСИМЫХ МНОЖЕСТВ В ПОЛНЫХ д-АРНЫХ ДЕРЕВЬЯХ
А.Б. Дайияк
Аннотация
Получена асимптотика числа независимых множеств в полных д-арных деревьях при фиксированном д.
Ключевые слова: независимое множество, деревья, асимптотические оценки.
Введение
Независимым множеством в простом неориентированном графе называется произвольное множество попарно не смежных вершин графа.
Задача о числе независимых множеств в различных семействах параметрически заданных графов рассматривалась многими авторами. В [1] была получена асимптотика числа независимых множеств в графе булева куба. В [2] и других работах исследовалась задача о числе независимых множеств в плоских прямоугольных решётках, обзор соответствующей литературы можно найти в [3]. Целый ряд работ посвящен оценке числа независимых множеств в деревьях и близких классах графов (см. краткий обзор, приведённый в [4]).
В.П. Ворониным и Е.В. Демаковой в статье [5] была получена асимптотика числа независимых множеств в полных бинарных деревьях. В настоящей работе получено обобщение теоремы Воронина —Демаковой на случай д-арных деревьев при произвольном д (теорема 1). Отметим, что, в отличие от случая q £ {2, 3, 4}, вид асимптотики при д ^ 5 зависит от чётности числа ярусов дерева.
1. Вспомогательные утверждения
Через {х9, к}£=о будем обозначать последовательность, заданную начальным условием х9, о = 2 и соотношением х9, = 1 + щ к ^ 0.
Лемма 1. Пусть д, г, в - произвольные положительные числа, такие, что г £ [1, 2] « в = 1 + г-9. Тогда:
1. Если г > 1+ г-9 и г > 1 + (1+ г-9)-9, то в < 1 + в-9 и в < 1 + (1 + в-9)-9;
2. Если г < 1 + г-9 « г < 1 + (1 + г-9)-9, то в > 1 + в-9 и в > 1 + (1 + в-9)-9.
Доказательство. Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично. Имеем
г > 1 + г-9 ^ г-9 < (1 + г-9)-9 ^ 1 + г-9 < 1 + (1 + г-9)-9 ^ в < 1 + в-9,
г > 1 + (1 + г-9)-9 ^ 1 + г-9 < 1 + (1 + (1 + г-9)-9)-9 ^ в < 1 + (1 + в-9)-9.
Лемма доказана. □
60
А. Б. ДЛИН Я К
Лемма 2. Пусть д - произвольная положительная константа. Уравнение х = 1 + х-9 имеет на отрезке [1, 2] единственный действительный корень С9. При х е [1, 2] неравенство х > 1 + х-9 (х < 1 + х-9) эквивалентно неравенству х > С9 (жответственно х < С9).
Доказательство. Утверждение леммы следует из строгого возрастания и непрерывности функции f (х) = х9+1 — х9 — 1 та отрезке [1, 2] и неравенств / (1) < <0</(2).
Лемма доказана. □
Здесь и далее через С9 будем обозначать единственный действительный корень уравнения х9+1 — х9 — 1 = 0, лежащий на отрезке [1, 2].
Лемма 3. При любом д > 5 существует такое положи тельное е = е(д), что при любом е е (0, е) справедливы неравенства
е<ед — (1 + (Сд + е)-9) <де, (1)
е< (1 + (С, — е)-9) — С9 <?£• (2)
Доказательство. Покажем сначала, что при д ^ 5 справедливы неравенства
1<Т¥п<1- (3)
С9
Неравенство +1 < д очевидно. Докажем неравенство 1 < +1 . Для этого доста-
С9 С9
точно показать, что д1/(9+1) > С9, что, в свою очередь, в силу леммы 2 равносильно неравенству д — д9/(9+1) — 1 > 0. Имеем
д — д9/(9+1) — 1 > 0 ^ (д — 1)9+1 > д9 ^ (д + 1)1п(д — 1) — д 1п д > 0. (4)
Функция /(д) = (д +1) 1п(д — 1) — д 1п д имеет производную
д—1
положительную при д > 1. Поэтому f (д) возрастает па отрезке [5, Отсюда
с учётом неравенства /(5) > 0 следует, что при всех д ^ 5 выполнено неравенство f (д) > 0. Отсюда и из (4) вытекает (3). Рассмотрим функцию
д(е) = С9 — (1 + (С9 + е)-9) = С-9 — (С9 + е)-9 •
Имеем д(0) = 0 и д'(0) = \ . Таким образом, в силу (3) получаем д'(0) € (1,д).
С9+1
Отсюда следует, что при достаточно малых значениях е выполнено д(е) е (е, де), что равносильно (1). Аналогично устанавливается справедливость неравенств (2)
е
Лемма доказана. □
Лемма 4. При д е {2,3,4} уравнение
х =1 + (1+ х-9 )-9 (5)
[1, 2]
Доказательство. Уравнение (5) равносильно уравнению f (x) = 0, где f (x) = = (x — 1)(xq + 1)q — xq . Единственность корня полинома f (x) та отрезке [1, 2] при q £ {2,3,4} можно доказать, воспользовавшись, например, известной теоремой Штурма [6, §4.21.
Лемма доказана. □
Лемма 5. Пусть q £ N, q > 2. Тогда:
1. Последовательность {xq, 2k }k=0 монотонно убывает, а последовательность {xq,2fc+i}k=0 монотонно возрастает. При этом для каждого k выполнены неравенства xq, 2k+1 < Cq < xq, 2k •
2. При q £ {2,3,4} последовательность {xq, k }k=0 сходится к Cq- Лрм q > 5 последовательность {xq, 2k }k=0 сходится к Cqj ° последовательность {xq,2k+1 }k=0 сходится к щ, где nq и (q суть корни уравнения x = 1 + (1 + + x-q)-q такие, что 1 < nq < Cq < Zq < 2.
Доказательство. Утверждение п. 1 непосредственно вытекает из лемм 1 и 2 по индукции, базой индукции служат очевидные соотношения Cq < xq, 0 и xq, 2 =
= 1 + (1 + 2-q)-q < 2 = xq,0.
Сходимость последовательностей {xq, 2k }k=0 и {xq, 2k+1}k=0 к конечным пределам сразу следует из ограниченности и монотонности данных последовательностей.
Обозначим через Zq и nq соответственно lim xq, 2k и lim xq, 2k+1. Очевидно, что
k—' k—'
nq и Zq являются корнями уравнения (5). Кроме того, из неравенств xq, 2k+1 < Cq <
< xq, 2k, вьшолнешых для любого k, следует, что nq ^ Cq ^ Zq • Согласно лемме 4, при q £ {2, 3,4} уравнение (5) имеет на отрезке [1, 2] единственный действительный корень. Этот корень, очевидно, совпадает с Cq. Поэтому при q £ {2, 3,4} имеем nq = Cq = Cq •
Покажем, что при q ^ 5 выполнены строгие неравенства nq < Cq < Zq • Предположим, что Zq = Cq> т0 есть xq, 2k I Cq ^и k ^ то. Пусть £ - константа из формулировки леммы 3. По предположению, найдётся такое k0, что xq,2ko — Cq <
< e/q. Но тогда, применяя два раза лемму 3, получаем
xq, 2ko — Cq < Cq — xq, 2ko + 1 < £
2ко - ^ < ^ - 2ко + 1 < 2ко+2 - ^;
что противоречит монотонности последовательности {ж^ 2к }. Таким образом, ^ > > ^. Анадогично устанавливается справедливость неравенства ^ < ^ •
Лемма доказана. □
2. Основная теорема
Для д ^ 2 положим
.-Ь. ) .
ОС
Величина ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^илу сходимости ряда ^^ 1п ж^-, которая
5 = 1
непосредственно следует из неравенств 0 ^ 1п ж^- ^ 1п 2 при всех .
Рассмотрим последовательность к, где к - число независимых множеств в д-арном дереве, имеющем к ярусов рёбер, или, что то же самое, диаметр 2к.
/ ОС
Yq = exp
62
A.B. ДЛИН Я К
Теорема 1. При фиксированном ц, ц € {2,3,4}, и к ^ <х> справедлива асимптотика:
к
¿д, к ~ Рд ■ Тч ,
где определяется из таблицы:
<7 ßq
2 з/У93 , 1 _ З/У93 _ 1 V 18 ^ 2 V 18 2
3 \ /</12V^49 + 108-</12V^49-108 / /^8(^12^849 + 108+^12^849-108) ^ \ * 24 1 V \/l2>/849 + 108-{/12^849-108 1
4 з/ \/l00+12\/69 \/100-12Уб9 1 V в 1 в 3
При фиксированном q, q > 5, и k ^ <х> справедлива асимптотика:
2k
iq, 2k ~ «q,0 • Yl , „2k+l
iq, 2k+1 ~ «q,1 • Y9 ,
где константы aq,0 и aqj1 удовлетворяют неравенству aq,0 > aqj1 и определяются соотношениями
1/(q2-1)
«q,0 = ( 1 - ( lim Xq, 2k
\ \ k—>-oo
«q,1 = I 1 - lim Xq, 2k+1 k
1/(q2-1)
Доказательство. Очевидно, что о = 2, 1 = 2д +1. Положив формально
2
_1 = ^^и к ^ 1 имеем ¿к = ¿д к_ 1 + ¿д к_2. Рассмотрим последовательность {¿д, к/¿д к_;[}й=0 • Поскольку 0/«д _1 = 2 и при к ^ 1 выполнены равенства
iq + iq / •
iq, k _ g, k— 1 + iq,k-2_i /iq, k-1
1+ ^
q q q
iq,k—1 iq,k—1 \iq,k — 2
то последовательность {iq,k/iq k_ 1}|iiL0 совпадает с {xq,k}^0. Положим yq, k = ln iq, k. При k ^ 1 имеем
Vq, k = ln (iq, k—1 + ik — 2) = q ln iq, k—1 + ln (1 + iq,k—2/iq, k-1) =
= qVk-1 +ln + X—qk-1) = qVq, k-1 +ln Xq, k .
Отсюда по индукции заключаем, что
kk Vq, k = qkVq, 0 + ^ qk-j ln Xq, j = q^ j ln Xq, j • (6)
j=1 j=0
q
Обозначим тд(к) = ^^ д 3 1п хд, к+3- ■ Преобразуем сумму в правой части (6) следу-3=1
ющим образом:
к ж ж
дк-3 1п хч, з = дк-3 1п хч, з - ^ дк-31п хч, з =
3=0 3=0 3=к+1
ж ж
= дк I-3 1п Хд,3 -^2 9-3 1п Хд,к+3 = Чк 1п 7д - Тд (к). (7)
3=0 3=1
Из (6) и (7) имеем, что
Чк =ехр (дк 1п7д - тд(к)) = • е-г*(к). (8)
При д € {2, 3, 4} го леммы 5, в силу монотонной сходимости хд, к , следует, что при к ^ то
Ж , £
= ^ГТ- (9)
3=1 д
Из (8) и (9) при д € {2, 3, 4} вытекает асимптотика
Чк -7дк • (£-1)1/(д-1).
Осталось заметить, что - корень уравнения х = 1 + х-д, а значит, величина 1 является корнем уравнения х9+1 + х — 1 = 0. При д € {2, 3,4} последнее уравнение разрешимо в радикалах. Решив его и положив = 1)1/(9-1)) получаем утверждение теоремы для случая д ^ 4. Теперь рассмотрим случай д > 5. Имеем
ж ж ж
Тд(2к) = ^2 д-3 1пхд, 2к+3 = д • ^ д-23 1пхд, 2к+23-1 + ^ д-23 1п хд, 2к+23. 3=1 3=1 3=1
Отсюда и из леммы 5 следует, что при к ^ то
3=1 д
(10)
Аналогично доказывается, что при к ^ то
(И)
НЦщ) ф -1
Из леммы 5 вытекают равенства пд = 1 + С- д и Сд = 1 + П- д > из которых следует, что
«Сд)-1 = 1 - С,-1,
(12)
(С,Ч )-1 = 1 - п-1.
Из (8), (10), (11), (12) вытекает утверждение теоремы при д > 5.
Теорема доказана. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 07-01-00444).
64
А. Б. ДЛИН Я К
Summary
А.В. Dainiak. On the Number of Independent Sets in Perfect q-ary Trees. Asymptotic representation is obtained for the number of vertex independent sets in perfect q-ary trees for every fixed q.
Key words: independent set. trees, asymptotic bounds.
Литература
1. Коршунов А,Д., Сапоженко А.А. О числе двоичных кодов с расстоянием 2 // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1983. Вып. 40. С. 111 130.
2. Calkin N.. Wilf H.S. The number of independent sets in a grid graph // SIAM J. Discr. Math. 1998. No 11. P. 54 60.
3. Teufi E., Wagner S. Enumeration problems for classes of self-similar graphs // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 2007. N 7(114). P. 1254 1277.
4. Knopfmacher A., Tichy R.F., Wagner S., Ziegler V. Graphs, Partitions and Fibonacci Numbers // Discrete Applied Mathematics. 2007. N 10(155). P. 1175 1187.
5. Воронин В,П., Демакова Е.В. О числе независимых множеств для некоторых семейств графов // Труды IV Междупар. копф. «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Красповидово, 19 25 июня 2000 г.). М.: МАКСПресс. С. 145 149.
6. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003. 336 с.
Поступила в редакцию 18.02.09
Дайняк Александр Борисович аспирант кафедры математической кибернетики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Е-шаП: йатлаквдтай.сит
