О бесконечно близких к базе элементах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина О БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИХ К БАЗЕ ЭЛЕМЕНТАХ

Исследованы свойства бесконечно близких к базе элементов двумерно упорядоченного алгебраически замкнутого поля. Показано, что каждый элемент, являющийся пределом последовательности элементов базы, бесконечно близок к базе или принадлежит ей.

В данной статье мы придерживаемся понятия двумерного порядка и двумерно-упорядоченного поля, введенных в [1, 2]. Другое (неэквивалентное) определение «-упорядоченного множества см. в [3]. Верхний конус двумерно упорядоченного поля Р обозначен через Ри. В двумерно упорядоченном поле верхний конус играет роль, аналогичную роли положительного конуса в линейно упорядоченном поле. Все основные понятия, относящиеся к двумерно упорядоченным полям, определены в [2].

Кольцо бесконечно близких к базе элементов

Теорема 1. Пусть (р, Р ^ есть двумерно упорядоченное поле с топологией порядка. Пусть последовательность элементов базы (а | т < в) сходится к а. Тогда а или принадлежит базе р , или бесконечно близок к р .

Доказательство. Если а е Р, то теорема доказана.

В линейно упорядоченном поле каждая сходящаяся последовательность содержит монотонную подпоследовательность.

Не уменьшая общности, будем считать, что сходящаяся последовательность (а | т < в) монотонно воз-

о

растает и а е Ри, а > 0. Пусть Ь е Р0,0 < Ь < а. Найдётся ординал Р0, такой что т > Р0 ^ а > Ь > 0. Умножение в (р, Р ^ непрерывно, поэтому Нтт<р а = °к . Пусть

к - натуральное число. Существует такой ^ > Р0, что при т > в выполнено а е К, (а) . Отсюда

А. . А. А. А. А. А. А. ^ 7 А. / /) \А. ^ л

8 > а - ах >-8 , а > ах -8 > Ь - (у) > 0.

При всех натуральных к выполнено

о

а е р'ПРг. (*)

В самом деле, при к = 1 (*) верно. Пусть (*) выполнено для некоторого к. По лемме 3.4.4 из [2] получаем ак+х е Р .

Так как ак е Рг при всех натуральных к, то

о

ам е Р П Р .

Пусть с < а, с е р . Последовательность а[ = а% - с сходится к а - с > 0 . Из вышесказанного следует, что (а - с) > 0 .

Итак, если с < а, с е р , то для всех натуральных п выполнено (а - с)" > 0 . Значит, а бесконечно близко к базе р.

Следствие 2. Все элементы кольца р [а] бесконечно близки к базе р .

В самом деле, все элементы кольца р [а] являются пределами сходящихся последовательностей элементов базы р , следовательно, принадлежат базе или бесконечно близки к ней.

Следствие 3. Пусть х е р [а], х £ р . Тогда

1. а) для каждого г е р, г < х и каждого натурально-

0

го п выполнено (х - г)" е Ри или

Ь) для каждого г е р, г < х и каждого натурального

о

п выполнено (х - г)" е (- Р);

2. а) для каждого г е р, г > х и каждого натурально-

0

го п выполнено (г - х)" е Р или

Ь) для каждого г е р, г > х и каждого натурального

о

п выполнено (г - х)" е (- Р ) .

Доказательство. 1) См. следствие 2.

2) Пусть х е р [а], х й р, г е р, г > х . Так как

Р [а] - кольцо, то (-х) е р [а] и (-х) > (-г). Теперь, в

силу 1. для всех п выполнено одно из двух: о о

a) (-х - (-г))" £ Р , т.е. (г - х)" е Р ;

о

b) (г - ху е (- Р).

Теорема 4. Пусть (Р, Р^ есть двумерно упорядо-

0

ченное поле с топологией порядка. Пусть а е Р бесконечно близко к Р0 и производит в Р0 симметричное сечение [4]. Тогда

a) если г е р, г < а , то для всех натуральных п выполнено

0

(а - г)" е Р ;

b) если г е р, г > а, то для всех натуральных п выполнено

0

(г - а)" е (- Р ) .

Доказательство а) следует из определения элемента, бесконечно близкого к базе.

Докажем Ь). Пусть а бесконечно близко к базе Р0 и производит в Р0 симметричное сечение (А, В) . Пусть г е р, г > а, следовательно, г е В . По свойству симметричного сечения существует такое ре А, что

а — р < г — а .

о

Имеем а -р,(г - а)_1 е Р п Р . В р \ р опреде-

о

лено отношение предпорядка х ■< у , если ух~1 е Р [2].

Покажем, что а - р у г - а .

Обозначим 8 = г - р . Имеем а -р< (р- а) + 8 ,

2(а -р) < 8 .

5 5

Итак, — - (а - р) > 0. Так как — - (а - р) е -Р , то и

8 , 0 - (а -р))' е- р .

82 , 0 Отсюда — -8(а -р) + (а -р)‘ е - Р . Отбрасывая сла-

0

гаемое из Р0, находим -8(а -р) + (а -р)2 е - Р ,

о

(а - р)(а - р - 8) е - Р .

о

Наконец, (а - р)(г - а) е Р ,

(а -р) У (г - а)-1 У1. (1)

По лемме 3.4.2. из [2] неравенства вида (1) можно почленно умножать на элементы из Р/р, если в по-

РЫ

.

Пользуясь этим приёмом, получим для всех натуральных п

(а - р)" у (г - а)" У1.

Отсюда (г - а) бесконечно близко к базе, что и требовалось.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Труды Иркутского государственного университета. 1965. Т. 74, вып. 6. С. 146-169.

2. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Томский государственный университет, 2003. 128 с.

3. NovoaL.G. On n-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. 1965. Vol. 15, № 4. Р. 1337-1345.

4. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // 2001. Т. 42, № 6. С. 1350-1360.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 1 декабря 2006 г., принята к печати 8 декабря 2006 г.