CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 2.
УДК 514.853 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-341-361
О бегущих волнах в системах абсолютно упругих частиц на прямой
С. М. Саулин
Саулин Сергей Михайлович — аспирант кафедры теоретической механики и мехатрони-ки механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова; младший научный сотрудник, Математический институт им. В. А. Стек-лова Российской академии наук (г. Москва). e-mail: serega-saulin@m,ail. ru
Аннотация
Рассматривается система из бесконечного числа абсолютно упругих частиц на прямой, массы и начальные расстояния между которыми периодически повторяются. Изучаются условия, при которых в таких системах могут существовать решения типа бегущих волн.
Ключевые слова: абсолютно упругий удар, бегущая волна, бильярд.
Библиография: 15 названий.
Для цитирования:
С. М. Саулин. О бегущих волнах в системах абсолютно упругих частиц на прямой // Чебы-шевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 341-361.
1 Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (№ 18-01-00887), а также гранта Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.
UDC 514.853 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-341-361
On traveling waves in systems of absolutely elastic particles on a straight line
S. M. Saulin
Saulin Sergey Mikhaylovich — postgraduate student at the Department of Theoretical Mechanics and Mechatronics of the Faculty of Mechanics and Mathematics of M. V. Lomonosov MSU; Junior Researcher, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: serega-saulin@mail. ru
Abstract
We consider a system of an infinite number of absolutely elastic particles on a straight line, the masses and initial distances between which are periodically repeated. We study the conditions under which solutions such as traveling waves can exist in such systems.
Keywords: absolutely elastic blow, traveling wave, billiards.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
S. M. Saulin, 2020, "On traveling waves in systems of absolutely elastic particles on a straight line" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 341-361.
1. Введение
Рассмотрим систему из бесконечного числа одинаковых абсолютно упругих частиц на прямой. Так как массы частиц равны, то из законов сохранения энергии и импульса следует, что в момент удара двух частиц происходит обмен скоростями. Поэтому в системе из бесконечного числа одинаковых частиц существует решение, при котором в каждый момент времени движется лишь одна частица. Такое решение естественно называть решением типа бегущей волны. В этом случае полная энергия системы последовательно передается от одной частицы к другой.
Известно, что в системах из бесконечного числа одинаковых частиц на прямой, взаимодействующих с помощью потенциала V : R\{0} ^ R (V(0) = и имеющих большую энергию, существуют локализованные бегущие волны [15]. Они получаются как возмущения описанного выше решения в системе из бесконечного числа абсолютно упругих одинаковых частиц на прямой. В частности, в работе [15] даны количественные оценки на скорость распространения бегущей волны, а также близость исходного и возмущенного решений. В работах [1, 2, 8] также доказываются теоремы существования локализованных бегущих волн в системах частиц на прямой в случае больших энергий, однако для этого используются вариационные методы, а на потенциал V накладываются более жесткие условия. Используя метод центральных многообразий, авторы статей [9, 10] строят бегущие волны при малых энергиях со скоростями распространения, близкими к некоторым критическим значениям. Заинтересованного читателя отсылаем к книге [12], в которой подробно обсуждаются нелинейные эффекты в системах взаимодействующих частиц на прямой.
В случае, если массы {ткабсолютно упругих частиц различны, то даже вопрос о существовании решения типа бегущей волны оказывается нетривиальным. Мы полностью ответим на этот вопрос, когда число N различных масс на прямой равно 2, и частично, если N = 3. В обоих случаях массы частиц и начальные расстояния между соседними частицами периодически повторяются.
Под решением типа простейшей бегущей волны (п. б. в.) будем понимать частное решение, описываемое следующей конструкцией. Разобьем все частицы кроме частицы #1,
на непересекающиеся группы, состоящие из N частиц: в каждой группе находятся частицы с массами т2,..., т^ т^+г = ш1, последовательно расположенные на прямой (см. рис. 1).
В начальный момент времени частицы расположены так, что каждая следующая группа частиц получается из предыдущей сдвигом на один и тот же вектор. Предположим, что в начальный момент времени все частицы на прямой, кроме частицы #1, покоились, а частица #1 двигалась в направлении первой группы со скоростью 1. Пусть по еле некоторого числа к столкновений частиц первой группы вся энергия частицы #1 полностью передалась частице + 1). Таким образом, первые N частиц остановились, а частица + 1) продолжила движение.
1-ая группа 2-ая группа
т1 гт2 тй т} гт2 тй т}
Рис. 1: расположение частиц на прямой.
Предположим, что начальные расстояния между частицами можно выбрать так, чтобы после полной передачи энергии частица + 1) не соударяется с частицей Так как начальные расстояния между соседними частицами и массы частиц не меняются при замене одной группы на другую, то частицы второй группы совершают такую же последовательность столкновений, что и частицы первой группы.
Ясно, что описанная конструкция накладывает ограничения на массы частиц, а также на начальные расстояния между частицами. Однако она позволяет свести изучение решений типа бегущей волны в системе, состоящей из бесконечного числа частиц на прямой, к изучению динамики первых N + 1 частиц с масс ами т\, т2,... , тг-
Для реализации описанной конструкции необходимо ответить на следующие вопросы.
В1. Каким соотношениям удовлетворяют массы т\, т2,..., ш^?
Пусть ру — расстояние между частицами с номерами ] и ] +1 в начальный момент времени 1 ^ ^ ^ И, а Б — расстояние между группами частиц.
В2. Какими могут быть расстояния р\, р2,..., рм и Б?
Ответам на эти вопросы и посвящена настоящая работа. Следует отметить, что мы не изучаем решения типа бегущих волн, при которых одновременно происходят удары внутри нескольких групп. Также мы ищем решения, в которых отсутствуют кратные удары: в каждый момент времени сталкиваются не более двух частиц. Известно, что в этом случае полное число ударов к частиц #1, #2,..., до полной передачи энергии частице +1) всегда конечно и оценивается константой, зависящей только от масс частиц и их количества [4, 6, 13, 14].
#1
ни, можно сделать скорость равной 1. Полученные ниже соотношения на массы и расстояния не зависят от масштаба времени.
Интересен также ответ на следующий вопрос. Верно ли, что для любых начальных расстояний {рк} между соседними частицами существует набор масс {т^такой, что тг = mj
для некоторой пары индексов 1 ^ г,] ^ N а в соответствующей системе частиц существует решение типа п. б. в? Очевидно, что в случае N = 1 ответ на этот вопрос положительный. Ниже мы показываем (см. §3), что в случае N = 2 это утверждение также верно.
Опишем схему дальнейшего изложения. В §2 задача о движении (Ж + 1)-ой частицы на прямой сводится к бильярдной задаче в Ж-гранном угле в и Мм соответственно. В этом
же параграфе производится редукция к бильярду в сферическом многограннике на 8м-1. Эти конструкции хорошо известны и могут быть найдены, например, в книгах [7, 11]. В конце параграфа доказываются утверждения о геометрии конфигурационного пространства системы точек на прямой.
В §3 изучается случай трех частиц с массами Ш1,Ш2 и ть Теоремы 1 и 2 дают полные ответы на вопросы В1 и В2 для N = 2. Утверждение теоремы 3 означает, что симметрия расположения масс на прямой влечет за собой симметрию последовательности расстояний между частицами в моменты соударений.
В §4 подробно рассматривается случай четырех частиц на прямой. Используя результаты §2, мы сводим изучение существования решения типа п. б. в. к поиску условий на прямоугольные сферические треугольники, в которых существуют бильярдная траектория с началом и концом в разных острых углах, имеющая длину, равную ■к. В частных случаях получены достаточные условия на параметры таких треугольников.
В §5 доказывается теорема 4, справедливая для произвольного N > 2, в которой оцениваются расстояния каждой из частиц, участвующих в решении типа п. б. в., пройденные до момента полной остановки. В частности, из нее следует, что если система из (Ж + 1)-ой частицы на прямой имеет решение типа п. б. в., то система из бесконечного набора частиц в описанной выше конструкции также имеет решение типа п. б. в.
2. Общие конструкции
2.1. Бильярд в Ж-гранном угле в
Пусть на горизонтальной прямой имеется N +1 материальная точка с массами т,1, т,2,..., тм+1, которые взаимодействуют между собой по абсолютно упругому закону. Это означает, что скорости частиц при столкновениях преобразуются согласно законам сохранения энергии и импульса. Обозначим через ж^ и -^координату и скорость г-ой точки, 1 ^ г ^ N + 1. Далее предполагаем, что кратных ударов не происходит: в каждый момент времени любая частица соударяется не более, чем с одной соседней частицей.
Рассмотрим конфигурационное пространство Мм+1 = {х = (Х1,Х2,... ,хм+1)} этой динамической системы и Ж-гранный угол Q = {ж1 ^ Х2 ^ ... ^ хм+1}, ограниченный гиперплоскостями Ц = {хз = ж.7+1}, 1 ^ ] ^ N. Точки, принадлежащие Ц П Q соответствуют положениям частиц на прямой, при которых частицы # и #(] + 1) столкнулись; точки прямой I = П1 П П2 П ... П Пм пересечения всех плоскостей соответствуют столкновению всех частиц в одной точке.
Пока частицы на прямой движутся без столкновений, конфигурационная точка М(¿) = х(Ь) движется внутри угла ф равномерно и прямолинейно по направлению вектора V = (^1,^2,..., Ум+1). В момент столкно вения £ = т части ц # и #(] +1) точк а М (т) находится на плоскости Ц. После столкновения частицы расходятся, а точка М(Ь),Ь > т продолжает движение внутри угла ^ до очередного столкновения частиц. Направление движения точки М(¿) определяется из законов сохранения.
Далее удобно использовать другие координаты: х^ = ^т^х^, 1 ^ г ^ N + 1. Пусть (■, ■) — стандартное евклидово произведение в Мм+1 в координатах ж, а ||£|| = \/(£,£), С ^ Мм+1.
Точка М(£) = х(£) € +1 все время движения находится в угле
ё = I^ < ^ < ... < 1
1л/тТ у/т2 ^/тм+1J
и движется по направлению вектора V = (111,112,..., Ум+1), Щ = у/Ш1Уг, 1 ^ г ^ N + 1. Граница (Щ лежит в объединении гиперплоскостей
П
з
Х3 = Х3 +1 \
/т
'3
нормалями к которым являются вектора
1 ( 11
1 = , -(о,..., 0,--, . , 0,..., 0^, 1 < 3 < М, (1)
у/т.-1 + т"+Л ^ }
с ненулевыми компонентами только на позициях ] ш ] + 1. Направляющий вектор т прямой пересечения I плоскостей Ц, равен
т = (^шГ, ,..., л/тм+Т). (2)
Заметим, что вектор т ортогонален п^ относительно (■, ■), 1 ^ ] ^ N. Введем обозначение М = ||т||2. Из (2) следует, что
М = Ш1 + Ш2 + ... + т^+1. (3)
Обозначим через V и Щ мгновенные скорости до и после столкиовения точки М с плоскостью IX/.
Определение 1. Будем говорить, что удар точки М о плоскость П.,- абсолютно упругий, если выполнены, следующие условия:
1. векторы V, V1 и п^ лежат в одной двумерной плоскости;
2. ||Щ| = |И;
3. (1,пз) = -(Щ,Пз).
Определение 2. Точка, М подчиняется бильярдному закону в угле СЩ, если каждый ее удар является абсолют,но упругим.
Предложение 1. Траектория точки м(£) в угле СЩ подчиняется бильярдному закону относительно (■, ■) в +1.
Доказательство этого и более общего утверждения, относящегося к системе движущихся в пространстве упруго-взаимодействующих частиц, можно найти в [5], [7].
Замечание 1. Предложение 1 можно сформулировать иначе: траектория точки М(¿) в угле подчиняется бильярдному закону относительно метрики, порожденной удвоенной кинетической энергией 2Т = ^т^2 частиц на прямой.
Таким образом, задача о движении (Ж + 1)-ой абсолютно упругой частицы на прямой свелась к изучению бильярдной траектории точки М в Ж-гранном угле (Щ в +1. Как будет показано далее, размерность бильярдной задачи можно понизить.
2.2. Бильярд в Ж-гранном угле в RN
Пусть р — полный импульс системы частиц на прямой. Рассмотрим аффинную плоскость П = {V G RN+1 : (m,v) = р}. Так как импулье р системы сохраняется, то плоскость П неподвижна в
rN+1
. Обозначим через M(t) ортогональную проекцию точки M(t) на плоскость П, то есть проекцию вдоль вектора т.
Предложение 2. Траектория точки M(t) в угле Q = Q П П подчиняется бильярдному закону относительно метрики, индуцированной из RN+1.
Доказательство. Будем обозначать ортогональную проекцию вектора w g RN+i на П через w. Пусть, v и V — скорости точки M(t) до и после удара соответственно. Без ограничения общности можем считать, что удар точки М пришелся о плоскость Пi. Вектор т — нормаль П
Р Ч ~1 Р
v = v--■ т, v = v--■ т. (4)
М М w
Теперь воспользуемся предложением 1: так как ||-v|| = ||V'||, то ||г)|| = ||V||.
Вектор т ортогонален nj, поэтому плоскость
Пj =П П П (5)
ортогональна m и nj, 1 ^ j ^ N. Из предложения 1 имеем: v — V = Л ■ ni для некоторого Л G R. Используя (4), получаем v — V' = Л ■ ni, то есть вектopa v, г)' и ni также лежат в одной
П
Осталось доказать, что (v,ni) = —(г)',ni). Действительно, воспользуемся (4) и предложением 1:
(v,ni) = (v — ■ m,ni) = (v, ni) = — (V, ni) = —(V — ■ m,ni) = — (V,ni).
□
Из предложения 2 следует, что бильярдная задача о движении точки М в Ж-гранном угле Q с Rw+i эквивалентна бильярдной задаче о движении точки М в Ж-гранном угле Q с RJ. Действительно, зная направление v движения точки М по формулам (4) восстанавливается направление v движения точки М.
Таким образом, задача о движении абсолютно упругих частиц на прямой свелась к изучению бильярдной траектории точки M(t) в угле Q. Угол Q ограничен плоскостями Й,- = span(m, nj1 ^ j ^ N. Знак ± означает ортогональное дополнение относительно стандартного евклидова произведения.
Замечание 2. Из определения (5) плоскости ^следует, ч то nj — нормал ь к lij, поэтому угол, между плоскостями П ^ и П s равен углу между плоек остями Щ и П5.
Нам удалось понизить размерность бильярдной задачи за счет закона сохранения импульса. Оказывается, ее можно понизить еще на единицу.
2.3. Сведение к бильярду на сфере -i
Рассмотрим Ж-мерный Ж-гранный угол Q в RN. Из предложения 2 следует, что траектория точки M(t) в угле Q является бильярдной. Опишем сферу -i радиуса 1 с центром в вершине О угла Q. Тогда грани угла Q высекут на сфере некоторый (N — 1)-мерный сферический многогранник А.
Зам ечание 3. Если N = 3; то А — сферический треугольник. Длины его сторон ра,вны плоским углам трехгранного угла Q, а углы А равны соответствующим двугранным углам трехгранного угла Q.
Предложение 3. Центральная проекция М'(£) траектории точки М(£) на сферу 8м 1 подчиняется бильярдному закону2 в сферическом многограннике Л.
Таким образом, точка М' движется по большим окружностям на 8м-1, ударяясь о сферы Пу П 8м-1 = 8^-2,1 ^ з ^ N. Векторы скорости -б и у' точки М' до и после удара о сферу 8^-2 в точке уд ара М '(т) должны удовлетворять бильярдному закону (ср. с определением 1): векторы V, у' и пз лежат в одной двумерной плоскости; длины векторов -б и у' равны; угол между -б и пз равен углу между -б' и пз-
Частный случай предложения 3 для N = 3 доказан в [7]. Общий случай доказывается аналогично.
Бильярдные задачи о движении точки М(£) в угл е и точк и М '(¿) в сферическом многоугольнике Л не являются эквивалентными. Действительно, в дугу окружности на сфере 8м-1 проецируется целая двумерная плоскость, поэтому по начальным данным (М'(0),у'(0)) € € Т8М-1 нельзя определить (М(0), г)(0)) € М2^. Однако в случае, когда нас интересуют траектории точки М, соответствующие решению типа п. б. в., неопределенности нет: координаты точки М(0) определяются начальным расположением частиц, а вектор -й(0) находится из первого условия пункта 2 леммы 2 (см. ниже).
Из предложения 3 следует, что исходная задача о поиске решений типа п. б. в. в системе абсолютно упругих частиц на прямой сводится к некоторой задаче о бильярде на сфере. Для случая N = 3 это сведение подробно описано в §4.
Замечание 4. Длина, проекции М'(¿) любой неограниченной (в обе стороны) бильярдной траектории М(¿) на сферу 8м-1 равна ж.
Для доказательства этого утверждения выпрямим траекторию точки М(£), последовательно отражая угол относительно тех граней, по которым происходит удар. Полученная прямая спроецируется в полуокружность на сфере 8м-1, то есть ее длина равна ж. С другой стороны, эта полуокружность — отраженная относительно граней многоугольника Л траектория точки М'(¿) (последовательности отражений для угла и многоугольника Л совпадают).
2.4. Геометрические леммы
В этом параграфе докажем несколько вспомогательных утверждений о геометрии конфигурационного пространства системы точек на прямой, а также свойствах бильярдной траектории точки М(£) в угле (Щ.
Лемма 1. Пусть а^з ~ двугранные углы между плоскостями Пи и ПТогда а^ = ж/2 при \к — > 1, а углы аи := &к,к+1 при 1 ^ к ^ N — 1 находятся, из соотношений
I тк тк+2 /дч
cos ак \j (тк + тк+1){тк+1 + тк+2)'
Доказательство. Действительно, так как пк и ns — нормали к Щи П5 соответственно, то угол ak,s равен углу между векторами пк и ns. Из (1) следует, что (пк, ns) = 0 при — s| > 1, поэтому ak,s = п/2. Теперь рассмотрим две последовательные плоскости Пк и ПТак как \\пк|| = H^fc+iH = 1, то cosa,k = (пк,nk+i). Записывая это скалярное произведение и используя (1), получаем (6). □
Согласно замечанию 2, аналогичное утверждение верно для двугранных углов между плоскостями П к и П s.
Пусть г>(0) = (1, 0,..., 0) и v(T) = (0,..., 0,1) — начальная и конечная скорости конфигурационной точки М(t). Здесь Т — момент времени последнего столкновения частиц с массами
2 Относительно скалярного произведения, индуцированного из R
тм и тм+1- Тогда -6(0) = V(0), а ь(Т) = V(Т) — начальная и конечная скорости точки М(£), а старости -(0),-(Т) точки М(¿) определяются с помощью (4) и -(0),-(Т). Определим двумерные пространства 1к и одномерные пространства Iк'
N N
4 = П и,-, 4 = П П, к = 1 2,...,N.
Ьк — \ |
3=1 3=1
3=к ]=к
Лемма 2.1) -(0) ||[ь -(Т) Ц1М; 2) 0(0) || ¡1, 0(Т) || ¡у.
Доказательство. 1) Так как -(0) = (^т1,0,..., 0), то, используя (1), получаем, что (-(0),п) = 0 для 2 ^ ] ^ N. Таким образом, -(0) параллелен плоскости ¿1. Аналогично доказывается, что -(Т) параллелен плоскости
2) Согласно замечанию 2, вектор п./ является нормалью к плоскости П.,-. Так как векторы -(0) и -(0) связаны равенством (4), то (-(0),п) = 0 при всех 2 ^ ]^ N. Следовательно, -(0) параллелен прямой ¡1. Абсолютно аналогично доказывается, что вектор е(Т) параллелен прямой 1м- П
М
Им - Это в свою очередь означает, что в решении типа п. б. в. последний удар всегда происходит между частицами + 1).
Лемма 3. Если ёк = (а1, а2,..., ам+1) — направляющий вектор прямой 1к, а,
Мк := т1 + т2 + ... + тк, к = 1, 2,...
то
/( М -Мк)т8 1 ^ ^ / Mkmg/ ,
as = ^ -мк , 1 а 8' = „ ,, к + 1 + 1.
М (М - Мк):
ДОКАЗАТЕ ЛЬСТВО. По определению 1к, при ] = к Iк ^п?, поэтому (ек,п^) = 0. Воспользовавшись (1), запишем эту систему уравнений в виде
а- а,-+1 . ,
'+1 - 0, 3= к.
vm vm+
Пусть ак = X^rmk, aN+ = +1, A > 0. Тогда
a8 = A^rm8, 1 ^ s ^ к, a8' = ц^т8', к + 1 ^ s' ^ N + 1. (7)
Так как lк ^ m, то (ёк, m) = 0. Записывая это равенство и используя (7), находим, что
АМк + ММ - Мк) = 0. (8)
Подставляя (7) в условие нормировки ( ёк, ёк) = 1, получаем
А2Мк + у2(М -Мк ) = 1. (9)
Решая систему уравнений (8)-(9) относительно A и у, а затем подставляя их в (7), получаем требуемое. □
Лемма 4. Пусть fp,q — угол между прямыми lp u lq, 1 ^ р < q ^ N. Тогда
cos fp,q =
ММ
I Мр(М - Мд) Jp,q = U Мя(М - Мр).
Доказательство. Если р < q, то используя лемму 3, находим, что
I м - Мр IМ - Mq * т I мр IМ - Mq *
р,6qV мм* V MMq hims V м(м - Г3
+ I Мр I Mq = л/Мр(М - Мр)(М - Mq) +
+ У М(М - Мр)У М(М - Mq) S=-++1 ms - ^ +
М(М - Мр)^ М(М - Mq) S=q+1 л M^M~q
(Mq - Мр) +
s=q+1
M^/Mq(M - мр)^'Jq - ^р) + М^/М - Mt
л/ Мр(М - Mq) ^ у/Мр Mq (М - Mq)
'Мр(М - Мр) М - Мр + Mq /Мр(М - Mq) Mq - мр
Mq(М - Мр) М V Mq(М - Мр) м
_ Мр(М - Mq)
= У Mq (М - Мр) '
Так как ||ер|| = ||eq || = 1, то лемма 4 доказана. □
Лемма 5. Пусть — угол между Ik и Пк. Тогда
Мтктк+1
sin шк = 4 -——-- , 1 ^ к ^ N.
и Мк(М - Мк)(тк + rnfc+1)'
Доказательство. Из леммы 3, замечания 2 и (1) находим
/ -1 , -1 ^ л /М - Мк I Мк Г М
ут- + т-+1 •(ек,Пк W ~мщГ + у М (м - мк) = у мк (М - мк), 1 ^ ^ N.
Так как Цек|| = Цпк|| = 1 и угол между ¿^ и пк равен ж/2 - то получаем требуемое. □
3. Случай N = 2
3.1. Соотношения на массы
Пусть на прямой последовательно располагаются три абсолютно упругих частицы с массами ш1, ш2 и шэ = ть Очевидно, что решение типа п. б. в. для трех частиц может существовать только в том случае, когда полное число ударов к в системе чётно.
Теорема 1. В системе трёх частиц на, прямой с массами т1, т2 и т1 соответственно существует решение типа бегущей волны с числом ударов к <Е 2N тогда и только тогда, когда,
т1 ж пп\
-= cos-. (10)
т1 + т2 к + 1
Доказательство. Воспользовавшись предложением 2, сведем изучение динамики точек на прямой к исследованию движения точки М (t) в плоском угле Q с раствором а и вершиной О (см. рис. 2). Стороны угла Q обозначим, как и в лемме 2, через ¿1 и ¿2-Из леммы 1 и замечания 2 следует, что
т1
cos а =-.
ш1 + т2
Теперь найдем угол а иначе. Построим развертку угла ( вместе с бильярдной траекторией М( )
пересекается с каждым из отраженных углов.
Нас интересуют решения типа п. б. в., поэтому в начальный и конечный моменты времени скорости частиц на прямой такие: -1(0) = 1, -2(0) = 0 -з(0) = 0 и -1(Т) = 0 -2(Т) = 0, -з(Т) = 1, где Т — момент последнего столкновения частиц #2 и #3. Из леммы 2 следует, (0) ( Т) (
1 (
Рис. 3: выпрямление траектории.
Так как первый удар точки M(t) приходится о прямую I2, а последний — о прямую 1\, то образ ¿2 под действием отражений совпадает с продолжением прямой 1\. Это возможно только тогда, когда число копий угла Q нечетно. Заметим, что число копий угла Q на 1 больше числа
М( )
к между частицами на прямой, поэтому (к+1)а = «к £ 2N. Из этого и равенства (11) следует (10). □
Таким образом, теорема 1 отвечает на вопрос В1 введения для случая, когда на прямой расположено бесконечно много частиц с периодически повторяющимися массами mi и Ш2- В частности, из теоремы 1 получаем следствие: m2¡mi = 0(1/к2) при к ^ те.
Заметим, что при подстановке в формулу (10) к = 2 получаем, что mi = m.2- В этом случае существование решения типа бегущей волны очевидно.
Если к > 2, то из (10) следует, что mi > m-2- Действительно, используя (10), находим, что
mi 1 n
— =--1, а =-, к £ 2N.
m2 1 — cos а к + 1
При к > 2 угол а < к/3, поэтому cosa > 1/2, то есть mi/m2 > 1.
Пусть Mi, М2,..., Мк — последовательные точки пересечения прямой I со сторонами отраженных углов (см. рис. 3). Заметим, что ZMjOMK+i_j = к — 2irj/(к + 1), j = 1, 2,..., к/2. Непосредственно из приведенного нами доказательства теоремы 1 получаем
Следствие 1. Д MjOMK+i-j- — равнобедренный (||OMj|| = ||oMk+i_j||), с углами при основании, равным,и nj/(к + 1), j = 1, 2,..., к/2.
3.2. Соотношения на расстояние
Для случая трех частиц на прямой удается явно найти расстояние которое пройдет #3
#2. Очевидно, что 5 не зависит от начального расстояния р1 между частицами #1 и #2, а зависит только лишь от начального расстояния р2 между частицами #2, #3 и отношения масс частиц.
Теорема 2. Если массы т1 и т2 удовлетворяют равенству (10), то
5 = т-т2 р2. (12)
т1 + т2
Из теорем 1 и 2 следует, что в системах из бесконечного числа абсолютно упругих частиц на прямой, массы которых чередуются и удовлетворяют соотношению (10), существуют решения типа п. б. в.
Действительно, если расположить частицы, массы которых связаны равенством (10), так,
т1
т2 были больше 5 из (12), а между частицами с массами т^ и т1 не больше р2, то каждая группа последовательных частиц с массами т1, т2 и т1 за к ударов полностью передает энергию следующей группе частиц. В частности, все частицы можем расположить на одинаковом расстоянии друг от друга.
Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Ь = 0 соответствует мо-
#1 #2 Т
частиц #2 и #3, а Бс — расстояние, пройденное центром масс С системы трех точек за время Т. Обозначим через Р2(0) и р2(Т) расстояния между частицами #2, #3 и частицами #1, #2 в моменты времени £ = 0 и £ = Т соответственно, а через 4(0) и 4(Т) — расстояния между #1 #3 = 0 = Т
-с
Р2 (0) Р2(Т)
4(0), 4(Т)
Рис. 4: положение частиц в момент времени £ = 0 и £ = Т.
Так как на систему частиц внешние силы не действуют, то центр масс движется равномерно и прямолинейно. Из закона сохранения импульса и начальных условий на скорости частиц (-1(0) = 1, -2(0) = 0, -3(0)) следует, что
с=
т1
2 т1 + т2
Из определения центра масс находим, что
т^(0)
5с =
т1 Т
2 т1 + т2
4(0) =
2 т1 + т2:
4(Т) =
т1Р2 (Т) 2т1 + т2'
(13)
(14)
Заметим, что 5 = Бс + 4(0) + 4(Т) — р2(0) (см. рис. 4). Подставим (13)-(14) в это выражение:
т1 Т + т1р2(Т) — (т1 + т2) Р2(0)
5 =
2 т1 + т2
(15)
Дальнейшая часть доказательства посвящена вычислению Т и р2(Т). Для этого, воспользовавшись предложением 1, сведем изучение динамики частиц на прямой к расммотрению бильярдного движения точки М(£). Заметим, что точка М(£) движется с постоянной по модулю скоростью ||г;|| = у/т\ в угле ф. Таким образом, время Т равно длине Ь ломан ой МММ2 ... Мк, деленной на Здесь, как и раньше, {Мк} — последовательные точки удара точки М(£)
об угол ф, а к € 2М — число ударов в системе.
Подставляя М\ = т\,М2 = т + т2 ш М = 2т1 + т2 в равенства леммы 3, получаем формулы для направляющих векторов ё\ и ¿2 прямых 1\ и I2 соответственно:
= / _ 1т + т2 , I тт2 — т л, (16)
V у 2т1 +т2 у (т\ +т2)(2т1 + т2) л/(т! + т2)(2т1 + т2)'
„ = /__т__/ тт2 ~ / т + т2 \ . ,
2 V л/( т1 +т2)(2т1 + т2), V (т +т2)(2тг + т2) , V 2тг + т^.
Теперь рассмотрим бильярдную траекторию точки М (¿) в угле ф. Его стороны параллельны векторам ё\ и е^. Точкам [Мк} на границе ф соответствуют точки [Мк} на границе ф. Так как Мк — ортогональная проекция Мк на плоскость П с вектором нормали т, то длины Ь, Ь ломаных М1М2 ... Мк и М1М2 ... Мк связаны равенством
Ь = Ьвт7, (18)
где 7 — угол между т и V = (уТТ, 0,0). Так как (й, т) = т\, ||£ || = ||т|| = у/2т\ + т2,
то 1__г
' т\ + т2
m . Г
cos7 = W-, sin7=4/-
' V2mi ' V2
+ m2 V 2mi + m2
Заметим, что OM\ = (0, 0,p2(0)), поэтому
(19)
ommi = (O, 0,p2(0)Vm). (20)
Таким образом, используя (17), имеем
m
|\om, в = (om,, e2)=p2(0h/^m+m2>. (21)
Для подсчета длины ¿ломаной M1M2 ... MK отразим угол Q относительно его сторон. M( )
ходящей через образы точек [Mk} (см. рис. 3). Сохраним для них те же обозначения. По следствию 1, Д M\OMK — равнобедренный:
zMtoMK = (и - 1)а, ZOMtMK = ZOMM = а, а = ж/(к + 1).
По теореме синусов для Д M\OMк, имеем
\\MM\\ = \\OM, в. sins^.
sin а
Так как
sin(и - 1)а _ sin(^^) _ sin(^ - T+h) = 2 П
— 2 COs
sina sin( ^) sin( ^) ц + 1'
то
L = \\MiMj = 2\\oMi\\cosa. (22)
Окончательно, используя (18)-(22) и (10), имеем
т = = L = 2\\°МЛ cosa = 2P2(0)mi (23)
_шТ _тГ sin 7 _тГ sin 7 т1 + т2 '
Воспользовавшись теоремой 3, подставим р2(Т) = р2(0) и (23) в (15):
2 т2 . . т2 , . 2т2 — т1т2 — т2
5 = ----р2(0)--2-р2 (0) = --1--Ц- р2 (0) =
(т1 + т2)(2т1 + т2) 2тГ + т2 (т1 + т2)(2т1 + т2)
2тг(тг — т2) + т2 (т1 — т.2) ^ т1 — т2
= -Т-w-\-Р2 (0) = -Р2 (0).
(т1 +т2)(2т1 + т2) т1 + т2
Теорема 2 доказана. □
3.3. Симметрия ударов
Пусть 0 = ¿1 < ¿2 < ... < < = Т — последовательные моменты времени, со-
ответствующие ударам частиц на прямой, к € 2М — число ударов. Моменты ¿1,¿з,...,Ьк_1
#1 #2 'А 12, t4, ... , tк #2 #3
через р(^-) > 0 — расстояние в момент времени ^ между частицами #1 и #2 при четном 3 и между #2 и #3 при нечетном 3, = 1, 2,..., к.
Если N = 2, то массы т1 и т2 чередуются. Геометрическим отражением этого факта, в частности, является следствие 1. Так как исходная динамическая система обратима, а массы крайних частиц равны, то последовательность расстояний |р(tj)}^=1 между частицами в моменты ударов является симметричной.
Теорема 3. p(tj) = p(tк+l_j) при 3 = 1,2,..., к/2.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными в доказательстве теоремы 2.
общности можем считать, что £1(0) = £2(0) = 0. Тогда
Xl(tj ) = Х2 j ), Xз(tj ) = X2(tj ) + p(tj),
поэтому
ОМу = Х1(^)т + (0,0, y/т1p(tj)). (24)
В момент времени ¿к+1_ имеем:
Х1(^+1_) = Х2(^+1_) — р(^+1_), Х2(^+1_) = Хз (£ к+1 — ). Таким образом,
ОМ+ -у = Х2( к+1_у)ГП — (\/т1Р(^ к+1 — ), 0, 0). (25)
Из следствия 1, ||ОМуУ = ||ОМ^—Ц, поэтому ( с2,ОМу) = (е 1,ОА^к+1_). Записывая это
1
ё 2 вектор у т, получаем, что р( ) = р( ¿к+1-:,). □
В качестве следствия теоремы 3 и обратимости рассматриваемой системы получаем, что последовательность промежутков времени между двумя последовательными ударами является симметричной: ^+1 — ^ = ¿к+1_ — ^Поэтому, складывая первые 3 равенств, получим ^+1 =Т — 1К_3, 0 — 1
4. Случай N = 3
4.1. Коды траекторий
Пусть на прямой последовательно расположены четыре абсолютно упругие частицы с мас-т1, т2, тз т4 = т1
прямой к изучению бильярдной траектории точки М' в треугольнике А = ААВС на сфере §2 единичного радиуса с центром в точке О. Будем считать, что дуги АС, АВ и ВС соответствуют пересечениям сферы 82 с плоскостями П 1, П 2, П з и лежат на больших окружностях Ш1,Ш2 и шз соответственно. Далее для краткости используем следующие обозначения: /А = а, /В = Р, АС = 7, длины сторон ВС, АС, АВ равны а,Ь и с соответственно. Из замечания 3 и леммы 1 следует, что 7 = ж/2, углы а и р определяются с помощью формул (6), а а, ,
Замечание 5. Из (6) следует,, что а = Р тогда и только тогда, когда т2 = тз. Углы, а и Р при всех значениях т1,т2 и тз являются острыми.
В силу леммы 2, неограниченная траектория3 точки М в Мз при проекции на 82 даст сферическую ломаную Г вписанную в треугольник ^начинающуюся в вершине В и заканчивающуюся в вершине А — траекторию точки М' (см. рис. 5). Из замечания 4 следует, что длина Г равна ж. Обозначим через и углы наклона первого и последнего звена ломаной Г к АВ.
С.
А
В
Рис. 5: сферический треугольник А.
Будем двигаться вдоль Г и записывать последовательность соударений в виде слова: в начальный момент времени мы имеем пустое слово; если удар произошел о сторону г £ (а, Ь, с}, то справа дописываем букву г. Таким образом, каждой траектории точки М' соответствует некоторое слово w = г1г2... iK, is £ (а,Ь, с}, 1 ^ s ^ к, где к — число ударов в системе четырех частиц на прямой.
w
не может быть произвольной. В частности, всегда ¿1 = Ь, г2 = с, гк = а и любые две сосед-
w w
участков Ьаb и аЬа, которые соответствуют последовательным сериям ударов частиц #1 и #2, #3 и #4 #1 и #2 в случае ЬаЬ и #3 и #4 #1 и #2 #3 и #4 в случае аЬа. Далее будут сформулированы достаточные условия на множество W(к) слов длины к, которые кодируют траектории точки М', соответствующие решениям типа бегущих волн.
Обозначим через Ri : S2 ^ S2 отражение относительно большого круга, граница которого содержит дугу г С S2. По каждому слову w = «1^2 ... определим последовательность треугольников: Д0 = A, = Ris Д^ь 1 ^ s ^ к.
После к отражений траектория точки М' «выпрямится», то есть станет половиной большой
В
3В терминах частиц на прямой это означает, что частица #1 начхает движение из —го, а частиц а #4 заканчивает движение на
точке В* 6 Ш2 П Ш3. Обозначим получившуюся дугу также через Г. Из замечаний, сделанных выше, следует, что образ точки А после всех отражений должен совпасть с В*.
4.2. Достаточные условия
В этом разделе рассматриваются частные случаи треугольников, для которых удается
Г
I. Сферические треугольники Кокстера
Предположим, что исходный сферический треугольник Л является треугольником Кокстера. Тогда известно (см. [3]), что тройка его углов совпадает с одной из следующих
/ж ж ж\ {ж ж ж\ (ж ж ж\ (ж ж ж\ ,
(гэ-э) • ks ч) • (г •!-5) • (s •2'i)' 6 N fc> 1
Из замечания 5 следует, что бесконечная серия в нашем случае не реализуется. Легко
В*
В А
Первая тройка подходит. Действительно, слово w = bса задает соответствующую последовательность отражений. В этом случае массы всех частиц равны. Таким образом, треугольники Кокстера никаких решений, кроме тривиального, не дают. ii одной ар аметрическое семейство решений
Рассмотрим отражения треугольника А, заданные словами w = (Ьс)па, п 6 N. Несложно заметить (см. рис. 6), что, если вершина А под действием отображения Rao(RcoRb)n совпадает В*
(2п + 1)а = ж, с + 2Ь = ж, <р- = <р+, к = 2п.
Из второго равенства имеем cos с = 1 — 2 cos2 b. Подставляя выражения для cos с и cos b из леммы 4, получаем4, что т\ = тз. Используя это и формулу (6) для угла а = ж/(2п + 1), находим, что массы mi и т2 связаны соотношением (11).
Этот результат уже был получен нами ранее при рассмотрении трех частиц на прямой (см. §3). Естественно, аналогичный результат справедлив, если рассмотреть отражения, заданные словами = Ь(са)п, п € № в этом случае т\ = т2, а т1 и т3 связаны равенством (11).
iii. двухпараметрическое семейство решений
Рассмотрим последовательность отражений треугольника Л, которая задается словом — = (Ьс)ра(Ьс)да, (р, д) € М2. Тогда к = 2р + 2^ + 2. Далее мы ищем такие натуральные р и д, для которых соответствующее слово — кодирует бегущую волну в системе частиц с массами т1,т2 и т3.
Предположим, что — кодирует решение типа п. б. в. Совершая 2р отражений, соответствующих слову (Ьс)р, получим 2р + 1 копий {Аз}2=о треугольника Л с общей вершиной А. Обозначим вершины треугольника А.2Р через А, В1 ж ССледующее отражение происходит
4В обозначениях леммы 4, с = ^1,3, Ъ = ^2,3•
относительно стороны а так к ак /С' = ж/2, то сторона С 'А' получившегося при этом отражении треугольника Д.2р+1 является продолжением стороны АС' треугольника А 2р. Совершая 2д отражений треугольника А2Р+1, соответствующих слову (Ьс)д, получим треугольники Л2р+2,..., А_1 с общей верш иной А'. Обозначим вершины треу гольника Ак_1 чере з А', В'' и С''. Отражая Ак_1 относительно стороны а, полним треугольник Ак с вершинами А", В'' и С''. Так как и> кодирует п. б. в., то А" совпадает с В*. При этом, так как /С'' = ж/2, то сторона С''А" является продолжением АС''.
Рис. 7: отражения А, соответствующие слову w = (bc)pa(bc)qa.
Сотрем треугольники {Дз}^=0, оставляя лишь стороны АВ, АС',С'А, АС'', С''А", проведем Г — дугу В В *, а также соединим дугой большого круга точки А и В *. На рисунке 7 изображено то, что будет на сфере после этого. Заметим, что
■ АА = ■ А'В * = 2 ь, ■ АВ = с, ■ ВВ* = ж (26)
АВ АА = (2р + 1)а, АААВ* = 2qа, ААВВ* = , АВВ*А = а
Так как А А А В* — равнобедренный, то (р- — = ж — 2(р + 1)а. Записывая теоремы синусов и косинусов для А А А' В * и пользуясь (26), получаем
. sin2gа sin 2b . 2. 1 + cos2gа
sin(2p + 1)а =---, sin2(2p + 1)а =-—. (27)
sin с 1 — cos с
Выражения в правых частях определены, так как с = 0, ж, иначе ААВС вырождается
cos 2 а = — 1
2qа = ж, то есть А лежит на дуге АВ*. Тогда (2р + 1)а = ж, и поэтоmv 2qа = (2р + 1)а, но это уравнение не имеет решений в целых числах р и q для а > 0.
Возводя первое уравнение (27) в квадрат и приравнивая его со вторым уравнением, производя простые преобразования, пользуясь тригонометрическими формулами и сокращая на (1 + cos 2qа)/(1 — cos с), имеем
9 cos2 % , ч
sin2 qа = —¡j-2-. 28
sin2 2
Подставляя (28) во второе уравнение (27), получаем
0/ „ sin2 2 b — cos2 § , ,
sin2(2p + 1)а = . 2 2 c 2 . (29)
sin2 26 sin2 2
Добавим к уравнениям (28)-(29) следствие теорем косинусов и синусов для треугольника А А В С
cos2 а = tg2 b ctg2 с. (30)
Таким образом, при фиксированных (р, q) £ N2 система уравнений (28)-(30) замкнута относительно а,Ьш с. Разрешая уравнения (28)-(29) относительно cos2b и sin а также опуская простые вычисления, получаем, что
2
2 7 h \ 2 Iе cos2 qа .
cos 2b = ctg (2р + 1)аctg qa, sin - = —^-—. (31)
2 sin2(2p + 1)a
Подставляя уравнения (31) в (30), получим уравнение, которому должен удовлетворять а
уравнения есть решение а = а(р, q), то после подстановки в (31) находим оставшиеся параметры, определяющие А ABC.
Отметим, что у системы (28)-(30) есть решение при р = q = 1: а = п/6, b = п/4, с = 2п/3. Оно соответствует случаю, когда т2 = т3 = (\/б — 2)т1; а к = 6.
Численный счет показывает, что при р = 1, q = 2 у системы (28)-(29) также есть решение. В этом случае 0.109 < т2/т\ < 0.111, 0.383 < т3/т1 < 0.385, а к = 8.
Гипотеза. Для, любого к £ 2N, к > 4 найдется пара (р, q) £ N2, 2р + 2 q + 2 = к система уравнений (28)-(30) имеет решение 0 < а < п/2, 0 < b ^ п/4, 0 < с < п.
Из физических соображений следует, что если система уравнений (28)-(30) имеет решение для пары (р, q), то тогда система, которая получена из исходной заменой р на q, a q на р также должна иметь решение (вообще говоря, другое): это решение соответствует системе частиц на прямой, отличающейся от первоначальной системы взаимной заменой частиц #2 и #3.
Гипотеза. Любое решение 0 < а < п/2, 0 < b ^ п/4, 0 < с < п уравнений (28)-(30) соответствует некоторой системе частиц на, прямой с массами т\,т2,т3 (т2,т3 < т\), для которой существует решение типа п. б. в.
5. Оценка пройденных расстояний
Оценим пройденные расстояния каждой из частиц группы в случае произвольного N > 2, если система частиц допускает решение типа п. б. в. В частности, получим оценку сверху на расстояние, пройденное частицей #(N + 1).
Пусть момент времени t = 0 соответствует первому столкновению частиц в системе, а момент времени t = Т — последнему. Обозначим через Rk = р2 + р3 + ■ ■ ■ + pk-i расстояние между частицами #2 и # к, 3 ^ к ^ N + 1 при t = 0, а через Sj = Xj(Т) — Xj(0) — расстояние, пройденное частицей #j за время Т, 1 ^ j ^ N + 1. Введем обозначения:
m* = min{m2,mw}• mmax = max [mj}.
i^j^N
Теорема 4. Для, решения типа, п. б. в. в системе частиц с массами [mj}j=+11, N > 2 выполнены, неравенства
т
q < 2(N 2)R /т1тшах(м — т1 —т*) . „ + 1
S, < 2(N — 2)RNÁM — rni)-, 1 N + 1. (32)
Таким образом, если в системе из (Ж + 1)-ой частицы существует решение типа п. б. в., то в соответствующей системе из бесконечного числа частиц оно тоже существует. Действительно, если группы частиц расположить на одинаковом друг от друга расстоянии, равном 2(Ж—2)_й^+1ттах/ттт, Т0) какая бы ни была последовательность ударов частиц внутри группы, полная энергия группы успеет полностью передаться последней частице этой же группы до столкновения с 1-ой частицей следующей группы.
Доказательство. Воспользовавшись предложением 1, сведем изучение динамики частиц на прямой к рассмотрению бильярдной траектории точки М в угле ((. Последовательные точки удара бильярдной траектории о грани угла (( обозначим, как в доказательстве теоремы 2, через {М5}^=1, где к — число ударов в системе частиц на прямой.
Без ограничения общности будем считать, что первая точка столкновения частиц #1 и #2 совпадает с точкой х = 0. В этом случае
OMi = (0,0, л/тзЯз, /m4R4,..., /mN+i RN+i), OM„ = OMi + (/mT^i, ..., /mN+iSn+i),
(33)
поэтому
N+1
MiMK = (/ms, /m2S2,..., /mN+TSN+i), wMiMj2 = ^ m3s2
(34)
i=i
Обозначая через М3 проекцию точки М3 на плоскость П с вектором нормали т, получаем, что длины Ь, Ь ломаных М\М2 ... Мк и М\М2 ... Мк связаны равенством
m
L = Lcos(ir/2 -7), cos7 = W ,
(35)
где 7 — угол между векторами т и V = (у'т, 0,..., 0), а М определено в (3). Дальнейшая
Ь
Рис. 8: выпрямление траектории в
М (
ломаную М\М2 ... Мк, последовательно отражая угол ( относительно тех граней, по которым происходит удар. Из леммы 2 следует, что выпрямленная траектория параллельна 1\ и Iн, поэтому образ IN под действием соответствующих отражений совпадет с 1\ (см. рис. 8). Вычислим расстояние й от точки М\ до прямой 1\ по формуле
d2 = worn w2 - (омь А)
Так как
m
М,
OMi = OMi - [оMil ,m)
то, используя (33), получаем, что
i n+i
WOMW2 = ~М2 Е (М -mk)2R\,
k=3
m
v = v — mi —,
2 = mi(M -mi)
W W M
(36)
2
N+1
(oMbv) = — M Еmk(M — mk)Rk. (38)
к=3
Подставим (37) и (38) в (36):
1 и+1 /и+1 \ 2 й2 = М Е ти(М — тк)2К2к + (м —з ( Е Т(М — тк)Кк) . (39)
к—3 к—3
Используя очевидные неравенства
тк ^ ттах, т1 < М — тк < М, Кк ^ Ям+1, 3 ^ к ^ N + 1,
а также раскрывая скобки и группируя слагаемые, несложно получить грубую оценку на правую часть (39):
й2 <ттах(Ж — 2)2В2и+1. (40)
Угол Ф1 между вектором ОМ1 и прямой ¿1 находится из (37)-(38). Ясно, что Ф1 не меньше угла между ¿1 и плоскостью П1 (см. (5)). Абсолютно аналогично, угол между вектором ОМК и прямой не меньше угла между 1м и плоскостью П^. Из леммы 5 находим, что
I Mm2 . _ I
У (mi +m2)(M — mi)• SmfW = \J
Mm^
sinf i = ' — '
(mi +m2)(M — mi)' у (mi +m^)(M — mi)'
Положим f = min[fi,f2}, 0 < f < k/2, m* = min[m2,m^}. Так как f (x) = x/(mi + x) монотонно возрастающая функция на R+, то
(
sin 1_Mm*_
Sinf (mi + m*)(M — mi) 1 }
и L ^ 2dctgf. Таким образом, используя (34), (35), (40) и (41), окончательно получаем
/—с ctgf -, , I M mi(M — mi — m*)
,/mJSj ^ L ^ —;-< Vmmax(N — 2)RW+i • ' ' v 7
-i ■ ч [m
i VM — mi У
sin 7 VM — mi у Mm
Производя сокращения, получаем (32). Теорема 4 доказана. □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Friesecke G., Wattis J., Existence theorem for solitary waves on lattices. Commun. Math. Phvs. 161, 391-418 (1994).
2. Friesecke G., Matthies K., Atomic-scale localization of high-energy solitary waves on lattices. Phvsica D 171, (2002) 211-220.
3. Э.Б.Винберг. Калейдоскопы и группы отражений. Матем. проев., 7, МЦНМО, \!.. 2003, 45-63.
4. Г.А.Гальперин. Упругие столкновения частиц на прямой. УМН, 33:1( 199)(1978), 211-212
5. Г. А. Гальперин. О системах локально взаимодействующих и отталкивающихся частиц, движущихся в пространстве. Тр. МАЮ. 43, Издательство Московского университета, \!.. 1981, 142-196.
6. Г.А.Гальперин. Биллиарды и упругие столкновения частиц и шаров. Матем. проев., сер. 3, 5, МНИМО. М., 2001, 65-99.
7. Г. А. Гальперин, А. Н. Земляков. Математические бильярды. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.—228 с.— (Б-чка «Квант». Вып. 77)
8. Herrmann М., Matthies К., Uniqueness of solitary waves in the high-energy limit of FPU-type chains. arXiv:1611.03514vl
9. Iooss G., Travelling waves in the Fermi-Pasta-Ulam lattice, Nonlinearitv 13 (2000) 849-866.
10. Iooss G., Kirchgassner K., Travelling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators, Comm. Math. Phvs. (2000) 439-464.
11. В.В.Козлов, Д. В.Трещёв. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 168 с.
12. Pankov A., Travelling waves and periodic oscillations in Fermi-Pasta-Ulam lattices, The Imperial College Press, London, 2005, 194 p.
13. Я. Г. Синай. Биллиардные траектории в многогранном угле. УМН, 33:1(199)(1978), 229230.
14. М.Б.Севрюк. К оценке числа столкновений п упругих частиц на прямой. ТМФ, 96:1 (1993), 64-78.
15. Treschev D., Travelling waves in FPU lattices. Discrete Contin. Dvn. Svst., 11:4 (2004), 867-880. REFERENCES
1. Friesecke G., Wattis J., Existence theorem for solitary waves on lattices. Commun. Math. Phvs. 161, 391-418 (1994).
2. Friesecke G., Matthies K., Atomic-scale localization of high-energy solitary waves on lattices. Phvsica D 171, (2002) 211-220.
3. E.B. Vinberg, Kaleidoscopes and reflection groups, Mat. Prosveshchenie, 7, MCCME, Moscow, 2003, 45-63.
4. G. A.Galperin. Elastic collisions of particles on a line. Russian Math. Surveys, 33:1 (1978), 199-200
5. G. A. Galperin. Systems of locally interacting and repelling particles that are moving in space. IV. Mosk. Mat. Obs., 43, MSU, M., 1981, 142-196
6. G. A. Galperin. Billiards and elastic collisions of particles and balls. Mat. Pros., Ser. 3, 5, MCCME, Moscow, 2001, 65-99
7. G. A. Galperin, A. N. Zemlvakov. Mathematical billiards. — M.: Nauka, 1990. pp. 228.
8. Herrmann M., Matthies K., Uniqueness of solitary waves in the high-energy limit of FPU-type chains. arXiv:1611.03514vl
9. Iooss G., Travelling waves in the Fermi-Pasta-Ulam lattice, Nonlinearitv 13 (2000) 849-866.
a
Math. Phvs. (2000) 439-464.
11. V. V. Kozlov and D. V. Treshchev, Billiards: A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts. Translations of Mathematical Monographs, vol. 89. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.
12. Pankov A., Travelling waves and periodic oscillations in Fermi-Pasta-Ulam lattices, The Imperial College Press, London, 2005, 194 p.
13. Ya. G.Sinai. Billiard trajectories in a polyhedral angle. Russian Math. Surveys, 33:1 (1978), 219-220
14. M. B. Sevrvuk. Estimate of the number of collisions of n elastic particles on a line. Theoret. and Math. Phvs., 96:1 (1993), 818-826
15. Treschev D., Travelling waves in FPU lattices. Discrete Contin. Dvn. Svst., 11:4 (2004), 867-880.
Получено 23.11.2019 г. Принято в печать 11.03.2020 г.
