О байесовской сегментации зон интереса скалярных сцен Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 149, кн. 2 Физико-математические пауки 2007

УДК 519.681

О БАЙЕСОВСКОЙ СЕГМЕНТАЦИИ ЗОН ИНТЕРЕСА СКАЛЯРНЫХ СЦЕН

В. Б. Фофмпов, Р. Г. Сабиров

Аннотация

Рассматривается задача о сегментации зон интереса, которые являются фрагментами сцены, содержащими заданный объект и его некоторую окрестность. Она формулируется как задача байесовской классификации пикселей зоны интереса па два класса. Показывается. что для оценки неизвестных априорных вероятностей и условных распределений классов достаточно знать площадь объекта и изображение зоны интереса. Приводятся результаты сегментации предлагаемым методом модельных и реальных сцеп

Введение

Сегментацией принято называть задачу о разбиении сцены на составляющие ее объекты по одному или нескольким изображениям. Отметим, что сегментация может рассматриваться как в качестве основной цели дешифрирования (например, в задаче об обновлении топографических карт), так и в качестве промежуточной (при поиске па сцене заданных объектов по их геометрическим признакам). Исследованию различных подходов к формализации и решению задачи сегментации посвящено чрезвычайно большое количество работ (см., например, обзоры [1 4]). Однако эта тема не закрыта до сих пор [5 9]. Не ослабевающий интерес к задаче сегментации объясняется, по-видимому, отсутствием эффективных методов ее решения.

В настоящей работе предлагается математическая модель и методы решения задачи сегментации, возникающей в ходе поиска на сцене заданных объектов по их геометрическим признакам. Специфика рассматриваемого случая заключается в том. что сегментации подвергается не вся сцена, а только те ее фрагменты, которые содержат заданный объект и некоторое его окружение. Они называются зонами интереса. При сегментации зон интереса удается построить обучающую выборку. вычислить по пей оценки для вероятностей условных распределений классов и воспользоваться байесовским решающим правилом. Показывается, что эффективность сегментации, описываемая вероятностью ошибки, зависит от качества изображения, выражаемого отношением сигнал/шум.

Исходной информацией о сцене в настоящей работе служит ее единственное изображение. Такие изображения будут называться далее скалярными. Набор из нескольких одновременно сформированных скалярных изображений будет называться векторным изображением сцены. Предполагается, что на каждом скалярном изображении задана система координат, и координаты любого пикселя сцены на этих изображениях одни и те же.

1. Скалярные сцены и скалярные изображения

Будем рассматривать сцену как совокупность неделимых элементов, называемых пикселями. Каждый пиксель характеризуется индивидуальными целочисленными координатами z = (zi, Z2), заданными на двумерной целочисленной решетке

Z2 = {z = (zi, z2) : zi G Z, z2 G Z},

и скалярной случайной величиной £z со значениями из конечного множества Y = {0,1,..., 2к — 1}, содержащего |Y| = 2к элементов. Здесь и в дальнейшем под модулем конечного множества понимается число элементов в нем. Случайная величина £z описывает свойство пикселя, значение которого становится известно только после его измерения (съемки). Предполагается, что все случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве (Q, A, P). Счетное

семейство (£z )zez2 случайных величин называется, как известно, скалярным слу-Z2

сценой.

Пусть ш - некоторое элементарное со бытие из Q. Для каждого пикселя сцены с координатами z G Z2 и случайной величины £z можно вычислить выборочное значение xz = £z (ш). Назовем скалярным изображением сцены отображение x : Z2 ^ Y, определяемое равенством x(z) = xz.

Как правило, интерес представляют не отдельные пиксели, а их конечные совокупности, которые будут называться элементами сцены или объектами. Каждый

A Z2

его пикселей, и семейством £л = (Са)аел из |A| скалярных случайных величин. A

проекции A и B разных объектов те пересекаются. Если x - изображение сцены, то изображением xa объекта с проекцией A естественно считать сужение x на A,

ТО еСТЬ xa = (xa)aeA-

В работе [10] доказано, что в случае независимости случайных величин, при-

Z2

на конечные непересекающиеся подмножества проекции объектов и определить для каждой проекции A распределение вероятностей PYa = (pYa (xa))XAeya Ha множестве всех подмножеств из Yл.

Далее под площадью объекта £л подразумевается количество |A| пикселей, об-A Z2 расстояпие d. Габаритными размерами объекта называются длины сторон прямоугольника наименьшей площади, описанного вокруг его проекции, а диаметром A

d(A) = max d(a,b).

a e A,be A

Легко видеть, что для любого t G Z2

inf d(t, z) = 1.

zeZ2\{t}

Поэтому пиксели с координатами z и t, дая которых d(t,z) = 1, называются соседями. Очевидно, что каждый пиксель имеет четырех соседей.

Для множества A С Z2 его границей Fr(A) будет называться совокупность точек из A, каждая го которых имеет хотя бы одного соседа из Z2 \ A. Подмножество A из Z2, |A| > 2, будет называться связным, если для любых двух пикселей с координатами z и t из A таких, что t = z, существует последовательность из

п > 2 пикселей (т^ )1<з<п из А, для второй г = £ = wn и й(т^,№7+1) = 1,

1 < 3 < п. Предполагается, что проекции рассматриваемых в настоящей работе объектов, являются связными.

Понятие соседства, определенное для пикселей, переносится естественным образом на объекты. Если £л и £в - объекты, то расстоянием между ними будет называться расстояние й(А, В) между их проекциями:

й(А, В) = шш й(а, Ь) > 1.

аеЛ,ЬеБ -

Объекты £а и £в назовем соседями, если й(А, В) = 1.

При поиске на сцене заданных объектов по геометрическим признакам необходимо знать их проекции. Для нахождения проекций в настоящей работе предлагается выполнять сегментацию не всей сцены, а только тех ее фрагментов, которые, кроме самого объекта, содержат его некоторое окружение и называются зонами интереса. С формальной точки зрения, определение зоны интереса выглядит следующим образом. Пусть А - связное подмножество 22 с диаметр ом й(А), £Л = (£а) аел - один из заданных (искомых) объектов. Очевидно, что для любого 1 > й(А) + 2 существует квадрат С на 22 со стороной, равной I, такой, что А С (С\Вг(С)). Будем называть семейство случайных величин £с = (£с)сес зоной интереса объекта £л, если существует такой объект £в, что (С \ А) С В. Далее семейство случайных величин £с\л = (£г)гес\л будет называться окрестностью объекта £л-

Перечислим свойства сцены, наличие которых далее будет предполагаться.

Во-первых, будем считать, что случайные величины, образующие сцену, взаимно независимы, а случайные величины, образующие один и то же объект, кроме

А

та и а е А, то для распределения случайной величины £а будет использоваться обозначение Рл = (рл(у))уеУ ■ Не предполагается наличие каких-либо сведений о распределении Ра • Однако у соседних объектов £л и £л их распределения Рл и Рл

Во-вторых, предполагается, что известны геометрические признаки заданных (искомых) объектов: площадь, габаритные размеры, диаметр, а также минимальное расстояние йт*п между ними. Кроме того, для каждого заданного объекта £л существует зона интереса £с. Из ее определения и первого предположения следует, что случайные величины, образующие окрестность £с\л объекта, должны иметь одно и тоже распределение, которое будет обозначаться символом Рс\л =

= (рс\л(у))уеу ■

2. Сегментация зоны интереса

Очевидно, что сторона 1 зоны интереса заданного объекта £л ограничена как снизу, так и сверху. В самом деле, если й(А) - диаметр этого объекта, то нижняя граница 11 принимает вид 11 = й(А) + 2.

Для вычисления верхней границы 12 предположим сначала, что проекция объекта имеет форму круга. Тогда сторона 1 зоны интереса должна удовлетворять неравенству

12 < (^(А) + ^шт)2,

вытекающему из теоремы Пифагора. Оно означает, что при сделанном предположении о форме проекции верхняя оценка имеет вид

В общем случае предыдущие рассуждения также проходят, если учесть, что вокруг каждой проекции можно описать круг.

Так как /1 < 1о , то

, ^ - \Д2)) + 4

тш “ 2 а/2 '

Пусть — произвольный узел 22, в1 = (1, 0) и в2 = (0,1) — единичные векторы, а ъ и 3 - целые числа. Для произвольного объекта £л выберем 1 из [11,12] и построим па 22 семейство квадратов со стороной 1 и левой верхней вершиной г, определяемой равенством

г = го + *Дв1 + з’Де2, Ъ е 2, 3 е 2, 1 < Д < 1 — й(А) — 1.

В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть А - проекция объекта сцены с диаметром ^(А), неизвест-

С

из описанного выше семейства такой, что А С (С \ Вг(С)).

Доказательство теоремы приводится в пункте 5.

Если т и Л - ширина и высота прямоугольного фрагмента сцены, а 1 - сторона зоны, то максимальное количество квадратов п(т, Л) из этого фрагмента, содержащихся в определенном выше семействе, равняется

п(т, Л) =

-1

Д

+ 1

Л-1

Д

+1

Сформулированное утверждение подсказывает способ поиска объектов. Во-первых, по диаметру й(А) каждого объекта и величине йшт — минимальному из расстояний между всевозможными парами объектов необходимо выбрать длину 1 стороны зоны интереса и величину Д. Во-вторых, для каждого квадрата из полученного семейства требуется выполнить сегментацию, затем вычислить по полученной проекции значения геометрических признаков и на их основе принять решение о наличии объекта в рассматриваемом квадрате.

С другой стороны, так как зоны интереса отличаются от пустых квадратов (в которых нет объектов) таких же размеров, то зоны интереса можно рассматривать в качестве вспомогательных элементов сцены и заменить их перебор поиском. В этом случае второй операцией будет классификация квадратов указанного семейства на зоны интереса и пустые квадраты. Сегментацию и все оставшиеся операции требуется выполнять только в зонах интереса. Предполагая, что зоны интереса найдены (см., например, [11]), перейдем к решению задачи их сегментации.

При известном изображении хс = (хс)сес зоны интереса задачу сегментации можно сформулировать как задачу классификации ее пикселей. В самом деле, в качестве признака пикселя с координатами г е С рассматривается зарегистрированное в ходе съемки значение хх е У. Из определения зоны интереса следует, что любой ее пиксель принадлежит к одному из двух классов: объекту £а (класс 1) или его окрестности £с\л (класс 2). Еели Ул - некоторое подмножество признакового пространства У, а Ус\Л = У — Ул, то отображение Л : У ^ {1, 2}, определяемое равенством вида

Чу)"!1’ уе

\2, у е Ус\л,

является решающим правилом для классификации пикселей зоны интереса на два класса. Оно предписывает отнести пиксель с координатами г е С к объекту £л , если хг е Ул , и к его окрестности £с\л ~ в противном случае.

Наибольший интерес представляет байесовское решающее правило Ъ* , для которого вероятность е(Ъ*) ошибки классификации является минимальной. Как известно [12, с. 42], для его применения требуется знать априорные вероятности Р(А) и Р(С \ А) принадлежности пикселя зоны интереса к объекту или к его окрестности, а также условные распределения Ра = (рл(у))уеУ и Рс\л = (рс\л(у))уеУ, описывающие изменчивость признаков объекта и его окрестности. К сожалению, в явном виде эта информация, как правило, отсутствует. Однако при сделанных

хс

интереса, которую в этом случае следует рассматривать в качестве выборки объема |С|. Покажем, как это можно сделать.

| А|

щадь |С| зоны интереса выбирается на этапе дешифрирования по й(А) и минимальному расстоянию между объектами йт;п. Поэтому для определения априор-Р(А) Р(С \ А)

равенствамп

р(А) = щ> = ^

Пусть па (у), «с\л(у) и пс (у) - количество пикселей объекта, его окрестности

уеУ

изображении хс зоны интереса. Очевидно, что пс(у), пл(у) и пс\л(у) связаны уравнением

пс (у) = пл(у) + пс\л(у)- (2)

Для любого у £ У определим Рл(у), Рс\а(у) 11 Рс(у) равенствами

- г \ - Па(у) - I \ пс\а(у) _ , А _ пс(у)

Ра\У) |^| "> Рс\А\У) |£7 \ ,А| ? Рс\У) \С\ ‘

Тогда уравнение (2) можно переписать в виде

Рс(у) = Р(А)рАу) + Р(С \ А)рс\Ау), у е У (3)

Известно [13, с. 221], что относительные частоты Рд(у) и Рс\а(у) являются несме-

щенными и состоятельными оценкам неизвестных вероятностей рл(у) и Рс\л(у); образующих условные распределения Ра и Рс\л классов.

Из определения зоны интереса следует, что ее граница является частью окрестности объекта. Поэтому ее изображение хрг также можно использовать для получения оценок

= усу,

неизвестных вероятностей распределения Рс\л • После замены в уравнении (3) неизвестной оценки Рс\а(у) па оценку рРг(у), вычисленную по изображению гра-

у е У

его решением является оценка Рд{у) неизвестной вероятности рл{у)- Таким образом, вместо неизвестных условных распределений Ра и Рс\л Для классификации пикселей зоны интереса можно использовать

Рл{у) = {рА(у))уег, Рс\л(у) = {Рс\а(у))у£Г-

Сказанное позволяет предложить для классификации пикселей зоны интереса решающее правило Ъ : У ^ {1,2}, вид которого определяется следующим утверждением.

Теорема 2. Пусть априорные вероятности объекта и его окрестности заданы по формулам, (1),

Ра = {рА('У))уег, Ра = {рА(у))уег

есть условные распределения признаков, описывающих объект и его окрестность, а УЛ и Ус\Л - подмножества из У, определяемые равенствами вида

Уд = {у € У : \А\рА{у) >\С\ А\рс\А(у)},

Ус\Л = У \ Ул.

Тогда решающее правило Ъ* : У ^ {1,2} вида

И* {у) = I1’ у£¥а’

\2, у е Ус\л

является байесовским с вероятностью ошибки е(И*), определяемой равенством

= \с\ Рл(у) + Рс\а(у)■

1 1 уеУо\л 1 1 уеУл

Сформулированное утверждение следует из теоремы Байеса с учетом вида априорных вероятностей и условных распределений обоих классов.

3. Сегментация модельных сцен

Для тестирования предлагаемых в работе методов и иллюстрации их возможностей используется фрагмент сцены, проекцией которого является квадрат со стороной. равной 256 пикселям. Четыре объекта фрагмента с номерами 1. 2. 3. 4 имеют прямоугольные проекции со сторонами 30 и 40 пикселей, параллельными осям координат. Все оставшиеся пиксели образуют объект сцены с номером нуль. По традиции он называется фоном. Яркость каждого пикселя сцены является случайной величиной с нормальным распределением. Средние значения объектов и фона приведены в табл. 1. Дисперсии всех элементов сцены одинаковы и равны 225 единицам. В этой же таблице для каждого объекта сцены приведено значение к', определяемое равенством

1=1ЛЗЛ ,4)

сто + ст'

н называемое отношением сигнал/шум. Ниже показано, что вероятность ошибки сегментации с ростом к' быстро уменьшается. Для сцены с описанными свойствами выполняются все предположения математической модели. Поэтому она будет называться далее модельной.

Для сравнения фактических результатов сегментации с теоретическими для каждого объекта построена прямоугольная зона интереса площадью 2400 пикселей. Легко видеть, что в этом случае Р(А) = Р(С \ А) = 0.5 и вероятность е(Ъ*) принимает вид

е(/?*) = -^= ехр^-^А, 3 = 1,2,3,4.

|то— т^ \/2а

Табл. 1

Свойства модельной сцепы

Элементы сцепы

0 1 2 3 Л» 4

т3 165 150 135 120 105

к] - 0.5 1.0 1.5 2

Очевидно, что результат сегментации определяется в основном двумя обстоятельствами. Прежде всего это степень сходства между объектом II фоном. При полном сходстве, которое описывается равенством Ра = Рс\л > вероятность ошибки е(Ъ*) определяется только априорными вероятностями классов

е(Ъ*) = шш(Р(А), Р(С \ А)) < 1/2.

Этот случай можно рассматривать как неудачный выбор признака (или спектральной зоны при использовании оптических изображений). Вторым обстоятельством, от которого также зависит результат сегментации, является абсолютная погрешность оценок, образующих распределение Ррг = (Ррг(у))уеУ ■ Так как

тл- ^ ^ г,- ^ Рс\л(у)(1 -Рс\л(у)) „ 1

ЕррЛу) =Рс\а(у), ВрГг(у) =---------------------------- < 4|^г(с)|,

то из неравенства Чебышева следует, что

ел- / ч / А ^ ВРрЛу) Рс\а(у)(1 - Рс\а(у))

Р(\РрЛу) ~Рс\а(у)I > е) < —----------= Х £2|^г(С)|----------'

Изменить вероятности условного распределения Рс\л па этапе дешифрирования невозможно. Поэтому уменьшить погрешность е оценки можно только за счет увеличения объема выборки |^г(С)|. Из последнего неравенства следует, что для уменьшения погрешности е в £ раз объем |^г(С)| выборки требуется увеличить в раз.

Табл. 2

Сегментация модельной сцепы

Элементы сцепы

1 2 3 Л» 4

е(Л) 0.308 0.159 0.067 0.023

п = 196 0.395 0.220 0.146 0.070

п = 5440 0.355 0.161 0.076 0.027

Для иллюстрации сказанного была проведена сегментация зон интереса модельной сцены с использованием выборок разного объема. В табл. 2 для каждой из четырех зон интереса указаны байесовская вероятность ошибки е(Ъ*) и относительные частоты ошибок классификации (сегментации), подсчитанные для двух выборок.

В качестве малой выборки использовалось изображение хрг границы зоны интереса, состоящей из п = 196 пикселей. Большая выборка со стояла из п = 5440 пикселей. Кроме пикселей границы, она включала дополнительные пиксели, расположенные по соседству с зоной интереса. Из представленных результатов следует, что использование большой выборки позволило значительно снизить относительную частоту ошибок классификации в каждой зоне интереса, приблизив ее к теоретической. На рис. 1 приведено изображение фрагмента модельной сцены, а на

Рис. 1. Изображение модельной сцены Рис. 2. Результаты сегментации модель-

ной сцены

рис. 2 результаты сегментации зон интереса, соответствующие большой выборке. На нем пиксели, отнесенные к первому классу (объект), закрашены максимальной яркостью. Пиксели, отнесенные ко второму классу (фон), закрашены темным цветом.

4. Сегментация реальных сцен

Очевидно, что предположения о независимости и однородности признаков, использованные при построении модели зоны интереса, для реальных сцен в полном объеме не выполняются. Поэтому для проверки предлагаемого метода сегментации в условиях, близких к реальным, в качестве исходной информации использовались изображения участков земной поверхности, полученные в различных спектральных зонах оптического диапазона. Участки поросли травой, редким кустарником н отдельными деревьями. Кроме того, на них присутствуют следы колесных н гусеничных транспортных средств. По условиям съемки сторона квадратного пикселя на местности должна равняться 0.3 м.

При таком масштабе индивидуальные особенности конструкций транспортных средств на изображениях отсутствуют, а форма их проекций приближается к прямоугольной. Последнее обстоятельство позволяет размещать (дорисовать) на изображениях фрагментов сцены прямоугольники нужных размеров и рассматривать их как изображения транспортных средств. Координаты и ориентация таких прямоугольников выбираются случайным образом. Их размеры совпадают с размерами реальных транспортных средств, присутствующих на сцене, а яркости являются реализациями случайных величин с нормальным законом распределения. В качестве его среднего значения и дисперсии используются оценки соответствующих параметров, вычисленные по изображениям реальных объектов. Далее такие сцены будут называться реальными. В качестве примера на рис. 3 представлено изображение участка земной поверхности с проекцией, имеющей форму квадрата со стороной, равной 256 пикселям. Оно сформировано оптико-электронной системой в спектральной зоне [0.7,1.1] мкм инфракрасного диапазона, а затем па нем были дорисованы четыре прямоугольника с номерами 1, 2, 3 и 4.

Вначале по изображению сцены был проведен автоматический поиск зон интереса. Было обнаружено восемь зон, включая четыре ложных. Их границы на рис. 4 выделены сплошными линиями.

/

Рис. 3. Изображение реальной сцены Рис. 4. Результаты поиска зон интереса

Рис. 5. Результаты сегментации реаль- Рис. 6. Результаты коррекции

пой сцепы

Далее в четырех зонах, содержащих объекты, и в одной ложной, взятой для примера, была проведена сегментация. Ее результаты представлены на рис. 5. Белым цветом закрашены пиксели, отнесенные к объекту, черным отнесенные к фону. Как и следовало ожидать, в каждой зоне интереса оказалось несколько изолированных компонент. Поэтому перед измерением габаритных размеров была проведена коррекция результатов сегментации. Она включала удаление линий шириной в один пиксель, изолированных компонент н компонент, имеющих общие пиксели с границей зоны интереса. Окончательные результаты, полученные после выполнения операции коррекции, представлены на рис. 6. Из них следует, что в третьей зоне построить проекцию объекта не удалось.

Для сведения в табл. 3 для каждого дорисованного объекта приведено значение отношения сигнал/шум и результаты измерения габаритных размеров. Длина и ширина «объекта» из ложной зоны составили 18 и 12 пикселей соответственно. Плановые значения габаритных размеров равняются 19 и 9 условным единицам.

Эксперименты с реальными сценами показали, что при значительных отклонениях статистических свойств границы от свойств остальной части окрестности вероятность ошибки сегментации может стать недопустимо большой (зона Л*1' 3).

Табл. 3

Сегментация реальной сцепы

Элементы сцены

1 2 3 Л» 4

kj 2.9 4.6 2.3 2.8

Длила 18 17 12 18

Ширила 8 8 11 9

5. Доказательство теоремы 1

Пусть ai - горизонтальная координата самого лев ого пикселя, a2 - вертикальная координата самого верхнего пикселя проекции A. Существует квадрат из определенного выше семейства, у которого координаты c = (ci, c2) левого верхнего угла удовлетворяют следующим неравенствам

Ci < ai < ci + Д, С2 < a2 < C2 + Д.

В этом случае горизонтальная координата ai + d(A) самого правого пикселя объекта удовлетворяет неравенству

ai + d(A) < ci + l — d(A) — 1 — d(A) = ci + l — 1,

а вертикальная координата a2 + d(A) самого нижнего пикселя объекта - неравенству

a2 + d(A) < c2 + l — d(A) — 1 — d(A) = c2 + l — 1,

Это означает, что A с (C \ Fr(A)). Теорема доказана.

Заключение

В работе предложена формализация и решение задачи сегментации зон интереса скалярных сцен на основе байесовской классификации. Приведены результаты компьютерных экспериментов с использованием изображений модельных и реальных сцен, подтверждающие зависимость вероятности ошибки сегментации от качества изображения, описываемого отношением сигнал/шум, и точности оценки неизвестных вероятностей. Изложенные результаты могут использоваться при решении прикладных задач, связанных с автоматическим поиском объектов по скалярному изображению сцены.

Авторы приносят благодарность директору главному конструктору ЗАО «Научно-производственная фирма Оптоойл» P.M. Алееву за моральную и финансовую поддержку.

Summary

V.B. Fofanov, R.G. Sabirov. On Bayesian segmentation of zone of interests of scalar scenes.

We consider a problem on the segmentation of zones of interest which represent scene fragments, containing a given object together with its certain neighborhood. We state the problem as that of the Bayesian classification of pixels of a zone of interest into two classes. We prove that for the estimation of unknown a priori probabilities and conditional distributions of classes it is sufficient, to know the area of the object and to have an image of the zone of interest. The results of the segmentation of zones of interest in model and real scenes by the proposed method are offered.

Литература

1. Бакут П.А., Колмогоров Г.С. Сегментация изображений: методы выделения границ обласей // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. .V 10. С. 25 43.

2. Бакут П.А., Колмогоров Г.С., Ворновгщклш И.Э. Сегментация изображений: методы проговой обработки // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. .V 10. С. 6 24.

3. Борисенко В.И., Златопольский А.А., Мучник И.Б. Сегментация изображений (состояние. проблемы) // Автоматика и телемеханика. 1987. У* 7. С. 3 56.

4. Денисов Д.А., Ншовкии В.А. Сегментация изображений па ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. 1985. .V 10. С. 5 30.

5. Bourylin S.A., Fofanov V.B. Generalized Spot Criterion as Applied for Image Deciphering 11 Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. No 2. C. 243 248.

6. Верденская H.B. Сегментация изображений статистические модели и методы // Успехи современной радиоэлектроники. 2002. У 12. С. 33 47.

7. Грузмаи И.С., Новиков К.В. Сегментация анизотропных изображений па основе локальных спектральных характеристик // Автометрия. 2004. У 4. С. 26 32.

8. Райфельд М.А. Ранговая сегментация цветных изображений // Автометрия. 2001.

У 1. С. 21 26.

9. Щербаков А.П. Быстродействующий алгоритм сегментации изображений // Автометрия. 2005. У 2. С. 59 67.

10. Фофанов В.Б. О теоретико-вероятностной формализации задачи дешифрирования аэрокосмических изображений // Автометрия. 2003. У 6. С. 107 118.

11. Фофанов В.Б., Демченко А.В. Об одном подходе к поиску зон интереса // Материалы

IX междупар. копф. «Интеллектуальные системы и компьютерные пауки». 23 27 окт. 2006 г. М.: Изд-во мех.-матем. фак. Моск. гос. ун-та, 2006. Т. 2, ч. 2. С. 291 292.

12. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцеп. М.: Мир, 1976. 512 с.

13. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ, 1948. 648 с.

Поступила в редакцию 17.08.07

Сабиров Раиль Гарифзянович аспирант кафедры экономической кибернетики

Казанского государственного университета.

Фофанов Вячеслав Борисович кандидат технических паук, доцепт кафедры

экономической кибернетики Казанского государственного университета.

E-mail: Viatcheslav.FufanuvQksu.ru