Новый подход к расчету магнитогидродинамических движителей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Варьирование действия (11) с учетом полученного результата приводит к корректному уравнению следующего вида

(

J д.

J.

|J J

-- J "a д m

J

Л

| J a |

= e F Jn

C л1 m ^

a \J

(13)

где у имеет смысл плотности частиц

(или плотности вероятности обнаружить частицу) в системе покоя относительно выбранного элемента объема.

Нетрудно убедиться, принимая во внимание (1), что это уравнение соответствует определению силы Лоренца, дей-

ствующей на отдельную частицу с зарядом

= eaE + ea [v X H]

± mav

d Vl - (v/c)2

Отметим, что уравнение (13) является уравнением механики и, в отличии от кинетического уравнения А.А. Власова для бесстолкновительной плазмы, не описывает эволюцию вероятностной функции распределения. Мы предполагаем, что использованный в работе подход может оказаться полезным в астрофизике, для описания динамики газопылевой материи.

Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОН РК №2074/ГФ4.

Список литературы:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Л.Д. Теория поля: учебное пособие. М.: Наука, 1988. - 512с.

2. Дирак П.А.М. Лекции по теоретической физике: учебное пособие. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 240с.

3. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. - М.: Наука, 1991. - 368с.

3. Заключение

Итоговое уравнение (13) описывает эволюцию плотностей числа частиц, с учетом их электромагнитного взаимодействия, но без учета возможных столкновений. Примером такой системы может являться сильно разряженная плазма.

2

mac

e

a

новый подход к расчету

магнитогидродинамических движителей

Буров Анатолий Викторович

профессор, докт. тех. наук, ВУНЦ ВМФ «ВМА», г. Санкт-Петербург

АННОТАЦИЯ

Целью настоящей работы является разработка усовершенстованной физической теории МГД-движителей каналового типа за счет более аккуратного учета гидравлического сопротивления рабочего канала. Результатом работы является построение расчетного алгоритма для определения важнейших характеристик МГД-движителя. Применение данного алгоритма проиллюстрировано на конкретном примере.

ABSTRACT

The purpose of the article is the development of a refined physical theory of the channel type MHD thru^er due to a more accurate hydraulic resi^ance of the operating channel appreciation. The result of the paper is the development of an algorithm for calculating the mo& important characterises of the MHD thru^er. Application of this algorithm is inSantiated.

Ключевые слова: гидравлическое сопротивление, КПД, МГД-движитель, МГД-канал, физическая теория МГД-движи-теля.

Keywords: hydraulic resi^ance, efficiency factor, MHD thru^er, MHD channel, physical theory of MHD thru^er.

Известен целый ряд публикаций [1, 2, 3 — 9, 12], так или иначе связанных с разработкой теории МГД движителей. Общий недостаток этих работ состоит в приближенности учета гидравлического сопротивления рабочего канала. В настоящей работе предлагается уточненная физическая теория МГДД каналового типа.

Как известно [1], МГДД каналового типа представляет собой разновидность водометного движителя, в котором в качестве насоса используется МГД-машина. В настоящее время известны различные конструкции МГД-насосов, которые различаются, в основном, формой рабочего канала, конфигурацией магнитной системы и способом возбуждения тока в электропроводной жидкости, заполняющей канал. Мы ограничимся здесь рассмотрением простейшего

варианта прямолинейного МГД-канала постоянного прямоугольного сечения, заполненного несжимаемой электропроводной жидкостью (рис. 1). Магнитную индукцию в поперечном сечении канала примем постоянной по сечению (рис. 1). Поток в канале будем считать однофазным, т.е. предполагать, что приложенное напряжение не приводит к заметному электролизу и насыщению канала пузырьками газа. Поскольку в реальном МГД-канале осуществляется, как правило, режим развитого турбулентного течения, можно считать, что профиль скорости в каждом сечении канала

достаточно плоский, и ввести скорость ^ , усредненную по сечению канала.

Выделив бесконечно малый участок канала длиной ¿Х сечениями, отстояли от штата кагага га р^тоя™ , можно рассмотреть силы, действующие на элементарный и х + ¿Х

объем СУ жидкости, ограниченный стенками канала и

Х

(рис. 1).

Рис. 1. МГД-канал

При движении жидкости на этот объем действуют две силы противоположного направления:

3т = 3 хВйУ

— сила Лоренца т ;(1)

— сила гидродинамического сопротивления

-> ->

¥г = А т ¿х

-»

3

(2)

¿У.

¥ = ^ - ¥г > 0

. (3)

йр

которая, очевидно, равна объемной силе ¥, отне

5

сенной к площади поперечного сечения канала:

йр

¥ 5

. (4)

¿У = Sdx

Ср

где — плотность тока в объеме

В — индукция магнитного поля в объеме СУ ; А

— смоченный периметр канала в данном поперечном сечении.

-»

т

— сила гидродинамического сопротивления, отнесенная к единице площади стенок канала.

Предполагается, что вектор плотности тока 3 ортогонален вектору магнитной индукции В, и оба они ортогональны вектору средней скорости У жидкости в канале

(рис. 1). Для того чтобы МГД-канал работал как насос, не-» -»

¥т >

обходимо выполнение условия т :

Учитывая, что ы ' , на основании (1) — (4)

JBSdx - Атйх

5 5 . (5)

Обозначая через ъ гидравлический радиус канала =А

ъ А ,(6) выражение (5) можно представить как

йр = ¿х

3В

я

ъ

.(7)

Вводя в рассмотрение в соответствии с [10] безразмерный коэффициент сопротивления

7 =

8т

ру

2

,(8)

¿х

где ' — плотность жидкости, соотношение (7) можно преобразовать следующим образом:

йр = ш -уру2

8Я,

После прохождения выделенного бесконечно малого участка канала давление в жидкости возрастет на величину

Ъ .(9)

Если внутренняя поверхность канала достаточно гладкая

У

(например отполирована), то коэффициент можно считать зависящим только от числа Рейнольдса [10]:

4руЯъ

Яе =

ъ

М

,(10)

М

где — вязкость жидкости.

Турбулентное течение вязкой несжимаемой жидкости в гладких трубах являлось предметом изучения многих исследователей, начиная с XIX века. Тщательные эксперименты Никурадзе позволили ему вывести одну из наиболее точных формул [10], справедливую в диапазоне чисел Рейнольдса от 104 до 108:

г = С + С2(Яе)*

(11)

где

С1 = 3.32-10-3, C2 = 0.221, q = -0.237

Величина э.д.с. противоиндукции определяется на основании известного соотношения [11]:

E = aBv

(12)

a

где — расстояние между электродами.

Омическое сопротивление

R

X

слоя электролита, за-(X

ключенного между участками электродов длиной равно

R

X

о

ов

(13)

где ^ — проводимость раствора электролита; в

" — площадь сечения выделенного проводящего слоя. Если между электродами приложено постоянное напря-

жение

U

ности тока

то из (12) и (13) вытекает выражение для плот-Т в выделенном проводящем слое:

г IX U - E U - aBv о J = -£ = ,, ^ =—=-= а

в Яв

в

гтт л

и - Bv a

(14)

I

X

dp (X

оB

(

\

и - Bv

a

-YPv2

8R

к

.(15)

длины

Л = 1 I

, где — длина электродов;

давления

Р = Ра аШи.

(16)

и

aBv

и

скорости Подставив (16) в (15), получим

-ГТТ - 1 и Сг>и

ал 3

.(17)

где

с =_урЦ_

3 8аaB3R

к

.(18)

При движении несжимаемой жидкости в канале постоянного сечения скорость жидкости постоянна, геометрические размеры канала, и, В, б, р постоянны, а коэффициент сопротивления у зависит только от числа Рейнольдса, поэтому правая часть (17) также постоянна, что позволяет легко провести интегрирование и получить выражение полного безразмерного приращения давления на всей длине канала (в насосном режиме приращение положительно):

ДР(и) - Р(1) - Р(0) -1 - и - Съи2 .(19)

Зная величину ДР(и) и безразмерное давление

р(0)

на входе канала, можно определить его гидродинамический КПД:

Пк(и)

1+

ДР(и)

Р(0)

.(20)

Электрический КПД МГД-канала можно определить

Пе (и) =

1

следующим образом: (16)

1

Пе (и) =

1

1 +

1

и

. С учетом (12),

и

где — полный ток в рассматриваемом слое. Используя формулу (14), выражение (9) можно записать следующим образом:

1+и 1+и 1+1 и+1

Е aBv и

.(21)

Обозначим:

С —-

а

С = 4pRoU С = ри__

4 ^ > 5 8аaB3R,, оЯи ....

к .(22)

П и^ > 0 б

Полагая , последнее соотношение удобно

преобразовать, введя безразмерные величины:

X

Тогда с учетом (10), (14), (16), (18), (19), (21) можно записать:

С3(и) = (С1 +С2С|н*)С5, Яе(и) = С4и, ДР(и) = 1-и-С3(и)и2,

Р(0) = С6Р(0), Др(и) = ДР^и), F(u) = Др(и) •S,

I(и)=■ои^-и)-1- ь, v(u)=аиБи

F (и) — упор МГДД, 1 (и)

(23)

полный ток в

где

МГД-канале.

Наши расчеты будут справедливы при условии, что

104 < Яе(и) < 108 ДР(и) > 0

47 и 4 7 , откуда на

основании (23) для каждых конкретных значений коэффи-

циентов

С С С

4 э 6 из (22) можно определить диапазон

изменения безразмерной скорости U, в котором осущест вляется расчетный режим работы МГД-канала:

104

Cл

< u < min

10^

C

root

,(24)

root

где ' wi — вещественный положительный корень

уравнения

1 - u - C3(u)u2 = 0

u

рость течения жидкости в канале

Р(ы) „ I(u)

, полный ток

v(u)

режим, т.е. проверяем совместное выполнение условий

104 < Re(u) < 108 и АР(ы) > 0

• Если расчетный режим отсутствует, меняем исходные данные.

• Если расчетный режим существует, из (24) находим допустимый диапазон изменения безразмерной скорости

u.

• По формулам (23) находим основные характеристики МГД-канала как функции без-

u

Для любого значения безразмерной скорости из диапазона (24) с учетом (16), (20), (21), (23) можно найти основные характеристики МГД-канала, такие как ско-

размерной скорости

в данном диапазоне:

упор МГДД электрическую мощность

W(ы) = I(ы)и „ Мъ (u)

, гидродинамический и

электрический Пе (u) КПД.

Примерная схема расчета МГД-канала

• Задаем исходные данные:

— длина канала (длина электродов) 1, м;

— размер а, м .

— размер Ь, м;

— электрическое напряжение между электродами и,

в;

— магнитная индукция В, Тл;

— плотность жидкости р, кг/м3;

— вязкость жидкости д, кг/м-с;

— удельная проводимость жидкости с, 1/Ом-м;

— давление на входе канала р(0), н/м2;

— значения постоянных коэффициентов

С = 3.32 10-3, с2 = 0.221, д = -0.237

ССд, СС^, ССх-

• Вычисляем коэффициенты 4 5 6 по формулам (22).

у(ы), ^ (u), I (u),nъ (u),ne (u)

Пример расчета МГД-канала

В качестве примера выполним расчет прямоугольного МГД-канала (рис. 1), заполненного морской водой с соленостью 35г/л при температуре 250С. Задаем исходные данные:

1=1м; а=0.1м; Ь=0/01 м; и=10 в; В=0.5 Тл; р= 1.024кг/ м3; д1.05^10"3 кг/м^с; с= 5 1/Ом-м; р(0)=1атм=1.013^05 н/м2 ; С'=3.32-10"3; С2=0.221; q=-0/237.

Вычисляем коэффициенты 4' 5 6

C C C Re(u)

по формулам

AP(u)

(22). По формулам (23) находим и и

выясняем, что при наших исходных данных расчетный режим не осуществляется. Меняем исходные данные, полагая

и=20в. Снова вычисляем коэффициенты

C C C

Re(u)

Re(u) и AP(u)

• По формулам (23) находим 4 ' и и определяем, осуществляется ли в МГД-канале расчетный

по формулам (22). По формулам (23) находим

АР^)

47 и выясняем, что теперь расчетный режим существует. Находим допустимый диапазон изменения безразмерной скорости u : 1.4110-3 < U < 2.06-10"3

. Определяем основные характеристики МГД-канала как

функции безразмерной скорости U в данном диапазоне. Графики соответствующих функций представлены ниже на рис. 2 — 7. Все расчеты выполнены в системе компьютерной алгебры Mathcad.

0. 9

0.3

v(u) 0.7

0. й

т

л

■л-

J .4x10

-3

1.8x10

2;2Ш

-3

Ш

0.2

F(u)

0.1

\

j .4x10 3 1.8x10 " " 2.2Ш 3

Piic. 2. Скор осте, б МГД-кпнпле

Рис. 3 УпорМГДД

0.999

ф(и)

0.538

0.997

j .4x10" 3 1.8x10 " " 2.2x10" 3

Рис. 6 Гидродинамический КПД

133.75

133.7

W(u) 199.65

139. о

193.55

X \

5s

i 4x1 (Г

1.8x10

2:2x10

Piic. 5. Электрическая мощность

Список литературы:

1. Башкатов В. А, Орлов П .П., Федосов М. И. Гидрореактивные пропульсивные установки. Л.: Судостроение, 1977. 296 с.

2. Буров А.В. Электродинамические движители. СПб.: Российская академия наук. Институт проблем транспорта, 2000. 220 с.

3. Васильев А. П. К вопросу аналогии пузырькового кипения с процессом электролиза морской воды в канале МГД-движителя // Теплофизика высоких температур. Т. 1980. Т. 18. № 5. С. 1116-1118.

4. Васильев А. П. К расчету эффективной диэлектрической проницаемости двухфазного потока // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 44. № 4. С. 616-620.

5. Васильев А. П. Критические параметры кондукци-онного МГД-движителя на морской воде // Магнитная гидродинамика. 1985. № 1. С. 115-120.

6. Васильев А. П. О задаче оптимизации МГД-движи-теля // Прикладная механика и техническая физика. 1981. № 3. С. 86-94.

7. Васильев А .П. Экспериментальное исследование кондукционного МГД-канала на электролите // Магнитная гидродинамика. 1982. № 3. С. 122-128.

8. Васильев А. П. Экспериментальное исследование электропроводности двухфазного потока // Инженерно-физический журнал. 1980. Т. 39. № 4. С. 649-653.

9. Васильев А. П. Эмпирический метод расчета пузырькового пограничного слоя на электроде кондукционного МГД-канала // Магнитная гидродинамика. 1986. № 3. С. 104-109.

10. Гинзбург И. П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: ЛГУ, 1970. 375 с.

11. Тамм И. Е. Основы теории электричества. Изд-е 8-е. М.: ГИТТЛ, 1966. 624 с.

12. Dro^e W. Der Elektro-Magnetische Tru^er: Keine Alternative zum Propellerantrieb // Schiff und Hafen. Heft 1. 1990. S. 51-55.