Новый подход к объяснению закономерности изменений межпланетных расстояний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 524.354 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 3

В. М. Бакулев

НОВЫЙ ПОДХОД К ОБЪЯСНЕНИЮ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЙ МЕЖПЛАНЕТНЫХ РАССТОЯНИЙ

Заметные регулярности в распределении планетных расстояний г>т Солнца являются предметом пристального внимания уже более двух столетий. Первое феноменологическое описание зависимости среднего расстояния планеты от ее номера было предложено в 1766 г. астрономом-любителем X. Тидиусом и тогда же представлено в монографии известного астронома В. Воде в виде геометрической прогрессии [1]

ДП = 4 + 3-2П, (1)

где радиус земной орбиты принят за 10, номер планеты п = —оо для Меркурия и п = 0,1,2... для последующих планет, включая пояс астероидов между Марсом и Юпитером.

Уравнение (1) (которое часто называют «законом Тидиуса-Боде») удовлетворительно описывает значения большинства расстояний планет от Солнца, но дает значительные расхождения между предсказанными и наблюдаемыми расстояниями для Нептуна и Плутона. Поэтому впоследствии оно неоднократно уточнялось и видоизменялось путем добавления различных одно- или многопараметрических функций.

История вопроса наиболее полно описана в монографии М. Ньето [2]. Основным недостат-~ ком' представления (1) является то, что очень трудно физически интерпретировать введенные параметры [2]. До сих пор наблюдается широкий Спектр мнений по физическому обоснованию закона Тициуса-Боде вплоть до полного отрицания в нем физического смысла [3]. В настоящее время делаются попытки с помощью современных методов численного моделирования доказать возможное физическое значение закона Тициуса-Боде и получить его более лучшую аппроксимацию (см. [4. 5] и литературу в них). С начала 80-х годов XX в. после выхода в свет работы А. М. Чечельницкого [6] активно разрабатывается концепция рассмотрения строения Солнечной системы с точки зрения волновой (квантовой) динамики [7-9]. Недавно Нотале [9] получил целочисленное решение зависимости планетных расстояний при решении волнового уравнения. Орбиты планет им рассматривались, как круговые орбиты электрона в атомной модели Бора. Однако, чтобы получить согласие между теорией и наблюдаемыми величинами, ему пришлось постулировать две незанятые орбиты между Солнцем и Меркурием и разделить всуё планеты Солнечной системы на две подгруппы с разными нормирующими параметрами. В настоящей работе в рамках указанной концепции будет получена зависимость планетных расстояний от номера планеты, в которой относительные планетные расстояния обратно пропорциональны полной вероятности двух случайных дискретных распределений с одним подобранным по методу наименьших квадратов параметром, и предложены возможные физические интерпретации распределений и вычисленного параметра.

Определение параметров планетных орбит в одночастичном представлении. Три основные характеристики движения вокруг Солнца: большая полуось (а„), угловой момент (Ьп) и полная механическая энергия (Еп) планеты на п-орбите связаны между собой уравнениями

<?М0тп

Ьп = тп\Л?Моап(1 - (26)

где <3 = 6,672 ■ 10-11м3/кг-с2 - гравитационная постоянная; Мо = 1,989 • Ю30 кг - масса Солнца; тпп — масса п-планеты, еп - эксцентриситет тг-орбиты.

В. М. Бакулев, 2004

Если будет найдена зависимость большой полуоси планеты от ее номера, то преобразованием по (2а) можно получить зависимость от п для полной энергии, а по (26) - для момента количества движения планеты. Можно сделать иначе: искать зависимость от п для полной энергии (или углового момента), а затем преобразованием по уравнениям (2) определить распределение двух других характеристик. Сначала установим зависимость полной энергии от п. Грубая аналогия между Солнечной системой и водородоподобными атомами (в обоих случаях действуют центрально-симметричные силы притяжения, пропорциональные 1/г2) заставляет попытаться сформулировать ее в терминах атомных орбит Бора [7, 9]. Такая гипотеза может показаться более правдоподобной, если представить данные для энергии и узлового момента планет в одночастичном представлении, т.е. рассчитать эти параметры для одной и, той же частицы, движущейся по разным планетарным орбитам. В таблице представлены параметры орбит планет Солнечной системы и самой большой из малых планет (Цереры) в поясе астероидов, расположенном в узком диапазоне расстояний между Марсом и Сатурном. По мнению многих исследователей, этот пояс астероидов представляет собой остатки еще одной некогда существовавшей планеты Солнечной системы. В таблице также указаны значения энергии и углового момента, рассчитанные по уравнениям (2); где вместо тп поставлен^ масса атома водорода (то = 1,674 • Ю-27 кг), как(наиболее распространенного элемента в Солнечной системе.

Наблюдаемые и рассчитанные характеристики планетарных орбит

Планета п еп а„-10-,С), м Еп ■ Ю18, Дж Ьп-Ю12, ДЖ'С а* -КГ10, М ' Е^-1018, Дж .1^-1012, Дж-с

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Меркурий 1 0,2056 5,791 • — 1.918' -1,026 4,54 5,92 ■ -1,874 4,73

Венера 2 0,0068 10,821 6,34 10,7 -1,049 6,35

Земля 3 0,0168 14,960 -0,742 7,46 14,5 -0,763 7,37

Марс 4 0,0933 22,79 -0,487 9,16 23,0 -0,480 9,08

Церера. 5 0,079 41,39 -0.268 12,4 41,3 -0,268 12,2

Юпитер 6 0,0483 77,83 -0,143 17.0 78,3 -0,141 17,2

Сатурн 7 0,0559 142,8 -0,078 23,0 148 -0,074 24,0 •

Уран 8 0,0470 287,2 -0,039 32,6 267 -0,041 31,7

Нептун 9 0,0087 449,8 -0,025 40.9 444 -0,025 39,1

Плутон 10 0,247 591,0 -0,019 45,4 629 -0,018 45,5

Примечание. Значения ап и еп взяты из справочника [10]. Ьп и Еп частицы на п-орбите рассчитаны по уравнениям (2) при условии т„ — тп = 1,674 ■ 10т_27кг, Е„к - по формуле (4), аЦ1 - по (6), 14"-по (7). .

Рассмотрим более подробно характеристики орбитальных движений атома водорода. Квантовые уровни энергии частицы в центрально-симметричном поле притяжения, подобном кулоновому полю (и ~ 1/г), зависят только от одного квантового числа и должны быть п2-кратно вырождены [11]. Если пронумеровать орбиты планет (включая орбиту Цереры) по мере удаленности от Солнца номерами от 1 до 10 (п = 1,2, ...,10). то для первого и двух последних значений радиуса орбиты, углового момента и полной механической энергии атома водорода можно заметить те же закономерности, что и в атомной модели Бора, а именно: они пропорциональны п2, п и 1/п2 соответственно (см. таблицу). Можно положить, что отклонения дня средних значений п обусловлены другим силовым воздействием. Если это правильно, то полную механическую энергию атома можно рассматривать как сумму двух зависимостей, одна из которых должна быть такой же, как в атомной модели Бора, т.е. пропорциональна

Рис.. 1. Зависимости энергии частицы (атома водорода), движущейся пд планетарным орбитам Солнечной системы, от номера планеты (тг) в виде суммы двух вероятностных распределений случайной величины п.

Штриховыми линиями отмечены вклады каждого распределения.

Ог

-0,2 -0.4 -0.6 -0,8 -1 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2

•10,8,Дж

10 п

- I

- 1

I I

и

1 /тг2. Дополнительное силовое воздействие должно представлять собой, как видно из рис. 1,

колоколообразную, асимметричную зависимость от п. Ряд простых однопараметрических

функций удовлетворяет такому требованию. Однако их оценка по \2 показывает, что наибо-

" з

лее адекватной в данном случае является функция 71 /(ехр(Ьп) — 1) ~ целочисленный аналог

формулы Планка для объемной спектральной плотности энергии излучения черного тела. Таким образом, энергия атома водорода на планетарной орбите может быть представлена как

Еп = А ( + В 1

\ехр(Ьп) -

(3)

Весовые коэффициенты А, В и экспоненциальный множитель Ъ для десяти первых планетарных уровней энергии атома водорода (см. значения Еп из таблицы) были получены методом наименьших квадратов-.

А = -(1,507 ± 0,058) • 10" 1вДж, В = -(1,006 ± 0,065) • 10" 1йДж, Ь = 1,283 ± 0,014.

Очевидно, Еп в уравнении (3) - это сумма членов двух сходящихся числовых рядов. Оказалось, что в (3) можно сократить число параметров, если весовые коэффициенты представить в виде величин, обратно пропорциональных суммам этих рядов. Принимая во внимание, что

5 (я2-) б ' £ (ехр(Ьп) - 1) ~ /

х3йх

- п—1 4 ' ~ п=1

получим другое выражение для Еп:

Еп = —

ехр(Ьх) - 1 1564'

6 1 1564

-о— +

ТГ-* П-ь

тг4 ехр(Ьп) — 1 ] ' ^

в котором параметр Е по определению равен сумме всех величин Е„ при п~> ос. Подставляя значения Еп из колонки 5 таблицы в уравнение (4), можно определить параметры Е и Ь, используя метод наименьших квадратов:

Е = Еп = - (4,88 ± 0,09) • Ю"1ЯДж, 6 = 1,283 ± 0,013.

П = 1

Отметим, что полученное значение параметра Е очень близко совпадает с суммой первых десяти экспериментальных значений энергии (—4,745 • 10~18Дж), поэтому в первом приближении в формуле (4) можно считать неизвестным только один параметр Ъ. Сравнение результатов вычислений Еп по (2а) и уравнению (4) при данных параметрах Е и Ь представлено на рис. 1 и в таблице (колонки 5 и 8 соответственно). Хорошее совпадение значений энергии орбитального движения частицы, полученных по формулам классической механики (уравнение (2а)), и той же энергии в виде члена сходящегося ряда (уравнение (4)) показывает, что движение по любой планетарной орбите является одной из возможных дискретных реализаций движений частиц в гравитационном поле Солнца, по крайней мере, на ранней стадии формирования планет.

В этом случае отношение Еп/Е можно рассматривать как вероятность. Если в уравнении (4) перенести Е в левую часть, то правая часть также должна представлять собой вероятность:

И' = Еп = -, °° 2

71=1

6 1 1564 п3 1 1..., , „, , ...

-9-2 + ~4--7ТГ~\-Г •= + И'пг), 5)

7г2 п2 ж4 ехр(бп) - 1 2

.3

г-Я'., - ^ - ^ - " ^^ -» " ^±0,0,3.

Действительно, по теории вероятности [12] выражение (5) может быть полной, вероятностью, если оба распределения в нем образуют полную группу событий. В этом случае его правая часть есть равная вероятность появления одного из двух несовместных событий: появление п в распределении или .И7^, или \Vn2-

Выражение для ап легко может быть выведено из уравнений (2) и (5):

ап = аа(ЪУп)~' = 2а0(№пг + Т^г)-1. (6)

Здесь ао = —СМйТПа/2Е = 2,274 ■ Ю10 м. Оно близко совпадает с радиусом «синхронной планеты» Солнечной системы (тела, движущегося по орбите с периодом, равным периоду вращения центрального тела) ас = 2,53 • 101Ом [3]. Из уравнения (6) следует, что относительные расстояния (ап/ао) не зависят от массы частицы и обратно пропорциональны полной вероятности двух распределений с одним подобранным параметром. Сравнение рассчитанных значений ап с наблюдаемыми представлено в таблице (колонки 7 и 4 соответственно).

Зная значения эксцентриситетов планетных орбит из уравнений (2) и (6), можно определить орбитальные угловые моменты атома водорода. Однако с той же погрешностью для Ьп возможно и другое представление без использования эксцентриситетов, которое по форме более близко к квантово-механическим уравнениям:

Ьп = Ьп—-— + Ь —-—, (7)

+И-пз И'ш+И'пз

1/п2 6 1 П7ехр(Ьп) -1 Ъя п2

где \¥п\ = с'У, = о о3 = сс ' о-= -7П—Г' ПРИ этом п0Дста"

' Л^ ** £ /ехр(Ьп) — 1 2>402ех^)-1

71=1

новка значений Ьп, рассчитанных по уравнению (26) (см. таблицу), дает следующие оценки параметров в уравнении (7):

Ь — (4,73 ± 0,07) • 10-12Дж - с и 6 = 1,277 ± 0,021. Величины экспоненциального множителя 6, полученные по уравнениям (3) и (7), совпадают в пределах погрешности. Результаты вычислений Ьп по (7) представлены на рис. 2 и в таблице

\

,, Дж-С

Рис. 2. Орбитальный угловой момент час-тигры (атома водорода), движущейся по планетарным орбитам Солнечной системы, и его интерполяция по формуле (7).

(колонка 9). Вклад в ¿п., так же как и в энергии Еп, дают два распределения, причем оба имеют одно и то же значение кванта действия Ь.

При тг 1 формулы для расчета Еи по (4) и Ьп по (7) становятся более простыми, так как Шп1 > и 1УП1 » Wn2:

Еп

3 Е 1

1,50 • 10-

- Дж и Ьтг = 4,73

Ю-12 Дж

с.

(8)

■х' п* . п£

Из сравнения формул (8) с выражениями для вычисления Еп и Ьп атома водорода видно, что энергию 3Е/тг2 можно сопоставить с потенциалом ионизации атома водорода (2,18 ■ 10_18Дж), а константа X, проявляющаяся в процессе формирования Солнечной системы, является аналогом постоянной Планка (/г/27Г = 1,055 • 10-34Дж • с) в атомной физике. .

Обсуждение результатов. Надо признать, что у автора пока нет ясных представлений о механизме реализации квантовой структуры Солнечной системы. На данном этапе в порядке дискуссии могут быть высказаны лишь некоторые предварительные рассуждения.

Суммарные уровни энергии Еп в уравнении (3), вероятно, могут возникнуть благодаря рассеянию падающих на силовой центр частиц. Первый член представляет собой уровни энергии рассеянных частиц, которые описываются расходящимися сферическими волнами, а второй - уровни энергии падающих на силовой центр частиц, которые описываются плоскими волнами - набором квантовых осцилляторов [11]. Суммарный уровень энергии Еп, вероятнее всего, возникает в результате интерференции падающих и рассеянных волн. Если это так, то из уравнения (3) следует, что частоты квантовых осцилляторов могут принимать только дискретные значения, а именно: Ъл/ = ЬкТп, где п = 1,2,3,... Тогда средняя энергия одного такого осциллятора может быть выражена как

еп =

,2

Ку

ЬкТп

ехр (ки/кТ) — 1 ехр(Ьп)

При вырожденности уровня п его энергия будет равна

ЬкТп3

Еп = ЕпП =

'(9)

ехр(Ьп) — 1'

Суммируя уравнение (9) по всем возможным значениям п, получим сумму средних энергий всех возможных движений падающей на силовой центр частицы

Е - £ Еп (еХр(М - 1 )~bkT j exp(bt)- 1~тЬкТ-

При описании движения частиц набором квантовых осцилляторов средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, должна быть равна 3кТ [13]:

= (10)

В этом случае из уравнения (10) можно вычислить значение Ь, которое оказывается равным 1,294. В пределах погрешности оно совпадает с его оценкой по методу наименьших квадратов в формуле (3). Кроме того, из сравнения (3) и (9) можно вычислить температуру, при которой происходил процесс формирования планетных орбит:

кТ = 1,006 • 10~18/Ь = 7,84 • 10-19Дж = 4,90 эВ, Т = 5,68 • 104 К.

Указанная энергия практически совпадает с теплотой реакции диссоциации молекулы водорода (4,48 эВ [10]). В настоящее время общепринято, что рассчитанная реакция играет важную роль в ранней эволюции звезд в конце стадии свободного падения (сжатия газового облака под действием самогравитации) [14]. Процессы диссоциации молекул водорода на атомы и их обратная рекомбинация «термостатируют» сжимающееся газовое облако в узком интервале температур.

Автор надеется, что дальнейшие исследования позволят уточнить механизм возникновения дискретных уровней энергии в строении Солнечной системы.

Summary

Bakulev V.M. New approach of the regular spacing of planetary orbits.

The new approach to the regular spacing of planetary orbits is considered. The relative planetary distances will be represented as the inverse composite probabilities of two discrete distributions with one fitted parameter. Conceivable physical interpretation of these distributions and fitted parameter will be suggested.

Литература *

1. Kypm P. Анализ размерностей в астрофизике / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. М., 1975. 2. Нъетпо М. М. Закон Тициуса-Боде. История и теория/ Пер. с англ. Ю. А. Рябова. М., 1976. 3. Алъвен X., Аррениус Г. Эволюция Солнечной системы /Пер. с англ.; Под ред. Г. И. Петрова. М., 1979. 4. Graner F., Dubrulle В. // Astron. & Astrophys. 1994. Vol. 282, N 1. P. 262-268. 5. Hayes W., Tremaine S. // Icarus. 1998. Vol. 135, N 2. P. 549-557. 6. Чечелъницкий A. M. Экстремальность, устойчивость, резонансность в астродинамике и космонавтике. М., 1980. 7. Чечелъницкий А. М. // Динамика космических аппаратов и исследование космического пространства / Под ред. Г. А. Тюлина. М., 1986. С. 56-76. 8. Nottale L. Fractal space-time and microphysics: towards a theory of scale relativity. London, 1993. 9. Nottale L., Schumacher G., Gay J. Ц Astron. & Astrophys. 1997. Vol. 322, N 6. P. 1018-1125. 10. Кикоин И. К. Таблицы физических величин: Справочник. М., 1976. 11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., 1972. 12. Вентцелъ Е. С. Теория вероятностей. М., 1999. 13. Анселъм А. И. Оснбвы статистической физики и термодинамики. М.. 1973. 14. Шкловский И. С. Звезды: их рождение, жизнь и смерть. М., 1984. . v

Статья поступила в редакцию 30 сентября 2003 г.