Новый метод вычисления поля ориентаций изображения Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Раздел VI. Математические методы искусственного

интеллекта

УДК 004.932.2

А.А. Сухинов, ИЛ. Тетеревлев, В.В. Царевский НОВЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛЯ ОРИЕНТАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Рассматривается новый метод вычисления поля ориентаций изображения, основанный на максимизации суммы векторов градиента в локальной окрестности. Дана общая информация об ориентациях изображения в непрерывном и дискретном случаях, построен , -ентаций. Показано, что в сравнении с существующими методами предлагаемый метод имеет существенно меньшую систематическую погрешность для углов ориентации, близких к вертикалям или горизонталям. Метод может применяться в задачах анализа отпе-, , , .

Анализ изображений; ориентация; градиент; отпечатки пальцев; интерполяция

A.A. Sukhinov, I.N. Teterevlev, V.V. Tsarevskyj A NEW METHOD OF ORIENTATIONS FIELD CALCULATION

It is considered a new method of orientations field calculation for image processing, based on the idea of maximization the sum of gradients inside local neighborhood. The introduction to image orientations in continuous and discrete cases is given. The algorithm of the new method is developed; the method is compared to existing methods of orientations calculation. It is shown that new method has much lower systematic inaccuracy _ for orientations close to verticals or horizontals. The method can be applied in tasks of fingertips analysis, image interpolation, noise filtering and object detection.

Image analysis; orientation; gradient; fingertips; interpolation

.

жизнь. С появлением дешевых и быстродействующих микропроцессоров существенно возросло количество электронных устройств, осуществляющих цифровую обработку изображений - фотоаппараты, телевизоры, видеокамеры и подобные устройства. Типичными задачами обработки изображения являются:

♦ изменение разре шения изображения;

♦ фильтрация шума;

♦ детекция лица, глаз, улыбки, и прочих элементов на изображении;

♦ применение к изображени ю художественных эффектов.

Изображения обычно представлены в виде матрицы квадратных элементов, называемых пикселями (растровое представление изображения). Для простоты изложения будем рассматривать черно-белые изображения, в которых каждый пиксель

, .

, ,

,

, -

.

Рассмотрим распространённую задачу интерполяции изображения. Интерполяция используется как для изменения разрешения изображения (например, с целью его отображения), так и для начального построения цветного изображения в цифровых фотоаппаратах и видеокамерах, оснащенных фотосенсором

с байеровским расположением детекторов [1].

Классические линейные алгоритмы интерполяции, основанные на сопоставлении пикселям некоторых базисных функций с последующим их сложением (билинейная интерполяция, бикубическая интерполяция, 8ШС и подобные методы), при использовании в обработке изображений показывают себя плохо, так как создают , ( . 1). , -ные алгоритмы не могут избежать этого эффекта для линий, ориентированных под .

Одним из способов решения этой проблемы является введение анизотропии в используемый алгоритм интерполяции, причем анизотропия должна зависеть от локальных особенностей изображения. В качестве такой особенности чаще всего выступает ориентация - направление, вдоль которого изображение меняется . , , как неявно (например, путем использования в качестве составной части алгоритма , ), -ния ориентации и использования её в алгоритме.

а б в

Рис. 1. Исходное изображение (а). Изображение, увеличенное в 5 раз при помощи бикубической интерполяции (б). Изображение, увеличенное в 5 раз при помощи анизотропной интерполяции (в)

Ориентации являются более высокоуровневыми признаками изображения, чем цвета пикселей, поэтому могут быть плодотворно применены для многих задач обработки и анализа изображений. Например, ориентации давно применяются для анализа отпечатков пальцев [2] и изображений кристаллических структур [3], где они позволяют компактно описать системы линий на изображении.

1. Ориентация в непрерывном случае. Как было с казано выше, ориентация

- это направление, вдоль которого изображение меняется меньше всего. В непрерывном случае для функции двух переменных ориентация определяется направлением изолинии в точке, которое, в свою очередь, перпендикулярно вектору гради.

Уже при таком простом определении выявляется интересное свойство ориентации - она определена с точностью до угла 180 градусов, то есть ориентации с углом X и Х +180° являются эквивалентными. Если рассматривать ориентацию, ( ), , вектор известен нам с точностью до знака. Такие «ненаправленные» векторы будем называть векторами ориентаций.

Проблема заключается в том, что отсутствует необходимый математический аппарат для работы с векторами ориентаций; например, не ясно, как складывать два таких вектора. Для решения этой проблемы зачастую применяется прием, заключающийся в удвоении угла поворота вектора (относительно некоторого нулевого направления), после чего вектор ориентации превращается в обычный вектор. Удвоение угла обладает следующими свойствами:

♦ После удвоения угла векторы X и ~Х становятся равными.

♦ Максимально различающиеся орие нтации - перпендикулярные - превращаются в максимально различающиеся векторы - противоположно на.

Мы приходим к выводу, что удвоение угла осуществляет взаимнооднозначное отображение пространства векторов ориентаций в пространство обычных векторов. Важно, что это отображение является непрерывным и обеспе-« » , нормой разности соответствующих векторов.

Для удвоения угла вектора не обязательно использовать тригонометрические

функции. Вместо этого можно рассмотреть вектор (х, у ) как комплексное число X + 1у, и возвести его в квадрат:

Это выражение может быть вычислено целочисленно.

, (2)

. , поделить новый вектор на длину исходного:

Кроме направления ориентации, интерес представляет её «выр^енность» -число, характеризующее то, насколько сильно данная ориентация <«аметна» в ок, .

В непрерывном случае в качестве выраженности ориентации логично взять длину соответствующего вектора градиента или квадрат этой длины.

2. Алгоритмы вычисления ориентации в дискретном случае. Существует большое количество алгоритмов вычисления ориентации в дискретном случае [4]. Приведем некоторые из них:

1. .

дискретные аналоги градиентов, эти градиенты возводятся в квадрат по (2), .

2. ( ).

пикселей скользящего окна рассчитываются спектральные коэффициенты с помощью преобразования Фурье. Среди них находится максимальный коэффициент и соответствующие ему координаты т1, т2 в окне. Ориентация рассчитывается по формуле tg (^) = _т^т2 .

(1)

Для соответствующего преобразования вектора введем операцию 8дг :

(2)

(3)

3. Дифференциальный метод (в базовом варианте даёт дискретные углы). Внутри скользящего окна вычисляются производные вдоль направлений конкретных углов (дня маски 3X3 вычисляются производные вдоль направлений 0°, 45°, 90°, 135°, а для маски 5 X 5 - производные вдоль направлений 0°, 26°, 45°, 63°, 90°, 116°, 135°, 153°). Производная функции яркости по направлению, совпадающему с направлением полосы, имеет наименьшее (по модулю) значение среди производных по направлению в текущей точке: щ = а^шт|/г| •

¥

4. . -

мируется поверхностями первого и/или второго порядка в симметричном окне. Вычисляются коэффициенты полиномов, с помощью которых происходит расчет ориентаций.

Рассмотрим первый алгоритм, как наиболее близкий к алгоритму для непре-. , -цию в областях с большими по модулю и параллельными (возможно, противона-) .

, .

. 2. -

ратите внимание, что ориентация наклонной линии (слева) отличается от угла наклона этой линии, что может доставлять проблемы при обработке изображений. Этот эффект вызван наличием систематической погрешности у большинства методов измерения ориентаций - вычисленные ориентации получаются ближе к вертикалям и горизонталям, чем они должны быть; дефект тем сильнее, чем более мелкие и чёткие детали попадают в обрабатываемую окрестность.

б

Рис. 2. Векторы ориентаций некоторых элементов изображения, вычисленные методом структурного тензора (ориентация симметричной фигуры равна нулю)

В случае квадратной окрестности любого размера (2N + 1)х(2N +1) метод позволяет вычислять ориентацию для каждого пикселя за время 0(1). Для этого можно воспользоваться следующим алгоритмом (дая сокращения записи гранич-

):

1) .

, , :

Л

8і

2с1, ]+1 + С1 -1, ] +1 + С1+1, ] +1 2с1, ]-1 С1 -1, ]-1 С1+1, ]-1

+1, ] + С1+1, ]-1 + С1+1, ] +1 - 2С1 -1, ] - С1 -1, ]-1 - С1 -1, ]+1 )

где ■ - яркость пикселя (, ]).

а

и

2) Возводим векторы в квадрат:

(, ■). (5)

3) :

ь{ ■ = Ь._!,■ - а._N_!,■ + а.+N,■. (6)

4) , -

а

мую ориентацию окрестности:

о ■ — о • , — Ъ - , + Ъ. .

і, ] і, ]—1 і, ] —N —1 і, ]+Ы

(7)

При программной реализации вычисления (4)-(7) выполняются за один проход по изображению без создания промежуточных буферов большого размера.

Представленный алгоритм обладает недостатками, которые мы постараемся :

1. (4) -

ентов имеют большие погрешности, которые у разных векторов противо-, -

- (5)-(7) ( . 2, ).

2. При большом размере разностного шаблона алгоритм начинает «пропускать» мелкие детали изображения (рис. 3).

+ + + +

Рис. 3. Разностный шаблон большого размера, «пропускающий» тонкую линию

3. Предлагаемый метод вычисления ориентации. Пусть в окрестности пикселя каким-либо образом вычислены N векторов градиента ^1,..., gN. Так как в предлагаемом методе нулевые векторы ни на что не влияют, но усложняют , , -ска векторов градиента. Если изначально все векторы были нулевыми, то будем считать ориентацию такой окрестности нулевой. Везде далее векторы ^ , I = 1,...,N считаются константами и для сокращения записи не фигурируют в списках аргументов вводимых функций.

Функцией выраженности ориентации окрестности ^1,..., gN назовем следующую функцию, зависящую от единичного вектора ё :

т

где

() = 2 (ё, 81) (8)

1=1

(, ) - скалярное произведение векторов й и 8. . Помимо функции

т(ё), будем рассматривать функцию т(<^), в которой в качестве аргумента

используется угол поворота вектора ё . Примеры функции выраженности для не. 4.

Рис. 4. Графики функции выраженности для некоторых положений четырех

векторов

Направлением ориентации окрестности 81,...,gN назовем единичный век-

* * тор й или угол его поворота О , при котором выражение (8) достигает макси:

а — аге

).

(9)

Если функция т достигает максимума при различных значениях вектора й

( ), й .

Максимизация функции т отличается от двумерного метода главных ком,

, .

Выраженностью ориентации окрестности 81,..., gN назовем положитель-

*

ное число т - разность между выраженностью ориентации в направлении ориентации окрестности и выраженностью ориентации в перпендикулярном направ:

( * т о +—

т

= т (а*) —

(10)

Ориентацией окрестности 81,..., gN назовем произведение направления

(9) (10):

^ ""Т* *

о = й • т . (11)

(11) , -. (9) -

.

_ N

д (kl,..., kN ) = X кг8г , К е{-!; + !}. (12)

.=1

д* - д ,

*

некотором наборе коэффициентов к1 ,...,kN :

д * = д (к*,..., к*) = )Гпахд (1,..., kN). (13)

Тогда функция т достигает максимума на единичном векторе

> д*

й = д' (14)

причем

т ( ) = |д*|. (15)

Докажем вначале следующую лемму:

Лемма.

(16)

(, к*8; )> 0 VI = 1,..., N.

Доказательство. Предположим противное: пусть, например, ((к*8 )< 0. Рассмотрим вектор д' = д((,к^...,kN ) = ) - 2к*81, и вычислим квадрат

его длины: ч 2

(o') = (G,G') = (G* -2kgG* -2k*gi) = (G) -4(g*,k^) + 4(g)2.

Мы видим, что квадрат длины вектора G' больше квадрата длины вектора G , так как выражение —4 (*, k1* g1 ) не отрицательно по предположению леммы, а вектор g1 ненулевой. Это противоречит тому, что вектор G максимален по длине. Лемма доказана.

G-*

,

7 *

коэффициенты k , использованные для его получения:

k* = sign(,g. ))e sign(х) = jj’ X * 0’ (17)

Теперь докажем теорему. Воспользовавшись равенством

|х| = sign (х )• X, (18)

мы можем преобразовать выражение (8):

N N ( N \

m ()=Е (, gi) = Е sign (, gi ))•(, gi )= d, Е sign (, gi )•g

i=1 i=1 V i=1

(19)

Обозначим

тогда

N

S () = Ё sign ((, Si ) ),

i=1

т (d) = (, S (d)

(2Q)

(21)

S d ( , -

), . -

ция является частным случаем функции G(,...,kN) , когда kt = sign(d, I)).

Подставив вектор G

У

(21),

т

(21)

z' - ЛЛ

,S

(2Q)

V

\ /

N

-M sign ((G ’, £■ ))•)

i=i

(i7)

(22)

G* N ^ Mki • Si (13) G* -, G = G*

V G i=1 J V G )

,

G

- максимальное значение, которое может принять

функция т. Из (21) следует, что

(12), (1З) (2Q) ,

т

(d)< S(d)

S (d)

<

(2З)

(24)

,

т

()<

причем значение

G

достигается на векторе

d* = G */

(25)

,

.

Таким образом, мы свели непрерывную задачу (9) к дискретной задаче (13), которая заключается в расстановке знаков «+» и «-» перед векторами градиента с целью получения суммарного вектора максимальной длины. В связи с этим разработанный метод вычисления ориентации логично назвать «методом максимальной ».

Для нахождения О не обязательно перебирать все 2N вариантов значений коэффициентов к-; О можно найти гораздо эффективнее. Для этого обратим вни-

мание на неравенство (16), из которого следует, что векторы , i = 1,..., N,

направлены так, чтобы лежать в полуплоскости вектора С , и, напротив, если для некоторого набора коэффициентов к1, i = 1,..., N, векторы kigi не лежат в од, . достаточно перебрать лишь те наборы коэффициентов к;, г = 1,..., N, для которых соответствующие наборы векторов kigi лежат в одной полуплоскости (таких

вариантов в общем случае N, что гораздо меньше, чем 2N). Перебор вариантов можно осуществить при помощи следующего алгоритма.

1) Собираем по окрестности пикселя ненулевые векторы градиента ,

i = 1,..,, N. Если ненулевых векторов нет, то С* = 0.

2) Умножаем на -1, те из векторов gi, которые не лежат в правой полу-

, ( измеряется от — и до + и). Тем самым, мы получаем первый набор векторов g1, i = 1,..., N. Складываем эти векторы:

N

С=Е ^. (26)

i=1

3) Для того чтобы получить следующий набор векторов, лежащих в одной полуплоскости, умножим на -1 вектор с минимальным углом поворота ( ).

суммарные векторы С1, 1 = 2,...,N можно вычислить по следующей :

С1 = С1-1 — 2 —1. (27)

Сам набор векторов g|, давших в сумме вектор С1, нам не важен.

4) Находим максимальный вектор С среди векторов С1.

После нахождения вектора С можно вычислить ориентацию окрестности

по формулам (14), (15), (10), (11). В качестве разностного шаблона для вычисления

градиентов целесообразно брать шаблон минимального размера:

gi+12,1+12

^ С •+, + С + •+, — С ■ — С + Л

г, 1+1 ;+1,1+1 ;, ] ;+1, ]

С ■+, • + С+, •+, — С • — С •+,

V 1 ; +11 +1 ;, 1 ;, 1 +1 у

(28)

В этом случае будет достигнуто максимальное разрешение, а высокие погрешности, даваемые компактным разностным шаблоном, будут скомпенсированы алгоритмом вычисления ориентации.

Представленный алгоритм вычисляет ориентацию окрестности g1,..., gN за

время О^ • 1п(N)) (определяется временем сортировки векторов gi по углу

), . некоторой погрешности в вычислении ориентации, то можно сделать это быстрее. Для этого можно пойти следующими путями:

1. Вычислять для окрестности каждого пикселя гистограмму градиентов [5] с небольшим количеством сегментов (например, 8). Гистограммы могут

, (6), (7).

метод максимальной суммы применяется к гистограмме градиентов, а не к . -ется числом сегментов гистограммы, а не размером окрестности. Кроме

окрестности с гауссовским ядром, а не с квадратным, что дает более «плавное» поле ориентаций.

2. :

окрестности небольшого фиксированного размера, а затем к результату

( (4)-(7)),

чтобы довести размер окрестности до требуемого. В итоге время вычислений составит О (1) . Этот подход быстрее предыдущего, но не дает возможности контролировать точность результата (путем выбора количества сег-). ,

3. Итерационный метод: нужно применять метод максимальной суммы с малой окрестностью многократно, подавая результат одной итерации на .

4. Сравнительный анализ точности разработанного метода. Произведем сравнение разработанного нами метода определения поля ориентаций с уже существующими методами [4]:

♦ комбинированный метод квадратичной аппроксимации и аппроксимации плоскостью (ориентация определяется, как сумма ориентаций квадратичной и линейной составляющих аппроксимационной поверхности второго порядка);

♦ метод на основе структурного тензора (векторы градиента вычисляются по формуле (28)).

Во всех методах будем использовать окрестность 5x5 пикселей. Кроме того, измерим качество работы гибридного метода: сначала применим метод максимальной суммы для окрестности 3x3 пикселя (4 вектора градиента), а затем к результату применим метод на основе структурного тензора (тоже с окрестностью 3x3). Обработка четырёх векторов в гибридном методе может быть осуществлена существенно быстрее общего случая, так как не требуется сортировка векторов по углу ориентации (для четырёх векторов проще перебрать все 8 ).

В качестве тестового изображения будем использовать изображение концентрических колец (рис. 5). Изображение достаточно сложное для анализа: на нём имеется большое количество тонких линий с чёткими границами. Ориентации

( ), нетрудно рассчитать погрешность работы методов.

Погрешность различных методов меняется в зависимости от угла ориентации и от размера деталей изображения. Поэтому мы будем измерять средние погрешности методов в зависимости от угла ориентации и расстояния от центра концен-

. , -

ренной ориентации (выр^енной в градусах) от точной ориентации. Результаты

. 6.

этим способом можно вычислить ориентацию для

вычислить ориентацию для гауссовской окрестности.

гауссовской, а время работы составит О (VN).

Рис. 5. Тестовое изображение в виде концентрических окружностей, толщина которых уменьшается с увеличением радиуса (толщина самых тонких линий составляет полтора пикселя)

10

10

+40

+20

0

-20

-40

0 32 64 96 128 0 15 30 45 60 75 90

+10 +5 0 -5

-10

0 32 64 96 128 0 15 30 45 60 75 90

+10 Г------------------------------------------

Е

+5--------------------------------------------

-10

-5--------------------------------------

0 32 64 96 128 0 15 30 45 60 75 90

Ж

+10

+5

0

-5

-10

0 32 64 96 128 0 15 30 45 60 75 90

5

5

Рис. 6. Погрешность методов вычисления ориентации в зависимости от радиуса (слева) и угла (справа). Толстая линия - среднее значение модуля погрешности, тонкая линия - среднее значение погрешности (систематическая ошибка):

, - ( остальных графиков); В, Г - метод структурного тензора; Д, Е - предлагаемый метод максимальной суммы; Ж, 3 - гибридный метод

Разработанный метод в среднем имеет меньшую погрешность, чем другие методы. Например, средняя погрешность метода структурного тензора составила 3,9 , - 2,8 -

дуса, что на 28 % меньше. Средняя погрешность гибридного метода - 2,9 градуса. Но самая важная особенность метода максимальной суммы, продемонстрированная на данном тесте, - почти полное отсутствие систематической погрешности ( ). В этом плане метод хорошо проявляет себя на тестах с чёткими линиями и малым количеством цветов (например, бинаризованные изображения отпечатков пальцев,

). , -, -ляется, но она остаётся меньшей, чем у других методов.

Теперь проверим устойчивость к наличию шума на изображении. Диапазон изменения цвета на изображении 5 составляет [0,255]. На изображение накладывается нормально распределённый шум с заданным среднеквадратичным отклоне-,

точке изображения. В табл. 1 представлены результаты измерений.

Таблица 1

Зависимость средней ошибки от амплитуды шума_________________

Амплитуда шума 0 8 16 32 64 128

Структурный тензор 3,9 5,Q 5,1 5,4 б,б 9,8

Максимальная сумма 2,8 4,Q 4,2 4,9 б,8 1Q,9

Гибридный метод 2,9 4,1 4,3 5,Q 7,Q 11,5

Из таблицы следует, что разработанный метод обладает чуть меньшей устойчивостью к шуму, чем метод структурного тензора, из-за чего точность работы методов сравнивается при амплитуде шума, равной примерно 55 единиц (22 %). Следует отметить, что 22 % - достаточно высокий уровень шума, и большинство современных изображений имеют более высокое качество.

. -жения, имеющий более высокую точность, чем существующие. Основным преимуществом разработанного метода является существенно меньшая систематическая погрешность определения угла (которая у других методов максимальна при углах, на 15-30 градусов отличающихся от вертикали или горизонтали). Метод может применяться взамен существующих методов в задачах анализа отпечатков , , , , решения этих задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Margaret Brown. Advanced Digital Photography. Media Publishing, 2004.

2. Hozman J., Kubinec R., Trnka J., Varenka J. Biomedical Image Processing Applications. Biomedical Engineering & Biotechnology. - Praha: Publishing House of the Czech Technical University, 1995.

3. . ., . . -

рых заболеваниях глаз. - М., 1988.

4. . . . - .: , 2003.

- 459 с.

5. Navneet Dalal and Bill Triggs. Histograms of Oriented Gradients for Human Detection (INRIA Rhone-Alps).

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., доцент М.Ю. Звездина.

Сухинов Антон Александрович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected] . , . 58/1, . 71.

Тел.: +792862Q542Q.

; . .- . .; .

Тетеревлёв Игорь Николаевич

E-mail: [email protected].

г. Таганрог, ул. Зои Космодемьянской, 9 Е.

Тел.: +79185199182.

.

Царевекий Виктор Васильевич

E-mail: [email protected].

Тел.: +79185767552.

. , 5, 42Q.

.

Sukhinov Anton Alexandrovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

Phone: +792862Q542Q.

58/1, Parkhomenko Street, Apt. 71, Taganrog, Russia.

The Department of Higher Mathematics; Cand. of Phis.-Math. Sc.; Associate Professor.

Teterevlev Igor Nikolaevich

E-mail: [email protected].

Phone: +79185199182.

9 E, Zoya Kosmodemyanskaya Street, Taganrog, Russia.

Postgraduate Student.

Tsarevsky Viktor Vasil’evich

E-mail: [email protected].

Phone: +791857б7552.

5, Oktyabrskaya Sq., Room 42Q, Taganrog, Russia.

УДК 681.518

С.А. Бутенков

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ НА ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ

ГРАНУЛЯЦИИ

Фрактальные системы образуют целый мир объектов и явлений, которые в отличие от непрерывных систем имеют «рыхлую» структуру. Если в математику концепция фрактальных систем вошла много десятков лет назад, то в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы нашего столетия. Одно из новых направлений модели-

( ).

(или фрактальные агрегаты) составляют один из классов фрактальных объектов, образующихся при слипании движущихся по определенному закону твердых частиц. В частности, ФК могут также организовываться и при объединении других ФК. К таким ФК от, , ( ), -